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章末归纳复习
知识要点整合
一、向量的线性运算
向量线性运算的基本原则和求解策略.
（1）基本原则
向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
（2）求解策略：
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字母表示下向量线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则,如;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如.
例1 如图,若点在的边上,且,则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:因为,所以,
所以,所以.
答案:C
例2 如图所示,在正方形中,是的中点,若,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.2
解析:因为
,
且,所以解得
所以.
答案:Ｂ
二、向量共线问题
证明向量共线问题常用的方法:
(1)向量共线存在唯一实数,使.
(2)向量共线.(3)向量与共线.
(4)向量与共线存在不全为零的实数,使.
例3 设两个非零向量和不共线.
(1)如果,求证:三点共线;
(2)如果,且三点共线,求的值.
解析:(1)想证明三点共线,只需要根据向量的线性运算说明与共线即可.
(2)已知三点共线,得出与共线的结论,进而可求出的值.
答案: (1)∵
∴
∴与共线.又∵与有公共点,∴三点共线.
(2)由题意得,
∵三点共线,∴共线,从而存在实数,使得,即
由平面向量基本定理,得解得.
例4 如图所示,,点在由射线OM、线段及的延长线所围成的阴影区域内（不含边界)运动,且,则当时,的取值范围是______.
解析:因为,
所以根据平面向量基本定理,取与的方向相反的向量,
当时，.
过作OB的平行线交于,过作的平行线交于,
则.
同理,过作的平行线交的延长线于,再过作的平行线交的延长线于,
则.
因为点在阴影区域内（不包括边界）运动,所以.
答案:
三、向量的数量积
利用向量的数量积可以解决以下问题：
(1)设,,.
(2)求向量的夹角和模的问题.
①设,则.
②设,两向量夹角）的余弦值.
例5 已知,且.
(1)用表示数量积;
(2)求的最小值,并求出此时与的夹角的大小.解析（1）利用已知中两个向量的模相等,两边平方后得到用表示的的表达式.(2)由得出的表达式,借助对勾函数得到最值和对应的夹角值.
答案:由,得,
∴,
∴.
∵,
∴,
(2)由得.
由对勾函数的单调性可知,在,1]上单调递减,在上单调递增,
∴当时,,此时与的夹角的余弦值.
又∵.
例6 已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:∵,,
∴
.
答案:B
例7 已知与的夹角为,求实数的值及与的夹角.
答案:∵.∵.∵,
∴.∵,∴.在的两边同乘,
得①在的两边同乘,得.②
由①②,得.∴.又或.
四、平面向量在几何中的应用
把几何图形放到适当的平面直角坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性.
例8 如图,半径为的扇形的圆心角为,点在上,且,若,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,得,故认为坐标原点,所在直线分别为轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则,.
因为,
所以,
即则
答案:A
例9 在中,为的中点,为的重心,为的外心,证明:.
解析:建立适当的直角坐标系,利用来证明.
答案:建立如图所示的平面直角坐标系.
设,则.
易知的外心在轴上,可设为.
由,得,
所以,即.
由重心坐标公式,得,所以.
所以,
所以,即.
五、平面向量在物理中的应用
例10 河水自西向东流动的速度大小为,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度大小为,求小船的实际航行速度.
解析:根据题意建立直角坐标系,注意小船实际航行速度是水速和小船在静水中速度的合速度.
答案:设分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点作,以为邻边作矩形,连接,如图,则,且即为小船的实际航行速度.
∴.
∵
∴小船的实际航行速度大小为,按北偏东的方向航行.
例11 已知两恒力作用于同一质点,使之由点移动到点.
(1)求分别对质点所做的功;
(2)求的合力对质点所做的功.
解析:利用功的公式 求解,注意找准所要求解的力.
答案:(1),
,
,
∴力对质点所做的功分别为和.
.
∴合力对质点所做的功为.
六、平面向量与其他知识的综合
例12 已知点为坐标原点,为轴上一动点,当取最小值时,求向量与的夹角的余弦值.
解析:根据题意得出向量数量积的坐标表示,是关于的二次函数,借助二次函数的性质求最小值和对应的夹角的余弦值.
答案:设点的坐标为,则,
,
∴当时,取最小值1,此时
.
.
核心素养梳理
一、数学抽象
数学抽象是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学语言予以表征.
以向量为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以向量为依托，考查考生对新概念的理解，结合所学的知识进行解答，充分体现了数学抽象核心素养.
例1 定义:,其中为向量与的夹角,若,则=______.
解析由,得,sin.
答案:8
方法归纳 解决以向量为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.(2)用好向量的有关知识.解题时要善于从试题中发现可以使用的一些熟悉的知识,比如此题中向量的夹角公式.
二.数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段.而本部分向量的线性运算、数量积运算以及向量的坐标表示及运算就与数学运算息息相关.
例2 如图所示,在中,已知于为的中点,若,则的值分别是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:由题意得.
因为,所以,所以,
故,
故.
答案:B
例3 已知梯形中,,且,若点满足,则( )
A.
B.
C.
D.
解析:以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图,则,.
又,
∴,
∴.
答案:D
三、直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.
直观想象是数学基本核心素养之一，而数形结合是直观想象的体现，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的向量中的数形结合思想应关注以下几点：（1）向量的几何表示要注意方向.（2）向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备“形”的特征.（3）向量的坐标表示和坐标运算又具备“数”的特征.
例4 若点是所在平面内一点,且满足:.
(1)求与的面积之比;
(2)若为中点,与交于点,设,求的值.
答案:(1)由可知三点共线.
如图,令,
则,
所以,即与的面积之比为.
(2)由得,.
又由三点共线及三点共线得.
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.这部分内容中向量的应用就与数学建模紧密相连.
例5 如图所示,在倾斜角为,高为的斜面上,质量为的物体沿斜面下滑,物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍,则斜面对物体的支持力所做的功为,重力所做的功为.
解析:物体的位移大小为,则支持力对物体所做的功为.
.重力对物体所做的功为.
答案:0 98
高考真题再现
考点1 向量的线性运算及数量积运算
向量的线性运算和数量积运算是高考考查的重点,在解题过程中要求熟练掌握向量的运算及运算律,特别是向量的几何中的应用,考查学生的数形结合思想和计算推理能力,题型以选择题为主,低档难度,分值一般为5分.
例1(2018 全国)在中,为边上的中线,为的中点,则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:.
答案:A
例2(2018 全国II)已知向量满足,,则( )
A.4
B.3
C.2
D.0
解析:.
答案:Ｂ
例3(2018·全国Ⅲ)已知向量.若,则______.
解析:由题意得,∴,解得.
答案:
例4 (2019 全国)已知非零向量满足,且,则与的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析:设和的夹角为.
又∵,∴.
答案:B
例5(2018 天津)在如图的平面图形中,已知
,的值为( )
A.
B.
C.
D.0
解析:如图所示,连接,
由,可知点分别为线段上靠近点的三等分点,
则.
由题意可知:,
结合数量积的运算法则可得:=
答案:C
考点2 向量与其他知识的综合
向量与其他知识点的综合应用也是高考考查的重点,要求学生以向量为载体,结合其他知识进行解答,考查学生的数形结合思想和计算推理能力,题型以选择题为主,中低档难度,分值一般为5分.
例6(2018·北京)设均为单位向量,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:.
因为均为单位向量,所以,
即“”是的充分必要条件.
答案:C
例7 北京)设点不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由题可知点不共线,设和的夹角为.
∵,
,
当时,,
∴“的夹角为锐角”是“的充分条件.
∵,
∴,
∴,
∴∴.又∵点不共线,
∴,
即“与的夹角为锐角”是“的必要条件.
综上可得,“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件.
答案:C
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