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第5章　万有引力与宇宙航行
专题22　万有引力定律
必备知识
整体提升
方法一　天体重力加速度相关问题
方法二　中心天体质量、密度的估算
方法三　双星问题
天体重力加速度相关问题
在不考虑天体自转的情况下，物体在天体表面所受的万有引力等于物体在天体表面所受的重力，即????????????????2=????????，故天体表面上的重力加速度g=????????????2?，物体在高空中，有????????????(????+h)2=????????h?，故????h?=????????(????+h)2.
利用 ????????????2=????可以进行诸多与g有关的计算，如比较两个天体表面的重力加速度、与平抛运动结合求水平射程、与竖直上抛运动结合求最大高度等．
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分考点讲解
1[湖北武昌2021三模](多选)在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v－t图像分别如图所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，下列说法正确的是(　　)
A．星球P和星球Q的质量之比为3∶1
B．星球P和星球Q的密度之比为1∶1
C．星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为3∶1
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1∶3
【解析】根据v－t图像的斜率表示加速度可知，两星球表面的重力加速度之比为????????:????????=3:1，根据????????????????2=????????可得????=????????2????，则????????:????????=27:1?，故A错误；由????=????4π????33 得????=3????4????
中心天体质量、密度的估算
1.已知g、R
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R时，求解方法如下：
(1)由????????????????2=????????得天体质量????=????????2????.
(2)天体密度????=????????=????43π????3=3????4π????????.
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分考点讲解
中心天体质量、密度的估算
2.已知T、r
已知卫星绕天体做圆周运动的周期T和轨道半径r时，求解方法如下：
(1)由????????????????2=????4π2????2????得天体的质量????=4π2????3????????2.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度????=????????=????43π????3=3π????3????????2????3，当卫星绕天体表面运行时，可以认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度????=3π????????2?.
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分考点讲解
2(多选)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度????月=h????02????2
B．月球的平均密度????=3h????022π????????2????
C．月球的第一宇宙速度v=????0????2h????
D．月球的质量????月=h????2????02????????2

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【解析】小球在月球表面做平抛运动，根据平抛运动规律可知，在水平方向上有????=????0????，在竖直方向上有h=12????月????2，解得????月=2h????02????2?，故A错误；在月球表面有????????月????????2=????????月，解得????月=2h????2????02????????2?，则月球的平均密度????=????月43π????3=2h????2????02????????243π????3=3h????022π????????2?????，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度????=????月????=????0????2h????，故C正确．
【答案】BC
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双星问题
1.双星系统运动的特点
周期相同T1＝T2，角速度相同ω1＝ω2，轨道半径之和等于双星间的距离L＝r1＋r2，两星所受的万有引力相同F1＝F2，即Gm1m2L2＝m1ω12r1＝m2ω22r2.
分考点讲解
双星问题
2.其他多星系统模型

分考点讲解
3神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦星云时，发现了LMCX－3双星系统．它由可见星A和不可见的暗星B构成，将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.



(1)可见星A所受暗星B的引力????????可等效为位于O点处质量为m′的星体(可视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为????1、????2?，试求m′(用????1、????2表示)；
(2)求暗星B的质量????2与可见星A的速率v、运行周期T和质量????1之间的关系式；
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量????????的2倍，它将有可能成为黑洞，若可见星A的速率????=2.7×105????/????，运行周期????=4.7π×104????，质量????1=6????????，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(????=6.67×10?11N?m2/kg2， ????????=2.0×1030kg)


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【解析】(1)设A、B的圆轨道半径分别为????1、????2?，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω.根据牛顿第二定律，有????????=????1????2????1，????????=????2????2????2，又????????=????????.设A、B之间的距离为r，有????=????1+????2，由上述各式得????=????1+????2????2????1，根据万有引力定律，有????????=????????1????2????2，代入得????????=????????1????23(????1+????2)2????12，令????????=????????1????′????12，比较可得????′=????23(????1+????2)2.
(2)根据牛顿第二定律，有????????1????′????12=????1????2????1，又知可见星A的轨道半径????1=????????2π，联立解得????23(????1+????2)2=????3????2πG.
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(3)将????1=6????????代入得????23(6????????+????2)2=????3????2πG?，代入数据得 ????23(6????????+????2)2=3.5????????，设????2=???????????? (n>0)，可得????23(6????????+????2)2=????(6????+1)2????????=3.5????????，可知????23(6????????+????2)2的值随n的增大而增大，试令n＝2，得????(6????+1)2????????=0.125????????<3.5?????????，则n必大于2，即暗星B的质量????2必大于2?????????，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．
【答案】(1)????23(????1+????2)2　(2) ????23(????1+????2)2=????3????2π????　(3)有可能
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天体重力加速度相关问题
[重庆2021·8，5分](多选)2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则(　　)
A．火星的平均密度是月球的????????3倍
B．火星的第一宇宙速度是月球的????????倍
C．火星表面的重力加速度大小是月球表面的 ???????? 倍
D．火星对“祝融号”引力的大小是月球对“玉兔二号”引力的????????????2倍
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对点强化
天体重力加速度相关问题
解析：本题考查万有引力。由????=????????和????=43π????3可得????火????月=????????3，A正确；由????????????????2=????????2????可得，第一宇宙速度????=????????????，则????火????月=????????，B错误；对星球表面物体受力分析可得????????=????????????????2，则????火????月=????????2，C错误；由万有引力定律????=????????????????2?可得????祝融????玉兔=????????????2，D正确。
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对点强化
中心天体质量、密度的估算
10．[全国Ⅱ2018·16，6分]2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10?11N?m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109????????/????3
B． 5×1012????????/????3?
C． 5×1015????????/????3?
D． 5×1018????????/????3
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对点强化
中心天体质量、密度的估算
解析：假设星体表面有一质量为m的物体，可随星体稳定自转且对星体表面无压力，由万有引力定律可知????????????????2=????4π2????2????，又因为????=?????43????????3，可知最小密度????=3π????????2≈ρ＝3πGT2≈ 5×1015????????/????3?，故C正确。
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对点强化
双星问题
[重庆育才中学2021模拟]宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统，在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO>OB，则(　　)
A．星球A的质量一定大于B的质量
B．星球A的角速度一定大于B的角速度
C．星球A的线速度大小一定大于B的线速度大小
D．星球A的向心加速度大小一定小于B的向心加速度大小
对点强化
双星问题
解析：由于两颗恒星始终绕着O点旋转，它们的连线始终过O点，因此角速度相等，B错误；由于两颗恒星都绕着O点旋转，它们之间的万有引力提供向心力，有????????????????????????2=????????????2????????， ????????????????????????2=????????????2?????????，联立可得?????????????????＝?????????????????，由于?????????>?????????，因此?????????
对点强化
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