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第六章　机械能
专题27　功能关系在压轴题中的应用
必备知识
整体提升
一　功能关系的综合应用
二　用动力学和能量观点解决多过程问题
功能关系的综合应用
1、传送带问题
(1)传送带问题的分析流程
分考点讲解
功能关系的综合应用
1、传送带问题
(2)传送带中的功能关系
分考点讲解
1 如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度顺时针匀速运动．现将一质量m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝ ，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中(g取10 m/s2)，求：
(1)传送带对小物体做的功；
(2)电动机做的功．
【解析】
(1)小物体加速过程中，根据牛顿第二定律有μmgcos θ－mgsin θ＝ma，解得a＝2.5 m/s2，当小物体的速度v＝1 m/s时，位移 ，
之后小物体以v＝1 m/s的速度做匀速直线运动，由功能关系得
(2)电动机做功使小物体的机械能增加，同时小物体与传送带间因摩擦产生热量，由v＝at得t＝v/a＝0.4 s，小物体与传送带的相对位移
，因摩擦产生的热量Q＝μmgx′cos θ＝15 J，
故电动机做的功W电＝W＋Q＝270 J.
【答案】(1)255 J　(2)270 J
功能关系的综合应用
2、板块问题
以如图所示模型为例
(1)区分三种位移：板的位移为x，物块的位移为(L＋x)，二者的相对位移为L.
分考点讲解
功能关系的综合应用
(2)板块中的功能关系
分考点讲解
2 (多选)如图甲所示，一上表面水平的小车在光滑水平面上匀速向右运动，在t＝0时刻将一相对于水平面静止的质量m＝1 kg的物块轻放在小车前端，之后小车运动的速度—时间图像如图乙所示．已知物块始终在小车上，重力加速度g取10 m/s2.则下列判断正确的是(　　)
A．小车与物块间的动摩擦因数为0.2，小车的最小长度为1.25 m
B．物块的最终动能E1＝0.5 J，小车动能的减小量ΔE＝3 J
C．小车与物块间因摩擦产生的热量为3 J
D．小车的质量为0.25 kg
甲 乙
ABD
【解析】
由v－t图像知，当t＝0.5 s时，小车开始做速度v＝1 m/s的匀速运动，此时，物块与小车的速度相同，物块与小车间无摩擦力作用，对物块，由v＝at及f＝ma＝μmg得f＝2 N，μ＝0.2，在0～0.5 s内，小车的位移s＝(5＋1)×1/2×0.5 m＝1.5 m，物块的位移x＝1/2×1×0.5 m＝0.25 m，所以小车的最小长度为1.5 m－0.25 m＝1.25 m，A正确；物块的最终动能E1＝ ＝0.5 J ，由动能定理得，小车动能的减小量ΔE＝f·s＝3 J，B正确；小车与物块间因摩擦产生的热量Q＝f·s相＝f(s－x)＝2.5 J，C错误；小车的加速度为
，而a′＝f/M ，解得M＝0.25 kg，D正确．
【答案】ABD
功能关系的综合应用
3、弹簧类问题
(1)特点：弹簧与物体组成的系统在运动过程中，弹簧的弹力为变力，物体沿不同方向运动经过同一段距离时，弹力做功及弹性势能的变化量具有对称性．
(2)分析思路：若涉及弹性势能，则选弹簧与物体作为系统，用能量守恒定律求解；若涉及弹簧弹力做功，则选物体为研究对象，用动能定理求解．
分考点讲解
3 (多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定并处于自然状态，小物块的质量为m，从A点以某一初速度v0向左沿水平地面运动，压缩弹簧后向右弹回，回到A点时，速度不为0.物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在小物块自A点向左运动又向右弹回A点的过程中(　　)
A．弹簧的最大弹力大于μmg
B．物块克服摩擦力做的功大于2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能大于μmgs
D．物块最开始时在A点的初速度为
AC
【解析】
物块能被弹回，所以弹簧的最大弹力大于μmg，A正确；整个过程中，物块所受的摩擦力大小恒定，摩擦力一直做负功，则物块克服摩擦力做的功等于2μmgs，B错误；对于物块向右运动的过程，设物块返回A点的速度为v，根据能量守恒定律得，弹簧的最大弹性势能 ，C正确；设物块在A点的初速度为v0，对整个过程，利用动能定理得 ，解得 ，D错误．
【答案】AC
功能关系的综合应用
4、圆弧轨道问题
该类问题主要综合应用动能定理和向心力公式求解，基本思路为：(1)选择研究过程，根据动能定理列式；(2)根据条件或求解问题选择某点列向心力公式．
分考点讲解
4 如图所示，一个可视为质点的滑块从高H＝12 m处的A点由静止沿光滑的轨道AB滑下，进入半径r＝4 m的竖直圆环，圆环内轨道与滑块间的动摩擦因数处处相同，当滑块到达圆环顶点C时，滑块对轨道的压力恰好为零，滑块继续沿CFB滑下，进入光滑轨道BD，且到达高度为h的D点时速度为零，则h的值可能为(重力加速度大小g取10 m/s2)(　　)
A．8 m　　B．9 m　　C．10 m　　D．11 m
B
【解析】
当滑块到达圆环顶点C时，滑块对轨道的压力恰好为零，则 ，滑块从A点到C点的过程，由动能定理得 ，滑块从C点到D点的过程，由动能定理得 ，根据能量守恒定律可知，在圆环左侧与右侧的任一等高处，左侧速度小于右侧速度，圆环内轨道与滑块间的动摩擦因数处处相同，根据牛顿第二定律和向心力公式知，在圆环左侧与右侧的任一等高处，在左侧所受的摩擦力小于在右侧所受的摩擦力，则Wf1>Wf2>0，联立解得8 m【答案】B
用动力学和能量观点解决多过程问题
对于用动力学和能量观点解决多过程问题，分析思路如下：
(1)受力分析与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的特点，分析各种力在不同的运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解．
分考点讲解
5 某人设计了如图所示的滑板个性滑道．斜面AB与半径R＝3 m的光滑圆弧轨道BC相切于B，圆弧对应的圆心角θ＝37°且过C点的切线水平，C点右侧连接倾角α＝30°的光滑斜面CD.一滑板爱好者连同滑板等装备(整体视为质点)总质量m＝60 kg.某次试滑中，他从斜面上的某点P由静止开始下滑，在斜面CD上的落点Q恰好离C点最远．若他在斜面AB上滑动过程中所受摩擦力Ff与距出发的位移大小x的关系满足Ff＝90x(均采用国际单位制单位)，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)P、B两点间的距离；
(2)滑板爱好者和其装备在C点对轨道的压力大小．
【解析】
【解析】
【答案】(1)4 m　(2)1 320 N
功能关系的综合应用
[辽宁朝阳2021联考](多选)如图所示，质量为m的有孔小球(可视为质点)与劲度系数为k的轻质弹簧一端用轻小铰链连接，小球穿在竖直放置的光滑圆环轨道上，弹簧另一端用轻小铰链固定在轨道最高点O处，光滑圆环轨道半径为R.弹簧原长为2R，将小球从与圆环圆心等高的A点由静止释放．当小球运动到圆环轨道最低点B时，小球与轨道间的作用力恰好为零，已知重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　)
对点强化
C．小球从A点运动到B点的过程中，重力做功的功率一直增大
D．若将质量为m的小球换为质量为2m的小球，仍从A点由静止释放小球，小球运动到B点时，小球对圆环有向下的压力
D
【答案】ABD
对点强化
用动力学和能量观点解决多过程问题
[四川泸县一中2022届月考]一长木板静止在水平地面上，在t＝0时刻，一小滑块以某一速度滑到木板上表面，经过2 s滑块和木板同时停下，滑块始终在木板上．木板运动的速度随时间变化的图像如图所示，已知木板和滑块的质量均为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
(1)木板与滑块间的动摩擦因数；
(2)滑块刚滑到木板上时的速度大小；
(3)整个过程中滑块和木板之间产生的热量．
对点强化
【解析】
(1)由题图可知，0～1 s内木板的加速度大小a1＝1 m/s2，
1～2 s内木板与滑块整体的加速度大小a2＝1 m/s2，
木板与地面间的摩擦力大小f＝2ma2＝0.2 N，
设木板与滑块间的动摩擦因数为μ，
根据牛顿第二定律可得，0～1 s内有μmg－f＝ma1，
代入数据解得μ＝0.3.
(2)滑块在滑上木板0～1 s过程中，有μmg＝ma，v0－at＝v，结合图像信息，联立可得v0＝4 m/s.
对点强化
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