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(共24张PPT)
第6章　机械能
专题26　机械能守恒定律与功能关系
必备知识
整体提升
一　弹簧弹力做功和弹性势能
二　机械能守恒定律的条件判断
三　单个物体（或系统）的机械能问题
四　功能关系的简单应用
弹簧弹力做功和弹性势能
（1）弹性势能的表达式为Ep= k , k为弹簧的劲度系数 ，x为弹簧的形变量．
（2）弹簧弹力做功，弹性势能变化，弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功， 弹性势能增加= - = -
分考点讲解
1 如图，竖立在 水平地面上的轻弹簧，下端与地面固定，将一个金属小球放置在弹簧顶端（球与 弹簧不粘连），并用力向下压球，使弹簧弹性 压缩稳定后用细线把弹簧拴牢．烧断细线，球将被弹起，脱离弹簧后能继续向上运动．那么该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的过程中（ ）
A.小球所受合力的最大值不一 定大于小球的重力值
B.小球刚脱离弹簧时的动能最大
C.在某一阶段内小球的动能减小而弹簧的弹性势能增加
D.小球脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小
D
【解析】小球被弹起后能够脱离弹簧继续向上 运动，而小球在脱离弹簧时只受到重力，则此 时加速度为g, 根据对称性，小球运动的过程关于受力平衡位置对称，说明小球向上运动的最 大加速度大于g, 因此小球在细线刚烧断时加 速度大于g,合力一定大于小球的重力值，故A错误；小球被弹起的过程中，受到弹簧的弹力慢慢减小，当弹力大小等于重力时，小球的加 速度为零，此时速度最大，动能达到最大，接着 小球向上做减速运动，故B错误；小球的动能 先增大后减小，弹簧的弹性势能一直减小，故C错误；从细线被烧断到小球脱离弹簧的过程中，弹簧压缩量一直减小，弹性势能也一直减 小，当小球脱离弹簧时，弹簧的压缩量最小，此 时弹性势能最小，故D正确．
【答案】 D
机械能守恒定律的条件判断
机械能守恒判断的三种方法
定义法：利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒。
做功法：若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为 零，则机械能守恒。
转化法：若物体或系统中只有动能和势能的相互转 化而无机械能与其他形式能的转化，则机械 能守恒。
分考点讲解
机械能守恒定律的条件判断
2. 几种需要注意的情况
（1）系统所受到的合外力为零时，系统机械能不一定守恒
如当物体做竖直向上、向下等非水平方向匀速直线运动时，所受到的合外力为零，但机械能 不守恒。
（2）系统所受到的合外力不为零，但不做功或做功为零时，系统机械能不一定守恒
例如图中，带正电的粒子在复合场（匀强电场、匀强磁场和重力 场）中，若重力 和电 场力大小 相等，洛伦兹力提供向心 力，始终不做功，粒子在竖直平面内做匀速圆周运动．粒子的动能不变， 但粒子重力势能发生变化，故机械能不守恒。
（3）一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，否则机械能必定 不守恒
分考点讲解
2 [安徽六校2021联考］如图所示，质量均为m的A、B两个小球，固定在长为2L的轻质细杆两端，在竖直平面内绕杆的中心固定轴O沿顺时针方向自由转动，不计一切摩擦某时刻A、B两球在图示位置时，线速度大小均为v. 下列说法中正确的是 （ ）
A．A球在运动过程中机械能守恒
B．B球在上升过程中速度不断减小
C．A球在运动到最低点之前，单位时间内机械能的变化最不断变化
D．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械 能的变化量保持不变
C
【解析】以A、B两球为系统，两球在运动过程 中，只有重力做功（轻杆对两球做功的和为 零），两球的机械能守恒，以过0点的水平面为 重力势能为零的参考平面，当杆处于水平位置时系统的总机械能为E= m= m假设 A球下降h,则B球上升h,此时两球的速度大小是v‘由机械能守恒定律知m = m ×2 +mgh-mgh，得到= ，故运动过程中A、B两球速度大小都不变，则B球右上升过程中机械能增加，A球的机械能减小；当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前动能保持不变，重 力势能在不断增加，且由几何知识可知，单位 时间内高度的增量不相等，则单位时间内机械 能的变化量是不断改变的，同理可知，A球在运 动到最低点之前，单位时间内机械能的变化量 也是不断变化的，则C正确，A、B、D错误
【答案】 C
单个物体（或系统）的机械能问题
1. 单个物体的机械能问题单个物体在光滑的水平面、斜面、圆轨道上运动，或做抛体 运动时，在只有重力做功情况 下，物体的机械能守恒，可以规定零势能参考平面，列等式 + = + Ep2 , 也可不规定零势能参考平面，列等式=- .
分考点讲解
3 如图，与水平面夹角=37°的斜面 和半径R=0.4m的光滑圆轨道相切于B点，且固定千竖直平面内．质量m=1kg的滑块从斜面上的 A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过 最高点 C 时轨道对滑块的弹力为零已知滑块与斜面间的动摩擦因数 ,=0. 25. g取10 mis气 sin 37°=0. 6 ,cos 37°=0. 8, 求：
(1) 滑块在C点的速度大小Ve;
(2) 滑块在B点的动能 ;
(3) A、B两点间的高度差h.
【解析】 (1)由题意可知，在C处时滑块仅在重力作用下做圆周运动， 由牛顿笫二定律有mg = m ，解得= =2 m/s 。 (2)由几何关系可知，B、C之间的高度差H =
R(1 +cos 37°) =0. 72 m,滑块由B 运动到C 的过程中只有重力做功，机械能守恒，以B 为重力势能零点，根据机械能守恒定律有 =mgH + m = m 代入数据得=9. 2 J。 (3)滑块由A 到B 的过程中，由牛顿笫二定律有mgsin 37 ° -f=ma，N = mgcos 37 ° ，f=μN，解得a=g(sin 37 °-μcos 37 °) =4 m/；设A、B 间距为L，由运动公式有=2aL，由几何关系有h=Lsin 37°，解得 h= sin 37°= 1. 38 m 。
【答案】 (1)2 m/s (2)9. 2 J (3) 1. 38 m
功能关系的简单应用
分考点讲解
不同的力做功 合外力做功（所有外力做功） 重力做功 弹簧 弹力做功 只有重力、弹簧弹力做功 除重力和弹力之外的力做功 电场力做功 一对滑动摩擦力做功
对应不同形式能量的变化 动能变化 重力势能变化 弹性势能变化 不引起机械能变化 机械能变化 电势能变化 内能变化
定量关系 合外力对物体做的功等于物体动能的变化量，＝ - 重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加；= -= - 弹力做正功，弹性势能减少； 弹力做负功，弹性势能增加。-= - 机械能守恒0 除重力和弹力之外的力做多少正功，物体的机械能就增加多少；反之，物体的机械能就减少多少W=E- 电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加，- = - 作用于系统的一对滑动摩擦力做负功，系统内能增加，Q=
4如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°,总质量为m(包括雪具在内）的滑雪运动员从距雪道底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g. 在滑雪运动员滑到底端的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.运动员较少的重力势能全部转化为动能
B.运动员获得的动能为mgh
C.运动员克服摩擦力做的功为 mgh
D.下滑过程中系统减少的机械能为mgh
D
【解析】运动员下滑的加速度大小为g < g, 根据牛顿笫二定律得根据牛顿笫二定律得mgsin 30 -f= mg, 得f= mg, 则运动员克服摩擦力做的功为= mg×= mg，故C错误；摩擦力对运动员做负功，机械能不守恒，减少的重力势能没有全部转化为动能， 有mgh转化为内能，故A错误，D正确；由能量守恒定律知，运动员获得的动能为=mgh -= mgh，故B错误
【答案】 D
弹簧弹力做功和弹性势能
(多选）如图所示，质量为m的小球套在倾斜放置的光滑直杆上，一根轻质弹簧一端固定于O点，另 一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，将小球沿杆拉到弹簧水平位置由静止释放，当小球沿杆下滑到0点正下方时，小球速度恰好为零，此时小球下降的竖直高度为h,若初始时刻弹簧处于原长且全过程均处于弹 性限度内，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A.小球的机械能守恒
B. 弹簧对小球先做正功后做负功
C. 弹簧对小球做功的功率为零的位置有4处
D. 弹簧的弹性势能增加了mgh
对点强化
CD
【解析】小球在运动过程中，弹簧弹力对小球做功，故小球的机械能不守恒，A错误；小球由静止释放到弹簧与杆垂直的过程中，弹簧是压缩的，弹力沿杆方向的分力与运动方向相反，弹簧弹力对小球做负功，B错误；小球释放时弹力为零，弹力的功率为零，弹簧与杆垂直时，弹力方向与速度方向垂直，弹力的功率为零，弹簧恢复原长时，弹力为零，弹力的功率为零，小球运动到0点正下方时，速度为零，弹力的功率为零，故弹簧对小球做功的功率为零的位置有 4处，C正确；由能量守恒定律知，弹簧的弹性势能增加了 mgh，D正确
【答案】 CD
机械能守恒定律的条件判断
下列四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中 A、B、C中的斜面是光滑的， D中的斜面是粗糙的，A、B中的F为木块所受的外力，方向如图所示，A、B、D中的木块向下运动， C中的木块向上运动，在这四个选项所示的运动过程中，机械 能守恒的是（ ）
对点强化
C
，
【解析】A中力F对木块做正功，机械能增加，故 A错误；B中力F做负功，机械能减小，故 B错误；C中斜面光滑，运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故C正确；D中斜面粗糙，木块下滑过程中，摩擦力做负功，机械能减小，故D错误
【答案】 C
单个物体（或系统）的机械能问题
（多选）如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P套在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重 物Q的质量M=6m. 把滑块P从图中A点由静止释放后将沿竖直杆上下运动，当它经过A、B 两点时弹簧弹力大小相等．已知OA与水平面的夹角0=53 ° ,0B长为L,与AB垂直，不计滑轮质量和摩擦力，重力加速度为g，sin53°= 0. 8 ,cos 53°= 0. 6. 则滑块P从A到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
滑块P与重物Q的机械能之和先增加后减少
轻绳对滑块P做的功为
对于重物Q,其重力的功率先增大后减小
滑块P运动到B点时的速度大小为
对点强化
A
【解析】O点高于d点，则从0到d的过程中小球的机械能减少，A正确；由于不计空气阻力，由功能关系知，小球从a到c的过程中克服摩擦力做功，故从a到d的过程中小球的机械能不守恒，B 错误；小球从 d 到c的过程中只有 重力做功，小球的机械能守恒，C错误；小球从d返回到b的过程中克服摩擦力做功，由能屉守恒定律知，小球的重力势能转化为小球的动能和内能，D错误
【答案】 A
功能关系的简单应用
（多选）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，质量分别为M、m的两个物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑定滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板开始时用手按住物体A,此时A到挡板的距离为s,滑轮两边的细绳恰好伸直而没有力的作用已知M=2m,空气阻力不计．松开手后，关于两个物体的运动，下列说法中正确的是（ ）
A.刚松手时， A的加速度大小为
B.当A的速度最大时B与地面间的作用为零
C.若A恰好能到达挡板处，则此时B的速度为零
D.若A恰好能到达挡板处，则此过程中重力对A做的功等于弹簧 弹性势能的增加量与B的机械能增加量之和
对点强化
ACD
【解析】对于滑块P和重物Q组成的系统，竖直杆对其不做功系统的机械能只与弹簧对滑块P的做功有关，弹簧先被压缩后被拉伸，故从A到B的过程中，弹簧对滑块P先做正功，后做负功，所以滑块P与重物Q的机械能之和先增加后减少，A正确；A、B两点处弹簧的弹力大小相同，所以 这两点处弹簧的弹性势能相等，滑块P运动到B 点时，速度方向与绳垂直，所以此时重物Q的速度为零，从 A到B过程中，对于滑块P和重物Q组成的系统，由动能定理可得6mg(-L)-mgLtan53°=m-0，解得滑块P运动到B点时的速度大小，对于滑块P, 由能量守恒定律可得W- mgLtan 53°-0 =m，, 联立解得W =4mgL,B错误，D正确；重物Q释放瞬间的速度为零，当滑块P运动到B点时，重物Q的速度也为零，所以当滑块P从A运动到B时，重物Q的速度先增加后减小，而其重力不变，则重物Q的重力的功率也为先增大后减小，c正确
【答案】 ACD
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