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人教版九年级数学同步重难点专题：切线长定理应用
如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
情景特点：PA，PB是⊙O的切线 AC是⊙O的直径
问题特点：求∠BAC的度数 求AB的长
【解答】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．
（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，
∴OP＝4，
由勾股定理得：，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴．
1．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
2．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
3．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
4．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
5．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
6．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
7．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
8．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
9．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
10．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
11．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
13．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
14．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
2．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
3．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
4．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，
∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．
5．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
【解答】解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
6．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
【解答】（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
7．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
【解答】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
8．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵BC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．
∴OF＝4.8cm．
9．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
同理可得：DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．
10．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
【解答】解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．
11．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．
【解答】解：连接OA，OP，则OA⊥PA，
根据题意可得：CA＝CE，DE＝DB，PA＝PB，
∵PC+CE＝DE+PD＝18，
∴PC+CA+DB+PD＝18，
∴PA＝×18＝9（cm），
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠APB＝30°，
在Rt△AOP中，PO＝2AO，AO＞0，
故OA2+92＝（2AO）2，
解得：OA＝3，
故⊙O的半径为：3cm．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
【解答】解：①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；
②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，
∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．
13．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴△PDE的周长为20；
（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO＝∠EBO＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°
∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．
14．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．
【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，
∴PA+PB＝m，PA PB＝m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA＝PB＝，
即 ＝m﹣1，
即m2﹣4m+4＝0，
解得：m＝2，
∴PA＝PB＝1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD＝ED，BC＝EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2

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