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第4章 指数与对数
第02讲 对数
课程标准 重难点
1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化，达到逻辑推理水平一的要求. 2.理解常用对数与自然对数，会进行相关的计算，达到数学抽象和数学运算水平一的要求. 1．理解对数的概念和运算性质2．能够进行计算1．换底公式的运用2. 对数的计算
一、对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作x＝ ，其中a叫做 ，
N叫做 .
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和0 对数．
(2)loga1＝ (a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝ (a>0，且a≠1)．
4．式子logmN中，底数m的范围是什么？
5．对数式logaN是不是loga与N的乘积？
1．对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？
(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在．
(2)若a＝0，则
①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；
②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值．
(3)若a＝1，则
①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；
②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．
因此规定a>0，且a≠1.
2．对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
二、对数的运算性质
1.若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝ ；
(2)loga＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R)．
2.在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？
三、换底公式
1．logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
3．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logMm＝logNM吗？
一、1. 以a为底N的对数 logaN 底数 真数
3.没有 0 1
4. m>0且m≠1.
5. 不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
二、1. logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM
2. 适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
三、1.
2. logab＝，logab＝.
3. logMm＝＝＝·＝logNM.
考法01 指数式对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　　
(链接教材P122例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　　(2)－2＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
【跟踪训练】将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)logx＝6；
(3)43＝64; (4)3－3＝.
考法02 对数的计算
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
(链接教材P123例2)求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
【跟踪训练】1．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________.
考法03 对数的性质
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
[母题探究]
1．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
【跟踪训练】
若6log6(5x＋1)＝36.则x＝________.
考法04 对数式的运算
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　　
(链接教材P124例3)求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【跟踪训练】已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg＝lg a－lg b；③lg2＝lg；④lg(ab)＝.其中正确的是________(填序号)．
考法05 对数换底公式的应用
利用换底公式求值的思想与注意点
　　　　
(链接教材P126练习T3)计算：
(1)log29·log34；
(2).
【跟踪训练】log23×log34×log45×log52＝________.
考法06 对数的综合应用
求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式．
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法．
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．
(链接教材P127T5)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
[母题探究]
1．(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)
2．(变条件)若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？
【跟踪训练】
已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．
题组A 基础过关练
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
4．设，则的值等于（ ）
A．10 B．13 C．100 D．
5．已知，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．已知，且，实数的值为（ ）
A．1 B．225 C．15 D．
2．若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列四个等式正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
4．计算___________.
5．若________；
6．已知，，且，则______．
7．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
8．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
题组C 培优拔尖练
1．已知正数、满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则___
3．若，，且，则的最小值为__________．
4．设，若用含的形式表示，则________.
5．求函数的最大值与最小值.
6．计算：
（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
（2）.
第4章 指数与对数
第02讲 对数 答案
课程标准 重难点
1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化，达到逻辑推理水平一的要求. 2.理解常用对数与自然对数，会进行相关的计算，达到数学抽象和数学运算水平一的要求. 1．理解对数的概念和运算性质2．能够进行计算1．换底公式的运用2. 对数的计算
一、对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作x＝ ，其中a叫做 ，
N叫做 .
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和0 对数．
(2)loga1＝ (a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝ (a>0，且a≠1)．
4．式子logmN中，底数m的范围是什么？
5．对数式logaN是不是loga与N的乘积？
1．对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？
(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在．
(2)若a＝0，则
①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；
②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值．
(3)若a＝1，则
①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；
②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．
因此规定a>0，且a≠1.
2．对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
二、对数的运算性质
1.若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝ ；
(2)loga＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R)．
2.在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？
三、换底公式
1．logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
3．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logMm＝logNM吗？
一、1. 以a为底N的对数 logaN 底数 真数
3.没有 0 1
4. m>0且m≠1.
5. 不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
二、1. logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM
2. 适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
三、1.
2. logab＝，logab＝.
3. logMm＝＝＝·＝logNM.
考法01 指数式对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　　
(链接教材P122例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　　(2)－2＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
【解析】(1)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log27＝－3，∴－3＝27.
(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.
【跟踪训练】将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)logx＝6；
(3)43＝64; (4)3－3＝.
【解析】(1)因为log216＝4，所以24＝16.
(2)因为logx＝6，所以()6＝x.
(3)因为43＝64，所以log464＝3.
(4)因为3－3＝，所以log3＝－3.
考法02 对数的计算
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
(链接教材P123例2)求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
【解析】(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.
【跟踪训练】1．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________.
【答案】27
【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.
∵logy8＝3，∴y3＝8，
∴y＝2，∴x＋y＝27.
考法03 对数的性质
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
【解析】(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
[母题探究]
1．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
【解析】由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
【跟踪训练】
若6log6(5x＋1)＝36.则x＝________.
【答案】7
【解析】由6log6(5x＋1)＝36得log6(5x＋1)＝2，
∴5x＋1＝62＝36，解得x＝7.
考法04 对数式的运算
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　　
(链接教材P124例3)求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【解析】(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
(2)lg ＝lg 100＝lg 100＝×2＝.
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
【跟踪训练】已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg＝lg a－lg b；③lg2＝lg；④lg(ab)＝.其中正确的是________(填序号)．
【答案】③
【解析】①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立．
考法05 对数换底公式的应用
利用换底公式求值的思想与注意点
　　　　
(链接教材P126练习T3)计算：
(1)log29·log34；
(2).
【解析】(1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log 9
＝×＝×＝－.
【跟踪训练】log23×log34×log45×log52＝________.
【答案】1
【解析】log23×log34×log45×log52
＝×××＝1.
考法06 对数的综合应用
求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式．
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法．
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．
(链接教材P127T5)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
【解析】因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝＝.
[母题探究]
1．(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)
【解析】因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.
2．(变条件)若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？
【解析】因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝＝＝.
【跟踪训练】
已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．
【解析】由logxm＝24得logmx＝，由logym＝40得logmy＝，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝，则logmx＋logmy＋logmz＝.
所以logmz＝－－＝，所以logzm＝60.
题组A 基础过关练
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
．故选：B．
2．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得且，
∴，当且仅当，即时取等号.
故选：A
3．设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【答案】A
【解析】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
4．设，则的值等于（ ）
A．10 B．13 C．100 D．
【答案】B
【解析】由对数的性质，得，所以，
故选：B.
5．已知，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以可知故选：C
6．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，所以，.故选：A
7．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，所以.故选：B
题组B 能力提升练
1．已知，且，实数的值为（ ）
A．1 B．225 C．15 D．
【答案】AD
【解析】由，得，．
若，则成立；
若，则即，
所以
即，得．故选AD．
2．若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【解析】A选项，若,则，说法正确；
B选项，时不满足条件，说法错误；
C选项，若，则，不一定，说法错误；
D选项，时不满足要求，说法错误；故选 ：BCD
3．下列四个等式正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则 ，故D错误.故选：AB.
4．计算___________.
【答案】0
【解析】由对数的基本性质、指对数的关系，知：.
故答案为：0.
5．若________；
【答案】12
【解析】．
故答案为：12
6．已知，，且，则______．
【答案】
【解析】因为，，
所以，，，
所以，
所以.故答案为：
7．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）设，则，所以；
（2）设，则，即，所以；
（3）；
（4）.
8．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）
（4）
．
题组C 培优拔尖练
1．已知正数、满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由，可得
，，，
，故A正确；
，，所以，，故B不正确；
，故C正确；
=，故D正确；故选:ACD
2．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则___
【答案】e4
【解析】实数，满足，，，
所以，，
即，，
所以和是方程的根，
由于方程的根唯一，
所以，所以，整理得，
所以．故答案为：
3．若，，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，
所以
，所以 ，即
所以
当且仅当，即，此时时取等号
所以最小值为
4．设，若用含的形式表示，则________.
【答案】
【解析】因为
所以两边取以5为底的对数，可得，
即，
所以，
，故填.
5．求函数的最大值与最小值.
【答案】,即时,,当,即时,.
【解析】.
∵,∴,
故当,即时,,当,即时,.
6．计算：
（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
（2）.
【解析】（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝.
（2）
＝
＝＝
＝＝
＝＝1.
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