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《对数的概念》课时同步详解
问题情境导入
改革开放以来，我国经济保持了持续高速的增长，假设2018年我国国内生产总值为x亿元，如果每年平均增长5%，那么经过多少年国内生产总值是2018年的2倍？
新课自主学习
自学导引
1.对数的概念.
如果，那么就称b是记作_______,记作_______，其中，a叫作_______，N叫作_______.
2.对数与指数的关系.
若，则_______.
3.常用对数与自然对数.
通常将以10为底的对数称为_______，对数简记为_______；以e为底的对数称为_______，正数N的自然对数简记为_______.
答案
1.以a为底N的对数 对数的底数 真数
2.b
3.常用对数 自然对数
预习测评
1.下列说法中错误的是（ ）
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫作常用对数
D.以e为底的对数叫作自然对数
2.若，则下列式子正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.设，则x的值为（ ）
A.10
B.125
C.5
D.100
4.方程的解是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
1.
答案：B
解析：
2.
答案：A
解析：
3.
答案：B
解析：.
4.
答案：A
解析：.
5.
答案：A
解析：由，得.
新知合作探究
探究点1 对数的概念
知识详解
一般地，如果，那么就称b是以a为底N的对数，记作，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
[特别提示]
规定的原因如下：对于，
（1）若，则当N为某些值时，b的值不存在，如不存在；
（2）若，则①当时，b的值不存在，如（可理解为0的多少次幂是4）不存在；
②当时，b可以是0除外的任意实数，是不唯一的，即有无数个值；
（3）若，则①当时，b的值不存在，如不存在；②当时，b可以为任意实数，是不唯一的，即有无数个值.
典例探究
例1 求下列各式中x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
解析 利用对数的定义列出关于x的不等式（组），解出x的取值范围.
答案 （1）由题意得.
（2）由题意得
即，且.
（3）由题意得
解得，且.
方法总结 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于0，对数的底数大于0且不等于1.
变式训练1 在中，要使式子有意义，x的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
点拨 由题意得解得或.
探究点2 对数式与指数式的互化
知识详解
对数式和指数式互化的方法：
.
[特别提示]
（1）与是等价的，表示三个量之间的同一种关系.可以利用其中两个量表示第三个量.
（2）已知底数与指数或已知指数与幂时，通常用指数式求幂或底数；若已知底数与幂求指数，需用对数式，所以指数式与对数式的互化在幂的运算中经常用到.
典例探究
例2 将下列对数式改写成指数式，指数式改写成对数式：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
解析 利用对数式和指数式互化的方法：改写.
答案 （1）.（2）.（3）.
（4）.（5）.（6）.
方法技巧 在对和进行互化时，要分清各字母在指数式和对数式中的位置.此外，我们应注意并不是每一个指数式都能直接改写为对数式，如不能改写成不能改写成.
变式训练2 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案 （1）.
（2），所以.
（3），于是.
（4）由，得，即，所以，所以.
探究点3 对数的性质及应用
知识详解
1.在指数式中，故零和负数没有对数.
2.设，则，即以a为底1的对数等于0.
3.设，则，即底数的对数为1.
4.对数恒等式；.
[特别提示]
（1）的作用在于能够把任意的一个正实数转化为以a为底数的指数形式.
（2）的作用在于能够把任意的一个实数转化为以a为底数的对数形式.
典例探究
例3 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）：
（3）；
（4）.
解析 根据对教的概念及性质求解，要注意对数值为0或1的特殊情况.
答案 （1）.
（2）.
（3），
.
（4）.
方法技巧 及是对数计算的两个常用性质，可以实现数1，0与对数及的互化.
变式训练3 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）；
（3）.
答案 （1）.
（2）.
（3），
.
易错易混解读
例 若，求x的值.
错解 因为，所以，即，解得或.故所求x的值为2或.
错因分析 忽略了对数的底数这一根制条件.
正解 因为，
所以即解得.
故所求x的值为2.
纠错心得 对数本身的限制条件为底数大于0且不等于1，且真数大于0，做题时不要因忽略此条件而出错，要特别注意底数含有字母的情况.
课堂快速检测
1.下列选项中，可以求对数的是（ ）
A.0
B.
C.
D.
2.若，则下列各式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若，则下列说法正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
A.①③
B.②④
C.②
D.①②③④
4.若，则的值为（ ）
A.3
B.6
C.2
D.
5.若对数存在，则x的取值范围为______.
答案
1.
答案：C
解析：根据对数的定义知，零和负数没有对数，选项A，B没有对数；又选项D没有对数；，选项C有对数.
2.
答案：A
解析：若，则.
3.
答案：C
解析：注意使成立的条件是必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的.
4.
答案：B
解析：因为，所以，所以，所以.
5.
答案：
解析：对数存在，，解得或，即x的取值范围为.
要点概括整合
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