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《对数的运算性质》课时同步详解
问题情境导入
1.指数式与对数式的互化方法是什么？
2.指数幂运算具有下列性质：
.
对数运算也有相应的性质吗？
你能从指数式与对数式的关系中发现并得到相应的对数运算性质吗？
新课自主学习
自学导引
1.对数的运算性质.
（1）_______，
（2）_______，
（3）_______，
其中.
2.对数的换底公式.
_______，其中.
特别地，_______.
答案
1.（1） （2） （3）
2. 1
预习测评
1.计算（ ）
A.
B.
C.3
D.4
2.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若，则y的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知都是大于1的正数，，且，则的值为（ ）
A.
B.60
C.
D.
5.若，则_______.
答案
1.
答案：C
解析；.
2.
答案：A
解析：.
3.
答案：B
解析：因为，又，所以.
4.
答案：B
解析：由已知得，而，故，即.
5.
答案：3
解析：由，得，所以.
新知合作探究
探究点1 对数的运算性质
知识详解
对数的运算性质：
（1），
（2），
（3），
其中.
[特别提示]
（1）在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，避免出现等形式的错误，同时应注意对数运算性质的逆用在解题中的应用.譬如在常用对数中，的运用.
（2）对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；
②“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）.
（3）对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
典例探究
例1 用表示下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析 利用对数的运算性质进行化简即可.
答案 （1）.
（2）.
（3）.
（4）.
方法总结 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对教式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必需大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积的运算.
变式训练1 计算：（1）；
（2）.
答案 （1）原式.
（2）原式
.
探究点2 对数的换底公式
知识详解
对数的换底公式：
.
[特别提示]
（1）对数的运算性质中等式的右边都是同底的对数，也就是逆用公式时，必须使对数同底，当对数的底数不相同时，这就要把它们化为同底的，利用对数的换底公式可以做到这一点.如果原式是几个对数的和，换底后，看能不能逆用性质；如果原式是几个对数的积，换底后，看能不能约分，进而化简对数式.
（2）若题目中既有指数式又有对数式，通常将它们化为同一种形式.
典例探究
例2 已知，求.
解析 先将b表示成以18为底的对数，再将利用对数的换底公式转化成以18为底的对数，代入已知条件即可.
答案 方法一：，
于是
.
方法二：，
于是
.
方法三：，
，
.
方法四：.
又.
令，则，
即，
.
.
方法总结
1.利用对数的換底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数的运算性质求解.
2.题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.
3.解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用.
变式训练2 求下列各式的值：（1）；
（2）.
答案 （1）原式.
（2）原式
.
易错易混解读
例 解方程.
错解 ，
，
解得.
错因分析 错解中，去掉对数符号后方程与原方程不等价，产生了增根，其原因是中，，而原方程中，应有需验根.
正解 ，
，解得.
经检验不符合题意，.
纠错心得 解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数.
课堂快速检测
一、选择题
1.计算的值为（ ）
A.
B.2
C.4
D.
2.若，则（ ）
A.8
B.25
C.16
D.4
3.计算（ ）
A.2
B.4
C.
D.
4.若，则（ ）
A.
B.3
C.
D.
二、填空题
5.已知，则_______.
答案
1.
答案：D
解析：.
2.
答案：B
解析：，
.
3.
答案：A
解析：.
4.
答案：A
解析：由题意得
.
同理，.
5.
答案：
解析：.
要点概括整合
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