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第四章　图形的平移与旋转
1　图形的平移
第1课时　图形的平移
知识梳理：
1.平移
在平面内,将一个图形沿某个　　　　移动一定的　　　　,图形的这种变化称为平移.
2.平移的性质
(1)由于一个图形和它经过平移所得到的图形是　　　　　　,因此平移不改变图形的　　　　和　　　　　　.
(2)一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段　　　_　　　(或在同一条直线上)且　　　　;对应线段　　　　(或在同一条直线上)且　　　　;对应角　　　　.
考点梳理：
考点一、 平移的定义
[典例1](2022龙口模拟)如图所示,在6×6的方格中有两个涂有阴影的图形M,N,图①中的图形M平移后位置如图②所示,以下对图形M的平移方法描述正确的是(　　)
A.向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度
C.向右平移1个单位长度,向下平移4个单位长度
D.向右平移2个单位长度,向下平移4个单位长度
[变式1]下列各现象:①电梯的升降;②照镜子;③钟表分针的运动;④行驶中汽车车轮的运动.其中是平移现象的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
点睛：
图形的平移包含两个要素:一是平移方向,二是平移距离.平移的判定方法:如果两个图形全等,且各组对应点所连的线段相等且平行(或在同一条直线上),那么两个图形之间可以进行平移变换.
考点二、 平移的性质
[典例2]如图所示,将△ABC沿BC方向平移至△DEF处.如果EC=2BE= 2,那么CF的长为　　　　.
[变式2]如图所示,将△ABC沿射线BC方向平移,使点B移动到点C,得到△DCE,连接AE,与DC交于点F,若△ABC的面积为6,则△ACF的面积为　　　　.
考点三、 平移作图
[典例3]如图所示,平移四边形ABCD,使点A移动到点A′,画出平移后的四边形A′B′C′D′.
[变式3]如图所示,在方格纸中,△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上.按要求画一个三角形,使它的顶点在方格的顶点上,并将
△ABC平移,使点P落在平移后的三角形内部.
点睛：
进行平移作图时,应抓住以下几点:(1)确定平移的方向和距离;(2)找出图形上的关键点;(3)过关键点作平行且相等的线段,得到对应点;(4)按原图形顺序连接对应点.
第2课时　平面直角坐标系内的平移变换与坐标变化
知识梳理：
1.平移作图的关键是找出对应点,找对应点的时候一定要明确平移的
　　　　和　　　　.
2.在平面直角坐标系中,将点(x,y)沿x轴向右(或向左)平移a(a>0)个单位长度,得到对应点的坐标是　　　　(或　　　　);在平面直角坐标系中,将点(x,y)沿y轴向上(向下)平移b(b>0)个单位长度,得到对应点的坐标是　　　　(或　　　　).
3.在平面直角坐标系中,如果把一个图形每个点的横坐标都加(或减)一个正数a,相应的图形就是把原图形向　　　　(或向　　　　)平移a个单位长度;在平面直角坐标系中,如果把一个图形每个点的纵坐标都加(或减)一个正数b,相应的图形就是把原图形向　　　_　(或向　　　　)平移b个单位长度.
考点梳理：
考点一、 平面直角坐标系内的平移与坐标变化
[典例1]如图所示,在网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.我们将小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)将△ABC先向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到△A1B1C1,画出平移后的△A1B1C1.
(2)建立适当的平面直角坐标系,使得点A的坐标为(-4,3).
(3)在(2)的条件下,直接写出点A1的坐标;△ABC内一点M的坐标为(a,b),直接写出点M平移后的对应点M′的坐标.
[变式1](2022广饶模拟)将点P(-2,-3)向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点Q,则点Q的坐标是(　　)
A.(1,-3) B.(-2,1)
C.(-5,-1) D.(-5,5)
点睛：
在平面直角坐标系中,若图形向左(或右)平移k(k>0)个单位长度,则点的横坐标减(或加)k,纵坐标不变;若图形向上(或下)平移k(k>0)个单位长度,则点的横坐标不变,纵坐标加(或减)k.口诀:右加左减,上加下减.
考点二、 平面直角坐标系内有关平移的计算
[典例2]如图所示,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上,OA=2,点B在第一象限内.标记点B的位置后,将
△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置,使A1O1经过点B,再标记点B1的位置,继续平移至△A2O2B2的位置,使A2O2经过点B1,求此时点B2的坐标.
[变式2]如图所示,线段AB两端点的坐标分别为A(-1,0),B(1,1),把线段AB平移到CD位置,若线段CD两端点的坐标分别为C(1,a),D(b, 4),则a+b的值为(　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
2　图形的旋转
第1课时　图形的旋转
知识梳理：
1.旋转
在平面内,将一个图形绕一个　　　　按某个方向转动一个　　　　,图形的这种变化称为旋转.这个定点称为　　　　　,转动的角称为　　　　.
2.旋转不改变图形的　　　　和　　　　.
3.一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离　　　　,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于　　　　;对应线段　　　　,对应角　　　　.
考点梳理：
考点一 旋转的概念与性质
[典例1]如图所示,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBP′重合.
(1)旋转中心是哪个点
(2)旋转角是多少度
(3)△BPP′是什么三角形
[变式1]下列现象:①地下水位逐年下降;②传送带的移动;③方向盘的转动;④水龙头开关的转动;⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[变式2](2021广安)如图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为(　　)
A.65° B.70° C.75° D.80°
点睛
对应点到旋转中心的距离相等,每一对对应点与旋转中心所成的角都是旋转角.
考点二 旋转作图
[典例2]如图所示,已知△ABC绕点O顺时针旋转后,顶点A的对应点为点A′,试画出旋转后的△A′B′C′.
[变式3](苏州)如图所示,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B,则下列四个图形中正确的是(　　)
A B C D
点睛：
旋转作图的一般步骤:
(1)确定原图形的关键点;
(2)旋转各个关键点,得到对应点;
(3)按与原图形同样的顺序连接得到的对应点.网格中的旋转作图,旋转角度一般为90°或180°.网格中的旋转作图仍遵循旋转作图的一般步骤,不同的是由于以网格为背景,图形中的关键点的位置一般在格点上,旋转90°或180°后得到的图形的关键点也在格点上.若旋转90°,每对对应点与旋转中心的连线互相垂直,长度相等.若旋转180°,对应线段互相平行或在同一条直线上,对应点的连线被旋转中心平分.
第2课时　与旋转有关的计算与证明
知识梳理：
旋转的性质
(1)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的夹角都是　　　　.
(2)对应点到旋转中心的距离　　　　　,对应角　　　　,对应线段　　　　.
考点梳理：
考点一、 利用旋转分析图案的形成过程
[典例1]如图所示的图案可以看作由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的
[变式1]如图所示的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度不可能是(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.180°
点睛：
若旋转前后共n个基本图形围成一个圆周,则该图形由一个基本图形旋转(n-1)次得到,旋转角度分别为的1倍,2倍,…,(n-1)倍.
考点二、 利用旋转的性质进行计算与证明
[典例2](通辽)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(OA① ②
(1)如图①所示,连接AM,BN,求证:AM=BN;
(2)将△MON绕点O顺时针旋转,如图②所示,当点M恰好在AB边上时,求证:AM　2+BM　2=2OM　2.
[变式2]（淄博期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°, D,E分别为AB,AC上的点,且DE∥BC.△ADE绕点A逆时针旋转至点B,A,E在同一条直线上,连接BD,EC.下列结论:①△ADE 的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的有　　　　.
[变式3](牡丹江)如图所示,△AOB中,OA=4,OB=6,AB=2,将
△AOB绕原点O旋转90°,求旋转后点A的对应点A′的坐标.
3　中心对称
知识梳理：
1.中心对称
在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转　　　　后,能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成　　　　　,这个点叫做　　　　　.两个图形上,经过旋转180°后重合的两个点叫做　　　　　　.
2.成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过　　　　　,并且被对称中心　　　;成中心对称的两个图形全等,对应线段　　　,对应角　　　.
3.中心对称图形
在平面内,把一个图形绕某个点旋转　　　,如果旋转前后的图形互相　　　　,那么这个图形叫做中心对称图形.
4.中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心　　　　.
考点梳理：
考点一 中心对称
[典例1]已知△ABC和点O,如图所示.
求作:△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称.
[变式1]如图所示,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是(　　)
A.OC=OC′ B.OA=OA′
C.BC=B′C′ D.∠ABC=∠A′C′B′
[变式2]如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,若把△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°得到△CFE,则CF与BD的数量关系与位置关系是　　　　　　　　.
考点二 中心对称图形
[典例2](鞍山)下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案,其中标识图案是中心对称图形的是(　　)
厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 有害垃圾
　 A B C D
[变式3]下列生态环保标志中,是中心对称图形的是(　　)
A B C D
考点三、 中心对称图形的性质
[典例3]如图所示,已知四边形ABCD是中心对称图形,E,F是对角线BD上的两点,且DE=BF.求证:(1)△ADE≌△CBF;
(2)AE∥CF.
4　图形变化的简单应用
知识梳理：
1.图形变化的主要形式有　　　　、　　　　、　　　　.
2.作轴对称图形找对应点时,主要根据对应点连线被对称轴　　　　.
3.平移图形主要把握两点
一是平移的　　　　,二是平移的　　　　　.
4.旋转作图必须确定　　　　　、　　　　　、　　　　　.
考点梳理：
考点一、 分析图案的形成过程
[典例1]如图所示是小亮运用图形变化设计地板砖图案的形成过程,由图①是如何得到图②的 由图②是如何得到图③的
[变式1](江宁月考)下列四个图案中,运用了图形的平移进行图案设计的是(　　)
A B C D
考点二、 简单的图案设计
[典例2]请你在右图中以左图为基本图案,借助对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案.(要求至少含有两种图形变换)
[变式2]请你利用如图所示的筝形,结合平移、旋转、对称的知识设计一幅既是中心对称图形也是轴对称图形的图案.(要求图案中至少含有两种图形变换)
点睛
图案设计的三个步骤:
(1)选择基本图案;
(2)制定设计思路;
(3)利用图形变换或图形变换组合作图.
答案：
第四章　图形的平移与旋转
1　图形的平移
第1课时　图形的平移
知识梳理：
1.方向　距离
2.(1)全等形　形状　大小
(2)平行　相等　平行　相等　相等
考点梳理：
[典例1] B　
[变式1] A
[典例2] 1
[变式2] 3　解析:∵将△ABC沿射线BC方向平移,使点B移动到点C,得到△DCE,
∴BC=CE,AC=DE,AC∥DE.
∵△ACE和△ABC底边和高都相等,
∴△ACE的面积等于△ABC的面积.
∵AC∥DE,
∴∠ACF=∠EDF.
在△AFC和△EFD中,
∴△AFC≌△EFD(AAS),∴AF=FE,
∴△ACF的面积等于△ACE面积的一半.
又∵△ABC的面积为6,∴△ACF的面积为3.
故答案为3.
[典例3] 解:平移后的四边形A′B′C′D′如图所示.
[变式3] 解:如图所示.(画出其中一个即可)
第2课时　平面直角坐标系内的
平移变换与坐标变化
知识梳理：
1.方向　距离
2.(x+a,y)　(x-a,y)　(x,y+b)　(x,y-b)
3.右　左　上　下
考点梳理：
[典例1] 解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所作.
(2)建立平面直角坐标系如图所示.
(3)点A1的坐标为(2,6),
点M′的坐标为(a+6,b+3).
[变式1] C
[典例2] 解:如图所示,过点B作BP⊥y轴于点P.
∵△ABO是等腰直角三角形,OA=2,
∴AP=OP=1,∠AOB=45°,
∴△BPO是等腰直角三角形,
∴BP=PO=1,∴点B的坐标为(1,1).
同理,得点B1的坐标为(2,1),
∴点B2的坐标为(3,1).
[变式2] B
2　图形的旋转
第1课时　图形的旋转
知识梳理：
1.定点　角度　旋转中心　旋转角
2.形状　大小　3.相等　旋转角　相等　相等
考点梳理：
[典例1] 解:(1)旋转中心是点B.
(2)旋转角是60°.
(3)由旋转,知BP=BP′.
又∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,∴∠PBP′=60°,
∴△BPP′是等边三角形.
[变式1] C　
[变式2] C
[典例2] 解:如图所示.
(1)连接AO,A′O.
(2)以O为顶点,以OB为一边在OB右侧作∠BOB′=∠AOA′,使OB′=OB,得到点B的对应点B′.
(3)同理,作点C的对应点C′.
(4)顺次连接A′,B′,C′,A′,△A′B′C′即为所要求作的三角形.
[变式3] C
第2课时　与旋转有关的计算与证明
知识梳理：
(1)旋转角
(2)相等　相等　相等
考点梳理：
[典例1] 解:以整个图案的五分之一为“基本图案”,以正五边形的中心为旋转中心,通过连续四次旋转而形成,旋转角度分别等于72°,144°,216°,288°.
[变式1] A
[典例2] 证明:(1)∵∠AOB=∠MON=90°,
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON,
即∠AOM=∠BON.
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,
∴OA=OB,OM=ON,
∴△AOM≌△BON(SAS),∴AM=BN.
(2)连接BN,如图所示.
∵∠AOB=∠MON=90°,
∴∠AOB-∠BOM=∠MON-∠BOM,
即∠AOM=∠BON.
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,
∴OA=OB,OM=ON,
∴△AOM≌△BON(SAS),
∴∠MAO=∠NBO=45°,AM=BN,
∴∠MBN=90°,∴MB2+BN2=MN2.
∵△MON是等腰直角三角形,∴MN2=2ON2,
∴AM　2+BM　2=2OM　2.
[变式2] ②③④
[变式3] 解:如图所示,过点A作AH⊥OB于点H.
设OH=m,则BH=6-m.
∵AH2=OA2-OH2=AB2-BH2,
∴42-m2=(2)2-(6-m)2,
∴m=2,
∴AH==2,
∴A(2,2).
若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°,则旋转后点A的对应点A′的坐标为(2,-2);
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°,则旋转后点A的对应点A′的坐标为(-2,2).
3　中心对称
知识梳理：
1.180°　中心对称　对称中心　对应点
2.对称中心　平分　相等　相等
3.180°　重合　
4.平分
考点梳理：
[典例1] 解:作法如图所示.
(1)连接AO并延长到点A′,使OA′=AO,则点A′为点A的对称点.同理,作点B,C的对称点B′,C′.
(2)顺次连接A′,B′,C′,A′.
△A′B′C′就是所求作的三角形.
[变式1] D　
[变式2] CF=BD,CF∥BD
[典例2] D　
[变式3] B
[典例3] 证明:(1)∵四边形ABCD是中心对称图形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△DBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵△ADE≌△CBF,
∴∠AED=∠CFB,
∴180°-∠AED=180°-∠CFB,
即∠AEF=∠CFE,
∴AE∥CF.
4　图形变化的简单应用
知识梳理：
1.平移　旋转　轴对称　2.垂直平分
3.方向　距离　4.旋转中心　旋转方向　旋转角
考点梳理：
[典例1] 解:由题图①通过轴对称或中心对称或旋转得到题图②,再由题图②通过旋转得到题图③.(答案不唯一)
[变式1] D
[典例2] 解:答案不唯一,如图所示.
[变式2] 解:如图所示.(答案不唯一)
[变式3] 解:(1)将题图③补充完整如图所示.
(2)设计图形如图所示.(答案不唯一)
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