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培优点3　导数中函数的构造问题
【要点提炼】
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
【典例】1　(1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________________．
(2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________．
【典例】2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1A．f(x2)>f(x1)
B．f(x2)< f(x1)
C．f(x2)＝f(x1)
D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定
(2)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)A.f >f B．f(1)<2f sin 1
C.f >f D.f 【方法总结】
(1)构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式．
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式．
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式．
1．(2020·广东韶关调研)已知f(x)为R上的可导函数，且 x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是(　　)
A．f(2 021)>e2 021f(0)
B．f(2 021)C．f(2 021)＝e2 021f(0)
D．f(2 021)与e2 021f(0)的大小关系无法确定
2．已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足＋x<1，则下列结论正确的是(　　)
A．对于任意x∈R，f(x)<0
B．对于任意x∈R，f(x)>0
C．当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)<0
D．当且仅当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0
3．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________________________．
4．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 020)2f(x＋2 020)－4f(－2)>0的解集为________．
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培优点3　导数中函数的构造问题
【要点提炼】
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
【典例】1　(1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________________．
【答案】　(－∞，－4)∪(0,4)
【解析】　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．
(2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________．
【答案】　(－1,0)∪(0,1)
【解析】　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝为偶函数，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
【典例】2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1A．f(x2)>f(x1)
B．f(x2)< f(x1)
C．f(x2)＝f(x1)
D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定
【答案】　A
【解析】　设g(x)＝，
则g′(x)＝＝.
由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，
当x1所以f(x2)> f(x1)．
(2)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)A.f >f B．f(1)<2f sin 1
C.f >f D.f 【答案】　D
【解析】　构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝，
由已知可得，当x∈时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
∴g∴f 【方法总结】
(1)构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式．
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式．
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式．
1．(2020·广东韶关调研)已知f(x)为R上的可导函数，且 x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是(　　)
A．f(2 021)>e2 021f(0)
B．f(2 021)C．f(2 021)＝e2 021f(0)
D．f(2 021)与e2 021f(0)的大小关系无法确定
【答案】　B
【解析】　令函数g(x)＝，则g′(x)＝.
∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，
即函数g(x)在R上单调递减，
∴g(2 021)∴f(2 021)2．已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足＋x<1，则下列结论正确的是(　　)
A．对于任意x∈R，f(x)<0
B．对于任意x∈R，f(x)>0
C．当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)<0
D．当且仅当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0
【答案】　B
【解析】　因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以f′(x)<0.因为＋x<1，所以f(x)＋xf′(x)>f′(x)，
所以f(x)＋(x－1)f′(x)>0，构造函数g(x)＝(x－1)·f(x)，则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝(1－1)f(1)＝0，所以当x<1时，g(x)<0，所以f(x)>0；当x>1时，g(x)>0，所以f(x)>0.因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(1)>0.综上，对于任意x∈R，f(x)>0，故选B.
3．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________________________．
【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增，∵f(x)为偶函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增，根据f(1)＝0可得F(1)＝0.根据函数图象(图略)可知f(x)>0的解集为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
4．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 020)2f(x＋2 020)－4f(－2)>0的解集为________．
【答案】　(－∞，－2 022)
【解析】　由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0，得2xf(x)＋x2·f′(x)2 020)，F(－2)＝4f(－2)，所以F(2 020＋x)－F(－2)>0，
即F(2 020＋x)>F(－2)．
又F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以2 020＋x<－2，即x<－2 022.
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