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福建省厦门市思明区双十中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．计算2﹣1的结果是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．1
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，十堰市张湾区积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≠4 D．x≠0
4．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
5．六边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
6．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
7．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（　　）小时．
A． B． C． D．
8．若（x﹣1）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
9．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（　　）
A．108° B．120° C．126° D．132°
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，4），点M（m，0）（m＞0），N（0，n），且满足AM＝AN．若△MON的面积为，则m2+n2的值不可能为（　　）
A．18 B．46 C．82 D．55
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．计算：（1）a2 a3＝　 　；（2）（2a）2＝　 　．
12．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝　 　．
14．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　 　．
15．已知非零实数x，y满足y＝．则的值等于 　 　．
16．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长为 　 　．
三、解答题（共86分）
17．（12分）计算：
（1）2a2 （3a2﹣5b）；
（2）（3x﹣4y）（x+2y）．
18．（8分）先化简：，再从1，﹣1，2，﹣2中选一个合适的x值代入求值．
19．（8分）命题：如图，已知AC∥EF，AC＝FE，A、D、B、F共线，______，那么△ABC≌△FDE．
（1）从①AB＝FD和②BC＝DE两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为 　 　（填序号）；
（2）根据你选择的条件，判定△ABC≌△FDE的方法是 　 　；
（3）根据你选择的条件，完成△ABC≌△FDE的证明．
20．（8分）如图，AD∥BC．
（1）尺规作图：作∠BAD的角平分线AP，交BC于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：△ABP是等腰三角形．
21．（8分）已知将边长分别为a和2b（a＞b＞0）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞EFGH，经测量得长方形的面积为120，正方形EFGH的边长为7．求a2+b2和a2﹣b2的值．
22．（10分）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
（1）若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；
（2）记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
23．（8分）阅读下面材料：小颖这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形，类比这一特性，小颖发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式，她还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是小颖把mn和m+n称为基本神奇对称式，请根据以上材料解决下列问题：
（1）①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+xz中，属于神奇对称式的是 　 　（填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式＝　 　；
②若q＝，求神奇对称式m2+n2+的最小值．
24．（10分）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝　 　；
（2）如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为 　 　．（用含m，n的式子表示）
25．（14分）平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴，点B（b，0）在x轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且BD交y轴于点E．
（1）在图中，补全图形，并填空：
①若点C（2，3），则点D的坐标是 　 　；
②若∠CAD＝140°，则∠BEO＝　 　°．
（2）如图，若|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0，求证：AD垂直平分BC；
（3）若a＞b时，探究OE，AE，DE的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．计算2﹣1的结果是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．1
【分析】根据负指数次幂的计算方法进行计算即可．
【解答】解：2﹣1＝＝，
故选：C．
【点评】考查负指数次幂的计算方法，掌握负指数次幂的计算方法是正确计算的前提．
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，十堰市张湾区积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
3．分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≠4 D．x≠0
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣4≠0，
解得x≠4，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
4．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
5．六边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2） 180°即可解决问题．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题需利用多边形的内角和公式解决问题．
6．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2
【分析】根据三角形的内角和公式分别求得各角的度数，从而判断其形状．
【解答】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；
B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；
C、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：45°，60°，75°，所以不是直角三角形；
D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求出三个内角的度数后判断．
7．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（　　）小时．
A． B． C． D．
【分析】根据路程、速度、时间之间的关系式得出从A城到B城可少用的时间即可．
【解答】解：A、B两地的距离：60t千米，
从A到B的速度是：（60+v）千米/小时，则
A城到B城需要的时间是：小时．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，注意路程、速度、时间之间的关系式：时间＝．
8．若（x﹣1）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+2x﹣3＝x2+ax+b，
则a＝2，b＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（　　）
A．108° B．120° C．126° D．132°
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，4），点M（m，0）（m＞0），N（0，n），且满足AM＝AN．若△MON的面积为，则m2+n2的值不可能为（　　）
A．18 B．46 C．82 D．55
【分析】分三种情况：如图1，如图2，如图3，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，推出四边形ABOD是矩形，求得AD＝AB＝4，根据全等三角形的性质得到BM＝DN，求得BM＝4﹣m，DN＝n﹣4，得到m+n＝8，根据三角形的面积得到mn＝9，于是得到结论．
【解答】解：如图，
过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，
∴∠ADO＝∠ABO＝∠BOD＝90°，
∴四边形ABOD是矩形，
∵点A（4，4），
∴AD＝AB＝4，
∴四边形ABOD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
在Rt△ADN和Rt△ABM中，
，
∴Rt△ADN≌Rt△ABM（HL），
∴BM＝DN，
∵点M（m，0），N（0，n），
∴BM＝4﹣m，DN＝n﹣4，
∴4﹣m＝n﹣4，
即m+n＝8，
∵△MON的面积为，
∴mn＝9，
∴m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝82﹣2×9
＝46；
如图2，
同理，BM＝4﹣m，DN＝4﹣n，
∴m＝n，
∵△MON的面积为，
∴m n＝m2＝，
∴m＝n＝3，
∴m2+n2＝18，
如图3，
同理，BM＝m﹣4，DN＝4﹣n，
∴m+n＝8，mn＝﹣9
∵△MON的面积为，
∴﹣mn＝，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝82，
∴m2+n2＝82，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及关于直线对称的性质等知识，熟练应用完全平方公式是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．计算：（1）a2 a3＝　a5　；（2）（2a）2＝　4a2　．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）a2 a3＝a5，
（2）（2a）2＝4a2，
故答案为：a5，4a2．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
12．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 　7×10﹣9　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝　50°　．
【分析】利用三角形的内角和，以及等边对等角来解决即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
14．如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　17　．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△EFC，可得BC＝CF＝8，AC＝CE，即可求解．
【解答】解：在△ABC和△EFC中，
，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
∴BC＝CF＝8，AC＝CE，
∵BE＝BC+CE＝25，
∴CE＝25﹣8＝17，
∴AC＝CE＝17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．已知非零实数x，y满足y＝．则的值等于 　5　．
【分析】先根据已知条件求出x﹣y＝2xy，然后再代入式子中进行计算即可．
【解答】解：∵y＝，
∴2xy+y＝x，
∴x﹣y＝2xy，
∴
＝
＝
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的值，根据已知条件求出x﹣y＝2xy是解题的关键．
16．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长为 　9　．
【分析】连接AC交BD于点O，用x分别表示出AE、BD，根据等边三角形的性质求出OD、OB，证明△AOF∽△COD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵3BD＝5AE，
∴＝，
设BD＝5x，则AE＝3x，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝BD＝5x，∠DCB＝∠DBC＝60°，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD＝x，
∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD＝60°，
∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF＝6，
∴OF＝OB﹣BF＝x﹣6，AF＝AE﹣EF＝3x﹣6，
∵AF∥CD，
∴△AOF∽△COD，
∴＝，即＝，
解得：x＝3，
∴AE＝3x＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（12分）计算：
（1）2a2 （3a2﹣5b）；
（2）（3x﹣4y）（x+2y）．
【分析】（1）原式去括号化简；
（2）先去小括号，再合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝6a4﹣10a2b；
（2）原式＝3x2+6xy﹣4xy﹣8y2
＝3x2+2xy﹣8y2．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则是解题关键．
18．（8分）先化简：，再从1，﹣1，2，﹣2中选一个合适的x值代入求值．
【分析】先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝，
∵x+2≠0，且（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠﹣2且x≠±1，
当x＝2时，
原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
19．（8分）命题：如图，已知AC∥EF，AC＝FE，A、D、B、F共线，______，那么△ABC≌△FDE．
（1）从①AB＝FD和②BC＝DE两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为 　①　（填序号）；
（2）根据你选择的条件，判定△ABC≌△FDE的方法是 　SAS　；
（3）根据你选择的条件，完成△ABC≌△FDE的证明．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法可得出答案；
（2）根据全等三角形的判定方法可得出答案；
（3）由平行线的性质得出∠A＝∠F，根据SAS可证明△ABC≌△FDE．
【解答】解：（1）若选择条件BC＝DE，不能判定△ABC≌△FDE；
若选择条件AB＝FD，根据SAS可判定△ABC≌△FDE；
故答案为：①；
（2）由全等三角形的判定方法可得出判定△ABC≌△FDE的方法是SAS，
故答案为：SAS；
（3）证明：∵AC∥FE，
∴∠A＝∠F，
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明△ABC≌△FDE是解题的关键．
20．（8分）如图，AD∥BC．
（1）尺规作图：作∠BAD的角平分线AP，交BC于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：△ABP是等腰三角形．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAD的平分线即可；
（2）先利用角平分线的性质得到∠BAP＝∠DAP，再根据平行线的性质得到∠DAP＝∠BPA，则∠BAP＝∠BPA，从而可判断△ABP是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，AP为所作；
（2）证明：∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠BPA，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴BA＝BP，
∴△ABP是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定．
21．（8分）已知将边长分别为a和2b（a＞b＞0）的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图1，再用这四个三角形拼成如图2所示的正方形，中间形成一个正方形的空洞EFGH，经测量得长方形的面积为120，正方形EFGH的边长为7．求a2+b2和a2﹣b2的值．
【分析】根据勾股定理，长方形的面积为120，正方形的面积计算方法，列出关于a、b的关系式，然后求解．
【解答】解：根据题意得：a×2b＝120，（a﹣b）2＝72，
∴a2+b2﹣2ab＝49，
∴a2+b2＝169，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝49+240＝289，
∴a+b＝17，（a＞b＞0），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝17×7＝119．
【点评】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．解答该题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系．
22．（10分）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
（1）若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；
（2）记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
【分析】（1）设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，则顺流速度为（x+5）千米/时，逆流速度为（x﹣5），列分式方程即可求解；
（2）设轮船在静水中的速度为v千米/时，由题意知t1＝，t2＝，比较t1﹣t2的大小即可．
【解答】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，则顺流速度为（x+5）千米/时，逆流速度为（x﹣5），
根据题意得：，
解得x＝25，
经检验x＝25是原方程的解，
答：该轮船在静水中的航行速度为25千米/时；
（2）解：t1＞t2，理由如下：
设轮船在静水中的航行速度为v千米/时，
根据题意得：t1＝，t2＝，
t1﹣t2＝﹣，
＝[v（v﹣5）+v（v+5）﹣2（v+5）（v﹣5）]
＝×50＞0，
∴t1﹣t2＞0，
即t1＞t2．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．
23．（8分）阅读下面材料：小颖这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形，类比这一特性，小颖发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式，她还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是小颖把mn和m+n称为基本神奇对称式，请根据以上材料解决下列问题：
（1）①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+xz中，属于神奇对称式的是 　①④　（填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式＝　﹣　；
②若q＝，求神奇对称式m2+n2+的最小值．
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）①由题意可知m+n＝3，mn＝﹣2，则＝＝﹣；
②由题意可得nm＝，再由m2+n2+＝[（m+n）+2]2﹣，所以当m+n＝﹣2时，m2+n2+的最小值为﹣．
【解答】解：（1）①交换m、n后为，
∴是神奇对称式；
②m2﹣n2交换m、n后为n2﹣m2，
∴m2﹣n2不是神奇对称式；
③交换m、n后为，
∴不是神奇对称式；
④xy+yz+xz交换x、y后是xy+yz+xz，交换x、z后是xy+yz+xz，交换y、z后是xy+yz+xz，
∴xy+yz+xz是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p，mn＝q；
①∵p＝3，q＝﹣2，
∴m+n＝3，mn＝﹣2，
∴＝＝﹣，
故答案为：﹣；
②∵q＝，
∴nm＝，
∵m2+n2+
＝（m+n）2﹣2mn+
＝（m+n）2﹣+4（m+n）
＝[（m+n）+2]2﹣，
∴当m+n＝﹣2时，m2+n2+的最小值为﹣．
【点评】本题考查分式的化简，多项式乘多项式，理解定义，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，能对式子灵活变形是解题的关键．
24．（10分）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝　3　；
（2）如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为 　　．（用含m，n的式子表示）
【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△AFE，可得AB＝AF＝4，可求解；
（2）由“ASA”可证△AGC≌△AGH，可得CG＝GH，S△ACG＝S△AGH，由面积的和差关系可求解；
（3）由“SAS”可证△ABD≌△AED，可得BD＝DE，∠B＝∠AED，可证BD＝DE＝EC＝n﹣m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB＝AF＝4，
∴CF＝AC﹣AF＝7﹣4＝3，
故答案为：3；
（2）如图2，延长AB，CG交于点H，
∵∠BAG＝∠CAG，AG＝AG，∠AGC＝∠AGH＝90°，
∴△AGC≌△AGH（ASA），
∴CG＝GH，S△ACG＝S△AGH，
∴S△BHG＝S△BGC，
∵S△ABG＝S△AGH﹣S△BHG＝6，
∴S△ABC＝S△AGC+S△AGH﹣S△BGH﹣S△BGC＝2（S△AGH﹣S△BHG）＝12；
（3）如图3，在AC上截取AE＝AB＝m，连接DE，
∵AB＝AE＝m，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝DE，∠B＝∠AED，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
∵∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝DE＝EC＝n﹣m，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴CD＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．（14分）平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴，点B（b，0）在x轴正半轴，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，点C关于y轴的对称点为点D，连接AD，BD，且BD交y轴于点E．
（1）在图中，补全图形，并填空：
①若点C（2，3），则点D的坐标是 　（﹣2，3）　；
②若∠CAD＝140°，则∠BEO＝　60　°．
（2）如图，若|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0，求证：AD垂直平分BC；
（3）若a＞b时，探究OE，AE，DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）①由关于y轴对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解；
②求出∠BDC＝30°，再由CD∥x轴，求出∠DBO＝30°，即可求∠BEO＝60°；
（2）延长DA交BC于点G，由题意求出∠AOB＝45°，在求出∠DCA＝∠CDA＝15°，∠DCG＝75°，则有∠CGD＝90°，由△ABC是等边三角形，可得G是BC的中点，则可证明AD垂直平分BC；
（3）在DE上截取EF＝AE，作E点关于x轴的对称点E'，连接BE'，设∠DCA＝α，则∠CDA＝α，可求∠AED＝60°，则△AEF是等边三角形，△BEE'是等边三角形，证明△DAE≌△BAF（SAS），得到DE＝BF，则有BF＝EF+BE＝AE+EE'＝AE+2OE，即DE＝2OE+AE．
【解答】解：（1）如图1：
①∵点C（2，3），点C关于y轴的对称点为点D，
∴D（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）；
②由对称性可知，AC＝DA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，
∴AD＝AB，
∵∠CAD＝140°，
∴∠ADC＝∠ACD＝20°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDC＝30°，
∵CD∥x轴，
∴∠DBO＝30°，
∴∠BEO＝60°，
故答案为：60；
（2）如图2，延长DA交BC于点G，
∵|a﹣3|+b2﹣6b+9＝0，
∴|a﹣3|+（b﹣3）2＝0，
∴a＝3，b＝3，
∴A（0，3），B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∴∠AOB＝45°，
∴∠DAC＝2（180°﹣45°﹣60°）＝150°，
∵AD＝AC，
∴∠DCA＝∠CDA＝15°，
∴∠DCG＝60°+15°＝75°，
∴∠CGD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，
∴DG⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴G是BC的中点，
∴AD垂直平分BC；
（3）DE＝2OE+AE，理由如下：
由a＞b，如图3，在DE上截取EF＝AE，作E点关于x轴的对称点E'，连接BE'，
设∠DCA＝α，则∠CDA＝α，
∴∠ADB＝30°﹣α，
∴∠BDC＝30°，
∴∠AED＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵∠BEE'＝60°，BE＝BE'，
∴△BEE'是等边三角形，
∴∠DAE＝∠FAB，
∵AD＝AB，AF＝AE，
∴△DAE≌△BAF（SAS），
∴DE＝BF，
∵BF＝EF+BE＝AE+EE'＝AE+2OE，
∴DE＝2OE+AE．
【点评】本题是几何变换的综合题，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，截长补短法的应用是解题的关键．

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