资源简介

第5章 函数概念与性质
第01讲 函数的概念和图象
课程标准 重难点
1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.了解构成函数的要素；4.能求简单函数的定义域和值域. 1函数定义域的求法2.函数的值域的求法
一、函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
1.f(x)与f(a)有何区别与联系？
2.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
【特别提醒】理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
二、区间
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
三、同一个函数
1.前提条件：①定义域 ；②对应关系 .
2.结论：这两个函数为同一个函数.
3.区间与集合有什么联系？
4.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？
一、实数集 任意一个数x 唯一 x
1. f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值.
2. 确定，一一对应.
二、
三、1.相同 相同
3. 区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.
4. 不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
考法01 函数关系的判断
根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
（1）（多选题）下列对应关系式中是A到B的函数的是(　　)
A．A R，B R，x2＋y2＝1 B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2 x－1
（2）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【名师指点】判断一个对应关系是否为函数的方法
【跟踪训练】（多选题）判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（ ）
A.A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
B.A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
C.A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
D.A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
考法02 求函数值
求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
【跟踪训练】f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则f(2)＝________；g(f(2))＝________；
g(a)＋g(0)(a≠－2)＝________.
考法03 求定义域
求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝.
考法04 区间的应用
用区间表示数集的方法：
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；(2){x|x＝0或1≤x≤5}；(3){x|x＝3或4≤x≤8}；
(4){x|2≤x≤8且x≠5}；(5){x|3【跟踪训练】用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
考法05 同一个函数
判断两个函数为同一函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
下列各组函数是同一函数的是(　　)
A.f(x)＝与g(x)＝x B.f(x)＝x与g(x)＝
C.f(x)＝x0与g(x)＝ D.f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
【跟踪训练】下列各组函数为同一函数的是(　　)
A.f(x)＝x，g(x)＝ B.f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C.f(x)＝，g(x)＝ D.f(x)＝，g(x)＝x－3
考法06 函数的值域
求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝
【跟踪训练】求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝2－.
题组A 基础过关练
1．若函数的定义域是则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在上的函数满足：，，，且，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．下列选项中，可表示为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
7．若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函数，的“孪生函数”个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
题组B 能力提升练
1．（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，是函数图像的是（ ）
A． B．C． D．
3．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
4．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域是_________．
6．函数的定义域________．
7．（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
8．已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.
题组C 培优拔尖练
1．对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是
A．函数是闭函数
B．函数是闭函数
C．函数是闭函数
D．时,函数是闭函数
E.时,函数是闭函数
2．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.
3．已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________.
4．给出以下四个命题：
①若集合，，，则，；
②若函数的定义域为，则函数的定义域为；
③函数的单调递减区间是；
④若，且，.
其中正确的命题有__________（写出所有正确命题的序号）．
5．已知函数．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（a为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数a及恒成立，求实数m的取值范围．
6．已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.
第5章 函数概念与性质
第01讲 函数的概念和图象答案
课程标准 重难点
1.学会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.了解构成函数的要素；4.能求简单函数的定义域和值域. 1函数定义域的求法2.函数的值域的求法
一、函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
1.f(x)与f(a)有何区别与联系？
2.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
【特别提醒】理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
二、区间
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
三、同一个函数
1.前提条件：①定义域 ；②对应关系 .
2.结论：这两个函数为同一个函数.
3.区间与集合有什么联系？
4.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？
一、实数集 任意一个数x 唯一 x
1. f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值.
2. 确定，一一对应.
二、
三、1.相同 相同
3. 区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.
4. 不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
考法01 函数关系的判断
根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
（1）（多选题）下列对应关系式中是A到B的函数的是(　　)
A．A R，B R，x2＋y2＝1 B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2 x－1
【答案】BD
【解析】对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，符合函数的定义．
（2）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3?N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
【名师指点】判断一个对应关系是否为函数的方法
【跟踪训练】（多选题）判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（ ）
A.A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
B.A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
C.A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
D.A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
【答案】BC
【解析】A中，对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
B中，对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
C中，对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
D中，集合A不是数集，故不是函数．
考法02 求函数值
求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
(2)已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
【解析】(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
【跟踪训练】f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则f(2)＝________；g(f(2))＝________；
g(a)＋g(0)(a≠－2)＝________.
【答案】10 　 　＋
【解析】因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，
又因为g(x)＝，所以g(f(2))＝g(10)＝＝，
g(a)＋g(0)＝＋(a≠2)．
考法03 求定义域
求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝.
【解析】 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤1且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
考法04 区间的应用
用区间表示数集的方法：
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；(2){x|x＝0或1≤x≤5}；(3){x|x＝3或4≤x≤8}；
(4){x|2≤x≤8且x≠5}；(5){x|3【解析】(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①.
(2){x|x＝0或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②.
(3){x|x＝3或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③.
(4){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④.
(5){x|3图⑤
【跟踪训练】用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
【答案】(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]　(3)(－1,2)∪(2，＋∞)
考法05 同一个函数
判断两个函数为同一函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
下列各组函数是同一函数的是(　　)
A.f(x)＝与g(x)＝x B.f(x)＝x与g(x)＝
C.f(x)＝x0与g(x)＝ D.f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
【答案】CD
【解析】A.f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
B.g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
C.f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
D.f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是CD.
【跟踪训练】下列各组函数为同一函数的是(　　)
A.f(x)＝x，g(x)＝ B.f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C.f(x)＝，g(x)＝ D.f(x)＝，g(x)＝x－3
【答案】C
【解析】A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C.
考法06 函数的值域
求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝
【解析】(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
【跟踪训练】求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝2－.
【解析】(1)y＝＝＝5＋，且≠0，∴y≠5，∴函数的值域是{y|y≠5}.
(2)y＝2－＝2－，
∵0≤≤＝2，所以y＝2－的值域为[0，2].
题组A 基础过关练
1．若函数的定义域是则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，，
，．故选：B．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数有意义，则必有，解得且．
函数的定义域为．故选：C
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，即，
所以，
所以函数的定义域为，
故选：A.
4．已知定义在上的函数满足：，，，且，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】因，，，且，
取x=0，y=1有，则，
取x=y=1有，
所以5.故选：B
5．下列选项中，可表示为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A，当时，，故不正确；
选项B，当时，，故不正确；
选项C，当时，等等，故不正确；
选项D，由，可得，为指数型函数，所以正确.
故选：D.
6．下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，
表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．
所以D不是函数图像．故选：D
7．若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函数，的“孪生函数”个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】根据题意，，定义域为的“孪生函数”的定义域的情况有，共2个．故选：C．
8．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，因为，所以，所以函数的值域为故选：D
题组B 能力提升练
1．（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】A函数的定义域和值域都是R，符合题意；
B.定义域为R，因为，所以函数值域为，值域是定义域的真子集不符合题意；
C.易得定义域为，值域为，定义域是值域的真子集；
D.定义域为，值域为，两个集合只有交集；故选：AC
2．下列各图中，是函数图像的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，满足条件的只有BD.故选：BD
3．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
【答案】BC
【解析】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，
故选项A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，
故选：BC
4．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A.令，符合函数定义；
对于B,令，设，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；
对于C,设当则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；
对于D.令，符合函数定义．
故选：AD
5．函数的值域是_________．
【答案】．
【解析】，解得或，在此条件下，．故答案为：．
6．函数的定义域________．
【答案】
【解析】由可得：
解得：，且 ，
∴函数的定义域为：，
故答案为：
7．（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【解析】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
8．已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.
【解析】(1)f(2)==，g(2)=22+1=5；
(2)g(3)=32+1=10，f(g(3))=f(10)==；
(3)函数f(x)的图象如图：
函数g(x)的图象如图：
观察图象得f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).
题组C 培优拔尖练
1．对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是
A．函数是闭函数
B．函数是闭函数
C．函数是闭函数
D．时,函数是闭函数
E.时,函数是闭函数
【答案】BD
【解析】因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；
在定义域上是减函数，由题意设，则，解得
因此存在区间，使在上的值域为，B正确；
在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；
若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实根.
当时，有，解得；
当时，有，此不等式组无解.
综上所述，，因此D正确，E错误；
故选：BD
2．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.
【答案】
【解析】由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得.
故答案为：
3．已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】由解析式知：，
∴、上，即单调递增；上，即单调递减；
∴有极大值，极小值，
由题意知：，即有：
，解得，
故答案为：
4．给出以下四个命题：
①若集合，，，则，；
②若函数的定义域为，则函数的定义域为；
③函数的单调递减区间是；
④若，且，.
其中正确的命题有__________（写出所有正确命题的序号）．
【答案】①②④
【解析】①时，∵，则，∴，，，正确；
②若函数的定义域为，由得，即的定义域是，正确；
③的减区间是和，不能求并集，③错；
④若，且，则，，∴，正确。.故答案为：①②④
5．已知函数．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（a为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数a及恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由且，得，所以定义域为，
又，， ，，由得值域为．
（2）因为
令，则，
，
由题意知在时的最大值即为函数，的最大值．
①若，即，则
②若，即，则
③，即，则
综上，
（3）易得，
由对恒成立，
即要使恒成立，
，令，对所有的，成立，
只需，求出m的取值范围是或或．
6．已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.
【解析】（1）函数的定义域为.
对任意的恒成立，
令，则，
结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.
（2）由（1）得，则，所以，
，
当且仅当，即，，时等号成立，
的最小值为.
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
例4
例5
例6
分层提分
目标导航
知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
例4
例5
例6
分层提分
10 / 28

展开更多......

收起↑