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人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．8 B．10 C．15 D．18
4．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
6．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
8．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
9．已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
10．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，).若，则向量+2与之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，，若，则实数（ ）
A．0 B． C．1 D．3
12．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
13．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
15．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图所示，已知，点是点关于点的对称点，，和交于点，若，则实数的值为_______．
17．已知向量，，，______．
18．如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为_________．
三、解答题
19．已知向量与的夹角为，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
20．如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
21．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
22．已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】
记，
因为，
所以.
故选：D
2．B
根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】
解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：B
本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.
3．B
利用向量共线求出m的值，再用数量积的坐标表示即可得解.
【详解】
因，且，则有，
从而得，而，于是得，
所以10.
故选：B
4．A
可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】
由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
5．A
根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
，
，
故选：A
6．A
由题意，求得，，根据，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，
因为，所以，解得.
故选：A.
7．D
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
8．A
根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
【详解】
∵∥，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴＝(－2，－4)，
∴2＋3＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
9．B
根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】
因为向量，，所以
.
故选：B.
10．A
根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，
设向量+2与之间的夹角 ，则， ，
所以向量+2与之间的夹角为.
故选：A.
11．B
根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.
【详解】
因为向量，，且，
所以，即，
所以有，解得，
故选：B.
方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：
（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；
（2）根据向量数量积运算法则进行化简；
（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.
12．B
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，
则
，解得，所以.
故选：B
13．D
建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】
以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
14．A
本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】
由已知，，
所以，
故选A
本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
15．D
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
16．
设，可得，，又因为，即可求解．
【详解】
如图所示：
设，由于，所以，
由于点是点关于点的对称点，则为中点，
所以，得
所以
由于 ，又因为
得 ．
故答案为：
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
17．
由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可.
【详解】
因为，所以，所以，解得．
故答案为：
18．1
选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．
【详解】
选取为基底，
则，
又，
将以上两式比较系数可得．
故答案为：1.
19．（1）2；（2）．
（1）根据条件可求出，进而求出，然后根据进行向量数量积的运算即可求出的值；
（2）根据可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．
【详解】
（1），，
，
；
（2），
，解得．
20．（1），，；（2）.
（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）根据，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，由此求得.
【详解】
（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
21．(1)；(2)3；(3).
(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【详解】
(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
22．（1）或；（2）.
（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
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