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第5章 函数概念与性质
第03讲 函数的单调性
课程标准 重难点
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；2.理解单调性的作用和实际意义；3.会利用定义证明函数的单调性；4.理解并掌握函数单调性的简单应用. 1．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．2. 会求一些具体函数的单调区间
一、函数的单调性
1.增函数与减函数
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
【思考1】x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？
【思考2】函数y＝在定义域上是减函数吗？
【特别提醒】
函数的单调性定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
二、函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x) M f(x) M
x0∈I，使得f(x0) M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
【思考1】若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
【思考2】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？
【特别提醒】函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系
(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
一、2.单调递增或单调递减
【思考1】若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.
【思考2】不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
二、 = 纵坐标 纵坐标
【思考1】不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
【思考2】最大值为f(b)，最小值为f(a).
考法01 判断或证明函数的单调性
函数单调性的证明可以通过定义法，图像法等方法进行证明.求证：函数在区间上是单调递增函数．
【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
考法02 求函数的单调区间
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【跟踪训练】
（1）函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
（2）函数f（x）＝|2x－1|的递减区间是________．
考法03 函数单调性的应用
由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
（1）f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≤－3　　　　 B．a≥－3
C．a≤5 D．a≥3
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)【跟踪训练】
变式1. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的单调减区间是（－∞，4]，求实数的a值。
变式2. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间[－3，4]上不是单调函数，求实数的a的取值范围。
考法04 利用图象求函数的最值
函数的最值除了可以通过单调性求解之外，还可以根据图象求解，根据图象的最高点最低点来判断.
(1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．1
C．－1 D．无最大值
（2）求函数f(x)＝的最值．
【名师指点】图象法求最值的步骤
【跟踪训练】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
考法05 利用单调性求函数的最值
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．　　
已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【跟踪训练】求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
考法06 函数最值的实际应用
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．　　
轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
【跟踪训练】某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
题组A 基础过关练
1．已知函数，若，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
3．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
4．函数的单调递减区间为___________.
5．已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
6．已知函数．（其中为常数）
（1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
7．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
8．已知函数
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，试讨论函数在上的单调性．
题组C 培优拔尖练
1．若存在实常数和，使得和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“分隔直线”.已知函数，，若和之间存在“分隔直线”，则的取值范围为___________.
2．已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
3．记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
4．已知函数，
（1）当时
①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
5．已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．
6．已知函数，问答以下问题：
（1）若，且，求该函数的最小值；
（2）若关于的不等式的解集为或，求的值；
（3）求关于的不等式：的解集．
第5章 函数概念与性质
第03讲 函数的单调性答案
课程标准 重难点
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；2.理解单调性的作用和实际意义；3.会利用定义证明函数的单调性；4.理解并掌握函数单调性的简单应用. 1．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．2. 会求一些具体函数的单调区间
一、函数的单调性
1.增函数与减函数
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
【思考1】x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？
【思考2】函数y＝在定义域上是减函数吗？
【特别提醒】
函数的单调性定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
二、函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x) M f(x) M
x0∈I，使得f(x0) M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
【思考1】若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
【思考2】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？
【特别提醒】函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系
(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
一、2.单调递增或单调递减
【思考1】若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.
【思考2】不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
二、 = 纵坐标 纵坐标
【思考1】不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
【思考2】最大值为f(b)，最小值为f(a).
考法01 判断或证明函数的单调性
函数单调性的证明可以通过定义法，图像法等方法进行证明.
求证：函数在区间上是单调递增函数．
【证明】设，且，
则　．
∵，∴．∴．
又，∴．∴，即．
∴在区间上是单调递增函数．
【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
【证明】 x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
考法02 求函数的单调区间
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【解析】(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
【跟踪训练】
（1）函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
【答案】B
【解析】易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).
（2）函数f（x）＝|2x－1|的递减区间是________．
【解析】函数f（x）＝|2x－1|的图象如下所示：
∴递减区间为（－∞，]．
考法03 函数单调性的应用
由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
（1）f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≤－3　　　　 B．a≥－3
C．a≤5 D．a≥3
【答案】A
【解析】由函数的开口向上，结合图象可知在（－∞，4]上是减函数，满足对称轴x＝1－a≥4，
由此可得a≤－3．
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)【答案】
【解析】由题知解得0【跟踪训练】
变式1. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的单调减区间是（－∞，4]，求实数的a值。
【解析】因为函数f（x）的单调减区间是（－∞，4]，所以1－a＝4，解得＝－3。
变式2. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间[－3，4]上不是单调函数，求实数的a的取值范围。
【解析】因为函数f（x）在区间[－3，4]上不是单调函数，所以－3<1－<4，
解得－3<<4。
考法04 利用图象求函数的最值
函数的最值除了可以通过单调性求解之外，还可以根据图象求解，根据图象的最高点最低点来判断.
(1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．1
C．－1 D．无最大值
【解析】在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．
所以当x＝1时，f(x)max＝1.
（2）求函数f(x)＝的最值．
【解析】函数f(x)的图象如图：
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
【名师指点】图象法求最值的步骤
【跟踪训练】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
【解析】y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．
考法05 利用单调性求函数的最值
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．　　
已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝
＝＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x10，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
【跟踪训练】求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
【解析】设1≤x1＝(x1－x2)·＝(x1－x2)＝.
∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
考法06 函数最值的实际应用
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．　　
轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
【解析】 (1)∵轮船行驶全程的时间t＝，∴y＝(p(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，则y＝＝200(1＋)(10由于f(v)＝在(10,110]上是减函数，所以当v＝110时，函数y＝＝200(1＋)取得最小值，且最小值为220.
即当轮船的实际行驶速度为110 km/h时，全程的燃料费用最少．
【跟踪训练】某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【解析】(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组
解得，所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
题组A 基础过关练
1．已知函数，若，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】显然在上是增函数，且，
当时，，所以，又，从而.故选：D.
2．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；
当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，
综上可知的取值范围是：，故选：D.
3．已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，可知在上单调递减，
所以不等式成立，即
.故选：C.
4．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上为增函数，
则不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以对恒成立，
令，
当，则，
所以，故的取值范围为.
故选：D
5．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，
故不等式的解集为.故选：A．
6．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．故选：B.
7．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，故选：D
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】首先一开始离学校最远，则CD错误；
开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快，
而后是走，所以离学校的距离减少的较慢，故选：B
题组B 能力提升练
1．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为函数，画出函数图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由得，
即，解得，故选：B C D．
2．已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】CD
【解析】，
当时，，在递增，
当时，，在上递增，
且，为连续函数，
所以在上为增函数，且，
由对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，
即，
即，所以对任意的[t，t+1]恒成立，
由在[t，t+1]上递增，
可得的最大值为，
即，解得.故选：CD
3．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】要使在上是增函数，则，解得.故答案为：.
4．函数的单调递减区间为___________.
【答案】(或都对)
【解析】令，则，
在单调递减，在单调递增，
根据复合函数的单调性可得：在单调递减，
故答案为：.
5．已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
【答案】
【解析】由可得关于对称，
所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
6．已知函数．（其中为常数）
（1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意，当时，不等式恒成立，
所以在上恒成立，
令
因为为开口向上的二次函数，对称轴为,
且，
故由在上恒成立，得
或或，即或或，
分别解得或或，
即，
故实数a的取值范围为；
（2）当时，不等式恒成立
即恒成立，即恒成立，
所以当时恒成立，
令，
，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
故；
又，即的最小值为0，
所以要使当时，恒成立，则需，
所以实数a的取值范围为.
7．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1）的图像为抛物线，开口向上，对称轴为.所以：
当时，在上单调递减，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：
，；
值域为；
（2）可化为：，
即存在，使得能成立，
只需对能成立，
只需，其中.
记
任取，则
因为，所以，，，
所以，
所以，
即在上单调递减，所以，
所以，
即实数t的取值范围为.
8．已知函数
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，试讨论函数在上的单调性．
【解析】（1）当时，且时，，
当且仅当时，等号成立，
因此，当时，函数在上的最小值为；
（2）当时，，
任取、且，即，
则，
①当时，因为，则，，，
所以，，即，
此时，函数在上为增函数；
②当时，因为，则，，，
所以，，即，
此时，函数在上为减函数.
综上所述，当时，函数在上为增函数；
当时，函数在上为减函数.
题组C 培优拔尖练
1．若存在实常数和，使得和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“分隔直线”.已知函数，，若和之间存在“分隔直线”，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】如下图所示：
由图可知，，可得对任意的恒成立，
则，即，
不等式对任意的恒成立，
①若，当时，，不合乎题意；
②若，则对任意的恒成立，则，可得，
又对任意的恒成立，则，；
③若，则，所以，，
即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
2．已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】设，其判别式，所以函数一定有两个零点，
设函数的两个零点为，且，
由得，，
所以函数，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故，
②当时，，
，所以，
所以，
因为在上单调递增，所以在上也单调递增，
因为在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以在上单调递增，
欲使在上单调递增，只需，得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
3．记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意，当时，令，故
解得，此时
故时，
令，故
解得，此时，
又因为函数是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，且，
故时，
所以函数的图象如图所示，
要使得，根据图象的平移变换，
由图象分析可得且，解得且，即且.
故答案为：
4．已知函数，
（1）当时
①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
【解析】（1）当时，；
①当时，，在上单调递增；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为，.
②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，；
，，，，，，
在上的值域为.
（2）由题意得：
①当，即时，，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；
②当，即时，若，；若，；
当时，，对称轴，
在上单调递增，；
③当，即时，，
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
；
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，即时，；
若，即时，；
综上所述：.
5．已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．
【解析】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
（1）当，即时，在上单调递减，
，不合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，在的最大值为，
，解得：；
综上所述：.
（2）若对任意实数，总存在，使得，
则对恒成立，
①当时，在上单调递增，
，
当时，单调递增，
，；
②当，即时，在上单调递减，
，
当时，单调递减，
，；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，又，，
令，则在上单调递增，
，解得：；
④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
6．已知函数，问答以下问题：
（1）若，且，求该函数的最小值；
（2）若关于的不等式的解集为或，求的值；
（3）求关于的不等式：的解集．
【解析】（1）时，，而，则时，的最小值为-8，
所以函数的最小值为-8；
（2）因关于的不等式的解集为或，
于是得，且，1(a<1)是方程的两根，
由韦达定理得且，解得，
所以的值是-3；
(3)，而，
(i)时，，解得；
(ii)时，，而，解得；
(iii)时，，
①时，，解得或；
②时，，解得；
③时，，解得或，
综上得：时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为或；
时，原不等式的解集为或.
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