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7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念及复数相等的条件. 3.了解复数的表示方法. 通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,达成数学抽象及数学运算的核心素养.
1.复数的有关概念
(1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,且i2=-1.
(2)复数集:全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
(3)复数的表示:z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
2.数系的扩充
3.复数相等
若a,b,c,d∈R,则复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.
4.复数的分类
(1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0且b≠0时,它叫做纯虚数.
这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
复数a+bi(a,b∈R)
(2)集合表示:
1.-(2-i)的虚部是(　C　)
(A)-2 (B)i (C) (D)2
解析:因为-(2-i)=-2+i,所以其虚部是 .故选C.
2.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(　A　)
(A)-1 (B)0
(C)1 (D)-1或1
解析:复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则因此x=-1.故
选A.
3.复数(1-)i的实部为　　　　.
解析:因为复数(1-)i=0+(1-)i,所以实部为0.
答案:0
4.若(x+y-2)+(x-y-4)i=0(x,y∈R),则x=　　　　,y=　　　　.
解析:根据复数相等的充要条件有
所以
答案:3　-1
　复数的基本概念
[例1] (1)下列说法中正确的是　　　　.
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若x2+x-2+(x2+2x-3)i是纯虚数,则实数x=1或x=-2;
③两个虚数不能比较大小.
(2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是　　　　.
解析:(1)对于①,若a=-1,则(a+1)i=0,为实数,故①错误;对于②,由题意得
所以所以x=-2,故②错误.③正确.
(2)由题意得a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5.
答案:(1)③　(2)±,5
(1)对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,而且更要注意a,b均为实数,才能确定复数的实部、虚部.
(2)将数系扩充到复数后,在判定数的性质和结论时要明确在哪个数集上,若一个命题在实数范围内成立,但是在复数范围内却不一定成立,如一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题.
(3)复数范围内能够比较大小的只能是实数.
即时训练1-1:以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是　　　　.
解析:3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i,实部为-3,故应填3-3i.
答案:3-3i
[备用例1] 已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是(　　)
(A)-1或3
(B){a|a>3或a<-1}
(C){a|a>-3或a<1}
(D){a|a>3或a=-1}
解析:由已知可以得到a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.故选B.
　复数的分类
[例2] 当实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解:(1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义,解得m=-3.
(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z是纯虚数,m需满足=0,m-1≠0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
变式训练2-1:把例2中的“z”换成“z=lg m+(m-1)i”,分别求相应问题.
解:(1)当即m=1时,复数z是实数.
(2)当m-1≠0且m>0,即m>0且m≠1时,复数z是虚数.
(3)当lg m=0且m-1≠0时,此时无解,即无论实数m取何值均不能表示纯虚数.
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义,其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
即时训练2-1:当实数m取什么值时,复数z=+(m2-2m)i是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解:(1)当即m=2时,复数z是实数.
(2)当即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
(3)当即m=-3时,复数z是纯虚数.
[备用例2] 已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解:(1)由得m=-2,
所以当m=-2时,z是实数.
(2)由得m≠-1且m≠-2,
所以当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.
(3)由题意得
即
解得m=0.
所以当m=0时,z是纯虚数.
　复数相等
[例3] 根据下列条件,分别求实数x,y的值.
(1)x2-y2+2xyi=2i;
(2)(2x-1)+i=y-(3-y)i.
解:(1)因为x2-y2+2xyi=2i,且x,y∈R,
所以解得或
(2)因为(2x-1)+i=y-(3-y)i,且x,y∈R,
所以解得
复数相等的充要条件是化复数问题为实数问题的主要依据,多用来求解参数的值.步骤是:分别分离出两个复数的实部与虚部,利用实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.
即时训练3-1:已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.
解:由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),
所以即
所以a=-1.
[备用例3] 关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a
的值.
解:设方程的实根为x=m,
则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
所以
解得a=11或a=-.
1.复数i-2的实部是(　B　)
(A)i (B)-2 (C)1 (D)2
解析:i-2=-2+i,因此实部是-2.故选B.
2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i>0(m∈R),则实数m的值为(　B　)
(A)-2 (B)3 (C)-3 (D)±3
解析:由题知解得m=3.故选B.
3.设a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=　　　　.
解析:由题意知a-2=2a+1,解得a=-3.
答案:-3
4.设i为虚数单位,若关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m=　　　　.
解析:关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0
(m∈R)有一实根为n,
可得n2-(2+i)n+1+mi=0.
所以所以m=n=1.
答案:1
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的概念 1,2,6,9,12
复数的分类 3,4,8,10,13
复数相等 5,7,11,14,15
基础巩固
1.(多选题)下列说法中正确的是(　ABD　)
(A)自然数集是非负整数集
(B)实数集与复数集的交集为实数集
(C)实数集与虚数集的交集是{0}
(D)纯虚数集与实数集的交集为空集
解析:复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,C是假命题.故选ABD.
2.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的(　B　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:因为a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,而ab=0是a=0或b=0,所以“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.
3.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为(　B　)
(A)1 (B)0
(C)-1 (D)-1或1
解析:由题意知所以m=0.故选B.
4.(多选题)下列说法不正确的是(　BCD　)
(A)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数
相等
(B)ai是纯虚数(a∈R)
(C)如果复数x+yi(x,y∈R)是实数,那么x=0,y=0
(D)复数a+bi(a,b∈R)不是实数
解析:两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部的差与虚部的差都为0,故A正确;B中当a=0时,ai是实数0;C中若x+yi是实数,则y=0;D中当b=0时,复数a+bi为实数.故选BCD.
5.已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a等于(　B　)
(A)2 (B)3 (C)-3 (D)9
解析:因为z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,且z1=z2,
所以有解得a=3.故选B.
6.给出下列复数:①-2i;②3+;③8i2;④isin π;⑤4+i.其中表示实数的有　　　　.(填上序号)
解析:②显然为实数;③8i2=-8为实数;④isin π=0为实数.
答案:②③④
能力提升
7.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为(　D　)
(A) (B)2 (C)0 (D)1
解析:由复数相等的充要条件知,
解得
所以x+y=0,所以2x+y=20=1.故选D.
8.复数z=a2+b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(　D　)
(A)|a|=|b| (B)a<0且a=-b
(C)a>0且a≠b (D)a≤0
解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.故选D.
9.下列说法中正确的是(　D　)
(A)若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
(B)若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
(C)若x2+y2=0,则x=y=0
(D)-1的平方根有两个
解析:对于A,由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的实部和虚部,故A错误;由于两个虚数不能比较大小,故B错误;C错误,如12+i2=0,但
1≠0,i≠0;-1的平方根为±i,故选项D正确.故选D.
10.已知复数z=m2-m+(m2-1)i(m∈R).若z是虚数,则m的取值范围是　　　　　　　;若z是纯虚数,则m的值为　　　　.
解析:复数z=m2-m+(m2-1)i的实部为m2-m,虚部为m2-1.
当m2-1≠0,即m≠±1时,z为虚数;
当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,z为纯虚数.
答案:(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)　0
11.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=　　　　.
解析:由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,
m,n∈R,
即n2+mn+2+(2n+2)i=0,
所以解得
所以z=3-i.
答案:3-i
12.若z1=m2-(m2-3m)i,z2=(m2-4m+3)i+10(m∈R),z1解析:因为z1所以
解得所以m=3.
又z1=m2=9所以m=3.
答案:3
应用创新
13.若复数z=lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数,则实数m=　　　;若复数z是实数,则实数m=　　 　.
解析:复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数,则
解得m=4.
复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是实数,则
解得m=-2或m=-3.
答案:4　-2或-3
14.已知实数a,x,y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹方程是　　　　　　　　.
解析:由复数相等的充要条件知,
消去a,得x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
答案:(x-1)2+(y+1)2=2
15.已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R).
(1)若z1为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z1=z2,求实数λ的取值范围.
解:(1)因为z1为纯虚数,
则解得m=-2.
(2)由z1=z2,得
所以λ=4-cos2 θ-2sin θ=sin2 θ-2sin θ+3=
(sin θ-1)2+2.
因为-1≤sin θ≤1,
所以当sin θ=1时,λmin=2,
当sin θ=-1时,λmax=6,
所以实数λ的取值范围是[2,6].7.1.2　复数的几何意义
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数. 2.了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模. 3.了解共轭复数的概念及意义. 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用,共轭复数的概念的理解,发展数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.复平面
(1)定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
(2)实轴:在复平面内,x轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴:在复平面内,y轴叫做虚轴,单位是i,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
(4)原点:原点(0,0)表示实数0.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi一一对应平面向量.
3.复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于|a|(a的绝对值).
4.共轭复数
(1)定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示:复数z的共轭复数表示为,即若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(3)性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称.
②实数的共轭复数是它本身,即z= z∈R.
利用这个性质,可以证明一个复数是实数.
1.复数z=-+2i对应的点位于(　B　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:复数z=-+2i对应的点的坐标为(-,2),在复平面的第二象限内.故选B.
2.已知复数z=-3i的共轭复数为,则复数的模是(　D　)
(A)5 (B)8 (C)6 (D)
解析:||=|z|==.故选D.
3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　C　)
(A)4+8i (B)8+2i
(C)2+4i (D)4+i
解析:由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i.故选C.
4.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x上,则实数m的值为　　　　.
解析:因为z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,所以m-3=2,解得m=9.
答案:9
　复平面内的点同复数的对应关系
[例1] 求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的x轴上方.
解:(1)点Z在复平面的第二象限内,
则解得a<-3.
(2)点Z在x轴上方,则
即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.
变式训练1-1:本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在x轴上时,实数a的值.
解:点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时,点Z在x轴上.
变式训练1-2:本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在y轴上时,实数a的值.
解:点Z在y轴上,所以=0,所以a=-2或a=3.故a=-2或a=3时,点Z在y轴上.
变式训练1-3:本例中题设条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.
解:因为点Z在直线x+y+7=0上,
所以+a2-2a-15+7=0,
即a3+2a2-15a-30=0,
所以(a+2)(a2-15)=0,故a=-2或a=±.
所以a=-2或a=±时,点Z在直线x+y+7=0上.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标.
(2)根据已知条件,建立实部与虚部满足的关系,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
即时训练1-1:已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;
(2)在第三象限内.
解:(1)若z对应的点Z在实轴上,
则有2a-1=0,解得a=.
(2)若z对应的点Z在第三象限内,
则有解得-1故a的取值范围是(-1,).
[备用例1] (1)实部为-2,虚部为1的复数的共轭复数所对应的点位于复平面的(　　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(2)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　　.
解析:(1)实部为-2,虚部为1的复数的共轭复数所对应的复平面内的点为(-2,-1),位于第三象限.故选C.
(2)可知z1=2-3i在复平面内对应点为(2,-3),再由z1,z2对应的点关于原点对称易知z2对应点的坐标为(-2,3),所以z2=-2+3i.
答案:(1)C　(2)-2+3i
　复数与复平面内向量的关系
[例2] 已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.
解:因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因为与共线,所以存在实数k,使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k).
所以
所以
即a的值为-.
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
即时训练2-1:向量对应的复数为z1=-3+2i,向量对应的复数为z2=1-i,则|+|为(　　)
(A) (B) (C)2 (D)
解析:因为向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|=.故选A.
即时训练2-2:在复平面内,向量表示的复数为1+i,将向右平移一个单位后得到向量,则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
(A)1+i,1+i (B)2+i,2+i
(C)1+i,2+i (D)2+i,1+i
解析:因为表示复数1+i,所以点A(1,1).
将向右平移一个单位,得对应复数1+i,A′(2,1),所以点A′对应复数2+i.故选C.
[备用例2] 在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.
解:法一　由复数的几何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则AC的中点为(2,),由平行四边形的性质知该点也是BD的中点,设D(x,y),
则所以即点D的坐标为(3,3),所以点D对应的复数为3+3i.
法二　由已知得=(0,1),=(1,0),
=(4,2),
所以=(-1,1),=(3,2),
所以=+=(2,3),
所以=+=(3,3),
即点D对应的复数为3+3i.
　复数的模及其几何意义
[例3] 已知复数z1=-+i,z2=--i.
(1)求|z1|与|z2|的值,并比较它们的大小;
(2)设复平面内,复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|,复数z对应的点Z的集合是什么
解:(1)|z1|==2.
|z2|==1.
因为2>1,所以|z1|>|z2|.
(2)|z2|≤|z|≤|z1|,由(1)知1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1上和该圆外部所有点的集合,不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2上和该圆内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界),如图所示.
(1)两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小.
(2)复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
(3)|z1-z2|表示z1,z2所表示的两点间的距离,|z|=r表示以原点为圆心,以r为半径的圆.
即时训练3-1:已知复数z满足|z|2-2|z|-8=0,则复数z对应点的轨迹为(　　)
(A)一个圆 (B)线段
(C)两点 (D)两个圆
解析:因为|z|2-2|z|-8=0,所以(|z|-4)(|z|+2)=0,所以|z|=4,表示一个圆.故选A.
即时训练3-2:已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为　 .
解析:由3-4i=x+yi(x,y∈R),
得x=3,y=-4.
而|1-5i|==,
|x-yi|=|3+4i|==5,
|y+2i|=|-4+2i|==,
因为<5<,
所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
[备用例3] 已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一　因为z=3+ai(a∈R),
所以|z|=,
由已知得32+a2<42,所以a2<7,
所以a∈(-,).
法二　由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),如图,
由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z(3,a)的集合,
由图可知-1.已知复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),则z等于(　A　)
(A)1-i (B)1+i
(C)-1-i (D)-1+i
解析:复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),所以z的实部为1,虚部为-1,所以z=1-i.故选A.
2.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　B　)
(A)(-∞,1) (B)(-∞,-1)
(C)(1,+∞) (D)(-1,+∞)
解析:因为z=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a),又此点在第二象限,所以解得a<-1.故选B.
3.已知0解析:依题意,可知z=a+i(a∈R),
则|z|2=a2+1.因为0即|z|∈(1,).
答案:(1,)
4.若复数z1=2+bi与复数z2=a-4i互为共轭复数,则a=　　　　,b=　　　　.
解析:因为z1与z2互为共轭复数,
所以a=2,b=4.
答案:2　4
选题明细表
知识点、方法 题号
复平面内的点同复数的对应关系 2,3,10,12
复数与复平面内向量的关系 1,4,9
复数的模及其几何意义 5,8,11
复数几何意义综合 6,7,8,13
基础巩固
1.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数为(　C　)
(A)-2-i (B)-2+i
(C)1+2i (D)-1+2i
解析:因为点A(-1,2)关于虚轴的对称点为B(1,2),所以向量对应的复数为1+2i.故选C.
2.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则a的值为(　A　)
(A)a=0或a=2 (B)a=0
(C)a≠1且a≠2 (D)a≠1或a≠2
解析:因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,所以a2-2a=0,所以a=0或a=2.故选A.
3.当(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为0,m-1<0,所以点(3m-2,m-1)在第四象限.故选D.
4.已知=(5,-1),=(3,2),对应的复数为z,则等于(　D　)
(A)5-i (B)3+2i
(C)-2+3i (D)-2-3i
解析:因为=(5,-1),=(3,2),所以=-(-)=(-2,3),对应的复数为z=-2+3i,则=-2-3i.故选D.
5.已知i是虚数单位,若z=1+ai,|z|=,则实数a=　　　　.
解析:因为z=1+ai,所以|z|==,所以1+a2=2,所以a=±1.
答案:±1
6.若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与z1,z2对应的点Z1与Z2的距离为　　　　.
解析:z1=1-i对应的点为(1,-1),z2=3-5i对应的点为(3,-5),由两点间距离公式得=2.
答案:2
能力提升
7.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于(　A　)
(A)-1+i (B)1+i
(C)-1+i或1+i (D)-2+i
解析:由题意得解得a=-1,所以z=-1+i.故选A.
8.(多选题)已知z1,z2是复数,以下结论错误的是(　AC　)
(A)若z1+z2=0,则z1=0且z2=0
(B)若|z1|+|z2|=0,则z1=0且z2=0
(C)若|z1|=|z2|,则向量和重合
(D)若|z1-z2|=0,则 =
解析:A中z1+z2=0只能说明z1=-z2;B中|z1|+|z2|=0,说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0;C中|z1|=|z2|,说明||=||,但与方向不一定相同;D中|z1-z2|=0,则z1=z2,故=.故选AC.
9.向量=(,1)按逆时针方向旋转60°后得到的向量所对应的复数为(　B　)
(A)-+i (B)2i
(C)1+i (D)-1+i
解析:向量=(,1),设其方向与x轴正方向夹角为θ,tan θ=
=,则θ=30°,按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°,又||=2,所以旋转后得到的向量所对应的复数为2i.故选B.
10.已知复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i.
(1)若复数z是实数,则实数m=　　　　;
(2)若复数z对应的点位于复平面的第二象限,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
解析:(1)z是实数,则有m2-m-6=0,
解得m=3或m=-2;
又当m=-2时,m2+2m-14<0,
所以z是实数时,m=3.
(2)z所对应的点位于复平面的第二象限,
则有00,
解得-5答案:(1)3　(2)(-5,-1-)
11.已知m,n∈R,若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,复数z=m+ni的对应点在直线x+y-2=0上,则|z|=　　　　.
解析:由纯虚数的定义知
解得m=4,所以z=4+ni.
因为z的对应点在直线x+y-2=0上,
所以4+n-2=0,所以n=-2.
所以z=4-2i.
所以|z|==2.
答案:2
应用创新
12.欧拉公式eix=cos x+isin x(e是自然对数的底数,i是虚数单位).它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当x=π时,有eiπ+1=0.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面内对应的点位于(　C　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:由题意,=cos(-)+isin(-)=cos -isin =
--i,
则表示的复数在复平面内对应的点为(-,-),位于第三象限.故选C.
13.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤,判断复数ω=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.
解:|ω|===|z|,而1≤|z|≤,故≤|ω|≤2.所以ω对应点的集合是以原点为圆心,半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周),其面积S=π[22-()2]=2π.7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
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核心知识目标 核心素养目标
1.熟练掌握复数的加、减法运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意义,并能简单应用. 1.通过复数的代数形式的加、减运算法则和运算律的学习与应用,发展数学抽象及数学运算的核心素养. 2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,强化直观想象及数学运算的核心素养.
1.复数的加、减运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(2)加法运算律:
对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1+z2=z2+z1
结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
2.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义.
如图,设复数z1,z2对应向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是.
(2)复数减法的几何意义.
如图所示,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应.
1.已知复数z1=3+4i,复数z2=3-4i,那么z1+z2等于(　B　)
(A)8i (B)6
(C)6+8i (D)6-8i
解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故选B.
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　C　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故复数z对应的点为(-1,-3),位于第三象限.故选C.
3.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是(　C　)
(A)-10+8i (B)10-8i
(C)0 (D)10+8i
解析:+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0).故+对应的复数是0.故选C.
4.若复数z满足|z-i|=2,则复平面内复数z对应的点(x,y)满足的关系式是　.
解析:由题意z=x+yi(x,y∈R),结合|z-i|=2可知x2+(y-1)2=4.
答案:x2+(y-1)2=4
　复数的加、减运算
[例1] 计算下列各题.
(1)(-i)+(-+i) +1;
(2)(--)-(-)+i;
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
解:(1)原式=(-)+(-+)i+1
=1-i.
(2)原式=(-+)+(--+1)i
=+i.
(3)原式=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i
=-11i.
(1)复数的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项);若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
即时训练1-1:计算:(1)(-1+i)+(1+i);
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
解:(1)(-1+i)+(1+i)=(-1+1)+(+)i=2i.
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.
[备用例1] 已知复数z1=(3-10i)y,z2=(-2+i)x(x,y∈R),且z1+z2=1-9i,求z1-z2.
解:z1+z2=(3-10i)y+(-2+i)x=(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i.
所以解得
所以z1=3-10i,z2=-2+i,
所以z1-z2=(3-10i)-(-2+i)=[3-(-2)]+(-10-1)i=5-11i.
　复数加、减法的几何意义
[例2] 在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
解:(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
所以,,对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1).
即对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
(2)因为||==,||==,||==,
所以||2+||2=10=||2.
又因为||≠||,
所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加、减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解:(1)因为0-(3+2i)=-3-2i,
所以所表示的复数为-3-2i.
因为=,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,
所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线=+=+,
所以所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
所以||==.
[备用例2] 在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形.求点D对应的复数z4及AD的长.
解:如图,
对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.
由复数加、减运算的几何意义,得=+,
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1).
所以z4=z2+z3-z1
=(5+i)+(3+3i)-(1+i)
=7+3i.
故AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.
　复数加、减法运算及其几何意义的综合应用
[例3] 已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值.
解:法一　设ω=z-3+4i,
所以z=ω+3-4i,
所以z+1-i=ω+4-5i.
又|z+1-i|=1,
所以|ω+4-5i|=1.
可知ω对应的点的轨迹是以(-4,5)为圆心,1为半径的圆,|ω|表示圆上的点与原点的距离.
如图①所示,所以|ω|max=+1,
|ω|min=-1.
法二　由条件知复数z对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,1为半径的圆,
而|z-3+4i|=|z-(3-4i)|表示复数z对应的点到点(3,-4)的距离,
在圆上与(3,-4)距离最大的点为A,距离最小的点为B,如图②所示,
所以|z-3+4i|max=+1,|z-3+4i|min=-1.
(1)|z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
即时训练3-1:已知复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-3-2i|的最大值与最小值.
解:由复数及其模的几何意义知,
满足|z+2-2i|=1,即|z-(-2+2i)|=1.
复数z所对应的点的轨迹是以C(-2,2)为圆心,r=1为半径的圆.
而|z-3-2i|=|z-(3+2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离.由圆的知识可知|z-3-2i|的最小值为|AC|-r,最大值为|AC|+r.
所以|z-3-2i|min=-1=4,
|z-3-2i|max=+1=6.
[备用例3] 若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.
解:设复数-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3.如图,
因为|z+i|+|z-i|=2,
所以|Z1Z2|=2,
所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,由图可知|Z1Z3|的长即ZZ3长的最小值,最小值为1.
1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为(　C　)
(A)5-3i (B)3+5i (C)7-8i (D)7-2i
解析:(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1)+(-3-3)i+(2-2i)=
5+(-6)i+(2-2i)=(5+2)+(-6-2)i=7-8i.故选C.
2.在复平面内,O是原点,,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为(　C　)
(A)2+8i (B)-6-6i
(C)4-4i (D)-4+2i
解析:=-=-(+)=3+2i-(1+5i-2+i)=4-4i.
所以表示的复数为4-4i.故选C.
3.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点Z在(　B　)
(A)实轴上 (B)虚轴上
(C)第一象限 (D)第二象限
解析:因为|z-1|=|z+1|,
所以点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上,即在虚轴上.故选B.
4.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是　　　　.
解析:设AC与BD的交点为E,则E点坐标为(,-1),设点C坐标为(x,y),则x=5,y=-2,故点C对应的复数为5-2i.
答案:5-2i
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的加减运算 1,2,4,5,6,9,13
复数加减法的几何意义 3,7,10
复数加减法及几何意义的 综合应用 8,11,12
基础巩固
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　B　)
(A)-2 (B)4 (C)3 (D)-4
解析:z=1-(3-4i)=-2+4i.故选B.
2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于(　D　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i,在复平面内z1-z2对应点的坐标为(5,-7),位于第四象限.故选D.
3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1-z2等于(　B　)
(A)-1+2i (B)-2-2i
(C)1+2i (D)1-2i
解析:=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i.故选B.
4.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于(　C　)
(A)-1 (B)3 (C) (D)-1或3
解析:z=(2m2+m-1)+(3+2m-m2)i,
令得m=.故选C.
5.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于(　D　)
(A) (B)5 (C) (D)5
解析:因为z1-z2=5+5i,
所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.故选D.
6.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　　,z2=　　　　.
解析:z=z1-z2
=[(3x+y)+(y-4x)i]-
[(4y-2x)-(5x+3y)i]
=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,
所以解得
所以z1=5-9i,z2=-8-7i.
答案:5-9i　-8-7i
7.如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi
(a,b∈R),则zA-zC=　　　　.
解析:因为+=,
所以4+ai+(a+bi)=6+8i.
因为a,b∈R,
所以解得
所以zA=4+2i,zC=2+6i,
所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.
答案:2-4i
能力提升
8.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是(　D　)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.故选D.
9.设复数z满足z+|z|=2+i,则z=　　　　.
解析:设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=.
所以x+yi+=2+i.
所以解得
所以z=+i.
答案:+i
10.如图,在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,
zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai(a,b∈R),则a-b为　　　　.
解析:因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,
所以
解得得a-b=-4.
答案:-4
11.复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R).
(1)若z=,求|z|;
(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限,求a的范围.
解:z=a2-3a+2+(1-a2)i.
(1)由z=知,1-a2=0,故a=±1.
当a=1时,|z|=0;当a=-1时,|z|=6.
(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,即
即
所以-1应用创新
12.若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是(　B　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:设z=x+yi(x,y∈R),则由|z+2-2i|=1得(x+2)2+(y-2)2=1,表示以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=
表示圆上的点与定点(2,2)的距离,数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.故选B.
13.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,+表示的复数的模为(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意,=cos +isin ,=cos +isin ,所以+=
(+i)+(+i)=(+)(1+i),所以+表示的复数的模为
=.故选C.7.2.2　复数的乘、除运算
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握复数的乘、除运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 通过复数代数形式的乘法和除法运算法则、运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数的乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3.复数的除法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),
==+i.
注:z=|z|2=||2∈R.
4.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
(1)当Δ≥0时,x=;
(2)当Δ<0时,x=.
1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于(　A　)
(A)4+2i (B)2+i (C)2+2i (D)3+i
解析:z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i.故选A.
2.(2021·全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z等于(　B　)
(A)-1-i (B)-1+i
(C)-+i (D)--i
解析:(1-i)2z=-2iz=3+2i,
z====-1+i.故选B.
3.若a为实数,且=3+i,则a等于(　D　)
(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4
解析:==+i=3+i,
所以解得a=4.故选D.
4.在复数范围内方程3x2+4=0的根为　　　　.
解析:因为x2=-,所以x=±i.
答案:±i
　复数的乘、除运算
探究角度1　复数的乘法运算
[例1] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)(-+i)(+i).
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
(2)(-+i)(+i)=(--)+(-)i=-+i.
(1)复数乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
即时训练1-1:(1)(2+i)2等于(　　)
(A)5-4i (B)5+4i
(C)3-4i (D)3+4i
(2)已知i是虚数单位,若复数(1+ai)·(2+i)是纯虚数,则实数a等于(　　)
(A)2 (B) (C)- (D)-2
解析:(1)(2+i)2=4-1+4i=3+4i.故选D.
(2)因为(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i为纯虚数,所以2-a=0且1+2a≠0,解得a=2.故选A.
[备用例1] 求5+12i的平方根.
解:设x+yi(x,y∈R)是5+12i的平方根,
则(x+yi)2=5+12i.
所以x2-y2+2xyi=5+12i.
所以
解得或
所以5+12i的平方根是±(3+2i).
探究角度2　复数的除法运算
[例2] 计算:(1);
(2)-.
解:(1)===
+i.
(2)法一　-=
=
==2i.
法二　-=-=i+i=2i.
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)常用公式
①=-i;②=i;③=-i.
即时训练2-1:计算=　　　　.
解析:法一　=
=
=-2+i.
法二　=·
=
=
=
=-2+i.
答案:-2+i
[备用例2] 计算:(1);
(2).
解:(1)==
==+i.
(2)==
===
=1-i.
探究角度3　复数的积与商的模
[例3] (1)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|等于(　　)
(A)1 (B)2 (C) (D)
(2)满足z=(i为虚数单位)的复数z的模=　　　　.
解析:(1)因为z(1+i)=2i,所以z===1+i,
所以|z|==.故选C.
(2)z====-i,|z|===.
答案:(1)C　(2)
求解复数的积或商的模的方法有两种.一是直接计算出复数的积或商后,根据积或商的实部与虚部直接利用模的公式计算.二是利用复数的模的运算性质:(1)两个或多个复数积的模等于构成积的各个复数的模的积,即|z1z2…zn|=|z1||z2|…|zn|.(2)两个复数的商的模等于模的商,即||=(z2≠0).(3)|z|2=||2=|z2|=||=z·.
即时训练3-1:(1)已知复数z=2-i,则z· 的值为(　　)
(A)5 (B) (C)3 (D)
(2)若复数z=,则|z|=　　　　.
解析:(1)z·=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5.故选A.
(2)由===i,可知z=i,
|z|=1.
答案:(1)A　(2)1
探究角度4　复数的商与复数有关概念的综合
[例4] 设a∈R,复数(i为虚数单位)是纯虚数,则a的值为　　　.
解析:法一　因为==为纯虚数,
所以解得a=-6.
法二　因为复数(i为虚数单位)是纯虚数,则设=ti(t∈R,
t≠0),
因此a+3i=ti+2ti2=ti-2t.
由复数相等的充要条件可知
所以a=-6.
答案:-6
变式训练4-1:若本例中的复数为实数,则a的值为　　　　.
解析:法一　因为==为实数,
所以3-2a=0,即a=.
法二　因为为实数,
所以=t(t∈R),
即a+3i=t+2ti,
由复数相等的充要条件可知即a=.
答案:
涉及含未知量的复数的商为纯虚数或实数问题,一种方法是利用复数的除法将复数的商化为z=a+bi(a,b∈R)的形式后利用复数的有关概念求解,另一种方法是设出纯虚数或实数将问题转化为复数相等求解.
即时训练4-1:若复数z=(b∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则复数z的共轭复数是(　　)
(A)i (B)-i (C)i (D)-i
解析:因为z===+i是纯虚数,所以2+b=0且2b-1≠0,解得b=-2.所以z=-i,则复数z的共轭复数是i.故选C.
　虚数单位i的幂的周期性及其应用
[例5] (1)复数z=i8+(-i)9可化简为(　　)
(A)1-i (B)0 (C)1+i (D)2
(2)已知i是虚数单位,复数z=+i2 023在复平面内所对应的点位于(　　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(3)1+i+i2+i3+…+i2 022=　　　　.
解析:(1)z=i8+(-i)9=+[(-i)4]2·(-i)=1-i.
故选A.
(2)因为z=+i2 023=+(i4)505·i3=-2-i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2,-1),位于第三象限.故选C.
(3)因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N*,
所以1+i+i2+i3+…+i2 022=1+i+i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)+…+(i2 019+i2 020+i2 021+i2 022)=1+i+i2=i.
答案:(1)A　(2)C　(3)i
要熟记in的取值的周期性,即i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N),解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值.
即时训练5-1:当z=- 时,z100+z50+1的值等于(　　)
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
解析:因为z2=(-) 2==-i,所以z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=[(-i)2]25+(-i)+1=-1-i+1=-i.故选D.
[备用例3] 计算+() 2 022.
解:原式=+[() 2] 1 011
=i+() 1 011=i+i1 011
=i+i4×252+3
=i+i3=0.
　实系数一元二次方程
[例6] 在复数范围内解下列方程.
(1)x2+5=0;
(2)x2+4x+6=0.
解:(1)因为x2+5=0,所以x2=-5,
又因为(i)2=(-i)2=-5,
所以x=±i,
所以方程x2+5=0的根为±i.
(2)法一　因为x2+4x+6=0,
所以(x+2)2=-2,
因为(i)2=(-i)2=-2,
所以x+2=i或x+2=-i,
即x=-2+i或x=-2-i,
所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.
法二　由x2+4x+6=0知Δ=42-4×6=-8<0,
所以方程x2+4x+6=0无实数根.
在复数范围内,设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0),
则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0,
所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0,
整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0,
所以
又因为b≠0,
所以
解得a=-2,b=±.
所以x=-2±i,
即方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)利用求根公式求解.
(2)利用复数相等的定义求解.
即时训练6-1:已知复数z=-(5-9i).
(1)求复数z的模;
(2)若复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值.
解:(1)z=-(5-9i)=-1+2i,
所以|z|=.
(2)因为复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根,
所以-6-m+n+(2m-8)i=0.
由复数相等的充要条件,得
解得m=4,n=10,
所以实数m,n的值分别是4,10.
[备用例4]已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(1)求实数a,b的值;
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
解:(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,
得(-a+b)+(a-2)i=0,
所以解得a=2,b=2.
(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2,由根与系数的关系,得-1+i+x2=-2,所以x2=-1-i.下面给予证明:
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边,
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.i为虚数单位,i607等于(　B　)
(A)i (B)-i (C)1 (D)-1
解析:i607=i4×151+3=i3=-i.故选B.
2.复数的实部为(　A　)
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2
解析:因为===i,
所以实部为0.故选A.
3.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为(　B　)
(A)3+i (B)1-3i
(C)3-i (D)-1+3i
解析:根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,两个虚数根互为共轭虚数,所以另一个根为1-3i.故选B.
4.复数z满足方程 i=1-i,则z=　　　　.
解析:由题意可得===-i(1-i)=-1-i,所以z=-1+i.
答案:-1+i
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的乘除运算 4,5,7,9,12
虚数单位i的幂的周期性及其应用 1,6,13
复数运算综合 2,3,8,10,11,14,15
基础巩固
1.已知z=1-i2 020,则|z+2i|等于(　C　)
(A) (B)2 (C)2 (D)
解析:因为z=1-i2 020=1-i4×505=1-1=0,所以|z+2i|=|2i|=2.故选C.
2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(+i)等于(　C　)
(A)6-2i (B)4-2i
(C)6+2i (D)4+2i
解析:因为z=2-i,故=2+i,故z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.故选C.
3.(多选题)已知复数z=(1+2i)·(2-i),为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　BCD　)
(A)z的虚部为3i
(B)||=5
(C)z-4为纯虚数
(D)在复平面上对应的点在第四象限
解析:因为z=(1+2i)(2-i)=4+3i,
则z的虚部为3,
||=|z|==5,z-4=3i为纯虚数,对应的点(4,-3)在第四象限.故选BCD.
4.若复数(1+i)·(a+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是(　D　)
(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)
(C)(1,+∞) (D)(-∞,-1)
解析:因为复数(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在复平面内对应的点在第三象限,
所以即a<-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-1).故选D.
5.已知i为虚数单位,a,b∈R,复数-i=a+bi,则a-bi等于(　B　)
(A)-i (B)+i
(C)-i (D)+i
解析:由题意,复数-i=a+bi,得a+bi=-i=-i=-i,所以a-bi=+i.故选B.
6.复数z=i2 019+i6+i21,那么z=　　　　,|z|=　　　　.
解析:复数z=i2 019+i6+i21=i3+i2+i=-i-1+i=-1,|z|=1.
答案:-1　1
7.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=
　　　　.
解析:依题意,得z==i,
所以=-i,所以z·=i·(-i)=1.
答案:1
8.已知z是纯虚数,是实数,那么z=　　　　.
解析:设z=bi(b∈R,b≠0),则====+i是实数,所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i.
答案:-2i
能力提升
9.若复数z等于,则|z|等于(　D　)
(A) (B)2 (C) (D)
解析:z====2+i,|z|==.故选D.
10.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则(　D　)
(A)a-5b=0 (B)3a-5b=0
(C)a+5b=0 (D)3a+5b=0
解析:因为z=+bi=+bi=+(+b)i.由题意知,=--b,则3a+5b=0.故选D.
11.在复数范围内,方程x2+6x+10=0的根为x=　　　　.
解析:因为Δ=b2-4ac=62-4×1×10=-4<0,所以x=
=
=-3±i.
答案:-3±i
12.已知z=1+i.
(1)如果ω=z2+3-4,求ω的值;
(2)如果=1-i,求实数a,b的值.
解:(1)因为z=1+i,
所以ω=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=2i+3-3i-4=-1-i.
(2)因为z=1+i,
所以====(2+a)-(a+b)i=
1-i.
所以解得
应用创新
13.设复数z=+,其中i为虚数单位,则的虚部是　　　　,|z|=　　　　.
解析:因为==-i,==i,所以z=() 2 018+
() 2 019=(-i)2 018+i2 019=i2+i3=-1-i,所以=-1+i,则的虚部为1,
|z|=.
答案:1　
14.已知x=1+2i是方程x2-mx+2n=0的一个根(m,n∈R),则m+n=
　　　　.
解析:把x=1+2i代入x2-mx+2n=0中,
得(1+2i)2-m(1+2i)+2n=0,
即1-4+4i-m-2mi+2n=0,
所以(2n-m-3)+(4-2m)i=0,
根据复数相等的充要条件,
得即
所以m+n=+2=.
答案:
15.已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数;
(2)若复数ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)ω=-2+(4+a)i,
复数ω对应向量为(-2,4+a),
其模为=.
又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.
由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,解得-8≤a≤0,
所以实数a的取值范围是[-8,0].7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解复数的模和辐角的定义. 2.会求复数的模和辐角主值. 3.能求出复数的三角形式. 4.会进行复数三角形式的乘、除运算. 1.通过复习复数的几何意义,认识复数的三角表示,由复数代数形式与三角形式之间的联系,培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.在学习复数三角形式的乘、除运算的基础上,培养直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.复数的三角形式
一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.规定,满足条件0≤θ<2π的辐角叫做辐角的主值,通常记为arg z,即0≤arg z<2π.r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
2.复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义
(1)运算法则
设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2)
复数的乘法 z1z2=r1·r2[cos(θ1+θ2)+ isin(θ1+θ2)]
复数的乘方 zn=[r(cos θ+isin θ)]n =rn(cos nθ+isin nθ)
复数的除法 =[cos(θ1-θ2)+ isin(θ1-θ2)]
(2)几何意义
复数z1,z2对应的向量分别为,.
①复数乘法的几何意义
两个复数z1,z2相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角
θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的 r2,得到向量,表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
②复数除法的几何意义
两个复数z1,z2相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的,得到向量,表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
1.复数1+i化成三角形式,正确的是(　B　)
(A)2(cos +isin )
(B)2(cos +isin )
(C)2(cos +isin )
(D)2(cos +isin )
解析:r=2,cos θ=,复数对应的点在第一象限,所以arg(1+i)=,所以1+i=2(cos +isin ).故选B.
2.复数1-i的辐角的主值是(　A　)
(A)π (B)π (C)π (D)
解析:因为1-i=2(-i)=2(cos π+isin π),所以1-i辐角的主值为π.故选A.
3.将复数1+i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是　　　　.(用代数形式表示)
解析:对应的复数是(1+i)(cos +isin )=(1+i)2=i.
答案:i
4.计算3(cos +isin )×4(cos +isin )=　　　.
解析:原式=3(cos +isin )×4(cos +isin )
=12[cos(+)+isin(+)]=12i.
答案:12i
　复数的三角形式
[例1] 将下列复数化为三角形式.
(1)2(cos-isin);
(2)2(-cos+isin);
(3)+i;
(4)-i.
解:(1)2(cos-isin)=2[cos(-)+isin(-)].
(2)2(-cos+isin)=2(cos+isin).
(3)r==2,因为+i对应的点在第一象限,
所以cos θ=,sin θ=,即θ=,
所以+i=2(cos +isin).
(4)r==2,cos θ=,又因为-i对应的点位于第四象限,
所以θ=.所以-i=2(cos +isin ).
将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式 z=r(cos θ+isin θ)(r>0),可按如下步骤进行:
(1)画图,并标出r和θ.
(2)求θ和r,其中r=,cos θ=,sin θ=.
(3)写出复数z的三角形式.
即时训练1-1:把下列复数表示成三角形式.
(1)6;
(2)--i.
解:(1)由题意可得6=6(cos 0+isin 0).
(2)--i=cos+isin.
[备用例1] 画出下列复数对应的向量,指出它们的模和辐角的主值,并把这些复数表示成三角形式.
(1)3i;(2)-10;(3)2-2i;(4) -1+i.
解:(1)复数3i对应的向量如图所示,
则模r==3,对应的点在y轴的正半轴上,
所以arg(3i)=.
所以3i=3(cos +isin ).
(2)复数-10对应的向量如图所示,
则模r=10,对应的点在x轴的负半轴上,
所以arg(-10)=π.
所以-10=10(cos π+isin π).
(3)
复数2-2i对应的向量如图所示,
则模r==2,对应的点在第四象限,cos θ=,
所以arg(2-2i)=π.
所以2-2i =2(cos π+isin π)
或2-2i =2 [cos(-π)+isin(-π)].
(4)复数-1+i对应的向量如图所示,
则模r==2,对应的点在第二象限,cos θ=-,所以arg(-1+i)=π.
所以-1+i=2(cos π+isin π).
　把复数表示成代数形式
[例2] 分别指出下列复数的模和一个辐角,并把这些复数表示成代数形式.
(1)10(cos +isin );
(2)14(cos +isin );
(3)2(cos 45°-isin 45°).
解:(1)模r=10,一个辐角θ=,
所以10(cos +isin )=10cos +(10sin )i=10×+10×i=5+5i.
(2)模r=14,一个辐角θ=,
所以14(cos +isin )=14cos +(14sin )i=14×(-)+14×i=
-7+7i.
(3)模r=2,
2(cos 45°-isin 45°)=2[cos (-45°)+isin(-45°)],所以一个辐角θ=-45°,
2(cos 45°-isin 45°)=2cos 45°-(2sin 45°)i=2×-2×i=-i.
(1)类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
[备用例2] 把下列复数表示成代数形式.
(1)z1=3(cos +isin );
(2)z2=2[cos(-)+isin(-)];
(3)z3=5(cos 135°+isin 135°).
解:(1)z1=3(cos +isin )
=3×+3×i
=+i.
(2)z2=2[cos(-)+isin(-)]
=2×0+2×(-1)i
=-2i.
(3)z3=5(cos 135°+isin 135°)
=5×(-)+5×i
=-+i.
　复数三角形式的乘、除运算
[例3] 计算:
(1)8(cos π+isin π)×4(cos π+isin π);
(2)4÷(cos +isin );
(3)[(cos +isin )]2.
解:(1)8(cos π+isin π)×4(cos π+isin π)=32[cos(π+π)+isin(π+π)]=
32(cos π+isin π)=32(cos +isin )=
32(+i)=16+16i.
(2)4÷(cos +isin )=
4(cos 0+isin 0)÷(cos +isin )=
4[cos(-)+isin(-)]=2-2i.
(3)[(cos +isin )]2=()2(cos π+isin π)=
2(-+i)=-1+i.
复数三角形式的运算法则
(1)乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)除法法则:模相除,辐角相减.
(3)复数的n次幂:模的n次幂,辐角的n倍.
即时训练3-1:计算:
(1)10(cos+isin)×5(cos+isin);
(2)(cos+isin)×5(cos+isin);
(3).
解:(1)原式=10×5[cos(+)+isin(+)]
=50(cos+isin).
(2)原式=5[cos(+)+isin(+)]
=5(cos +isin )
=5i.
(3)原式=[cos(-)+isin(-)]
=4(cos +isin )
=2+2i.
[备用例3] 计算下列各式.
(1)3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)]×[10(cos 80°+isin 80° )];
(2)(-1+i)[(cos +isin )];
(3) 2i÷[(cos π+isin π)].
解:(1)原式=6(cos 70°+isin 70°)[10(cos 80°+isin 80° )]
=60(cos 150°+isin 150°)
=60(-+i)=-30+30i.
(2)法一　复数-1+i的模r=,cos θ=-,
sin θ=,所以θ=.
原式=(cos +isin )[(cos +isin )]
=[cos(+)+isin(+)]
=(cos +isin )
=(cos +isin )
=i.
法二　(cos +isin )=(-i)=-i,
原式=(-1+i)(-i)
=(-+)+(+)i=i.
(3)法一　原式=2(cos +isin )÷[×(cosπ+isinπ)]
=4[cos(-)+isin(-)]
=4[cos(-)+isin(-)]
=4(-i)=2-2i.
法二　原式=2i÷[(-+i)]=2i÷(-+i)==8i(--i)=-2i+2=2-2i.
　复数乘、除运算的几何意义
[例4] 如图,向量对应的复数为-1+i,把绕点O按逆时针方向旋转150°,得到,求向量对应的复数(用代数形式表示).
解:向量对应的复数为(-1+i)(cos 150°+isin 150°)=(-1+i)(-+i)=-i.
变式训练4-1: 将本例条件改为“按顺时针方向旋转90°”,其他条件不变,结果又如何
解:向量对应的复数为== -(-1+i)i=1+i.
复数三角形式的乘、除法运算的几何意义:设复数z对应的向量为.
(1)把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ(θ>0),得到向量,表示的复数就是积z(cos θ+isin θ).
(2)把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ(θ>0),得到向量,表示的复数就是商.
即时训练4-1:若向量与分别表示复数z1=1+2i,z2=7+i, 则∠Z2OZ1=　　　　.
解析:作出与z1,z2对应的向量,,如图所示.
由图得,∠Z2OZ1的值就是复数z1与z2的辐角的差,考虑计算.
=
=
==(cos +isin )
所以∠Z2OZ1=.
答案:
[备用例4] 在复平面内,把复数3-i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转,求所得向量对应的复数.
解:因为3-i=2(-i)=2(cos π+isin π),
所以2(cos π+isin π)×(cos +isin )
=2[cos(π+)+isin(π+)]
=2(cos π+isin π)
=2(cos +isin )=3+i,
2(cos π+isin π)×[cos(-)+isin(-)]
=2[cos(π-)+isin(π-)]
=2(cos π+isin π)
=-2i.
故把复数3-i对应的向量按逆时针方向旋转得到向量对应的复数为3+i,按顺时针方向旋转得到向量对应的复数为-2i.
1.设复数z1=(cos +isin ),z2=6(cos +isin ),则z1z2为(　A　)
(A)3i (B)3(cos +isin )
(C)-3i (D)3(cos+isin )
解析:z1z2=×6[cos(+)+isin(+)]=3(cos +isin )=3i.故选A.
2.2÷[(cos +isin )]的三角形式是(　C　)
(A)2(cos +isin )
(B)(cos +isin )
(C)[cos(-)+isin(-)]
(D)(cos +isin )
解析:原式==[cos(-)+isin(-)].故选C.
3.复数z=6(cos +isin )的代数形式为　　　　　.
解析:z=6(cosπ+isinπ)=6(cos-isin)=6(-i)=3-3i.
答案:3-3i
4.复平面内向量对应的复数为2+i,A点对应的复数为-1,现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为,则点C对应的复数为　　　　.
解析:向量对应的复数为==(2+i)·(-i)=1-2i.故点C对应的复数为-2i.
答案:-2i
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的三角形式 1,2,3
复数的辐角主值 4,7,10,13,14,15
复数三角形式的乘除运算 5,6,8,9,11,12
基础巩固
1.复数z=sin 15°+icos 15°的三角形式是(　D　)
(A)cos 195°+isin 195° (B)sin 75°+icos 75°
(C)cos 15°+isin 15° (D)cos 75°+isin 75°
解析:z=sin 15°+icos 15°=cos 75°+isin 75°.
故选D.
2.设复数z=2(cos+isin),那么z的共轭复数的代数形式是(　B　)
(A)+i (B)-i
(C)--i (D)-+i
解析:因为z=2(cos+isin)=+i,所以=-i.故选B.
3.若复数z的模为2,其辐角为,则等于(　A　)
(A)+i (B)-i
(C)1-i (D)1+i
解析:由已知可得z=2(cos+isin)=-1+i,所以==
=+i.故选A.
4.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是(　B　)
(A)1 (B)-1 (C)- (D)-
解析:因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,所以所以a=-1.故选B.
5.若复数z=cos+isin(i是虚数单位),复数z2的实部、虚部分别为a,b,则下列结论正确的是(　C　)
(A)ab<0 (B)a2+b2≠1
(C)= (D)=
解析:因为z=cos+isin,所以z2=(cos+isin) 2=cos+isin=
+i,
则a=,b=,
则ab>0,a2+b2=1,=,=.故选C.
6.复数4(cos+isin)的一个平方根是(　D　)
(A)2(cos+isin) (B)2(cos-isin)
(C)4(cos+isin) (D)2(cos+isin)
解析:因为[2(cos+isin)] 2=4(cos+isin),
所以4(cos+isin)的一个平方根是2(cos+isin).故选D.
7.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是　　　.
解析:由题知,z1=2(cos +isin ),
z2=2(cos +isin ),
所以的辐角的主值为-=.
答案:
能力提升
8.复数z=sin-icos,若zn=(n∈N*),则n的最小值是(　C　)
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7
解析:因为z=sin-icos=cos-isin=
cos(-)+isin(-),
=cos+isin,
所以=cos+isin=zn=cos(-)+isin(-),
由此得=2kπ-,
所以n=6k-1,k∈N*,故n的最小值为5.故选C.
9.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是(　A　)
(A)1-i (B)1+i
(C)-1+i (D)-1-i
解析:(1+i)[cos(-)+isin(-)]=(cos +isin )[cos(-)+
isin(-)]=[cos(-)+isin(-)]=[cos(-)+isin(-)]=1-i.故选A.
10.复数sin 4+icos 4的辐角的主值为(　D　)
(A)4 (B)-4
(C)2π-4 (D)-4
解析:sin 4+icos 4=cos(π-4) +isin(π-4).故选D.
11.计算的值为　　　　.
解析:因为1+i=(cos +isin ),
-i=2[cos(-)+isin(-)],
1+i=2(cos+isin),
所以=[cos(×3--)+isin(×3--)]
=2(cos+isin)=2+2i.
答案:2+2i
12.计算下列各式.
(1)(cos 36°+isin 36°)-5;
(2)[2(cos +isin )]-4.
解:(1)(cos 36°+isin 36°)-5===-1.
(2)[2(cos +isin )]-4===
=[cos(-)+isin(-)]=-+i.
13.设ω=z+ai(a∈R),z=,且|ω|≤,求ω的辐角主值θ的正切值的范围.
解:z=
=
==1-i.
所以ω=1-i+ai=1+(a-1)i.
因为|ω|≤,所以≤,
所以-1≤a-1≤1,
又tan θ=a-1,
所以-1≤tan θ≤1,
即θ正切值的取值范围为[-1,1].
应用创新
14.设z=10(cos+isin),写出复数z的倒数的模与辐角.
解:=
=[cos(0-)+isin(0-)]
=[cos(-)+isin(-)],
所以的模为,辐角为-+2kπ.
15.设z=cos θ+isin θ(0<θ<π),ω=,并且|ω|=,
arg ω<,求θ.
解:ω=
=
=
=tan 2θ·(sin 4θ+icos 4θ).
因为|ω|=|tan 2θ|=,且0<θ<π,
所以当tan 2θ=时,θ=或,此时ω=(sin+icos)=
(cos+isin);
当tan 2θ=-时,θ=或,
此时ω=-(sin+icos)=(cos+isin)(因为arg ω=>,所以舍去).
综上所述,θ=或.章末总结
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.1+i2是虚数.(　×　)
2.若z=a+bi(b≠0,a,b∈R),则z+为实数,z-为纯虚数.(　√　)
3.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=±1.(　×　)
4.已知复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复平面内与z对应的点Z的轨迹是虚轴.(　√　)
5.-3-i的共轭复数是3+i.(　×　)
6.i是虚数单位,则i3∈S={-1,0,1}.(　×　)
7.两个复数一定不能比较大小.(　×　)
8.-3-i对应的点在第三象限.(　√　)
9.复数的除法运算中,需要分子分母同乘分子的共轭复数.(　×　)
10.满足条件0≤θ<2π的辐角叫做辐角的主值.(　√　)
11.复数三角形式的除法运算实质是模数相除,辐角相除.(　×　)
题型一　复数的有关概念
[例1](1)(多选题)已知复数z=,则下列结论中正确的是(　　)
(A)z的虚部为i
(B)=2-i
(C)|z|=
(D)z在复平面内对应的点位于第四象限
(2)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值为　　　　.
解析:(1)z====2+i,
对于A,z的虚部为1,故错误;
对于B,=2-i,正确;
对于C,|z|==,正确;
对于 D, z在复平面内对应的点(2,1)位于第一象限,错误. 故选BC.
(2)因为复数(m2-1)+(m2-m-2)i为纯虚数,
所以解得m=1.
答案:(1)BC　(2)1
复数相关概念的应用技巧
(1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
跟踪训练1: (1)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为(　　)
(A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2
(2)若复数是纯虚数,则实数a的值为(　　)
(A)2 (B)- (C) (D)-
解析:(1)因为z=1+i,所以=1-i,所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故选A.
(2)因为==
是纯虚数,所以a=2.故选A.
题型二　复数的四则运算
[例2] (1)已知=2+i,则复数z等于(　　)
(A)-1+3i (B)1-3i
(C)3+i (D)3-i
(2)(多选题)数学家发现一元n次方程有n个复数根(重根按重数计),下列选项中属于方程z3-1=0的根的是(　　)
(A)+i (B)-+i
(C)--i (D)1
解析:(1)因为=2+i,
所以=(2+i)(1+i)=2+3i-1=1+3i,
所以z=1-3i.故选B.
(2)对A,当z=+i时,
z3-1=(+i) 3-1
=(+i)2·(+i)-1
=(+i+i2)·(+i)-1
=(-+i)·(+i)-1
=-+(i)2-1
=---1
=-2,
故z3-1=-2≠0,A错误;
对B,当z=-+i时,
z3-1=(-+i)3-1
=(-+i)2·(-+i)-1
=(-i+i2)·(-+i)-1
=(--i)·(-+i)-1
=-(i)2-1
=+-1
=0,
故z3-1=0,B正确;
对C,当z=--i时,
z3-1=(--i)3-1
=(--i)2·(--i)-1
=(+i+i2)·(--i)-1
=(-+i)·(--i)-1
=-(i)2-1
=+-1
=0,
故z3-1=0,C正确;
对D,显然z=1时,满足z3=1,故D正确.故选BCD.
进行复数代数运算的策略
(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项).
②复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意i的幂的性质,区分(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的
形式.
(3)利用复数相等,可实现复数问题的实数化.
跟踪训练2:(1)复数z=|(-i)i|+i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为　　　　;
(2)设z=+i,则|z|=　　　　.
解析:(1)因为(-i)i=i+1,
所以|(-i)i|=|i+1|=2,
所以z=2+i5=2+i,
所以复数z的共轭复数为2-i.
(2)z=+i=+i=+i,
则|z|==.
答案:(1)2-i　(2)
题型三　复数的几何意义
[例3] 复数z满足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值.
解:|z+3-i|=表示以-3+i对应的点P为圆心,
以为半径的圆,如图所示,
则|OP|=|-3+i|==2,
显然|z|max=|OA|=|OP|+=3,
|z|min=|OB|=|OP|-=.
(1)复数的几何意义
复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)
Z(a,b) .
(2)复数的模的几何意义.
(3)复数加减运算的几何意义.
跟踪训练3:已知z∈C且|z|=1,求|z2-z+1|的最值.
解:因为|z|=1,所以z·=1,
所以z2-z+1=z2-z+z=z(z+-1),
所以|z2-z+1|=|z(z+-1)|=|z|·|z+-1|=|z+-1|.
设z=x+yi(x,y∈R),那么|z+-1|=|2x-1|,
又因为|z|=1,所以x2+y2=1.
所以-1≤x≤1,所以-3≤2x-1≤1,
则0≤|2x-1|≤3.
所以|z2-z+1|的最小值为0,最大值为3.
题型四　复数的综合应用
[例4] 设存在复数z同时满足下列两个条件:
(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限;
(2)z·+2iz=8+ai(a∈R).
求a的取值范围.
解:设z=x+yi(x,y∈R),由(1)得x<0,y>0.
由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,即x2+y2-2y+2xi=8+ai,
由复数相等的充要条件,得
即
因为x2+(y-1)2=9表示以(0,1)为圆心,3为半径的圆,且x<0,
所以-3≤x<0,
所以-6≤2x<0,即-6≤a<0,
所以a的取值范围是[-6,0).
复数具有代数形式,且复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)之间建立了一一对应关系,复数又是数形结合的桥梁,要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇.
跟踪训练4: 四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,z.
(1)求复数z;
(2)z是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
解:(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1),
设D的坐标为(x,y),由于=,
所以(x-1,y-3)=(2,-1),
所以x-1=2,y-3=-1,
解得x=3,y=2,故D(3,2),
则点D对应的复数z=3+2i.
(2)因为3+2i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,
所以3-2i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根,
则3+2i+3-2i=,(3+2i)·(3-2i)=,
即p=12,q=26.
第七章　检测试题
选题明细表
知识点、方法 题号
复数的概念 2,3,5,9,10,13
复数的四则运算 1,7,8,14,15,17,20
复数的几何意义 4,6,19
复数知识综合应用 11,12,16,18,21,22
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b等于(　A　)
(A)-2 (B)1 (C)2 (D)4
解析:==b-2i,所以实部为b,虚部为-2,所以b=-2.故选A.
2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=-3”是“复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数”的(　C　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数,则x2+2x-3=0且x-1≠0,解得x=-3,故x=-3 复数z为纯虚数.故选C.
3.若z=,则|z|等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:z===,
所以|z|==.故选A.
4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　B　)
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB为直角三角形.故选B.
5.已知i为虚数单位,复数z=(a∈R)是纯虚数,则|-ai|等于(　C　)
(A) (B)4 (C)3 (D)2
解析:由z==为纯虚数,
所以解得a=-2,所以|+2i|==3.故选C.
6.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　A　)
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,及由|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.故选A.
7.已知复数z1=3-bi,z2=1-2i,若是实数,则实数b等于(　A　)
(A)6 (B)-6 (C)0 (D)
解析:因为===是实数,
所以6-b=0,
所以实数b的值为6.故选A.
8.计算+的值等于(　C　)
(A)0 (B)1 (C)2i (D)i
解析:原式=+=+=+i=
+i=+i=2i.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.若复数z=-i,则(　AC　)
(A)|z|=2 (B)|z|=4
(C)z的共轭复数 =+i (D)z2=4-2i
解析:依题意|z|==2,故A选项正确,B选项错误.
=+i,C选项正确.
z2=(-i)2=3-2i+i2=2-2i,D选项错误.故选AC.
10.设z=(-t2+4t-5)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是(　ABC　)
(A)z对应的点在第二象限
(B)z一定不为纯虚数
(C) 对应的点在实轴的下方
(D)z可以为实数
解析:因为-t2+4t-5=-(t-2)2-1<0, t2+2t+2=(t+1)2+1>0,
所以z对应的点在第二象限.故A正确;
因为-t2+4t-5=0无解,
所以z一定不为纯虚数,故B正确;
因为z与对应的点关于实轴对称,
所以对应的点在第三象限,满足在实轴的下方,故C正确;
因为t2+2t+2=0无解,
所以z一定不是实数,故D错误.故选ABC.
11.已知i为虚数单位,在复平面内,复数z=,以下说法正确的是(　CD　)
(A)复数z的虚部是i
(B)|z|=1
(C)复数z的共轭复数是 =-i
(D)复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
解析:z====+i,
对于A,复数z的虚部是,故A错误;
对于B,|z|==,故B错误;
对于C,复数z的共轭复数是 =-i,故C正确;
对于D,=-i,在复平面内,对应点的坐标为(,-),
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限,故D正确.故选CD.
12.已知z1与z2是共轭虚数,以下4个命题一定正确的是(　BC　)
(A)<|z2|2 (B)z1z2=|z1z2|
(C)z1+z2∈R (D)∈R
解析:z1与z2是共轭虚数,设z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R).
=a2-b2+2abi,虚数不能比较大小,选项A不正确; z1z2=|z1z2|=a2+b2,选项B正确;z1+z2=2a∈R,选项C正确;===+
i不一定是实数,选项D不一定正确.故选BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=　　　　.
解析:设z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=z=|z|2=3.
答案:3
14.已知复数z1=cos 15°+isin 15°和复数z2=cos 45°+isin 45°,则z1·z2=　　　　.
解析:z1·z2=(cos 15°+isin 15°)(cos 45°+isin 45°)=
(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+
cos 15°sin 45°)i=cos 60°+isin 60°=+i.
答案:+i
15.已知a∈R,若为实数,则a=　　　　,||=　　　　.
解析:===+i.
因为为实数,
所以=0,
所以a=-.
所以||=.
答案:-　
16.已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,则纯虚数m的值是　　　　.
解析:方程有实根,不妨设其一根为x0,设m=ai代入方程得
+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0,
化简得,(2x0+1)i++x0+3a=0,
所以解得a=,
所以m=i.
答案:i
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,求z及.
解:因为(1+2i)z=4+3i,
所以z===2-i,
故=2+i.
所以====-i.
18.(本小题满分12分)
已知复数z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数.
(1)求复数z及|z|;
(2)在复平面内,若复数(z-mi)2(m∈R)对应点在第二象限,求实数m的取值范围.
解:(1)因为z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数,
所以(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i是纯虚数,
则即a=-1.
所以z=-1-i,|z|==.
(2)(z-mi)2=[-1-(m+1)i]2=1-(m+1)2+2(m+1)i,
由题意可得解得m>0.
所以实数m的取值范围是(0,+∞).
19.(本小题满分12分)
已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求△APB的面积.
解:(1)由于四边形ABCD是平行四边形,
所以=+,于是=-,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
故对应的复数是-2+2i.
(2)由于=-,
而(3+2i)-(-2+2i)=5,
故对应的复数是5.
(3)由于==-=(-,-2),==(,0),
于是·=-,
而||=,||=,
所以×cos∠APB=-,
因此cos∠APB=-,
故sin∠APB=,
故S△APB=||||sin∠APB=×××=.
故△APB的面积为.
20.(本小题满分12分)
已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由已知条件得a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,
所以2ab=2.
所以a=b=1或a=b=-1,
即z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,所以点A(1,1),B(0,2),
C(1,-1),
所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1;
当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,
z-z2=-1-3i.
所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1.
故△ABC的面积为1.
21.(本小题满分12分)
设复数z1=(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i,a∈R,θ∈(0,π),z2在复平面内对应的点在第一象限,且=-3+4i.
(1)求z2及|z2|;
(2)若z1=z2,求θ与a2的值.
解:(1)设z2=x+yi(x,y∈R),
则=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,
因此x2-y2+2xyi=-3+4i.
所以解得或
所以z2=1+2i或z2=-1-2i.
又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,则z2=-1-2i应舍去,
故z2=1+2i,|z2|=.
(2)由(1)知(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i=1+2i,
即解得cos θ=,
因为θ∈(0,π),所以θ=,
所以a2=1+4sin2θ=1+4×=4.
综上可知,θ=,a2=4.
22.(本小题满分12分)
设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围.
(2)设μ=,求证:μ为纯虚数.
(1)解:因为z是虚数,
所以可设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),
则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=(x+)+(y-)i.
因为ω是实数,且y≠0,
所以y-=0,即x2+y2=1.
所以|z|=1,此时ω=2x.
又-1<ω<2,所以-1<2x<2.
所以-即z的实部的取值范围是(-,1).
(2)证明:μ==
=
=.
又x2+y2=1,所以μ=-i.
因为y≠0,所以μ为纯虚数.

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