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6.1　平面向量的概念
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核心知识目标 核心素养目标
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,了解向量的实际背景.掌握向量与数量的区别. 2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置. 3.理解向量、零向量、单位向量、向量的长度(模)的意义,了解平行向量(共线向量)和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 1.从力、速度、位移等实际情景入手认识向量,经历从具体到抽象的知识发展过程,达成数学抽象及直观想象的核心素养. 2.通过有向线段、字母表示向量,培养直观想象及数学抽象的核心素养. 3.通过零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念的学习,发展数学抽象、直观想象及逻辑推理的核心素养.
1.向量的概念及表示
(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
(3)两个特殊向量
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
1.下列量不是向量的是(　C　)
(A)力 (B)速度
(C)质量 (D)加速度
2.(多选题)已知向量a如图所示,下列说法正确的是(　ABC　)
(A)也可以用表示 (B)方向是由M指向N
(C)起点是M (D)终点是M
解析:向量的终点为N,故D错.故选ABC.
3.设e1,e2是两个单位向量,则下列结论中正确的是(　C　)
(A)e1=e2 (B)e1∥e2
(C)|e1|=|e2| (D)以上都不对
解析:单位向量模相等.故选C.
4.设O是正三角形ABC的中心,则向量,,是　　　　(填上正确的序号).
①平行向量;②模相等的向量;③相等向量.
解析:由O是正三角形ABC的中心,知O点到三个顶点A,B,C的距离相等,所以,,的模相等,但三个向量的方向既不相同也不相反.
答案:②
　向量的有关概念及辨析
[例1] 判断下列命题是否正确,请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
(3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b;
(4)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反;
(5)由于0方向不确定,故0不与任意向量平行.
解:(1)因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小,所以不正确.
(2)由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系,因此不正确.
(3)因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b,因此正确.
(4)若向量a与向量b有一个是零向量,则其方向不定,因此不正确.
(5)由于0与任意向量平行,因此不正确.
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练11:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1)向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上;
(2)单位向量都相等;
(3)四边形ABCD是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为0;
(5)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量,在同一直线上.
(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
(3)(4)正确;
(5)不正确,如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
[备用例1] (多选题)下列说法错误的有(　　)
(A)向量与向量的长度相等
(B)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
(C)零向量都是相等的
(D)若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
解析:两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;两个单位向量若反向,则不相等,故B,D都错误,A,C正确.故选BD.
　相等向量与共线向量
[例2]
O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中,
(1)分别找出与, 相等的向量;
(2)找出与共线的向量;
(3)找出与模相等的向量;
(4)向量与是否相等
解:(1)=,=.
(2)与共线的向量有,,.
(3)与模相等的向量有,,,,,,.
(4)向量与不相等,因为它们的方向不相同.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.
即时训练21:
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB的线段,在所标的向量中,
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与方向相同的向量;
(3)写出与相等的向量.
解:(1)等腰梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,AD=BC.
与共线的向量有,,,.
(2)与方向相同的向量有,,,.
(3)与相等的向量为.
[备用例2]
如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
(2)与a共线的向量有哪些
(3)请一一列出与a,b,c相等的向量.
解:(1)与a的长度相等、方向相反的向量有,,,.
(2)与a共线的向量有,,,,,,,,.
(3)与a相等的向量有,,;
与b相等的向量有,,;
与c相等的向量有,,.
　向量的表示与向量的模
[例3] 在如图所示的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1. (1)试以B为始点画一个向量b,使b=a;
(2)画一个以C为始点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么,然后作出轨迹;
(3)试以C为始点画一个向量d,使|d|=3且d与a方向相反.
解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,方向与a相同,且长度相等,如图.
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图.
(3)如图.
(1)向量的两种表示方法
①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.②字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如,,等.
(2)向量的模也就是向量的长度,求解已知图形中的向量的模的问题,一般转化为求图形中线段的长度问题.
即时训练31:已知边长为6的等边三角形ABC,E,F分别为BC边的三等分点,求向量与的模.
解:因为E,F分别为BC边的三等分点,BC=6,
设D为边BC的中点,连接AD,
则AD⊥BC,DE=1.
AD===3,
所以AE===2.
同理得AF=2,
所以||=||=2.
[备用例3] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向上;
(2),使||=4,点B在点A正东方向上;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向上.
解:(1)由于点A在点O北偏东45°方向上,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格的边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向上,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上,且||=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C的位置可以确定,画出向量,如图所示.
1.下列结论正确的个数是(　B　)
①温度含零上和零下,所以温度是向量;
②向量的模是一个正实数;
③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
④若|a|>|b|,则a>b.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:只有③正确.故选B.
2.(多选题)给出下列四个命题,其中正确的命题是(　BC　)
(A)若|a|=|b|,则a=b
(B)若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
(C)若a=b,b=c,则a=c
(D)a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b
3.(教材习题改编)如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)在所标的向量中,与向量相等的向量为　　　　;
(2)若||=3,则向量的模等于　　　　.
答案:(1),　(2)6
4.给出以下五个条件:
①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是　　　　(填序号).
解析:相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任意向量平行,④成立.
答案:①③④
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的有关概念及辨析 1,3,7
相等向量与共线向量 2,4,5,6,12
向量模的问题 8,9,13,14
向量的表示及应用 10,11
基础巩固
1.下列说法中正确的是(　B　)
(A)单位向量与任一向量平行
(B)两个方向相反的向量必是共线向量
(C)两个非零向量平行,则这两个向量相等
(D)方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
2. 如图,在☉O中,向量,,是(　C　)
(A)有相同起点的向量
(B)共线向量
(C)模相等的向量
(D)相等向量
解析:它们的模相等,都等于圆的半径.
3.下列命题正确的是(　B　)
(A)共线向量一定在同一条直线上
(B)所有零向量都相等
(C)向量a与b共线,b与c共线,则a与c共线
(D)平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量
4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,则向量,,,,,中的共线向量有(　C　)
(A)1对 (B)2对
(C)3对 (D)4对
解析:与,与,与都是共线向量.故选C.
5.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=　　　　.
解析:与不共线,零向量的方向是任意的,它与任意向量平行,所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
答案:0
6. 如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有　　　.(填序号)
①=;②∥;③与共线;④=.
解析:与方向相同,长度相等,所以①正确;
因为A,O,C三点在一条直线上,
所以∥,②正确;
因为AB∥DC,所以与共线,③正确;
与方向不同,所以二者不相等,④错误.
答案:①②③
能力提升
7.(多选题)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C=
{与a长度相等、方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列命题中正确的是(　ACD　)
(A)C A (B)A∩B={a}
(C)C B (D)A∩B {a}
解析:A∩B={与a长度相等且共线的向量},B错误.ACD正确,故选ACD.
8.(多选题) 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则以下说法正确的是(　ABC　)
(A)与相等的向量只有一个(不含)
(B)与的模相等的向量有9个(不含)
(C)的模恰为的模的倍
(D)与不共线
解析:由于=,因此与相等的向量只有,而与的模相等的向量有,,,,,,,,,因此选项A,B正确;而
Rt△AOD中,∠ADO=30°,所以||=||,故||=||,因此选项C正确;由于=,因此与是共线的,故选项D错误.故选ABC.
9.四边形ABCD满足=,且||=||,则四边形ABCD是　　　　(填四边形ABCD的形状).
解析:因为=,所以AD∥BC且||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.
由||=||知该平行四边形对角线相等,故四边形ABCD是矩形.
答案:矩形
10.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置向量.
解:(1)向量,,,如图所示.
(2)由题意知=,
所以四边形ABCD为平行四边形,
所以=,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°,6千米”.
11. 如图所示,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体
ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
解:(1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的 ,,
,,,,,,这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有 8个.
(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为 ,故模为的向量有,,,,,,,共8个.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)有,及.
应用创新
12. (多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是(　ABD　)
(A)||=|| (B)与共线
(C)与共线 (D)=
解析:由向量相等及共线的概念,结合图形可知C不一定正确.故选ABD.
13. 如图所示,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为　　　　.
解析: 如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,
所以||=||.
因为△ADE∽△BDC,
所以==,
故||=.
答案:
14.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量.
(2)求||的最大值与最小值.
解:(1)共有8种情况,如图.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C在点C1或C2时,
||取得最小值=.
②当点C在点C5或C6时,
||取得最大值=.6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
6.2.2　向量的减法运算
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核心知识目标 核心素养目标
1.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和. 2.掌握向量加法的交换律和结合律,并会运用它们进行向量运算. 3.理解向量求和的多边形法则. 4.掌握向量减法的运算,并理解其几何意义. 1.以位移合成、力的合成这两个物理模型为背景引入向量的加法运算,体会向量加法运算的形成过程,达成数学抽象及数学运算的核心素养. 2.由向量的加法运算类比得到向量的减法运算,发展数学抽象及逻辑推理的核心素养. 3.通过向量的加法与减法的运算法则、运算律及其几何意义的学习,培养逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养.
1.向量的加法的定义、运算法则及运算律
定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法
法 则 三 角 形 法 则 前提 已知非零向量a,b
作法 在平面内任取一点A, 作=a,=b,再作向量
结论 向量叫做a与b的和, 记作a+b=+=
图形
平 行 四 边 形 法 则 前提 已知不共线的两个向量a,b
作法 在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量=a,=b,以OA,OB为邻边作 OACB
结论 就是a与b的和
图形
续　表
规定 零向量与任意向量a的和,都有a+0=0+a=a
运 算 律 交换律 a+b=b+a
结合律 a+(b+c)=(a+b)+c
2.相反向量
(1)定义:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.a与-a互为相反向量,-(-a)=a.
(2)性质
①a+(-a)=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
③0的相反向量是0.
3.向量的减法的定义、运算法则及几何意义
(1)向量的减法的定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a - b = a + (-b),求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(2) 运算法则:在平面内取一点O,作=a,=b,则=a-b.
(3)几何意义:a-b表示为从向量b的终点指向a的终点的向量.
(4)向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.
②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,或简记“终点向量减去始点向量”.
1.在△ABC中,=a,=b,则等于(　B　)
(A)a-b (B)b-a (C)a+b (D)-a-b
解析:=+=+(-)=b-a.
故选B.
2.在平行四边形ABCD中,+等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以由向量加法的平行四边形法则可得+=.故选A.
3.(多选题)可以写成(　AD　 )
(A)+ (B)-
(C)- (D)-
解析:因为+=,-=,故选AD.
4.化简:--=　　　　.
解析:--=--=-=.
答案:
　向量加、减法的三角形法则
和平行四边形法则
[例1] (1)如图①所示,求作向量和a+b;
(2)如图②所示,求作向量和a+b+c.
解:(1)
首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.
如图所示.
(2) 法一　(三角形法则)如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
法二　(平行四边形法则)如图所示,
首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c即为所求.
法三　(多边形法则)如图所示,
首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,然后作向量=c,
则向量=a+b+c即为所求.
(1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法
法则 作法
三角形 法则 ①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和
平行四 边形法 则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和
(2)向量减法的三角形法则作图的方法
此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”.
即时训练11:如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
解:
如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
[备用例1] 如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,
求作:
(1)向量b+c-a;
(2)向量a-b-c.
解:
(1)以,为邻边作 OBDC,如图①,连接OD,AD,则=+=b+c,=-=b+c-a.
(2)由a-b-c=a-(b+c),如
图②,
作 OBEC,连接OE,则=+=b+c,连接AE,则=a-(b+c)=a-b-c.
　向量加法运算律的应用
[例2] 化简:
(1)+;
(2)++;
(3)++++;
(4)+--;
(5)(++)-(--).
解:(1)+=+=.
(2)++=++
=(+)+
=+
=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+
=0.
(4)+--
=(-)+(-)
=+=.
(5)(++)-(--)
=+-+
=+++
=+
=0.
求解向量加法运算的方法
(1)①要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,必要时可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.特别注意勿将0写成0.
②将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.
(2)注意满足下列两种形式的可以化简
①首尾相连且为和.
②始点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
即时训练21:化简下列式子:
(1)---;
(2)(-)-(-).
解:(1)原式=+-=+=-=0.
(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
[备用例2] 化简:--.
解:法一　--=-=.
法二　--=-(+)=
-=.
法三　--=+(+)=
+(+)=+=+=.
　利用向量加减法判断平面图形的几何形状
[例3] 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量,,,满足+=+,则四边形ABCD的形状为　　　　.
解析:因为+=+,
所以-=-,
所以=.
所以||=||,且DA∥CB,
所以四边形ABCD是平行四边形.
答案:平行四边形
要熟悉并会应用平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质.基本思路是先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.
即时训练31:在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是(　　)
(A)菱形 (B)矩形
(C)正方形 (D)不确定
解析:由=,可得四边形ABCD为平行四边形,
由|-|=|-|,可得||=||,故四边形ABCD为矩形.故选B.
即时训练32:在四边形ABCD中,=,若||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　.
解析:由=,可得四边形ABCD为平行四边形,
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形ABCD为菱形.
答案:菱形
[备用例3] 若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|.
证明:△ABC是直角三角形.
证明:因为-+-=+,
-==-,
又|-|=|-+-|,
所以|-|=|+|,
所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以此平行四边形为矩形,
所以AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.有下列等式:
①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;
④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a+(-a)=0.
其中正确的个数是(　C　)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:两个向量的和还是向量,只有⑥错误.故选C.
2.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论正确的是(　ABD　)
(A)+=0
(B)-=
(C)+=
(D)+=0
解析:由||=||,且与的方向相反,知与是一对相反向量,则+=0,故A正确;由向量减法的运算法则知-=,故B正确;
由-=,得=+,故C错误;与是一对相反向量,所以+=0,故D正确.故选ABD.
3. 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++=　　　　.
解析:由题图知--++=-+=.
答案:
4.(教材习题改编)若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=　　　　;向量a+b的方向为　　　　.
解析:
如图所示,作=a,=b,则a+b=+=,
所以|a+b|=||==8.
由题意得∠AOB=45°,所以a+b的方向是东北方向.
答案:8 km　东北方向
选题明细表
知识点、方法 题号
向量的加法法则 1,2,4,11,14
向量的加法及向量的减法运算 12
向量减法的几何意义 3,5,6,7,13
向量加减法的应用 8,9,10
基础巩固
1.(多选题)下列等式正确的是(　ACD　)
(A)a+0=0+a=a
(B)++=0
(C)+=0
(D)+=++
解析:选项A正确.选项B中,++=+=2≠0,故B错.选项C,D正确.故选ACD.
2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析: 在图中取点M,使+=,如图所示,而=.故选C.
3.(多选题)下列各式中能化简为的是(　ABC　)
(A)(-)-
(B)-(+)
(C)-(+)-(+)
(D)--+
解析:选项A中,(-)-=++=++=;选项B中,-(+)=-0=;选项C中,-(+)-(+)=
----=+++=(++)+=;选项D中,--+=2+≠.故选ABC.
4. 如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|等于(　B　)
(A)1 (B)2
(C)3 (D)2
解析:由正六边形知=,所以++=++=,所以|++|=||=2.故选B.
5. 如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为(　C　)
(A)a+b-c (B)a-b+c
(C)b-a+c (D)b-a-c
解析:依题意=-=+-,即=b-a+c,故选C.
6.若||=10,||=7,则||的取值范围为　　　　.
解析:因为=-,
所以||=|-|.
又|||-|||≤|-|≤||+||,
3≤|-|≤17,
所以3≤||≤17.
答案:[3,17]
能力提升
7.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,给出下列结论,其中正确的为(　ABCD　)
(A)|-|=|+|
(B)|-|=|-|
(C)|-|=|-|
(D)|-|2=|-|2+|-|2
解析: 如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则它是正方形,根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确.故选ABCD.
8.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式+=+,则四边形ABCD是(　D　)
(A)等腰梯形 (B)正方形
(C)菱形 (D)平行四边形
解析:由+=+得-=-,即=,故BACD,所以四边形ABCD是平行四边形,故选D.
9.若O是△ABC内一点,++=0,则O是△ABC的(　B　)
(A)垂心 (B)重心 (C)内心 (D)外心
解析:由++=0得+=-,而+表示的是以OA,OB为邻边的平行四边形对角线所在的向量,结合图形易得O是△ABC的重心.故选B.
10.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有　　　　.
①;②;③;④;⑤+;⑥-;⑦+.
解析:化简-+=+=,①合题意;
由正六边形的性质,结合图可得向量,,与向量方向不同,
根据向量相等的定义可得向量,,与向量不相等,②③④不合题意;
因为+=+=≠,⑤不合题意;-=≠,⑥不合题意;+=≠,⑦不合题意.
答案:①
11. 如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为　　　　,方向为　　　　　　.
解析: 以,为邻边作平行四边形BOAC,则F1+F2=F,即+=,则∠OAC=60°,||=24,
||=||=12,所以∠ACO=90°,
所以||=12.
所以F1与F2的合力大小为12 N,方向为竖直向上.
答案:12 N　竖直向上
应用创新
12. 如图,已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则(　A　)
(A)++=0
(B)-+=0
(C)+-=0
(D)--=0
解析:因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,
所以=,=,=,=,
所以++=++=0,故A成立.
-+=+-=+=≠0,故B不成立.
+-=+=+=≠0,故C不成立.
--=-=+≠0,故D不成立.故选A.
13.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为　　 　　,
||的取值范围是　　　　.
解析:因为-+=++=,
又||=2,所以|-+|=||=2.
又因为=+,且在菱形ABCD中,||=2,
所以|||-|||<||=|+|<||+||,即0<||<4.
答案:2　(0,4)
14. 如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d;
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
解: (1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,
则=a+b+c+d.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=+=,
因为e为单位向量,
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
||即|a+e|最大,最大值是3.6.2.3　向量的数乘运算
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题. 1.通过向量数乘运算知识的形成过程,体会概念及性质的产生发展的过程,达成数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 2.通过向量共线定理的学习与应用,培养逻辑推理与数学运算的核心素养.
1.向量的数乘运算
(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.它的长度和方向规定如下:
①|λa|=|λ||a|;
②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
(2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有
①λ(μa)=(λμ)a;
②(λ+μ)a=λa+μa;
③λ(a+b)=λa+λb.
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
2.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
1.(2a-b)-(2a+b)等于(　B　)
(A)a-2b (B)-2b (C)0 (D)b-a
解析:原式=2a-2a-b-b=-2b.故选B.
2.点C在直线AB上,且=3,则等于(　D　)
(A)-2 (B)
(C)- (D)2
解析:如图,=3,所以=2.故选D.
3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则(　B　)
(A)A,B,C三点共线 (B)A,B,D三点共线
(C)A,C,D三点共线 (D)B,C,D三点共线
解析:因为+=a+4b,即+=,所以=,即存在λ=1使=λ,
所以,共线.
又因为两向量有公共点B,所以A,B,D三点共线.
故选B.
4.已知a与b共线,且方向相同,若|a|=8|b|,则a=　　　　b.
解析:因为a与b共线,且方向相同,所以a=λb(λ>0),
所以|a|=|λb|=|λ||b|.
又|a|=8|b|,所以|λ|=8(λ>0).所以a=8b.
答案:8
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
　数乘运算的定义及其几何意义
[例1] 已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确命题的个数为(　　)
①λ<0,λa与a的方向一定相反;
②λ>0,λa与a的方向一定相同;
③λ≠0时,λa与a是共线向量;
④λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与μa是反向的,故⑤正确.故选D.
(1)当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向(a≠0).
(2)当λ=0且a≠0时,或当λ≠0且a=0时,λa=0,注意是0,而不是0.
即时训练11:(1)(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,下列说法中正确的是(　　)
(A)a与-λa的方向相反
(B)|-λa|=λa
(C)a与λ2a方向相同
(D)|-2λa|=2|λ||a|
(2)已知a,b为两个非零向量,则下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①2a与a的方向相同,且2a的模是a的模的两倍;
②-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;
③-3a与3a是一对相反向量;
④a-b与-(b-a)是一对相反向量.
解析:(1)由已知可得若λ<0,则a与-λa的方向相同,故A错误;由于实数与向量不能比较大小,故B错误;a与λ2a方向相同,故C正确;D中|-2λa|=2|λ||a|正确.故选CD.
(2)因为2>0,所以2a与a的方向相同且|2a|=2|a|,故①正确;因为5>0,所以5a与a的方向相同且|5a|=5|a|,而-2<0,所以-2a与a的方向相反,且|-2a|=2|a|,所以5a与-2a的方向相反,且-2a的模是5a的模的,故②正确;按照相反向量的定义可以判断,③正确;因为-(b-a)与b-a是一对相反向量,而a-b与b-a是一对相反向量,所以a-b与-(b-a)为相等向量,故④错误.
答案:(1)CD　(2)①②③
[备用例1] 已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且AB∶AC=2∶3.
(1)用表示;(2)用表示.
解:如图①,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
(1)如图②,向量与方向相同,所以=2;
(2)如图③,向量与方向相反,所以=-3.
　向量的线性运算
[例2] (1)计算.
①4(a+b)-3(a-b)-8a;
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c).
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求(a-b)-(a-b)+(2b-a).
解:(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a
=-7a+7b.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c
=-a-c.
(2)原式=a-b-a+b+2b-a
=(-1-1)a+(-1++2)b
=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)
=(-5+)i+(--)j
=-i-5j.
向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
即时训练21:(1)化简:[(4a-3b)+b-(6a-7b)]=　　　　;
(2)若2(y-a)-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　 .
解析:(1)原式=(4a-3b+b-a+b)
=[(4-)a+(-3++)b]
=a-b.
(2)将原等式变形为2y-a-c-b+y+b=0,
即y-a-c+b=0,
y=a-b+c,
所以y=(a-b+c)=a-b+c.
答案:(1)a-b　(2)a-b+c
　向量共线的判定及应用
[例3] 设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线.
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
(1)证明:因为=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
而=-=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2,
所以与共线.又因为有公共点B,所以A,B,C三点共线.
(2)解:因为8a+kb与ka+2b共线,
所以存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.因为a与b不共线,
所以
解得λ=±2,所以k=2λ=±4.
(1)证明或判断三点共线的方法
①一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.
②利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
即时训练31:设向量a,b不共线,向量λa+b与a+2b共线,则实数λ=　　　　.
解析:由向量共线定理可知存在实数k,λa+b=k(a+2b),即λa+b=ka+2kb,所以λ=k且2k=1,
解得λ=k=.
答案:
[备用例2] 已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.
证明:(1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),所以-=m(-),即=m,所以与共线.
又因为与有公共点B,
所以A,P,B三点共线.
(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使=λ,
所以-=λ(-).
又=m+n,
故有m+(n-1)=λ-λ,
即(m-λ)+(n+λ-1)=0.
因为O,A,B不共线,所以,不共线,
所以所以m+n=1.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.下列运算正确的个数是(　C　)
①(-3)·2a=-6a;
②2(a+b)-(2b-a)=3a;
③(a+2b)-(2b+a)=0.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2.
如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ等于(　A　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)
解析:由题可得,在平行四边形ABCD中,+==2,故λ=2.故选A.
3.化简4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
解析:4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
答案:10a
4.(教材习题改编)点C在线段AB上,且=,则=　　　 ,=　　　 .
解析:因为=,
所以点C为线段AB的5等分点,
所以=,=-.
答案:　-
选题明细表
知识点、方法 题号
数乘运算的定义及其几何意义 2,4,7,8
向量的线性运算 1,9,10,12
向量共线的判定及应用 5,6,14
共线向量定理的综合应用 3,11,13
基础巩固
1.(3a+b+c)-(2a+b-c)等于(　A　)
(A)a-b+2c (B)5a-b+2c
(C)a+b+2c (D)5a+b
解析:(3a+b+c)-(2a+b-c)=(3a-2a)+(b-b)+(c+c)=a-b+2c,
故选A.
2.在△ABC中,D为BC的中点,点E满足=,则等于(　C　)
(A)+ (B)+
(C)+ (D)+
解析: 如图,因为D为BC的中点,=,所以==+.故选C.
3.若5+3=0,且||=||,则四边形ABCD是(　D　)
(A)平行四边形 (B)菱形
(C)矩形 (D)等腰梯形
解析:由5+3=0知,∥且||≠||,所以此四边形为梯形.又||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.故选D.
4. 如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,
=b,则等于(　D　)
(A)a-b (B)a-b
(C)a+b (D)a+b
解析:连接OD,CD(图略),由题意可得,四边形AODC为平行四边形,所以=+=a+b.故选D.
5.(多选题)已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),则以下结论正确的是(　AD　)
(A)若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2
(B)若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2
(C)存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线
(D)不存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线
解析:非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),
若e1与e2不共线,a与b共线,可得λa=b(λ∈R),即2λ=k,-λ=1,解得k=-2.所以A正确,B错误;
若e1与e2共线,可得e1=me2(m∈R),a=2e1-e2=(2m-1)e2,b=ke1+e2=
(km+1)e2,可得a与b共线,所以C错误,D正确.故选AD.
6.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　.
解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,
所以ka+2b=λ(8a+kb) k=8λ,2=λk k=-4(因为方向相反,
所以λ<0 k<0).
答案:-4
7.已知点M是△ABC的重心,若存在实数m使得+=m成立,则m=　　　　.
解析: 如图,=,
而+=2,
故+=2×=3,所以m=3.
答案:3
能力提升
8.P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则P点一定在(　B　)
(A)△ABC内部 (B)AC边所在直线上
(C)AB边所在直线上 (D)BC边所在直线上
解析:根据题意,=λ+ -=λ =λ,所以点P在AC边所在直线上.故选B.
9. 如图所示,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则等于(　D　)
(A)-+ (B)+
(C)- (D)-
解析:由三角形法则得=-,
=+.
因为E为BC的中点,F为AE的中点,
所以=,=,
所以=-=-=(+)-=+-.
又因为=,所以=-.
故选D.
10.在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=　　　　;y=　　　　.
解析:因为=2,所以=.
因为=,
所以=(+),
所以=-
=(+)-
=-.
又=x+y,
所以x=,y=-.
答案:　-
11.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,求证:四边形ABCD为梯形.
证明: 如图所示.
因为=++
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
所以=2.
所以与共线,且||=2||.
又因为这两个向量所在的直线不重合,
所以AD∥BC,且AD=2BC.
所以四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.
应用创新
12.△ABC中,D是AB的中点,M是DC上一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析: 如图所示,由5=+3,得2=2+3-3,
即2(-)=3(-),
即2=3,
所以=,
所以△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5,
所以S△ABM∶S△ABC=3∶5.
故选C.
13.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　ACD　)
(A)若=+,则点M是边BC的中点
(B)若=2-,则点M在边BC的延长线上
(C)若=--,则点M是△ABC的重心
(D)若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
解析:由=+ -=-.
即=,则点M是边BC的中点,故A正确;
若=2-,即有-=-,即=,
则点M在边CB的延长线上,故B错误;
若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;
若=x+y,
且x+y=,
可得2=2x+2y,设=2,
由图可得M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD.
14.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,
=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若=3e1-ke2,且∥,求实数k的值.
(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.
因为=2e1-8e2,所以=2.
又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)解:由(1)可知=e1-4e2,又=3e1-ke2,
所以可设=λ(λ∈R),
所以3e1-ke2=λe1-4λe2,
即解得k=12.6.2.4　向量的数量积
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解平面向量数量积的物理背景. 2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律,理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 1.通过理解平面向量数量积的物理背景,学习向量的夹角及数量积的概念及几何意义,进一步体验数学抽象、直观想象及数学运算的核心素养. 2.通过利用向量的数量积求向量的模、向量的夹角以及判断两个非零向量是否垂直,培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.向量的夹角
(1)如图,已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)显然,当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作 a·b,则a·b=
|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
3.向量的投影
(1)如图(1),设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
(2)如图(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
(3)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],都有=|a|cos θ e.
4.向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a∥b时,a·b=
(4)|a·b|≤|a||b|.
(5)a·a=|a|2或|a|==.
5.数量积运算的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
1.已知|a|=4,|b|=2,当它们之间的夹角为时,a·b等于(　B　)
(A)4 (B)4 (C)8 (D)8
解析:根据向量数量积的定义得a·b=|a||b|·cos =4×2×cos =4.故选B.
2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么向量|a-b|2等于(　C　)
(A)2 (B)2 (C)3 (D)6
解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×cos 60°+12=3.故选C.
3.若|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角等于　　　　.
解析:设a与b的夹角为θ,
因为a-b与a垂直,
所以(a-b)·a=0,即a2-b·a=0,
所以a·b=a2=|a|2=1,
所以cos θ===.
因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.
所以a与b的夹角为45°.
答案:45°
4.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.
解析:因为与b方向相同的单位向量为=b,设a与b的夹角为θ,
则cos θ=,所以|a|cos θ==,
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·=·b=b.
答案:b
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
　平面向量数量积概念的应用
[例1]
如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·.
解:(1)因为∥,且方向相同,
所以与的夹角是0°,
所以·=||||cos 0°=3×3×1=9.
(2)因为与的夹角为60°,
所以与的夹角为120°,
所以·=||||·cos 120°
=4×3×(-)=-6.
变式训练11:若本例的条件不变,求·.
解:因为=+,=-,
所以·=(+)·(-)=
-=9-16=-7.
利用定义求向量数量积的方法
求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
即时训练11:已知正三角形ABC的边长为1,求:
(1)·;(2)·;(3)·.
解:(1)因为与的夹角为60°,
所以·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)因为与的夹角为120°,
所以·=||||cos 120°=1×1×(-)=-.
(3)因为与的夹角为60°,
所以·=||||cos 60°=1×1×=.
[备用例1] △ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,求·.
解:·=·(-)=
·-·,
如图所示,过O作OE⊥AC于E,作OF⊥AB于F.根据数量积的定义,得·-·=3|AE|-2|AF|=3×-2×1=.
　求投影向量
[例2] 已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量是　　　　　,向量e在向量a上的投影向量是　　　　　　.
解析:向量a在向量e上的投影向量是|a|cos θ e=4cos =-2e.因为与向量a方向相同的单位向量为=a,所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cos θ·=cos ·a=-a.
答案:-2e　-a
向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量,且e=)中计算即可.
即时训练21:已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是　　　　.
解析:向量a在向量b上的投影向量是
|a|cos 60°=4××b=b.
答案:b
　平面向量数量积的运算律及
　其应用
探究角度1　利用向量数量积运算律求数量积
[例3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120°,a,c的夹角是45°.求:
(1)a·b;
(2)(a-2b)·(3a+b);
(3)a·(a-4b+c).
解:(1)a·b=|a||b|cos 120°=3×4×(-)=-6.
(2)(a-2b)·(3a+b)=3a2+a·b-6a·b-2b2=3|a|2-5a·b-2|b|2=3×32-5×3×4×cos 120°-2×42=25.
(3)a·(a-4b+c)=a2-4a·b+a·c=|a|2-4|a||b|cos 120°+|a||c|cos 45°
=32-4×3×4×(-)+×3×5×=48.
计算(λ1a+μ1b)·(λ2a+μ2b),可以类比多项式乘法运算律.
即时训练31:(1)已知a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　)
(A)4 (B)3 (C)2 (D)0
(2)在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E是CD的中点,则·的值为　　　　.
解析:(1)a·(2a-b)=2a·a-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3.故选B.
(2)·=(+)·(-)=-·=1-×4-×2×1×=-.
答案:(1)B　(2)-
[备用例2] 在△ABC中,已知∠A=120°,∠B=∠C=30°,AB=AC=1,则·+·+·=　　　　.
解析:过A作AD⊥BC,垂足为D.
因为AB=AC,
所以BC=2BD=2×AB×cos B=2×1×=.
法一　·=||||cos(180°-30°)
=1××(-)=-,
·=||||cos(180°-30°)
=×1×(-)=-,
·=||||cos(180°-120°)
=1×1×=,
所以·+·+·
=--+=-.
法二　·+·+·
=·(+)+·
=·+·=-·-·
=-××cos 0°-1×1×cos 120°
=-3+=-.
答案:-
探究角度2　利用向量数量积运算律求模
[例4] 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角θ为.
求|a+b|,|a-b|.
解:a·b=|a||b|cos θ=5×5×=.
|a+b|==
==5.
|a-b|==
==5.
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量的数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.
即时训练41:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一　因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2a·b=4,
所以a·b=3.
所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+9+2×3=16,所以|a+b|=4.
法二　因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2,|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,
所以|a-b|2+|a+b|2=2a2+2b2=2×1+2×9=20.
又|a-b|=2,
所以|a+b|2=16,
所以|a+b|=4.
[备用例3] 已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　.
解析:|a+2b|=
=
=
==2.
答案:2
探究角度3　利用向量数量积运算律求解垂直问题
[例5] 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,设m与n的夹角为θ,cos =,若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)
(A)4 (B)-4
(C) (D)-
解析:由题意知,cos θ===,
所以m·n=|n|2=n2,
由题意得n·(tm+n)=0,
所以tm·n+n2=0,即tn2+n2=0,
所以t=-4.
故选B.
涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.
即时训练51:已知a⊥b,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直,则k的值为(　　)
(A)- (B) (C)± (D)1
解析:因为3a+2b与ka-b互相垂直,
所以(3a+2b)·(ka-b)=0,
所以3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.因为a⊥b,所以a·b=0,所以12k-18=0,k=.故选B.
[备用例4] 已知向量||=1,||=,若OA⊥OB,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m,n∈R),则=　　　　.
解析:因为||=1,||=,OA⊥OB,
所以||=2=2||,所以∠OBA=30°.
又因为∠AOC=30°,所以⊥,
故(m+n)·(-)=0.
从而-m+n=0,
所以3n-m=0,即m=3n,
所以=3.
答案:3
探究角度4　利用向量数量积的运算律求夹角
[例6] 若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a-b与b的夹角为(　　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,由|a-b|=2|a|可得3a2=b2,所以|b|=|a|.设向量a-b与b的夹角为θ,则cos θ===-=-,又θ∈[0,π],所以θ=.故选D.
已知平面向量的长度和数量积,利用cos =计算,若是特殊角,再求向量的夹角.
即时训练61:已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,求a与b的夹角.
解:因为(a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2,|a|=|b|=2,所以a·b=2.
设a与b的夹角为θ,所以cos θ==,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.已知|a|=3,|b|=2,则(a+b)·(a-b)等于(　C　)
(A)2 (B)3
(C)5 (D)-5
解析:因为|a|=3,|b|=2,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=9-4=5.故选C.
2.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中的真命题为(　ABC　)
(A)|a·b|=|a||b| a∥b
(B)a,b反向 a·b=-|a||b|
(C)a⊥b |a+b|=|a-b|
(D)|a|=|b| |a·c|=|b·c|
解析:A.设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ,
所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,
所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故是真命题.
B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆,故是真命题.
C.当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线相等,
即有|a+b|=|a-b|.
反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,
所以有a⊥b.故是真命题.
D.当|a|=|b|,但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,有|a·c|≠|b·c|,反过来,由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|,故是假命题.故选ABC.
3.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=　　　　.
解析:根据题意,得|a+2b|==.
答案:
4.(教材习题改编)已知|a|=1,|b|=,且(a+b)与a垂直,则a与b的夹角θ是　　　　.
解析:由题意得(a+b)·a=a2+a·b=0,所以a·b=-a2=-1,
所以cos θ===-.
又θ∈[0,π],所以θ=.
答案:
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量数量积概念的应用 1,7,9,11,12
投影向量 3,5
与向量模有关的问题 2,8
两个向量的夹角与垂直问题 4,6,10,13
基础巩固
1.(多选题)设a,b,c是三个向量,则下列说法正确的是(　CD　)
(A)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
(B)若a·b=0,则a=0或b=0
(C)若a,b反向,则a·b=-|a||b|
(D)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析:A中a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即A不正确;B中a·b=0 a⊥b或a=0或b=0,即B不正确;C中因为a,b反向,所以a与b的夹角为180°,所以a·b=|a||b|cos 180°=
-|a||b|,故C正确;D中左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即D正确.故选CD.
2.已知向量a,b,若|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于(　B　)
(A)1 (B)
(C)2 (D)
解析:因为|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,
所以a·b=-.
则|2a+b|2=4|a|2+|b|2+4a·b=3,因此|2a+b|=.故选B.
3.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b等于(　D　)
(A)3 (B)
(C) (D)
解析:因为a在b上的投影向量为|a|cos θ=b,所以=,即|a|cos θ=.
所以a·b=|a||b|cos θ=3×=.
故选D.
4.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=,则a与b的夹角θ是(　B　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为a,b均为单位向量,且|a-2b|=,
则a2-4a·b+4b2=3,
所以a·b=,故cos θ==,又因为θ∈[0,π],故θ=π,
故选B.
5.已知|a|=3,|b|=5,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b上的投影向量为　　　　.
解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e=3×(-)e=-e.
答案:-e
6.已知单位向量a和b满足|a+b|=|a-b|,则a与b的夹角的余弦值为　　　　.
解析:因为a和b是单位向量,所以|a|=|b|=1.
因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=5|a-b|2,
即a2+2a·b+b2=5a2-10a·b+5b2,
解得a·b=,
所以a与b的夹角的余弦值为==.
答案:
能力提升
7.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,则·+
·+·的值等于(　D　)
(A)-7 (B)7
(C)25 (D)-25
解析:由条件知∠ABC=90°,
所以原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25.
故选D.
8.已知|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为,如图所示,若=5a+2b,
=a-3b,且D为BC中点,则的长度为(　A　)
(A) (B)
(C)7 (D)8
解析:根据条件=(+)=(5a+a+2b-3b)=(6a-b)=3a-b,
所以||====.
故选A.
9.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a,b的夹角为30°,则(　D　)
(A)a⊥(a+b) (B)b⊥(a+b)
(C)b⊥(a-b) (D)a⊥(a-b)
解析:因为平面向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a,b的夹角为30°,
所以a·(a+b)=a2+a·b=(2)2+2×4×cos 30°=24≠0;
b·(a+b)=b2+a·b=42+4×2×cos 30°=28≠0;
b·(a-b)=a·b-b2=4×2×cos 30°-42=-4≠0;
a·(a-b)=a2-a·b=(2)2-2×4×cos 30°=0,
所以a⊥(a-b).故选D.
10.已知|a|=1,|b|=,|c|=+1,且a+b+c=0,则向量a与c的夹角θ为(　A　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:|a|=1,|b|=,|c|=+1,
由a+b+c=0,得-b=a+c,
则b2=a2+2a·c+c2.
即()2=1+2×1×(+1)×cos θ+(+1)2,所以cos θ=-.
又θ∈[0,π],所以向量a与c的夹角为θ=.故选A.
11.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有(　ACD　)
(A)a·c-b·c=(a-b)·c
(B)(b·c)·a-(c·a)·b与c不垂直
(C)|a|-|b|<|a-b|
(D)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析:[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·a·c-(c·a)·b·c=
(b·c)·(a·c)-(b·c)·(c·a)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与
c垂直,即B错误;其他正确.故选ACD.
12. 在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为　　　,·=　　　.
解析:因为=++=-++=-,
所以·=(+)·(-)=+·-=
1+×1×||×cos 60°-||2=1,
所以||-||2=0,解得||=.
·=×1×cos 60°=.
答案:　
应用创新
13.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,则实数t的范围为　　　　　　　.
解析:由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,
得(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
即2t+2t2e1·e2+7e1·e2+7t<0,
因为|e1|=2,|e2|=1,且e1与e2的夹角为,
化简即得2t2+15t+7<0,
解得-7当夹角为π时,2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,
可求得
所以
所以所求实数t的范围是(-7,-)∪(-,-).
答案:(-7,-)∪(-,-)6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义. 2.在平面内,当选定一组基底后,会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养. 2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作{e1,e2}.
1.下列说法中正确的是(　B　)
(A)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
(B)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量
(C)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d
(D)若一组向量中含有零向量,则该组向量也可以作为平面内基底
向量
解析:A.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底,错误;
B.正确.
C.错误.当e1与e2共线时,结论不一定成立.
D.由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为平面内基底向量,结论错误.故选B.
2.已知AD为△ABC的边BC上的中线,则等于(　D　)
(A)+ (B)-
(C)- (D)+
解析:根据线段BC的中点向量表达式可知=(+)=+,故选D.
3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y=　　　　.
解析:因为e1,e2不共线,
所以解得
所以x+y=0.
答案:0
4.已知A,B,D三点共线,且对任意一点C,有=+λ,则λ=　　　　.
解析:因为A,B,D三点共线,
所以存在实数t,使=t,
则-=t(-),
即=+t(-)=(1-t)+t,
所以
即λ=-.
答案:-
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
　对平面向量基本定理的理解
[例1] 设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的是(　　)
①与;②与;③与;④与.
(A)①② (B)①③
(C)①④ (D)③④
解析:①③中的向量不共线,可以作为基底,②④中的向量共线,不能作基底.故选B.
对基底的理解
两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基底,若不共线,则可作基底.
即时训练11:设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:
①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.
其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是　　　　(写出满足条件的序号).
解析:①设e1+e2=λe1,则无解,
所以e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2能作为一组基底.
②设e1-2e2=λ(e2-2e1),
则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,
则无解,所以e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1能作为一组基底.
③因为e1-2e2=-(4e2-2e1),
所以e1-2e2与4e2-2e1共线,
即e1-2e2与4e2-2e1不能作为一组基底.
④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,则无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2能作为一组基底.
答案:③
　用基底表示向量
[例2]
如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试用{a,b}为基底表示,,.
解:因为DC∥AB,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,
所以==a,===b.
=++
=--+
=-×b-a+b=b-a.
变式训练21:本例中若取BC的中点G,则=　　　　.
解析:=++
=-b+a+b=a-b,
所以=+=+
=b+a-b=a+b.
答案:a+b
变式训练22:本例中若EF的中点为H,试表示出=　　　　.
解析:=-=-
=--,
因为=b-a,
所以=-b+a-b=a-b.
答案:a-b
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
即时训练21:
如图,在平行四边形ABCD中,设对角线=a,=b,试用基底{a,b}表示,.
解:法一　由题意知,
===a,
===b.
所以=+=-=a-b,
=+=a+b.
法二　设=x,=y,则==y,
又则
所以x=a-b,y=a+b,
即=a-b,=a+b.
[备用例题]
如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有点M满足=3,线段CO上有点N满足=λ (λ>0),设=a,=b,已知=μa-b,试求实数λ,μ的值.
解:依题意得=b-a,=a+b,
且==(a-b)=a-b,
=+=(+)=(+)(a+b),
所以=+=b+(a-b)=a+b,
=+=a+b+(μa-b)=(+μ)a+b,
即=(+)(a+b)=(+μ)a+b,
由平面向量基本定理,得
解得
　平面向量基本定理的应用
[例3]
如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.
解:设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,
=+=2e1+e2.
因为A,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.
故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而=+=2e1+3e2,
由平面向量基本定理,
得
解得
所以=,=,
所以AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.
变式训练31:在本例条件下,若=a,=b,试用a,b表示.
解:由本例解析知BP∶PN=3∶2,
则=,
=+=+=b+(-)=b+a-b=a+b.
变式训练32:若本例中的点N为AC的中点,其他条件不变,求AP∶PM与BP∶PN.
解:
如图,设=e1,=e2,
则=+=-2e2-e1,
=+=2e1+e2.
因为A,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-2λe2,
=μ=2μe1+μe2.
故=+=-=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.
而=+=2e1+2e2,
由平面向量基本定理,
得
解得
所以=,=,
所以AP∶PM=2,BP∶PN=2.
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.
即时训练31:
如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为(　　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为=,所以=4,又=m+,所以=m+.因为P,B,N三点共线,所以m+=1,所以m=.故选C.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(多选题)若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是(　ABC　)
(A)e1-e2,e2-e1 (B)2e1-e2,e1-e2
(C)2e2-3e1,6e1-4e2 (D)e1+e2,e1-e2
解析:选项A中,e1-e2=-(e2-e1),即e1-e2与e2-e1共线,不能作为基底;选项B中,2e1-e2=2(e1-e2),即2e1-e2与e1-e2共线,不能作为基底;选项C中,2e2-3e1=-(6e1-4e2),即2e2-3e1与6e1-4e2共线,不能作为基底;选项D中的两个向量不共线,可作为基底.故选ABC.
2.
(教材习题改编)如图所示,矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于(　A　)
(A)(5e1+3e2) (B)(5e1-3e2)
(C)(3e2-5e1) (D)(5e2-3e1)
解析:==(-)=(5e1+3e2).故选A.
3.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.
解析:若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.
a=e1+2e2,b=2e1+λe2,
由a≠kb即得λ≠4.
答案:(-∞,4)∪(4,+∞)
4.
如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,F点在BC上,且BF=BC,以a,b为基底分解向量=　　　　,=　　　　.
解析:由H,M,F所在的位置,得
=+=+=+=b+a.=-=+-=+-=+-=a-b.
答案:b+a　a-b
选题明细表
知识点、方法 题号
对平面向量基本定理的理解 1,2,3,9,11
用基底表示向量 4,5,6
平面向量基本定理的综合应用 7,8,10,12,13
基础巩固
1. 如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为该正六边形所在平面的一组基底的是(　B　)
(A){,}
(B){,}
(C){,}
(D){,}
解析:由题图可知,与,与,与均共线,故{,},
{,},{,}均不能作为该平面的基底;与不共线,故{,}可作为该平面的一组基底.
2.设e1,e2是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能作为基底的是(　D　)
(A)e1+e2和e1-e2 (B)e1和e1+e2
(C)e1+3e2和e2+3e1 (D)3e1-2e2和4e2-6e1
解析:因为e1,e2是平面内的一组基底,所以e1,e2不共线.
由4e2-6e1=-2(3e1-2e2),根据向量共线定理可得(4e2-6e1)∥(3e1-2e2),根据基底的条件,选项D不符合题意,故选D.
3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ
(λ∈R),则x,y满足的关系是(　A　)
(A)x+y-2=0 (B)2x+y-1=0
(C)x+2y-2=0 (D)2x+y-2=0
解析:由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ) -λ.
又2=x+y,
所以消去λ得x+y=2.
4.△ABC中,M是AC边上的点,AM=2MC,N是BC边的中点,设=e1,
=e2,则可以用e1,e2表示为(　A　)
(A)e1-e2 (B)-e1+e2
(C)e1+e2 (D)e1+e2
解析:由=e1,=e2,
得=-=e2-e1.
由=+,以及AM=2MC,N是BC边的中点,
可知=,==-.
所以=-=e2-(e2-e1)=e1-e2.故选A.
5.已知{a,b}是一个基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为　　　　.
解析:因为{a,b}是一个基底,所以a与b不共线,
因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,
所以解得所以x-y=3.
答案:3
6.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点.若=a,=b,试以{a,b}为基底表示=　　 　　 ,
=　　 　　.
解析:因为四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,所以==2,==2,
所以==b,===-=-a,
所以=++=-++=-b+a+b=a-b,
=+=+=b-a.
答案:a-b　b-a
能力提升
7. 如图所示,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ等于(　B　)
(A)-1 (B)-
(C)-2 (D)-
解析:因为点D在线段BC上,所以存在t∈R,使得=t=t(-).
因为M是线段AD的中点,
所以=(+)
=(-+t-t)
=-(t+1)+t.
又=λ+μ,
所以λ=-(t+1),μ=t,
所以λ+μ=-.故选B.
8.在矩形ABCD中,|AB|=3,|AC|=5,e1=,e2=,若=x e1+y e2,则x+y的值为(　D　)
(A)2 (B)4 (C)5 (D)7
解析:因为在矩形ABCD中,|AB|=3,|AC|=5,
所以根据勾股定理可得|AD|=4.
因为e1=,e2=,
所以=3e1,==4e2,
所以=+=3e1+4e2,所以x=3,y=4,所以x+y=7.故选D.
9.设{e1,e2}是平面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λe2与b=-e1+2e2共线的充要条件是λ=　　　　.
解析:依题意a与b共线,应满足a=mb(m∈R),
即e1+λe2=m(-e1+2e2),又e1,e2不共线,
所以解得λ=-2.
答案:-2
10.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明a,b可以作为一组基底;
(2)用a,b分解向量c=3e1-e2.
(1)证明:假设a,b不可以作为一组基底,则a,b共线.存在实数t使向量a=tb,即e1-2e2=te1+3te2,
所以t=1,且3t=-2,这不能成立,所以a,b可以作为一组基底.
(2)解:因为a=e1-2e2,b=e1+3e2,
所以2a=2e1-4e2,b=e1+3e2,
相加得2a+b=3e1-e2,
所以向量c=3e1-e2=2a+b.
应用创新
11. (多选题)如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y,则实数对(x,y)可以是(　AC　)
(A)(-,) (B)(-,)
(C)(-,) (D)(-,)
解析:结合图形,根据条件=x+y,
即可得到=(x+y)+(-x).
要使点P是在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界),
则有 结合所给选项可知只有AC满足题意.故选AC.
12.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　　　　　　.(用a,b表示)
解析:设c=λa+μb,
则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)
=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,
因为e1,e2不共线,
所以
解得
故c=2a-2b.
答案:2a-2b
13. 如图,已知△ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE与CD交于P.设存在λ和μ使=λ,=μ,=a,=b.
(1)求λ及μ;
(2)用a,b表示;
(3)求△PAC的面积.
解:(1)由于=a,=b,
则=a+b,=a+b.
因为=λ=λ(a+b),
=μ=μ(a+b),
所以=+=+=a+μ(a+b)=λ(a+b).
所以λ=+μ,①
λ=μ,②
由①②得λ=,μ=.
(2)=+=-a+×(a+b)
=-a+b.
(3)设△ABC,△PAB,△PBC的面积分别为S,S1,S2,
S1∶S=||∶||=μ=,
S△PAB=S△ABC=8,
S2∶S=||∶||=1-λ=,S△PBC=S△ABC=2,
所以S△PAC=4.6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 1.借助平面直角坐标系及平面向量基本定理,学会平面向量的坐标表示,体会数学抽象及直观想象的核心素养. 2.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.平面向量的坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的
向量.
(2)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.
(3)坐标:对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
(4)坐标表示a=(x,y).
(5)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
2.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa=(λx1,λy1)
向量 的坐 标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
3.平面向量共线的坐标表示
(1)条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
(2)结论:
当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
1.(多选题)下列说法中正确的是(　ABD　)
(A)相等向量的坐标相同
(B)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
(C)一个坐标对应唯一的一个向量
(D)平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
解析:由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.其余均正确,选ABD.
2.(多选题)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于(　AB　)
(A)- (B) (C)4 (D)0
解析:因为a∥b,所以m2=2,解得m=-或m=.故选AB.
3.已知P(2,6),Q(-4,0),则PQ的中点坐标为　　　　　　　.
解析:根据中点坐标公式可得,PQ的中点坐标为(-1,3).
答案:(-1,3)
4.已知=(1,2),A(3,4),则B点坐标是　　　　.
解析:设B点的坐标为(x,y),
则=(x-3,y-4)=(1,2).
所以解得
所以B点的坐标是(4,6).
答案:(4,6)
　平面向量的坐标表示
[例1]
如图,在直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量的坐标;
(3)求点B的坐标.
解:(1)作AM⊥x轴于点M(图略),
则||=||·cos 45°=4×=2,
||=||·sin 45°=4×=2,
所以A(2,2),故a=(2,2).
因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
所以∠COy=30°.又OC=AB=3.
所以C(-,),
所以==(-,),
即b=(-,).
(2)=-=(,-).
(3)=+=(2,2)+(-,)
=(2-,2+).
所以点B的坐标为(2-,2+).
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
即时训练11:如图所示,写出向量a,b,c,d的坐标,其中每个小正方形的边长是1.
解:a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).
即时训练12:已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,
(1)求向量的坐标;
(2)若B(,-1),求的坐标.
解:(1)设点A(x,y),则x=4cos 60°=2,
y=4sin 60°=6,即A(2,6),=(2,6).
(2)=(2,6)-(,-1)=(,7).
[备用例1]
在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.
解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos 45°=2×=,
a2=|a|sin 45°=2×=,
b1=|b|cos 120°=3×(-)=-,
b2=|b|sin 120°=3×=,
c1=|c|cos(-30°)=4×=2,
c2=|c|sin (-30°)=4×(-)=-2.
因此a=(,),b=(-,),
c=(2,-2).
　平面向量的坐标运算
[例2] 已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
解:由已知得a=(5,-5),
b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
所以
解得
(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,
所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
所以M的坐标为(0,20).
又因为=-=-2b,
所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
所以N的坐标为(9,2).
所以=(9,-18).
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
即时训练21:已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)
=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)
=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)
=(-,1)-(,)=(-,).
[备用例2] 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及=+t.
(1)当t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
(2)四边形OABP能为平行四边形吗 若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
解:(1)因为=+t=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,所以t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,
所以t=-.
若点P在第二象限,则
所以-(2)不能,理由:因为=(1,2),=(3-3t,3-3t).
若四边形OABP为平行四边形,
则=,
所以该方程组无解.
故四边形OABP不能为平行四边形.
　向量共线的判定及应用
[例3]已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
解:法一　ka+b=k(1,2)+(-3,2)
=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
得
解得k=λ=-.
当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-a+b=-(a-3b),
因为λ=-<0,
所以ka+b与a-3b反向.
法二　由法一知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,
解得k=-.
所以ka+b=(-,)=-(10,-4)
=-(a-3b),
故ka+b与a-3b反向.
变式训练31:本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行 ”,又如何求k的值
解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
因为a+kb与3a-b平行,
所以(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
解得k=-.
根据向量共线求参数值的方法
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
即时训练31:(1)已知四点坐标A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),请判断直线AB与CD是否平行.
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).当k为何值时,A,B,C三点共线
解:(1)不平行,因为=(2,4),
=(4,11)-(-1,1)=(5,10),
=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2),
所以=-2,=-5.
所以∥∥.
由于与,有共同的起点A,
所以A,B,C,D四点共线.
因此直线AB与CD重合.
(2)=-=(4-k,-7),
=-=(10-k,k-12),
若A,B,C三点共线,则∥,
所以(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得k=-2或11,
所以当k=-2或11时A,B,C三点共线.
[备用例3]
如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明:
如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系,设||=1,
则||=1,||=2.
因为CE⊥AB,而AD=DC.
所以四边形AECD为正方形.
所以可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
所以=,
所以∥,
又因为无公共点,
即DE∥BC.
(2)连接MB,MD,
因为M为EC的中点,
所以M(0,),
所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),
=(1,0)-(0,)=(1,-),
所以=-,所以∥.
又MD与MB有公共点M,
所以D,M,B三点共线.
1.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于(　C　)
(A)(-2,-4) (B)(-3,-6)
(C)(-4,-8) (D)(-5,-10)
解析:由a∥b得到m=-4,所以b=(-2,-4),所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选C.
2.设点A在30°角的终边上,||=2(O是坐标原点),则向量的坐标为(　A　)
(A)(,) (B)(,)
(C)(-,-) (D)(-,-)
解析:因为点A在30°角的终边上,||=2(O是坐标原点),所以点A在第一象限,且到原点的距离为2,根据直角三角形的边角关系得,A的横坐标为x=2cos 30°=,纵坐标为y=2sin 30°=,所求的坐标为(,).
3.(多选题)下列各组向量中,不共线的是(　ABC　)
(A)a=(-2,3),b=(4,6)
(B)a=(2,3),b=(3,2)
(C)a=(1,-2),b=(7,14)
(D)a=(-3,2),b=(6,-4)
解析:选项A中,3×4-(-2)×6≠0,则a与b不共线;同理,B,C中的两向量不共线;选项D中,2×6-(-3)×(-4)=0,则有a∥b.故选ABC.
4.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ=　　　　.
解析:因为向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),
所以2a+b=(4,2λ+1),
所以由2a+b与c共线得-8-(2λ+1)=0,
解得λ=-.
答案:-
选题明细表
知识点、方法 题号
平面向量的坐标表示 1,5,8,9
平面向量的坐标运算 2,7,11,13,14
向量共线的判定及应用 3,4,6,10,12
基础巩固
1.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为(　A　)
(A)(2,0) (B)(-3,6)
(C)(6,2) (D)(-2,0)
解析:=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),
设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),
所以即
所以点N的坐标为(2,0)
2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b等于(　A　)
(A)(1,-2) (B)(1,2)
(C)(5,6) (D)(2,0)
解析:b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).故选A.
3.已知向量a=(1,),b=(cos θ,sin θ),若a∥b,则tan θ等于(　B　)
(A) (B)
(C)- (D)-
解析:因为a=(1,),b=(cos θ,sin θ),且a∥b,
所以sin θ-cos θ=0,
所以sin θ=cos θ,
所以tan θ===,故选B.
4.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值是(　B　)
(A)- (B)- (C)- (D)-
解析:v=2(1,2)-(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k).因为u∥v,所以2(2+k)-1×3=0,解得k=-.
5.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,1),
C(2,2),则顶点D的坐标为(　D　)
(A)(-5,2) (B)(-2,1)
(C)(1,0) (D)(3,4)
解析:设D(x,y),因为平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,1),C(2,2),所以=,所以(x+1,y-3)=(4,1),
解得x=3,y=4,所以顶点D的坐标为(3,4).
故选D.
6.向量a=(1,-2),向量b与a共线,且|b|=4|a|,则b=　　　　　.
解析:因为b∥a,令b=λa=(λ,-2λ),λ∈R,
又|b|=4|a|,所以|λ|=4,λ=±4,
所以b=(4,-8)或(-4,8).
答案:(4,-8)或(-4,8)
能力提升
7.(多选题)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值可以是(　ACD　)
(A)-2 (B)2 (C)3 (D)5
解析:根据题意,向量a,b是不共线的向量,因为a=(1,2),b=(m,3m-2),由向量a,b不共线 ≠,解之得m≠2,所以实数m的取值范围是{m|m∈R且 m≠2},因此选ACD.
8.已知a=(,1),若将向量-2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b,则b的坐标为(　B　)
(A)(0,4) (B)(2,-2)
(C)(-2,2) (D)(2,-2)
解析: 因为a=(,1),所以-2a=(-2,-2),
易知向量-2a与x轴正半轴的夹角α=150°(如图).
向量-2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b,在第四象限,与x轴正半轴的夹角β=30°,所以b=(2,-2),故选B.
9.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有(　ACD　)
(A)与平行 (B)+=
(C)+= (D)=-2
解析:=(2,-1),=(-2,1),
因为2×1-(-1)×(-2)=0,所以与平行,A正确.
+=≠,所以B不正确.
+=(0,2)=,所以C正确.
=(-4,0),-2=(0,2)-(4,2)=(-4,0),所以D正确.故选ACD.
10.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2,且∠AOC=.设=λ+ (λ∈R),则λ=　　　　.
解析:过C作CE⊥x轴于点E,由∠AOC=知,|OE|=|CE|=2,
所以=+=λ+,即=λ,所以(-2,0)=λ(-3,0),
故λ=.
答案:
11.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“ ”为m n=
(ac-bd,bc+ad),运算“ ”为m n=(a+c,b+d).设c=(p,q),若(1,2) c=(5,0),则(1,2) c等于　　　　　.
解析:由(1,2) c=(5,0),可得
解得
所以(1,2) c=(1,2) (1,-2)=(2,0).
答案:(2,0)
12.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-.
所以当k=-时,ka-b与a+2b共线.
(2)因为A,B,C三点共线,
所以=λ,λ∈R,
即2a+3b=λ(a+mb),
所以解得m=.
应用创新
13. 如图,A,B,D,E,F为各正方形的顶点.若向量=x+y,则x+y等于(　B　)
(A)-2 　　　(B)-1
(C)1 　　　(D)2
解析:以B为原点,小正方形的两边所在直线分别为x轴、y轴,建立坐标系如图,
设小正方形的边长为1,则A(1,2),B(0,0),D(2,3),E(2,2),F(1,1),
所以=(2,3),=(1,0),=(0,-1).
因为=x+y,
所以
解得x=2,y=-3,
由此可得x+y=-1.故选B.
14.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足=+λ
(λ∈R).
(1)当λ为何值时,点P在函数y=x的图象上
(2)若点P在第三象限,求λ的取值范围.
解:设点P的坐标为(x1,y1),
则=(x1-2,y1-3).
+λ=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3),
即+λ=(3+5λ,1+7λ),
由=+λ,
可得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ),
则解得
所以点P的坐标是(5+5λ,4+7λ).
(1)令5+5λ=4+7λ,得λ=,
所以当λ=时,点P在函数y=x的图象上.
(2)因为点P在第三象限,
所以解得λ<-1,
所以λ的取值范围是(-∞,-1).6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 1.通过推导数量积的坐标运算培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直,进一步发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.
(2)向量垂直:a⊥b x1x2+y1y2=0.
2.平面向量的模与夹角的坐标表示
(1)向量的模:设a=(x,y),则|a|=.
(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),
则||=.
(3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==.
1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于(　B　)
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
解析:因为a=(0,1),b=(2,-1),
所以a·b=0×2+1×(-1)=-1.故选B.
2.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则cos θ等于(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为3b=3b+a-a=(5,4)-(2,1)=(3,3),
所以b=(1,1),所以cos θ====.故选D.
3.(2021·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若a⊥c,则　　　　.
解析:因为a=(3,1),b=(1,0),所以c=a+kb=(3+k,1),
因为a⊥c,所以a·c=3(3+k)+1×1=0,解得k=-.
答案:-
4.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为　　　　.
解析:因为所求向量与向量a=(1,2)平行,
所以可设所求向量为x(1,2),
又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,
解得x=±1.
因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).
答案:(1,2)或(-1,-2)
　数量积的坐标运算
[例1] (1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于(　　)
(A)10 (B)-10 (C)3 (D)-3
(2)已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若b·c=14,|c|=5,则向量c的坐标为　　　　　　　.
(3)在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且DM=MC,BN=BC,则·=　　　　　　　　.
解析:(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),
所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.
故选B.
(2)因为2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以b=(2,2).
设c=(x,y),
则由题可知
解得或
所以c=(3,4)或c=(4,3).
(3)法一　·
=(+)·(+)
=0+×22+×32+×0=5.
法二　以A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),M(1,2),N(3,1),
于是=(1,2),=(3,1),故·=5.
答案:(1)B　(2)(3,4)或(4,3)　(3)5
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:
①|a|2=a2;②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解.
(3)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.如本例中的(3).
即时训练11:(1)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(　　)
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·等于(　　)
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
(3)已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c等于　　　　.
解析:(1)因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以2a+b=(1,0),(2a+b)·a=1.故选C.
(2)由=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),
得·=2×3+1×(-1)=5.故选A.
(3)设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
所以解得
所以c=(,).
答案:(1)C　(2)A　(3)(,)
[备用例1] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
解:(1)法一　因为a=(-1,2),b=(3,2),
所以a-b=(-4,0).
所以a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
法二　a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=
(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=
(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
　平面向量的模
[例2] (1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　　)
(A) (B) (C)2 (D)10
(2)已知|a|=2,b=(2,-3),若a⊥b,则a+b的坐标为　　　　,|a+b|=　　　　.
解析:(1)因为a⊥c,b∥c,所以解得
所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),
所以|a+b|=.故选B.
(2)设a=(x,y),
则由|a|=2,得x2+y2=52.①
由a⊥b,解得2x-3y=0.②
由①②,解得或
所以a=(6,4)或a=(-6,-4).
所以a+b=(8,1)或a+b=(-4,-7),
所以|a+b|=.
答案:(1)B　(2)(8,1)或(-4,-7)　
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则|a|=.
即时训练21:(1)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(　　)
(A) (B) (C)5 (D)25
(2)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则x=　　　　.
解析:(1)因为a=(2,1),所以a2=5,
又|a+b|=5,所以(a+b)2=50,
即a2+2a·b+b2=50,
所以5+2×10+b2=50,
所以b2=25,所以|b|=5.故选C.
(2)由题意知a+b=(x+1,x+3),
由|a+b|2=|a|2+|b|2得(x+1)2+(x+3)2=x2+(x+1)2+12+22,解得x=-.
答案:(1)C　(2)-
[备用例2] 已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为　.
解析:由a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),
所以|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25(λ+)2+4.
当λ=-时,|c|min=2.
答案:-
　平面向量的夹角和垂直问题
[例3] (1)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(a+c)∥b,c⊥(a+b),则c等于(　　)
(A)(,) (B)(-,)
(C)(,) (D)(-,-)
(2)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(c-b)·a=,则a与c的夹角为(　　)
(A) (B) (C) (D)
(3)已知向量a=(-2,-1),b=(t,1),且a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是　　　　.
解析:(1)设c=(x,y),则a+c=(x+1,y+2),
a+b=(3,-1),
由题意知
解得
即c=(-,-).故选D.
(2)由a·b=-10,得(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10=,
所以c·a=-,设a与c的夹角为θ,
则cos θ===-.
因为θ∈[0,π],所以θ=.故选C.
(3)因为a与b的夹角为钝角,
所以cos=<0,
即a·b=-2t-1<0,
所以t>-.
若a∥b,则-2×1-t×(-1)=0,得t=2.
此时a=-b,a与b反向,所成角为180°,
故t=2时,不合题意.
所以t的取值范围是(-,2)∪(2,+∞).
答案:(1)D　(2)C　(3)(-,2)∪(2,+∞)
变式训练31:若将本例(3)的“钝角”改为“锐角”呢
解:由a·b=-2t-1>0,得t<-,
由a∥b,得t=2,此时,a与b不可能同向,
所以实数t的取值范围是(-∞,-).
解决向量夹角问题的方法
(1)先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|,再由cos θ==直接求出cos θ.
(2)利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时,要注意cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°.cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°.
即时训练31:(1)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=　　　　　.
(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=　　　　　.
解析:(1)(a+λb)⊥(a-λb) (a+λb)·(a-λb)=a2-λ2b2=0 18-2λ2=0 λ=±3.
(2)因为a=(1,),b=(3,m),
所以|a|=2,|b|=,a·b=3+m.
又a,b的夹角为,
所以=cos ,
即=,
所以+m=,解得m=.
答案:(1)±3　(2)
[备用例3] 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得(1)a与b的夹角为直角;(2)a与b的夹角为钝角;(3)a与b的夹角为锐角.
解:设a与b的夹角为θ,
则a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角,所以cos θ=0,
所以a·b=0,
所以1+2λ=0,所以λ=-.
(2)因为a与b的夹角为钝角,
所以cos θ<0且cos θ≠-1,
所以a·b<0且a与b不反向.
由a·b<0得1+2λ<0,
故λ<-,
由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向.
所以λ的取值范围为(-∞,-).
(3)因为a与b的夹角为锐角,
所以cos θ>0,且cos θ≠1,
所以a·b>0且a,b不同向.
由a·b>0,得λ>-,由a与b同向得λ=2.
所以λ的取值范围为(-,2)∪(2,+∞).
1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于(　A　)
(A)3 (B)-3 (C) (D)-
解析:a·b=-x+6=3,故x=3.故选A.
2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是(　A　)
(A)直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)等边三角形
解析:因为=(1,1),=(-3,3),
所以·=1×(-3)+1×3=0,
所以⊥,所以A=90°,故选A.
3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于(　C　)
(A)1 (B) (C)2 (D)4
解析:由题意得(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,
所以n=±.
所以|a|==2.故选C.
4.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是　　　　　　　.
解析:因为b=(12,5),
所以与b方向相同的单位向量e=(,),
所以a在b上的投影向量为
|a|cos θ e=e=3e=(,).
答案:(,)
选题明细表
知识点、方法 题号
数量积的坐标运算 4,6,10
平面向量的模 2,8
平面向量的夹角与垂直问题 1,5,7,9,11
平面向量数量积的坐标 运算的综合运用 3,6,12,13,14
基础巩固
1.已知向量a=(1,2),a+b=(m,4),若a⊥b,则m等于(　A　)
(A)-3 (B)-2
(C)2 (D)3
解析:因为向量a=(1,2),a+b=(m,4),
所以b=(m-1,2).
若a⊥b,则m-1+2×2=0,
所以m=-3,故选A.
2.在 ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2+|等于(　D　)
(A)5 (B)2
(C)2 (D)
解析:因为+==(-4,2),
又=+=(-4,2)+(-2,6)=(-3,4),
所以2+=+(+)=(-3,4)+(-4,2)=(-7,6),
所以|2+|==.
3.(多选题)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中不正确的是(　ABC　)
(A)|a|=|b| (B)a·b=0
(C)a∥b (D)(a-b)⊥b
解析:|a|==2,|b|==,a·b=2,2×1≠1×0,
a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,所以(a-b)⊥b,则A,B,C错,
D正确.
4.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则向量b的坐标为(　A　)
(A)(,) (B)(1,)
(C)(,) (D)(-1,-)
解析:设b=(x,y)(y≠0),
则依题意有解得
故b=(,).故选A.
5.(多选题)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　ABC　)
(A)- (B)
(C) 　(D)
解析:因为=(2,3),=(1,k),
所以=-=(-1,k-3).
若∠A=90° ,则·=2×1+3×k=0,
所以k=-;
若∠B=90° ,
则·=2×(-1)+3(k-3)=0,
所以k=;
若∠C=90° ,
则·=1×(-1)+k(k-3)=0,
所以k=.
故所求k的值为-或或.
故选ABC.
6.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=　　 　　　,
|a+b|=　　　 　　.
解析:因为a·b=2,
所以x=2.
因为a+b=(3,1),
所以|a+b|=.
答案:2　
能力提升
7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为(　C　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:由已知可得(3a+5b)·(ma-b)=0,
即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0
3m·32+(5m-3)·3×2·cos 60°-5×22=0,
解得m=.
8.(多选题)与已知向量a=(,),b=(,-)的夹角相等,且模为1的向量是(　AB　)
(A)(-,) (B)(,-)
(C)(,-) (D)(-,)
解析:设与向量a=(,),b=(,-)的夹角相等,且模为1的向量为(x,y),
则
解得或故选AB.
9.角α顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点P在α的终边上,点Q(-3,-4),且tan α=-2,则与夹角的余弦值为(　C　)
(A)- (B)
(C)或- (D)或
解析:因为tan α=-2,
所以可设P(x,-2x),与的夹角为θ,
cos θ==,
当x>0时,cos θ=;
当x<0时,cos θ=-.
10.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则实数t=　　 　　,
·=　　　 　.
解析:由=(2,3),=(3,t)
可知=-=(1,t-3).
因为||=1,所以=1,解得t=3.
所以·=2×1+3×0=2+0=2.
答案:3　2
11.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是　　　　.
解析:由题意,得a·(a+λb)>0,且a与a+λb的夹角不为零.
因为a+λb=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ),
所以
所以
故所求λ的取值范围是{λ|λ>-,且λ≠0}.
答案:{λ|λ>-,且λ≠0}
12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),B(-5,4),C(1,-1).
(1)分别求出以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线长.
(2)是否存在实数t,使得向量-t与向量垂直 若存在,求出实数t的值;若不存在,说明理由.
解:(1)由点A(-1,2),B(-5,4),C(1,-1)
可知=(-4,2),=(2,-3).
由+=(-2,-1),得|+|=.
由-=(-6,5),得|-|=.
故以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为,.
(2)存在由向量-t与向量垂直,
得(-t)·=0,
又因为=(-5,4),
-t
=(2,-3)-t(-5,4)
=(2+5t,-3-4t).
所以(2+5t)×(-5)+(-3-4t)×4=0,
所以t=-.
应用创新
13. (多选题)如图,在平面四边形ABCD中,等边△ABC的边长为2,
∠ADC=30°,AC⊥CD,点M为边AB上一动点,记λ=·,则λ的取值可以是(　CD　)
(A)-4 (B)
(C)5 (D)10
解析:以A为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设AM=t∈[0,2].则M(-t,t),C(1,),D(4,0).
故λ=·=(-t-4,t)·(-t-1,t-)=t2+t+4+t2-t=
t2+t+4 在t∈[0,2]上为增函数,
故λ=t2+t+4∈[4,10].故选CD.
14.已知平面直角坐标系xOy中有三点A(1,-1),B(4,5),C(-2,1),其中O为坐标原点.
(1)求与同向的单位向量d的坐标.
(2)若点P是线段AB(包括端点)上的动点,求·的取值范围.
解:(1)d==×(3,6)=(,).
(2)因为平面直角坐标系xOy中点A(1,-1),B(4,5),
所以线段AB的方程为=(1≤x≤4),即y=2x-3(1≤x≤4).
设P(x,2x-3),1≤x≤4.
则=(-x,3-2x),=(-2-x,4-2x),
所以·=(-x)×(-2-x)+(3-2x)×(4-2x)=5x2-12x+12,
上式可以看作关于x的开口向上,对称轴为x=的二次函数.
当x=时,5x2-12x+12取得最小值,
当x=4时,5x2-12x+12取得最大值44,
所以·∈.6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
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核心知识目标 核心素养目标
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题. 2.培养运算能力、分析问题和解决实际问题的能力. 3.了解三角形中关于向量的有关结论. 1.通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程,体会数学建模及逻辑推理的核心素养. 2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题,体验数学建模及数学运算的核心素养.
1.向量方法在几何中的应用
(1)用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
(2)平面向量及三角形的“四心”
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
①O为△ABC的外心 ||=||=||.
②O为△ABC的重心 ++=0.
③O为△ABC的垂心(三角形三边高的交点) ·=·=·.
④O为△ABC的内心 a+b+c=0.
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
1.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为(　D　)
(A)(0,5) (B)(4,-1) (C)2 (D)5
解析:由=(2,2),=(-2,3)可知+=(2,2)+(-2,3)=(0,5),所以|+|=5,即|F1+F2|=5,故选D.
2.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　B　)
(A)10 m/s (B)2 m/s
(C)4 m/s (D)12 m/s
解析:由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.
所以小船在静水中的速度大小|v|===
2 (m/s).
故选B.
3.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为(　A　)
(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形
解析:由题意知,=(3,3),=(2,2),
所以∥,又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形.故选A.
4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则F对物体所做的功为　　　　焦耳.
解析:由已知位移=(-4,3),
所以力F做的功为W=F·=2×(-4)+3×3=1(焦耳).
答案:1
　平面向量在几何证明中的应用
[例1] 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,用向量方法证明:AF⊥DE.
证明:法一　设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,
=+=b+a,
所以·=(b+a)·(-a+b)
=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二　如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
则=(2,1),
=(1,-2).
因为·=2×1+1×(-2)=2-2=0,
所以⊥,即AF⊥DE.
可用向量方法求解的平面几何中的一些问题
(1)证明线段平行或相等或点共线问题,可用向量共线定理;
(2)证明线段平行或相等、判断平面几何图形的形状等,可用向量数乘运算、向量共线定理;
(3)证明线段垂直问题可以转化为线段对应向量的数量积为0.
即时训练1-1:用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明:如图所示,O是四边形ABCD两条对角线AC,BD的交点,且OA=OC,OB=OD,
则=,=.
因为=+=+=+=,
且A,D,B,C不在同一条直线上,
所以AD∥BC,AD=BC,故四边形ABCD是平行四边形.
[备用例1] 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
证明:如图,设D,E,F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点,
令=a,=b为基底,
则=a-b,=a-b,
=-a+b,
设AD与BE交于点G,
且=λ,=μ,
则有=λa-b,=-a+μb,
又有=+=(1-)a+(μ-1)b,
所以解得λ=μ=.
所以=a-b,
=+
=-a+a-b=-a-b
=×(-a-b).
而=(-a-b),
所以=.
所以点G在CF上.
所以三角形三条中线交于一点.
　平面向量在几何计算中的应用
[例2] 如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:设=a,=b,则=a-b,=a+b,
而||=|a-b|====2,
所以5-2a·b=4,
所以a·b=,
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,
所以||=,即AC=.
(1)用向量法求长度的策略
①利用图形特点选择基底,用公式|a|2=a2求解.
②建立坐标系,确定相应向量的坐标a=(x,y),则 |a|=.
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想方法
①基向量法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
即时训练2-1:正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,试求cos ∠DOE的值.
解:以OA,OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图所示,由题意知,
=(1,),=(,1),
故cos ∠DOE=
==.
即cos ∠DOE的值为.
[备用例2] 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC,求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
解:(1)设=a,=b,
则=+=+=+(-)=+=a+b.
所以||2==(a+b)2=a2+2·a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3.
故AD=.
(2)设∠DAC=θ,则θ为向量与的夹角.
因为cos θ=====0,
所以θ=90°,即∠DAC=90°.
　向量在物理中的应用举例
[例3] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量).
解:设A,B处所受绳子的拉力分别为F1,F2,物体10 N的重力用F表示,则F1+F2=F.以点C为F1,F2的始点,
作平行四边形CFWE,则CW为对角线,
=F1,=F2,=F,
∠FCW=180°-150°=30°,
∠ECW=180°-120°=60°,
所以∠FCE=90°,
所以四边形CFWE为矩形.
所以|F1|=||=||cos 30°=10×=5(N).
|F2|=||=||cos 60°=10×=5(N).
所以A处受绳子的拉力大小为5 N,B处受绳子的拉力大小为5 N.
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
(2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
(4)问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
即时训练3-1:河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度为10 km/h,求小船的实际航行速度.
解:设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作=a,=b,以,为邻边作矩形OACB,连接,如图,则=a+b,且即为小船的实际航行速度.
所以||===20,
tan∠AOC==,
所以∠AOC=60° ,
所以小船的实际航行速度大小为20 km/h,按北偏东30° 的方向航行.
[备用例3]质量m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力F=10 N的作用下,沿倾斜角θ=30° 的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少
解:(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN,如图所示,拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为
WF=F·s=|F||s|cos 0° =20(J);
支持力FN与位移方向垂直,不做功,
所以WN=FN·s1=0;
重力G对物体所做的功为
WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=2.0×9.8×2.0×cos 120° =-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为
W=WF+WN+WG=0.4 J.
1.在四边形ABCD中,·=0且=,则四边形ABCD是(　C　)
(A)梯形 (B)菱形
(C)矩形 (D)正方形
解析:由=知四边形ABCD是平行四边形,又 ·=0,故角B=90°,所以四边形ABCD是矩形.故选C.
2.(教材习题改编)一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成90°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为(　C　)
(A)6 (B)2 (C)2 (D)2
解析:易知F3=-(F1+F2),所以|F3|2=(F1+F2)2=++2F1·F2=4+16=20,所以|F3|=2.故选C.
3.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进方向的夹角为,此人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为　　　　　　　焦耳.
解析:W=F·s=|F|·|s|cos =50×60×=
1 500(焦耳).
答案:1500
4.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,点E为AB中点,若⊥,则|AD|=　　　.
解析:建立如图所示直角坐标系,则
B(4,0),E(2,0).
设D(0,m)(m>0),C(4,m).
所以=(2,-m),=(4,m).
因为⊥,所以2×4-m2=0,
解得m2=8.因此m=2.
答案:2
选题明细表
知识点、方法 题号
平面几何中的证明问题 2,13
平面几何中的计算问题 3,10,12
向量在物理中的应用 1,4,7,8,9
平面向量的综合应用 5,6,11,14
基础巩固
1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为(　B　)
(A)40 N (B)10 N
(C)20 N (D)10 N
解析:|F1|=|F2|=|F|cos 45°=10,
当θ=120°时,由平行四边形法则知
|F合|=|F1|=|F2|=10 N.故选B.
2.在△ABC中,若·(2-)=0,则△ABC一定是(　D　)
(A)直角三角形 (B)等腰直角三角形
(C)正三角形 (D)等腰三角形
解析:·(2-)=·(+-)=·(++)=·(+)=-·(+)=0.
由向量加法的平行四边形法则,知以CA,CB为邻边的平行四边形的对角线互相垂直,所以△ABC一定是等腰三角形.故选D.
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos ∠BDC等于(　B　)
(A)- (B) (C)0 (D)
解析:
如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
所以=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC为,的夹角,
所以cos∠BDC===.
4.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力F4,则F4等于(　D　)
(A)(-1,-2) (B)(1,-2)
(C)(-1,2) (D)(1,2)
解析:由物理知识知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).故选D.
5.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(　D　)
(A)重心　外心　垂心 (B)重心　外心　内心
(C)外心　重心　内心 (D)外心　重心　垂心
解析:点O是外接圆的圆心,所以是外心.取BC中点D,所以+=2,所以2=-,所以点A,N,D三点共线,并且|NA|=2|ND|,所以N是重心.·=· ·(-)=0 ·=0,所以PB⊥AC,同理PC⊥AB,PA⊥BC,所以P是垂心.故选D.
6.设△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为(　B　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为=-=-,
所以=(-)2
=-·+,
即5=-5+9.所以=1.
所以||=2.
7.如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为　　　J,重力所做的功为　　　J.(g=9.8 m/s2)
解析:物体m的位移大小为|s|== (m),
则支持力对物体m所做的功为
W1=F·s=|F||s|cos 90°=0 (J);
重力对物体m所做的功为
W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8×0.6×=98 (J).
答案:0　98
能力提升
8.质点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(　C　)
(A)(-2,4) (B)(-30,25)
(C)(10,-5) (D)(5,-10)
解析:设(-10,10)为A,
设5秒后P点的坐标为A1(x,y),
则=(x+10,y-10),由题意有=5v.
即(x+10,y-10)=(20,-15) 故选C.
9.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是(　AC　)
(A)绳子的拉力不断增大　
(B)绳子的拉力不断变小
(C)船的浮力不断变小　
(D)船的浮力保持不变
解析:设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向夹角为θ(0<θ<),则|F|cos θ=|f|,
所以|F|= .
因为θ增大,cos θ减小,
所以|F|增大.
因为|F|sin θ增大,
所以船的浮力减小.
10.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　.
解析:
由于a⊥b,由此作出以a,b为邻边的矩形ABCD,
如图,其中=a,=b,
则=a-b,
因为a+b+c=0,且a+b=-c=,
所以=c,
因为(a-b)⊥c,
所以矩形的两条对角线互相垂直,
即四边形ABCD为正方形,
所以|a|=|b|=1,|c|=,
|a|2+|b|2+|c|2=4.
答案:4
11.已知A,B,C是单位圆上的三点,且+=,其中O为坐标原点,则∠AOB=　.
解析:如图所示,
由||=||=||=1,
+=,
得四边形OACB为边长为1的菱形,且∠AOB=120° .
答案:120°
12.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则向量与的夹角为　　　　　,四边形ABCD的面积为　　　　　.
解析:由·=1×(-4)+2×2=0,
知⊥,夹角为.
又因为||=,||==2,
所以S=||||=××2=5.
答案:　5
应用创新
13.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明:如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=λ,
则=+=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).
又因为=(-1,2),
⊥,
所以·=0,
所以-2λ+2(2-2λ)=0,解得λ=,
所以=(,).
所以=-=(,).
又因为=(1,0),
所以cos∠ADB==,
cos∠FDC==.
又因为∠ADB,∠FDC∈(0,π),
所以∠ADB=∠FDC.
14.已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,
设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则E(1,2),F(0,1).
(1)=(-1,2),=(-2,-1).
所以·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
所以⊥,即BE⊥CF.
(2)设点P坐标为(x,y),则=(x,y-1),
=(2,1),
因为∥,
所以x=2(y-1),即x=2y-2,
同理,由∥,得y=-2x+4,
由得
所以点P的坐标为(,).
所以||==2=||,
即AP=AB.6.4.3　余弦定理、正弦定理
第一课时　余弦定理
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核心知识目标 核心素养目标
1.会借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握余弦定理及其推论. 3.能够利用余弦定理及推论解三角形. 1.借助于向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,体会数学抽象及逻辑推理的核心素养. 2.通过利用余弦定理及推论解三角形,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.余弦定理
(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
(2)符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
2.余弦定理的推论
在△ABC中,cos A=,cos B=,cos C=.
3.解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1.在△ABC中,符合余弦定理的是(　A　)
(A)c2=a2+b2-2abcos C
(B)c2=a2-b2-2bccos A
(C)b2=a2-c2-2bccos A
(D)cos C=
解析:注意余弦定理形式,特别是正负号问题.
故选A.
2.在△ABC中,已知a2+b2=c2+ba,则C等于(　B　)
(A)30° (B)45° (C)135° (D)150°
解析:由余弦定理得cos C==,又C为△ABC的内角,所以C=45°.故选B.
3.在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=　　　　.
解析:由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接利用余弦定理求得边AC,即AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+4-2×1×2×=3,所以AC=.
答案:
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,c=,则B=　　　　.
解析:由余弦定理,得cos B===-,
又0°答案:150°
　已知两边及一角解三角形
[例1] (1)在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,求角A;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求a.
解:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=,
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×(+)=8-4,所以c=-,
所以cos A==,
又0°(2)把b=3,c=3,B=30°代入b2=a2+c2-2accos B,可得32=a2+(3)2-2a·3·cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=6或a=3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出的两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出的两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出的两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
即时训练1-1:(1)在△ABC中,AC=2,AB=2(+1),A=120°,则BC=　　　　;
(2)在△ABC中,cos A=,a=4,b=3,则c=　　　　.
解析:(1)由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A=22+4(+1)2-2×2×2(+1)×(-)=24+12,所以BC==3+.
(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即16=9+c2-6×c,整理得5c2-18c-35=0,解得c=5或c=-(舍去),故c=5.
答案:(1)3+　(2)5
[备用例1] (1)在△ABC中,已知b=60 cm,c=60 cm,A=,则a=　　　　 cm;
(2)在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=　　　　.
解析:(1)由余弦定理得
a=
==60(cm).
(2)由余弦定理得
()2=52+BC2-2×5×BC×,所以BC2-9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.
答案:(1)60　(2)4或5
　已知三边解三角形
[例2] 已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的各内角度数.
解:由a∶b∶c=2∶∶(+1),
令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),
由余弦定理的推论,得cos A==
=,所以A=45°,
cos B===,
所以B=60°,
所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
已知三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
即时训练2-1:在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,求其最大内角.
解:由于a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3k,b=5k,c=7k(k>0),因此c是最大边,其所对角C为最大内角.
由余弦定理推论得cos C===-,
因为0°所以C=120°,即最大内角为120°.
[备用例2] 在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.
解:根据余弦定理,得cos A=
==.
因为A∈(0,π),所以A=,
cos C=
=
=,
因为C∈(0,π),所以C=.
所以B=π-A-C=π--=π,
所以A=,B=π,C=.
　判断三角形的形状
[例3] 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.
解:(1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
所以a2=b2+c2-bc,
而a2=b2+c2-2bccos A,所以2cos A=1,
所以cos A=.
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,
且a=,所以()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc,①
又因为b+c=2,与①联立,解得bc=3,
所以所以b=c=,
于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形.
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系;②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2;
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2;
③△ABC为钝角三角形 a2+b2④若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.
即时训练3-1:在△ABC中,若(a-ccos B)b=(b-ccos A)a,判断△ABC的形状.
解:由余弦定理,原式可化为
(a-c·)b=(b-c·)a,
整理得,(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
故a2+b2-c2=0或a2=b2,
即a2+b2=c2或a=b,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
[备用例3] 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断此三角形的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得a2+b2-c2=ab,即 =,
所以cos C=.
又C为△ABC的内角,所以C=.
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
又因为sin C=2cos Asin B,
所以sin Acos B-cos Asin B=0,
sin(A-B)=0,
因为A,B为△ABC的内角,
所以A=B,
又因为C=,
所以△ABC为等边三角形.
1.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c等于(　D　)
(A) (B)8 (C)10 (D)7
解析:由余弦定理得
c===7.故选D.
2.在△ABC中,若B=60°,b2=ac,则△ABC的形状是(　D　)
(A)等腰直角三角形 (B)直角三角形
(C)等腰三角形 (D)等边三角形
解析:因为b2=ac,B=60°,
由余弦定理b2=a2+c2-2ac·cos B,
得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,
所以a=c,又B=60°,
所以△ABC为等边三角形.故选D.
3.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-,则三角形的另一边长是　　　　.
解析:设另一边长为x,则x2=52+32-2×5×3×(-)=52,所以x=2.
答案:2
4.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cos C=　.
解析:因为a2-c2+b2=ab,所以c2=a2+b2-ab,又因为c2=a2+b2-2abcos C,所以2cos C=1,所以cos C=.
答案:
[选题明细表]
知识点、方法 题号
已知两边及一角解三角形 1,6,13
已知三边解三角形 2,4,5,8,9,10,11
判断三角形的形状 3,7
综合问题 12,14
基础巩固
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=,c=2,cos A=,则b等于(　D　)
(A) (B) (C) (D)3
解析:由已知得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-2b×2×,解得b=3.故选D.
2.在△ABC中,若a2-b2+c2+ac=0,则B等于(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由a2-b2+c2+ac=0,可得a2+c2-b2=-ac,
由余弦定理可得cos B==-.
因为03.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos B=c,则△ABC的形状一定是(　C　)
(A)等腰直角三角形 (B)直角三角形
(C)等腰三角形 (D)等边三角形
解析:由余弦定理及2acos B=c,
得2a·=c,
所以a2-b2=0,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.故选C.
4.在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于(　C　)
(A)1 (B) (C)2 (D)4
解析:bcos C+ccos B=b·+c·==a=2.故选C.
5.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A等于(　C　)
(A) (B)
(C)- (D)-
解析:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意得BD=AD=BC,所以CD=BC,AB=BC,AC=BC,由余弦定理得cos ∠BAC==-.故选C.
6.在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于　　　　.
解析:在△ABC中,因为A=60°,AC=2,BC=,设AB=x,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,化简得x2-2x+1=0,所以x=1,即AB=1.
答案:1
7.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cos A=,b+c=2a,则△ABC的形状为　.
解析:由余弦定理及cos A=,得=,
所以b2+c2-a2=bc.
因为b+c=2a,所以a=,
所以b2+c2-()2=bc,即(b-c)2=0,
所以b=c,于是a=b=c,
所以△ABC为等边三角形.
答案:等边三角形
能力提升
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为(　D　)
(A) (B)
(C)或 (D)或
解析:因为(a2+c2-b2)tan B=ac,
所以tan B=,
即cos Btan B=,sin B=,所以B=或B=.故选D.
9.若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是(　D　)
(A)(1,) (B)(,5)
(C)(,) (D)(1,)∪(,5)
解析:在钝角△ABC中,假设2,3,x所对的角为A,B,C,当x为最大边长时,则cos C=<0,所以x>.又因为三角形任意两边之和大于第三边,所以x<5,可得x∈(,5);同理当3为最长边时,可得x∈(1,).故选D.
10.已知三角形三边长为a,b,(a>0,b>0),则最大角的大小为　　　　.
解析:易知>a,>b,
设最大角为θ,
则cos θ==-,
又因为0°<θ<180°,所以θ=120°.
答案:120°
11.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则A=　　　　,AC边上的高为　　　　.
解析:由余弦定理,可得
cos A===,
又0则AC边上的高h=ABsin A=3×=.
答案:　
12.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长.
解:(1)cos C=cos[180°-(A+B)]
=-cos(A+B)=-.
又因为0°(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,
所以
所以AB2=a2+b2-2abcos 120°=(a+b)2-ab=10,
所以AB=.
应用创新
13.(多选题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=,则b等于(　AC　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)2
解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,
所以4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,
所以b=2或b=4.故选AC.
14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
解:(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
即有sin Asin B-sin Acos B=0,
因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0.
又cos B≠0,
所以tan B=.
又0(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B,
因为a+c=1,cos B=,
有b2=3(a-)2+,
又0于是有≤b2<1,
即有≤b<1.第二课时　正弦定理
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程,掌握正弦定理及其变形. 2.能够利用正弦定理解三角形,并会判断三角形的形状. 1.通过对任意三角形边角关系的探索,证明正弦定理,发展数学抽象及逻辑推理的核心素养. 2.通过利用正弦定理及推论解三角形,加强逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.正弦定理
2.正弦定理的推论及变形公式
(1)正弦定理的推论:设R是△ABC外接圆的半径,则===2R;
(2)正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)
①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
②sin A=,sin B=,sin C=;
③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
1.在△ABC中,a=2,b=3,则等于(　B　)
(A) (B) (C) (D)3
解析:由正弦定理,得=,故==.故选B.
2.在△ABC中,A=45°,B=30°,a=10,则b等于(　A　)
(A)5 (B)10 (C)10 (D)5
解析:由正弦定理=,得b===5.故选A.
3.已知△ABC外接圆半径是2,A=60°,则BC的长为　　　　.
解析:因为=2R,所以BC=2Rsin A=4sin 60°=2.
答案:2
4.在△ABC中,a=,b=2,B=45°,则C=　　　.
解析:由正弦定理=,得sin A=.
因为a>b,所以A=60°或A=120°.
所以C=75°或C=15°.
答案:75°或15°
　已知两角和一边解三角形
[例1] 在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=2,解三角形.
解:在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°,
sin 75°=sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
=×+×=,
根据正弦定理,得
a===
=(-1)=3-,
b===
=2(-1)=2-2.
解决已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
即时训练1-1:在△ABC中,若a=2,cos A=,cos B=-,则b=　　　　.
解析:因为cos A=,
所以sin A==,
因为cos B=-,
所以sin B==,
由正弦定理=,
得b===.
答案:
[备用例1] 在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
解:因为A=45°,C=30°,
所以B=180°-(A+C)=105°.
由=,
得a==10×=10.
因为sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=,
所以b===20×=5+5.
　已知两边和其中一边的对角解三角形
[例2] 在△ABC中,根据下列条件,解三角形.
(1)A=60°,c=,a=;
(2)a=,b=,B=45°.
解:(1)由正弦定理得=,
所以sin C===.
又c=,a=,所以c所以C所以B=180°-(A+C)=90°.
由正弦定理得=,
所以b===2.
所以C=30°,B=90°,b=2.
(2)由正弦定理,
得sin A===,
因为0°所以A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=75°,
所以c===;
当A=120°时,C=15°,
所以c===.
所以A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;
②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 两解
a=bsin A 一解
a即时训练2-1:在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
解:因为=,
所以sin C===,
因为0°所以C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,b===+1;
当C=120°时,B=15°,b===-1.
所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
[备用例2] 已知△ABC中的下列条件,解三角形.
(1)a=10,b=20,A=60°;
(2)a=2,c=,C=.
解:(1)因为=,
所以sin B===>1,
所以三角形无解.
(2)因为=,所以sin A==.
因为c>a,所以C>A.所以A=.
　判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=acos C,试判定△ABC的形状.
解:法一　(从角的关系判断)
因为b=acos C,
由正弦定理得sin B=sin Acos C,
因为B=π-(A+C),
所以sin (A+C)=sin Acos C,
即sin Acos C+cos Asin C=sin A cos C,
所以cos Asin C=0,
因为A,C∈(0,π),所以cos A=0,所以A=,
所以△ABC为直角三角形.
法二　(从边的关系判断)
因为b=acos C,
由余弦定理,得b=a·.
化简,得b2+c2=a2,
所以△ABC为直角三角形.
(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
即时训练3-1:已知在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
解:由正弦定理===2R,
得sin A=,sin B=,sin C=.
因为bsin B=csin C,所以b·=c·,
所以b2=c2,所以b=c,
因为sin2A=sin2B+sin2C,
所以()2=()2+()2,
所以a2=b2+c2,所以A=90°,
所以△ABC为等腰直角三角形.
[备用例3] 已知在△ABC中,2sin Acos B=sin C,试判断△ABC的形状.
解:法一　(利用边的关系进行判断)
由正弦定理和余弦定理,
2sin Acos B=sin C可化为
2a·=c,即a2+c2-b2=c2,即a2=b2,故a=b,所以△ABC是等腰三角形.
法二　(利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中,A+B+C=π,
即C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B),
由2sin Acos B=sin C=sin(A+B),
得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,
所以sin(A-B)=0.
因为-π所以△ABC是等腰三角形.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC等于(　B　)
(A)4 (B)2 (C) (D)
解析:由正弦定理=,
得=,
所以AC=×=2.故选B.
2.在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,则此三角形解的个数为(　C　)
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)不能确定
解析:因为在△ABC中A=30°,a=2,b=2,
所以bsin A=2×=,而 所以三角形解的个数为2.故选C.
3.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则△ABC是(　A　)
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)锐角三角形 (D)钝角三角形
解析:由sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,
得a∶b∶c=3∶4∶5.
不妨设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),
则有c2=a2+b2,故△ABC为直角三角形.故选A.
4.在△ABC中, a=5,b=5,A=30°,则B=　　　　.
解析:由正弦定理,得sin B==,
因为b>a,所以B>A,且0°答案:60°或120°
[选题明细表]
知识点、方法 题号
已知两角及任意一边解三角形 1,4,7,10
已知两边及其中一边的对角解三角形 3,6
三角形形状的判断 5,11
正弦定理的综合应用 2,8,9,12,13
基础巩固
1.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC等于(　B　)
(A) (B)2 (C)3 (D)4
解析:在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,解得AC=2.故选B.
2.在△ABC中,A=30°,B=60°,C=90°,那么三边之比a∶b∶c等于(　C　)
(A)1∶2∶3 (B)3∶2∶1
(C)1∶∶2 (D)2∶∶1
解析:由正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=∶∶1=1∶∶2.故选C.
3.在△ABC中,已知AB=AC,B=30°,则C等于(　C　)
(A)45° (B)15°
(C)45°或135° (D)15°或105°
解析:因为AB=AC,由正弦定理得=,又因为B=30°,所以sin C=,
又因为AB>AC,所以C=45°或C=135°.故选C.
4.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=2+2,则△ABC中最小的边长为(　B　)
(A)2 (B)4
(C)+ (D)-
解析:因为C=180°-A-B=45°,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,
由正弦定理得=,所以c====4.故选B.
5.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC形状为(　C　)
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,
则3b=2asin B可化为,
3sin B=2sin Asin B,
因为0°所以sin A=,所以∠A=60°或120°,
又cos A=cos C,所以A=C,
所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.故选C.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,a=1,b=,则B=　　　　.
解析:由正弦定理得=,即=,解得sin B=.又因为b>a,所以B=或.
答案:或
7.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为　　　　.
解析:不妨设A=45°,B=60°,
则AB=1,C=180°-45°-60°=75°.
因为A所以BC由正弦定理=,得BC====-1,
所以这个三角形最小的边长为-1.
答案:-1
能力提升
8.在△ABC中,若满足sin2A=sin2B+sin B·sin C+sin2C,则A等于(　D　)
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:由正弦定理得a2=b2+c2+bc,
b2+c2-a2=-bc,
=-=cos A,
由于0°9.锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是(　B　)
(A)(1,) (B)(,)
(C)(1,) (D)(,2)
解析:在△ABC中,由正弦定理可得=.
因为B=2A,所以===2cos A.
又因为在锐角三角形ABC中,所以0°所以0°由三角形内角和定理得A+B+C=180°,
所以0°所以30°所以<2cos A<.故选B.
10.在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,则角C=　　　　,AC=　　　　.
解析:由内角和可得C为60°,由正弦定理可知= = AC=2.
答案:60°　2
11.在△ABC中,已知=,且2sin Asin B=2sin2C.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)求的取值范围.
解:(1)由已知及正弦定理得
==,
所以b2-a2=ab,①
又2sin Asin B=2sin2C,
由正弦定理得
2ab=2c2,②
由①②得b2=a2+c2,
所以△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
(2)由正弦定理得==sin A+sin C=sin A+cos A=sin(A+),
因为0所以所以所以1即的取值范围为(1, ].
应用创新
12.(多选题)锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是(　ABCD　)
(A)sin A>sin B (B)cos A(C)sin A>cos B (D)sin B>cos A
解析:A>B a>b sin A>sin B,故A成立;
函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数,
因为A>B,所以cos A在锐角三角形中,因为A+B>,所以A>-B,
函数y=sin x在区间[0,]上是增函数,
则有sin A>sin(-B),即sin A>cos B,C成立;
同理sin B>cos A,故D成立.故选ABCD.
13.在①sin2A-(sin B-sin C)2=sin Bsin C;②bsin =asin B;③asin B=bsin(-A),这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=2c,　　　　求A和C.
解:选择条件①,由sin2A-(sin B-sin C)2=sin Bsin C及正弦定理知a2-(b-c)2=bc,
整理得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A===,
又因为A∈(0,π),所以A=,
又由a+b=2c,得sin A+sin B=2sin C,
由B=-C,
得sin +sin(-C)=2sin C,
即+cos C+sin C=2sin C,
即3sin C-cos C=,
即2sin(C-)=,
整理得sin(C-)=,
因为C∈(0,),所以C-∈(-,),从而C-=,解得C=.
选择条件②,因为A+B+C=π,
所以=-,
由bsin=asin B得bcos =asin B,
由正弦定理知,
sin Bcos =sin Asin B=2sin cos sin B,
因为B∈(0,π),A∈(0,π),可得∈(0,),
所以sin B>0,cos >0,可得sin =,
所以=,故A=,
以下过程同条件①解答.
选择条件③,由asin B=bsin(-A)及正弦定理知,sin Asin B=sin Bsin(-A),因为B∈(0,π),则sin B>0,
从而sin A=sin(-A)=cos A+sin A,则sin A=cos A,解得tan A=,
又因为A∈(0,π),所以A=,以下过程同条件①解答.第三课时　三角形中的几何计算
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握三角形的面积公式及其应用. 2.熟练掌握利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法. 3.能够运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的一些综合问题. 1.借助三角形的面积公式的简单推导和应用,强化逻辑推理及数学运算的核心素养. 2.通过运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的一些综合问题,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.三角形的面积公式
(1)S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高).
(2)S=absin C=bcsin A=acsin B.
(3)S=(a+b+c)·r(r为△ABC内切圆的半径).
2.三角形中有关边和角的常用性质
(1)三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π.
(2)在△ABC中,a>b A>B sin A>sin B.
(3)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b.
(4)在△ABC中,A为锐角 cos A>0 a2b2+c2.
1.在△ABC中,a=1,b=2,C=,则S△ABC的值为(　A　)
(A) (B) (C)1 (D)
解析:S△ABC=absin C=.故选A.
2.已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为(　B　)
(A)75° (B)60° (C)45° (D)30°
解析:由三角形的面积公式及题设可得3=×4×3×sin C,所以sin C=.因为△ABC为锐角三角形,所以C=60°.故选B.
3.在△ABC中,A=30°,AB=2,BC=1,则△ABC的面积为　　　.
解析:由=,知sin C=1,则C=90°,
所以B=60°,
从而S△ABC=AB·BC·sin B=.
答案:
4.已知△ABC的面积S=,A=,则·=　　　　.
解析:S=||||sin A,
即||||sin =,
故||||=4,
所以·=||||cos A=4cos =2.
答案:2
　与三角形面积有关的计算问题
[例1] (1)在△ABC中,A=30°,C=45°,a=2,求S△ABC;
(2)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,求边AB的长度.
解:(1)法一　因为A=30°,C=45°,
所以B=105°,
由正弦定理得=,
b===4sin 105°
=4(sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°)
=+,
S△ABC=absin C=×2×(+)×
=1+.
法二　设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理知==4=2R,所以R=2.
又A=30°,C=45°,所以B=105°,
所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1.
(2)法一　由S△ABC=AC·BCsin C=,
得AC=2,
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·
cos 60°=22+22-2×2×2×=4,
所以AB=2,即边AB的长度等于2.
法二　由S△ABC=AC·BC·sin C=,
得AC=2,
所以AC=BC=2,又C=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以AB=2,
即边AB的长度等于2.
三角形面积计算的解题思路
对于此类问题,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:
(1)若所求面积为多边形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正弦定理、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
即时训练1-1:如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于(　　)
(A) 　　(B)5
(C)6 　　(D)7
解析:连接BD(图略),在△BCD中,由已知条件,知∠DBC==30°,所以∠ABD=90°,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,知BD2=22+22-2×2×2cos 120°=12,所以BD=2,所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×4×2+×2×2×sin 120°=5.故选B.
即时训练1-2:在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面积为,则边a的值为　　　　.
解析:由S△ABC=bcsin A=csin 60°=,得c=4,因为a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8cos 60°=13,所以a=.
答案:
　三角形中的线段长度和角度的计算
[例2] 已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求角C和线段BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)连接BD,则由题设及余弦定理得,
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C,②
由①②得cos C=,
故C=60°,BD=.
(2)四边形ABCD的面积
S=AB·DAsin A+BC·CDsin C
=(×1×2+×3×2)sin 60°=2.
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快解决.
(2)此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的几何条件.
即时训练2-1:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°,求BD的长.
解:在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,
由正弦定理得=,
sin ∠ABC===,
因为AD∥BC,
所以∠BAD=180°-∠ABC.
于是sin∠BAD=sin∠ABC=.
同理,在△ABD中,
AB=5,sin∠BAD=,∠ADB=45°,
由正弦定理得=,
解得BD=.
[备用例题]在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为,求边长a.
解:因为AD是BC边上的中线,
所以可设CD=DB=x,
则CB=a=2x,
因为c=4,b=7,AD=,
所以在△ACD中,有cos C=,
在△ABC中,有cos C=,
所以=,
解得x=,所以a=2x=9.
　三角形的综合问题
[例3] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+a)cos(π-B).
(1)求角B的大小;
(2)若b=4,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解:(1)因为bcos A=(2c+a)cos(π-B),
所以bcos A=(2c+a)(-cos B),
由正弦定理可得,sin Bcos A=(-2sin C-
sin A)cos B,
即sin(A+B)=-2sin Ccos B=sin C,
又角C为△ABC的内角,所以sin C>0,
所以cos B=-,
又B∈(0,π),所以B=.
(2)由S△ABC=acsin B=,得ac=4.
又b2=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=16,
所以a+c=2,
所以△ABC的周长为4+2.
变式训练3-1:在本例(2)中,去掉条件“△ABC的面积为”,求:
(1)△ABC周长的取值范围;
(2)△ABC面积的最大值.
解:(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
即b2=a2+c2+ac.
又b=4,
所以16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-()2,
所以(a+c)2≤16,所以(a+c)2≤.
即4所以8(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
即b2=a2+c2+ac,又b=4,
所以16=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac,即ac≤,
所以S△ABC=acsin B≤××=,
即△ABC面积的最大值为.
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起,要注意选择合适的方法、知识进行求解.
(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查,解答此类题目,首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件,然后根据题目条件和要求选择正弦定理或余弦定理求解.即时训练3-1:已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
解:(1)由题设得acsin B=,即csin B=,由正弦定理得sin Csin B=,
所以sin Bsin C=.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,
所以cos(B+C)=-,
又0又A+B+C=π,所以A=.
又bcsin A=,且a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,
所以(b+c)2-3bc=9,得b+c=.
所以△ABC的周长为3+.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△ABC的值为(　B　)
(A) (B) (C) (D)2
解析:S△ABC=AB·ACsin A=×1×2×=.故选B.
2.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A等于(　D　)
(A)30° (B)60°
(C)30°或150° (D)60°或120°
解析:由S△ABC=bcsin A=,
得sin A=,sin A=,
由0°3.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为(　A　)
(A) (B)3 (C) (D)7
解析:因为S△ABC=AB·ACsin A,
所以×2·ACsin 60°=,
所以AC=1.
所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A
=4+1-2×2cos 60°=3.
所以BC=.故选A.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,又知a=1,A=60°,c=,则△ABC的面积为　　　　.
解析:由正弦定理得=,
即=,解得sin C=,
又c故B=90°,所以S=ac=×1×=.
答案:
选题明细表
知识点、方法 题号
与三角形面积有关的计算问题 1,3,5,7,10,12
三角形中的线段长度和角度的计算 4,8,11
三角形中的综合问题 2,6,9,13
基础巩固
1.在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　B　)
(A) (B) (C)3 (D)3
解析:C=180°-30°-120°=30°,所以a=c=2,
所以△ABC的面积S=acsin B=×2×2×sin 120°=.故选B.
2.已知三角形的面积为,其外接圆的面积为π,三角形的三边之积为(　A　)
(A)1 (B)2 (C) (D)4
解析:由题意得,外接圆的半径R=1,
S=absin C=ab==,所以abc=1.故选A.
3.在△ABC中,c=,b=1,B=30°,则△ABC的面积为(　B　)
(A)或 (B)或
(C)或 (D)
解析:由正弦定理,得sin C==,
因为B=30°,所以0°所以C=60°或C=120°.
当C=60°时,S△ABC=bcsin A=;
当C=120°时,S△ABC=bcsin A=.故选B.
4.已知三角形两边之差为2,它们夹角的余弦值为,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是(　D　)
(A)3和5 (B)4和6
(C)6和8 (D)5和7
解析:设a-b=2,cos C=,sin C=,
S△ABC=absin C=14,故ab=35,
由a-b=2和ab=35,
解得a=7,b=5.故选D.
5.钝角△ABC的面积为,AB=1,BC=,则AC等于(　B　)
(A)5 (B) (C)2 (D)1
解析:因为S△ABC=AB·BC·sin B=,所以sin B=,又B为△ABC的内角,所以B=45°或B=135°,若B=45°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=1+2-2××=1,所以△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,所以B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=1+2-2×1××(-)=5,
所以AC=.故选B.
6.在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的半径为(　C　)
(A)2 (B)4 (C) (D)3
解析:S△ABC=acsin B=csin 45°=c,
又因为S△ABC=2,所以c=4,
又由余弦定理,得
b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4×=25,
所以b=5,
又因为=2R,
所以R===.故选C.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是　　　　.
解析:因为c2=(a-b)2+6,
所以c2=a2+b2-2ab+6.①
因为C=,
所以c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.②
由①②得-ab+6=0,即ab=6,
所以S△ABC=absin C=×6×=.
答案:
8.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S△ABC=,则b的值为　　　　.
解析:结合三角形面积公式可得bcsin A=,
则bc=3,①
锐角三角形中,由同角三角函数基本关系有
cos A==,
结合余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得4=b2+c2-2×3×,
则b2+c2=6,②
①②联立可得b=c=.
答案:
能力提升
9.在△ABC中,sin A=,则△ABC的形状为(　A　)
(A)直角三角形 (B)等边三角形
(C)等腰三角形 (D)等腰或直角三角形
解析:法一　因为sin A=,
又A+B+C=π,
所以sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),
所以sin Acos B+sin Acos C=sin Acos C+
cos Asin C+sin Acos B+cos Asin B,
所以cos A(sin C+sin B)=0.
又sin C+sin B≠0,所以cos A=0.
又0所以△ABC为直角三角形.故选A.
法二　由正弦定理、余弦定理及题设条件可得
a=,
化简得(b+c)(b2+c2-a2)=0,
又b+c≠0,
所以b2+c2-a2=0,
所以b2+c2=a2,
所以△ABC为直角三角形.
故选A.
10.如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cos∠CAD=,AD=BD,则该土地的面积是　　　　m2.
解析:设CD=x m,则AD=BD=(5-x)m,
在△CAD中,由余弦定理,可知
cos∠CAD==,
解得x=1,
所以CD=1 m,AD=BD=4 m,
在△CAD中,由正弦定理,
可知=,
所以sin C=·=4=,
所以S△ABC=AC·BC·sin C=×4×5×=(m2).
答案:
11.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,
在△PBA中,由余弦定理得
PA2=3+-2××cos 30°=,
故PA=.
(2)设∠PBA=α,则∠PCB=∠PBA=α,
由已知得PB=sin α,
在△PBA中,由正弦定理得=,
化简得cos α=4sin α,
所以tan α=,即tan∠PBA=.
应用创新
12.(多选题)在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是(　AB　)
(A)2 (B) (C)3 (D)4
解析:在△ABC中,因为B=30°,AB=2,
AC=2,
所以由=,得sin C==.
又因为AB·sin 30°所以C有两解,
所以C=60°或C=120°,
由三角形内角和定理得A=90°或A=30°.
由面积公式S△ABC=AB·AC·sin A,
所以S△ABC=2或S△ABC=.故选AB.
13.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-a)与n=(cos A,sin B)垂直.
(1)求A;
(2)若B+=A,a=2,求△ABC的面积.
解:(1)因为m⊥n,
所以m·n=b·cos A-a·sin B=0,
即bcos A=asin B,
由正弦定理得sin Bcos A=sin Asin B,
又sin B≠0,
所以cos A=sin A,
所以tan A=,
又0(2)由B+=A及(1)得B=,
所以C=π--=.
由正弦定理得c===2,
所以S△ABC=acsin B=×2×2sin =
2sin(-)=2×(×-×)=
-1,
所以△ABC的面积为-1.第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解实际测量中的专用名词与术语. 2.熟练掌握正弦定理、余弦定理. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问题. 通过分析问题,利用余弦定理、正弦定理解决实际问题,培养数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养.
1.实际应用问题中的专用名词与术语
(1)基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
(2)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
(3)方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
(4)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
2.解三角形应用题的一般步骤
1.为了测量B,C之间的距离,在河岸A,C处测量,如图,测得下面四组数据,较合理的是(　D　)
(A)c与α 　　　　(B)c与b
(C)b,c与β 　　　　(D)b,α与γ
解析:因为测量者在A,C处测量,所以较合理的应该是b,α与γ.故选D.
2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是(　B　)
(A)α>β (B)α=β
(C)α+β=90° (D)α+β=180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.故选B.
3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　B　)
(A)北偏东10° (B)北偏西10°
(C)南偏东10° (D)南偏西10°
解析:由题意可知,∠ACB=180°-40°-60°=80°,又AC=BC,所以∠CAB=∠CBA=50°,故A在B的北偏西10°.故选B.
4.甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼高为　　　　,乙楼高为　　　　.
解析:如图所示,在Rt△BAC中,∠BCA=60°,AC=20 m,所以AB=AC·tan 60°=20(m),
BC===40(m),
在△BCD中,∠BDC=120°,
∠DBC=30°,
由正弦定理=
得
DC===(m),
所以甲楼高为20 m,乙楼高为 m.
答案:20 m　 m
　求距离问题
[例1] 如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.
解:在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,
所以∠CAD=30°,所以AC=CD=(km),
在△BDC中,
∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°,
在△BCD中,由正弦定理,得
BC==(km),
则在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠BCA
=()2+()2-2×cos 75°
=5,
所以AB= km.
所以两个目标A,B之间的距离为 km.
测量距离的基本类型及方案
类 型 A,B两点间不可通或不可视 A,B两点间可视,但有一点不可达 A,B两点 都不可达
图 形
方 法 先测角C,AC=b,BC=a,再用余弦定理求AB 以点A不可达为例,先测角B,C,BC=a,再用正弦定理求AB 测得CD=a, ∠BCD,∠BDC, ∠ACD,∠ADC, 在△ACD中用正弦定理求AC; 在△BCD中用正弦定理求BC; 在△ABC中用余弦定理求AB
即时训练1-1:如图,为测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40 m的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点的距离是　　　　.
解析:在△BCD中,∠BDC=60°+30°=90°,∠BCD=45°,
所以∠CBD=90°-45°=∠BCD,
所以BD=CD=40 m,
BC==40(m).
在△ACD中,
∠ADC=30°,∠ACD=60°+45°=105°,
所以∠CAD=180°-(30°+105°)=45°,
由正弦定理得AC==20(m).
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠BCA
=(20)2+(40)2-2×40×20cos 60°
=2 400(m),
所以AB=20 m,
故A,B两点之间的距离为20 m.
答案:20 m
[备用例1]如图所示,在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
解:法一　因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠ACD=60°,所以∠DAC=60°,
所以AD=CD=AC=a,
在△BCD中,∠DBC=180°-30°-105°=45°,
因为=,
所以BD=CD·
=a·()=a.
在△ADB中,
因为AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB=
a2+(a)2-2×a·a·
=a2,
所以AB=a,
所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
法二　同法一,得AD=DC=AC=a,
在△BCD中,∠DBC=45°,
所以=,所以BC=a.
在△ABC中,
因为AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=a2+a2-2×a×a×=a2,
所以AB=a,
所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
　求高度问题
[例2] 在平地上有A,B两点,点A在山坡D的正东,点B在山坡D的东南,而且在A的南偏西15°,且距A为150 m的地方,在A处测山坡顶C的仰角为30°,求山坡的高度.
解:如图所示,在△ADB中,AB=150,∠ADB=45°,
∠DAB=90°-15°=75°,
所以∠DBA=180°-45°-75°=60°,
由正弦定理得=,
得AD===150(m).
在Rt△ACD中,因为=tan 30°,
所以CD=AD·tan 30°=150×=150(m).
所以山坡的高度为150 m.
高度问题的求法
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC=a,∠BCA=α,AB=a·tan α
底部不可达 点B 与C, D共 线 测得CD=a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解三角形得AB的值
点B 与C, D不 共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC, ∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC,再解三角形得AB的值
即时训练2-1:如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　.
解析:由题意可知AB=BC=100 m,
所以AC=100 m,在△ACM中,
由正弦定理得AM=·sin 60°=100(m),所以MN=AM·sin 60°=100×=150 (m).
答案:150 m
[备用例2] 如图,在测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
解:在△BCD中,∠BCD=α,∠BDC=β,
所以∠CBD=180°-(α+β),
所以=,
即=,所以BC=·s.
在△ABC中,由于∠ABC=90°,所以=tan θ,
所以AB=BC·tan θ=·s.
　求角度问题
[例3] 某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号.海事搜救人员在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10 km的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10 km/h的速度向小岛靠拢.海事搜救人员立即以10 km/h的速度前去营救,求海事搜救人员的航向和靠近渔船所需的时间.
解:如图所示,设t小时后,舰艇与渔船在B处靠近,则AB=10t,BC=10t,由题意得∠ACB=45°+(180°-105°)=120°,在△ABC中,根据余弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去),
所以海事搜救人员需1小时靠近渔船.
此时AB=10,BC=10,在△ABC中,由正弦定理得=,
所以sin∠CAB===,
又因为∠CAB为锐角,所以∠CAB=30°,
所以海事搜救人员航行的方位角∠BAD=45°+30°=75°,
所以海事搜救人员航行的方位角为75°,航行的时间为1小时.
(1)三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理,这是因为:余弦函数在(0,π)上是单调递减的,由所求得余弦值,不用判断角的个数问题(主要区别钝角、锐角问题),答案是唯一的,而正弦函数在(0,π)上不是单调的,因而求出正弦值后有两个角对应,还需判断角的合理性.若用正弦定理求角,应结合具体图形来判断角的解的个数,也可尽量地利用直角三角形来解答.
(2)测量角度问题的情境属于“根据需要对某些物体定位”,测量数量越准确,定位精度越高.即时训练3-1:甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a km,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿　　　　方向行驶才能追上乙船.
解析:如图,设到点C甲船追上乙船,甲船追上乙船所用的时间为t小时,乙船的速度为v km/h,
则BC=vt,AC=vt,
∠ABC=120°,
所以在△ABC中,由正弦定理得
=,
所以sin∠CAB===,
又0°<∠CAB<60°,
所以∠CAB=30°,
所以甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船.
答案:北偏东30°
[备用例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 km的A处,并正以30 km/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v km/h的航行速度匀速行驶,经过t h与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 km/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
解:(1)设相遇时小艇航行的距离为S km,则
S=
==,
故当t=时,Smin=10,v==30,
即小艇以30 km/h的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,
则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),
故v2=900-+.
因为0所以900-+≤900,
即-≤0,解得t≥.
又当t=时,v=30,
故当v=30时,t取得最小值,且最小值为,
此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20.
故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°,航行速度为30 km/h.
1.若P在Q的北偏东44°50′方向上,则Q在P的(　C　)
(A)东偏北45°10′方向上
(B)东偏北44°50′方向上
(C)南偏西44°50′方向上
(D)西偏南44°50′方向上
解析:如图所示.故选C.
2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 km/h,15 km/h,则14时两船之间的距离是(　B　)
(A)50 km (B)70 km
(C)90 km (D)110 km
解析:如图,设轮船A和轮船B两个小时后分别到达点C,D两处,
则OC=50 km,OD=30 km,∠DOC=120°,
由余弦定理可得CD2=OC2+OD2-2OC·ODcos 120°=502+302-2×50×30×(-)
=2 500+900+1 500
=4 900,
所以CD=70 km.故选B.
3.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为　　　　 km.
解析:如图所示,AC=15×4=60 km,∠BAC=30°,∠B=45°,在△ABC中,=,
所以BC=30 km.
答案:30
4.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山脚A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为　　　　m.
解析:由题图可得∠B=45°,∠BAC=30°,
故BC===30(m).
答案:30
选题明细表
知识点、方法 题号
求距离问题 1,3,9,11,12
求高度问题 2,5,7,8,10
求角度问题 4,6
基础巩固
1.一艘船以40 km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东30°, 0.5 h后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东75°,则灯塔S与B之间的距离是(　D　)
(A)5 km (B)10 km
(C)5 km (D)10 km
解析:AB=40×=20(km),
由于∠BAS=30°,
解得∠BSA=45°,
由正弦定理得=,
即=,
解得BS=10 km.故选D.
2.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10 m到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为(　C　)
(A)15 m (B)5 m
(C)10 m (D)12 m
解析:如图,设塔高为h m,则AB=h,
BC=h,BD=h,∠BCD=120°,CD=10,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°,得h=10.故选C.
3.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为m,∠BAC=α,∠ACB=β,则A,B两点间的距离为(　C　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:在△ABC中,AC=m,∠BAC=α,∠BCA=β,
所以∠ABC=π-α-β,
所以sin ∠ABC=sin(π-α-β)=sin(α+β),
由正弦定理=,
得AB==.故选C.
4.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6 m,下底长为10 m,高为2 m,那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是(　B　)
(A),60° (B),60° (C),30° (D),30°
解析:如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高DE=2 m,
则AE==2 m,
所以tan∠DAE===,
所以∠DAE=60°.故选B.
5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高度为(　D　)
(A)10 m (B)10 m
(C)10 m (D)10 m
解析:依题意,在△BCD中,CD=10 m,∠BCD=105°,∠BDC=45°,
所以∠DBC=180°-45°-105°=30°,
由正弦定理得=,
得BC===
10(m),
在Rt△ABC中,∠BCA=60°,
所以AB=BC·tan∠BCA=10×=
10(m),
所以塔AB的高度为10 m.故选D.
6.如图,位于A处的海上观测站获悉,在其正东方向相距40 km的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救,在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处援助,则sin ∠ACB=　　　　.
解析:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·
cos 120°=2 800,所以BC=20,
由正弦定理得sin∠ACB==
=.
答案:
7.如图,在山顶铁塔上B处测得一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β,若铁塔高为m,则山高CD为　　　　.
解析:由已知,在△ABC中,∠BAC=α-β,∠ABC=-α,
由正弦定理得=,
所以AC=,
所以CD=ACsin β=.
答案:
能力提升
8.如图,某运动会举行升旗仪式,在坡度为15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 m,则旗杆的高度为(　B　)
(A)10 m (B)30 m
(C)10 m (D)20 m
解析:如图,依题意可知∠CEA=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,
所以∠EAC=180°-45°-105°=30°,
由正弦定理得=,
所以AC==20(m).
所以在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB
=20×=30(m),
所以旗杆的高度为30 m,故选B.
9.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=45 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为　　　　 m.
解析:在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°,因为∠DCA=15°,所以∠DAC=15°,
所以AD=CD=45 m,
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°,所以∠CBD=30°,
由正弦定理可得=,
所以BD==45(m),
在△ABD中,
AD=45 m,BD=45 m,∠ADB=135°,
由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·
BDcos∠ADB=452×5,因此,AB=45 m.
答案:45
10.如图,在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则BD=　　　　m,山高BC为　　　　m.
解析:由题意得∠SAB=45°-30°=15°,又∠SBD=15°,
所以∠ABS=30°,AS=1 000,由正弦定理可知=,所以BS=2 000sin 15°,所以BD=BS·sin 75°=2 000sin 15°cos 15°=1 000 sin 30°=500,且DC=1 000sin 30°=500,从而BC=DC+DB=1 000(m).
答案:500　1 000
应用创新
11.(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,则x的值为(　AB　)
(A) (B)2 (C)2 (D)3
解析:如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,
由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos ∠ABC,
即()2=x2+32-2x·3·cos 30°,
所以x2-3x+6=0,
解得x=2或x=.故选AB.
12.如图,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城多少千米
解:在△BCD中,BC=31,BD=20,CD=21,
由余弦定理得,
cos∠BDC===-,
所以cos∠ADC=,sin∠ADC=,
在△ACD中,由条件知CD=21,∠CAD=60°,
所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)
=×+×=,
由正弦定理得=,
所以AD=×=15.
故这时此车距离A城15千米.章末总结
　　　　　　 　　　　　 　　　　　 网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.若a∥b,则a与b的方向一定相同或相反.(　×　)
2.若a∥b,b∥c,则a∥c.(　×　)
3.若b与a共线,则存在实数λ,使得b=λa.(　×　)
4.向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化.(　×　)
5.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b等价于=.(　×　)
6.a≠0,a·b=0,则b=0.(　×　)
7.两个向量的数量积小于零,两个向量的夹角一定为钝角.(　×　)
8.若△ABC是直角三角形,则有·=0.(　×　)
题型一　平面向量的线性运算及应用
[例1] (1)(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为线段AD,CD的中点,AF∩CE=G,则(　　)
(A)=+
(B)=(+)
(C)=-
(D)=3
(2)如图所示,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于(　　)
(A) (B) (C) (D)2
解析:(1)=+=+=+,即A正确;
=+=(+)=(+),即B正确;
连接AC,知G是△ADC的中线的交点,如图所示.
由其性质有==,
所以=(+)=(+)=+,即C错误;
同理=+=++=(-),
=+=-=+-=(-),
所以=2,即D错误.故选AB.
(2)因为=λ+μ
=λ(+)+μ(+)
=λ(+)+μ(-+)
=(λ-μ)+(+μ),
且=+,
所以得
所以λ+μ=,故选B.
向量线性运算的求解策略
(1)向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.
(2)字符表示下线性运算的常用技巧:
首尾相接用加法的三角形法则,如+=;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如-=.
跟踪训练1:(1)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于(　　)
(A)- (B)-
(C)+ (D)+
(2)若D点在三角形ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为(　　)
(A) (B) (C) (D)
解析:(1)法一　如图所示,=+=+=×(+)+(-)=-,故选A.
法二　=-=-=-×(+)=-,故选A.
(2)因为=4=r+s,
所以==(-)=r+s,
所以r=,s=-,所以3r+s=-=.
故选C.
题型二　向量的数量积
[例2] (1)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为(　　)
(A) (B) (C) (D)3
(2)已知非零向量a,b满足|a-b|=|a|,a·(a-b)=0,则a-b与b夹角的大小为　　　　.
解析:(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图的平面直角坐标系,
因为在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=120°,所以A(0,0),B(1,0),D(-,),
设C(1,m),E(x,y),
所以=(,m-),=(-,).
因为AD⊥CD,所以·=0,即×(-)+(m-)=0,解得m=,即C(1,),因为E在CD上,所以≤y≤.
由∥,得(x-1)(-)=(y-),即x=y-2,因为=(x,y),=(x-1,y),所以·=x(x-1)+y2=x2-x+y2=(y-2)2-y+2+y2=4y2-5y+6,令f(y)=4y2-5y+6,y∈[,],因为函数f(y)=4y2-5y+6在[,]上单调递减,在(,]上单调递增,所以f(y)min=4×()2-5×+6=.
所以·的最小值为,故选A.
(2)因为非零向量a,b满足a·(a-b)=0,所以a2=a·b,由|a-b|=|a|可得a2-2a·b+b2=a2,解得|b|=|a|,设a-b与b的夹角为θ,则cos θ====-,又0°≤θ≤180°,所以θ=135°.
答案:(1)A　(2)135°
数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题:
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a∥b x1y2-x2y1=0,
a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a=(x1,y1),则|a|=;
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ==.
跟踪训练2:(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(　　)
(A)- (B) (C) (D)
(2)设|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,则|3a+b|的值为　　　　.
解析:(1)因为=-,
=+
=+=+,
所以·=(-)·(+)
=--·
=×1×1-×1×1-×1×1×cos 60°
=.故选B.
(2)法一　因为|3a-2b|=3,所以9a2-12a·b+4b2=9.又因为|a|=|b|=1,所以a·b=,
所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9+6×+1=12,所以|3a+b|=2.
法二　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
因为|a|=|b|=1,
所以+=+=1.
因为3a-2b=(3x1-2x2,3y1-2y2),
所以|3a-2b|==3,
所以x1x2+y1y2=.
所以|3a+b|===2.
答案:(1)B　(2)2
题型三　利用正弦定理、余弦定理求解三角形的基本问题
[例3] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
解:(1)由bsin A=acos B及正弦定理=,得sin B=cos B,
所以tan B=,又0(2)由sin C=2sin A及=,得c=2a,
由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得9=a2+c2-ac.
所以a=,c=2.
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常是指求未知的元素,有时也求三角形的面积.
解斜三角形共包括四种类型:(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边);(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边);(3)已知三边(先用余弦定理求角);(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边,注意讨论解的个数).
跟踪训练3:如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos ∠ADC=.
(1)求sin ∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
解:(1)在△ADC中,因为cos ∠ADC=,
所以sin ∠ADC=,
所以sin ∠BAD=sin (∠ADC-B)
=sin ∠ADCcos B-cos ∠ADCsin B
=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理得BD==
==3,
在△ABC中,BC=5,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B
=82+52-2×8×5×=49,
所以AC=7.
题型四　正弦定理、余弦定理的综合应用
[例4] △ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A-sin C=·(sin B-sin C).
(1)求角A;
(2)从三个条件:①a=3;②b=3;③△ABC的面积为3中任选一个作为已知条件,求△ABC周长的取值范围.
解:(1)因为sin A-sin C=(sin B-sin C),所以a-c=(b-c),
得b2+c2-a2=bc,
所以cos A==,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)分三种情况求解:
选择①a=3,
因为A=,a=3,
由正弦定理得===2,
即△ABC的周长l=a+b+c=2sin B+2sin C+3=2sin B+2sin(-B)+3=3sin B+3cos B+3=6sin(B+)+3,
因为B∈(0,),
所以即△ABC周长的取值范围是(6,9].
选择②b=3.
因为A=,b=3,
由正弦定理得
a=,
c==
=+,
即△ABC的周长l=a+b+c=++=+=
+=+,
因为B∈(0,),
所以0<<,
所以0即△ABC周长的取值范围是(6,+∞).
选择③S△ABC=3.
因为A=,S△ABC=bcsin A=bc=3,
得bc=12,
由余弦定理得
a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-36,
即△ABC的周长
l=a+b+c=+b+c,
因为b+c≥2=4,
当且仅当b=c=2时等号成立,
所以l≥+4=6.
即△ABC周长的取值范围是[6,+∞).
正弦定理、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合,通常可以利用正弦定理、余弦定理完成证明、求值等问题.
(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.
题型五　正弦定理、余弦定理的实际应用
[例5] 为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
解:①需要测量的数据有在A点观测M,N的俯角α1,β1,在B点观测M,N的俯角α2,β2;A,B间的距离d(如图所示).
②法一　第一步:计算AM,在△ABM中,由正弦定理得AM=;
第二步:计算AN,在△ABN中,由正弦定理得
AN=;
第三步:计算MN,在△AMN中,由余弦定理得
MN=.
法二　第一步:计算BM,在△ABM中,由正弦定理得BM=;
第二步:计算BN,在△ABN中,由正弦定理得
BN=;
第三步:计算MN,在△BMN中,由余弦定理得
MN=.
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.
第六章　检测试题
[选题明细表]
知识点、方法 题号
平面向量的线性运算 1,5,9,11,15,19
平面向量的数量积运算 3,7,13,17,20
平面向量在平面几何与 物理中的应用 6
正、余弦定理的应用 2,4,10,12,14,16,18
平面向量与解三角形的 综合应用 8,21,22
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在五边形ABCDE中(如图),+-等于(　B　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:+-=+=.故选B.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a=2,A=45°,B=30°,那么b等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由正弦定理得==,
所以b=,故选A.
3.已知角C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C等于(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为m⊥n,
所以2cos2C-3cos C-2=0,
所以(2cos C+1)(cos C-2)=0,
所以cos C=-,
又C为△ABC的一个内角,
所以C=.
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于(　D　)
(A) (B) (C) (D)2
解析:A=60°,a=,
由正弦定理得====2,
所以b=2sin B,c=2sin C,
则=2.故选D.
5.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,点M在对角线AC上,点N在边CD上,且=,=,则·等于(　C　)
(A) (B)4 (C) (D)
解析:=-=+--=+,
所以·=(+)·(+)=++(+)·=+=.故选C.
6.有一长为1 km的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为(　C　)
(A)1 km (B)2sin 10° km
(C)2cos 10° km (D)cos 20° km
解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD中,由正弦定理=,所以AD=AB·==2cos 10°(km).故选C.
7.定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np.下面说法错误的是(　B　)
(A)若a与b共线,则a☉b=0
(B)a☉b=b☉a
(C)对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b)
(D)(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
解析:若a=(m,n)与b=(p,q)共线,则mq-np=0,依运算“☉”知a☉b=0,故A正确;
由于a☉b=mq-np,又b☉a=np-mq,因此a☉b=-b☉a,故B不正确;
对于C,由于λa=(λm,λn),因此(λa)☉b=λmq-λnp,又λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正确;对于D,(a☉b)2+(a·b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.故选B.
8.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式,表达式为S=,p=;它的特点是形式漂亮,便于记忆.我国南宋著名数学家秦九韶独立推出的“三斜求积”公式,虽然它与海伦公式形式上有所不同,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　C　)
(A)8 (B)4 (C)6 (D)12解析:因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,
所以a∶b∶c=2∶3∶.
因为△ABC周长为10+2,
即a+b+c=10+2,
所以a=4,b=6,c=2,
所以p==5+,
所以△ABC的面积S=
=6.
故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.设P是△ABC所在平面内的一点,+=3,则(　CD　)
(A)+=0 (B)+=0
(C)+= (D)++=0
解析:显然+=成立,C对;
因为+=3,
所以=+,
所以=+=++=
-,
所以=+=-,
所以++=0,D对;
所以+=-≠0,A错;
所以+=--≠0,B错.故选CD.
10.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为(　AD　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由正弦定理得=,
即=,
所以sin C=,
所以C=或π,
当C=时,A=;
当C=π时,A=π.故选AD.
11.已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足+2=0,=2,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是(　BD　)
(A)∥
(B)=+
(C)·>0
(D)S=4
解析:已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足+2=0,
所以A,P,C三点共线,点P为线段AC的三等分点.
由于=2,
所以A,B,Q三点共线,且B为线段AQ的中点,
如图所示,
①与不平行,故选项A错误;
②根据三角形法则:
=+=+
=+(-)=+,故选项B正确;
③·=-||||<0,故选项C错误;
④△ABC的面积为3,所以=,
则S△ABP=2,S△BCP=1,
且S△ABP=S△BPQ=2,
所以S△APQ=2+2=4,故选项D正确.故选BD.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　ACD　)
(A)sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
(B)△ABC是钝角三角形
(C)△ABC的最大内角是最小内角的2倍
(D)若c=6,则△ABC外接圆半径为
解析:(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,
可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,
解得a=4t,b=5t,c=6t,t>0,
可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;
由c为最大边,可得
cos C===>0,
即C为锐角,故B错误;
由cos A===,
由cos 2A=2cos2A-1=2×-1
==cos C,
由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;
若c=6,可得2R===,
△ABC外接圆半径为,故D正确.故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知a,b满足|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=　　　.
解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=16.
因为|a|=3,|b|=2,
所以a·b=,
所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b
=9+4-2×=10,
可得|a-b|=.
答案:
14.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　.
解析:因为2asin B=b,
所以2sin Asin B=sin B,所以sin A=,
因为△ABC为锐角三角形,
所以cos A=,因为bc=6,b+c=5,
所以a2=b2+c2-2bccos A
=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=52-3×6=7,
所以a=.
答案:
15.在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足=2,=3.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　.
解析:如图,
因为=2,=3,
所以==,==,
则=+=+,
=+=+,
故=λ+μ=λ(+)+μ(+)=(λ+μ)+(λ+μ).
因为=+,
所以解得λ=,μ=,λ+μ=.
答案:
16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,tan A=,则sin A=　　　,b=　　　.
解析:因为角A为△ABC的内角,tan A==,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=(负值舍去).又在△ABC中,由正弦定理得=,解得c==5,则在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,即(2)2+b2-52=2×2bcos ,解得b=4+(负值舍去).
答案:　4+
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知向量m=(1,3),n=(3,2).
(1)求m·(m+2n)的值;
(2)若(m+λn)∥(λm+n),求实数λ的值.
解:(1)因为m=(1,3),n=(3,2),
所以m+2n=(7,7)
所以m·(m+2n)=1×7+3×7=28.
(2)m+λn=(1+3λ,3+2λ),
λm+n=(λ+3,3λ+2),
因为(m+λn)∥(λm+n),
所以(1+3λ)(3λ+2)-(3+2λ)(λ+3)=0,
整理得λ2=1,
所以λ=±1.
18.(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc.
(1)求cos C的值;
(2)若a=5,求△ABC的面积.
解:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,
得a2-(b-c)2=bc,
即a2=b2+c2-bc,
由余弦定理,得
cos A==,
所以sin A=.又因为B=,
所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.
(2)由(1)得sin C=.
在△ABC中,由正弦定理,得c==8,
所以S=acsin B=×5×8×sin =10.
19.(本小题满分12分)
如图所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为线段BC,AC上一点,且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于点E.
(1)用向量a,b表示;
(2)假设=λ+(1-λ)=μ,用向量a,b表示,并求出μ的值.
解:由题意得CF=3FA,BD=2DC,
所以=,=.
(1)因为=+,=a,=b,
所以=+=+(-)
=+=-a+b.
(2)由(1)知=-a+b,而==b,而=λ+(1-λ)=μ =-λa+(1-λ)b=μ(-a+b).
因为a与b不共线,由平面向量基本定理得
解得μ=,
所以=-a+b,μ=即为所求.
20.(本小题满分12分)
已知△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,点D是CB的中点,E为AB上一点.
(1)设=a,=b,当=时,请用a,b来表示,;
(2)当=2时,求证:AD⊥CE.
解:(1)因为=a,=b,点D是CB的中点,
所以=2b,
所以=-=2b-a,
所以=+=a+=a+(2b-a)=a+b.
(2)以C点为坐标原点,以CB,CA为x,y轴,建立如图所示平面直角坐标系,设A(0,a),所以B点坐标为(a,0).
另设点E坐标为(x,y),
因为点D是CB的中点,
所以点D坐标为(,0),
又因为=2,
所以(x,y-a)=2(a-x,-y),
所以x=,y=,
所以=(,-a),=(,),
所以·=×+(-a)×=0,
所以AD⊥CE.
21.(本小题满分12分)
在①a=csin A-acos C;②(2a-b)sin A+(2b-a)sin B=2csin C这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.
已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,c=,而且　　　　.
(1)求角C;
(2)求△ABC周长的最大值.
解:(1)选①,因为a=csin A-acos C,
所以sin A=sin Csin A-sin Acos C,
因为sin A≠0,
所以sin C-cos C=1,即sin(C-)=,
又0所以-选②,因为(2a-b)sin A+(2b-a)sin B=2csin C,
所以(2a-b)a+(2b-a)b=2c2,
即a2+b2-c2=ab,
所以cos C==,
因为0所以C=.
(2)由(1)可知,C=.
在△ABC中,由余弦定理
得a2+b2-2abcos C=3,即a2+b2-ab=3,
所以(a+b)2-3=3ab≤,
所以a+b≤2,当且仅当a=b时取等号,
所以a+b+c≤3,即△ABC周长的最大值为3.
22.(本小题满分12分)
已知△ABC中三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,且B=,b=2.
(1)若c=,求sin A的值;
(2)当·取得最大值时,求A的值.
解:(1)在△ABC中,由正弦定理得
=,则sin C==,
因为b>c,所以C=,
则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.
(2)·=bacos C=2acos C
=2×cos C
=sin Acos(π-A)
=sin A(-cos A+sin A)
=2-sin (2A+),
当且仅当2A+=,即A=时,·取到最大值.

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