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§1　集　合
1.1　集合的概念与表示
核心知识目标 核心素养目标
1.通过实例了解集合的含义. 2.掌握集合中元素的特性. 3.体会元素与集合的“属于”关系. 4.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,感受集合语言的意义与作用. 5.在具体情境中,了解空集的含义. 1.通过集合概念的学习,逐步形成数学抽象素养. 2.借助集合元素互异性的应用,培养逻辑推理素养.
　集合及相关概念
[问题1] 集合是一个古老而又非常自然的概念,成语“物以类聚”“人以群分”就蕴含着集合的概念.其实在初中,也接触过“集合”一词.在现代数学里,集合是一种简单、高雅的数学语言.那么我们怎样理解数学中的“集合”呢
提示:①自然数的集合;②不等式解的集合;③到一个定点的距离等于定长的点的集合.
知识点1:集合和元素的相关概念
(1)集合:把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.
(2)元素:集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
[思考1] 某班身高高于175 cm的所有男生能否构成一个集合
提示:能构成一个集合,因为标准确定.
[例1]下列四组对象,能构成集合的是(　　)
(A)某班所有高个子的学生
(B)著名的艺术家
(C)一切很大的书
(D)倒数等于它自身的实数
解析:某班所有高个子的学生,因为高个子学生不确定,所以不满足集合元素的确定性;著名的艺术家,因为著名的艺术家不确定,所以不满足集合元素的确定性;一切很大的书,因为很大的书不确定,所以不满足集合元素的确定性;倒数等于它自身的实数为1与-1,所以满足集合的定义,故正确.故选D.
变式训练1-1:(多选题)下列各组对象能够组成集合的是(　　)
(A)2019年国际篮联篮球世界杯参赛队伍
(B)中国文学四大名著
(C)著名的歌唱家
(D)我国的直辖市
解析:A,B,D所表示的对象都能确定,能组成集合.由于著名没有一个确定的标准,因此选项C著名的歌唱家不能组成集合.故选ABD.
判定一组对象能否构成集合的关键是看集合中的对象是否是确定的,也就是有明确的标准,即给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.
　元素与集合的关系
[问题2] 我国古代的四大发明可以构成一个集合,它们分别是造纸术、活字印刷术、指南针和火药.当我们提到指南针时就知道它是四大发明的一种,而《西游记》不是四大发明.那么指南针、《西游记》和四大发明所构成的集合之间各有什么关系
提示:指南针是四大发明之一,属于这个集合;《西游记》不是四大发明,不属于这个集合.
知识点2:元素与集合的关系
(1)元素与集合的关系
①属于:如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A.
②不属于:如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a A.
(2)常用数集及符号表示
数集 名称 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集
字母 表示 N N*或N+ Z Q R R+
[思考2] 设集合A表示“1～10以内的所有素数”,3,4这两个元素与集合A有什么关系 如何用数学语言表示
提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4 A.　
[例2] (1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R;② Q;③0∈N+;④|-5| N+.
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(2)已知集合A由三个数a-2,2a2+5a,3组成,且-3∈A,求实数a的值.
(1)解析:①π是实数,所以π∈R正确;
②是无理数,所以 Q正确;③0不是正整数,所以0∈N+错误;④|-5|=5为正整数,所以|-5| N+错误.故选B.
(2)解:由-3∈A,得a-2=-3或2a2+5a=-3.
①若a-2=-3,则a=-1,
当a=-1时,2a2+5a=-3,不满足集合元素的互异性,
所以a=-1不符合题意.
②若2a2+5a=-3,则a=-1或-.
当a=-时,a-2=-,符合题意;
当a=-1时,由①知,不符合题意.
综上可知,实数a的值为-.
变式训练2-1:已知集合A中的元素满足2x+a>0,a∈R.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为　　　　.
解析:因为1 A,2∈A,所以
即-4答案:-4根据确定的元素属于集合求解含参数(未知量)的问题,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
　集合的表示方法
[问题3] 地球上的四大洋组成的集合如何表示 不等式x-5<0的解组成的集合又如何表示呢 两个集合中的元素个数有何区别
提示:地球上的四大洋组成的集合可以一一列举出来.而不等式x-5<0的解组成的集合不能一一列举.第一个集合中的元素是有限个,而第二个集合中的元素是无限个.
知识点3:集合的表示方法
(1)集合的表示方法
①列举法:把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法叫作列举法.
②描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
(2)集合的分类
①有限集:含有有限个元素的集合叫作有限集.
②无限集:含有无限个元素的集合叫作无限集.
③空集:把不含任何元素的集合叫作空集,记作.
(3)区间的概念
设a,b是两个实数,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|xR (-∞,+∞)
[例3] (1)用列举法表示下列集合:
①不大于7的所有非负偶数组成的集合;
②方程2x2-x-1=0的所有实数解组成的集合;
③一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点组成的集合.
(2)用描述法表示下列集合:
①不等式2x-3>0的解集;
②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合;
③被3除余1的所有整数组成的集合.
解:(1)①不大于7的所有非负偶数分别是0,2,4,6,所以该集合可用列举法表示为{0,2,4,6}.
②方程2x2-x-1=0的实数解分别是-,1,所以该集合可用列举法表示为{-,1}.
③由得
所以一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点为(3,6),
所以一次函数y=x+3与y=2x的图象的交点组成的集合为{(3,6)}.
(2)①{x∈R|2x-3>0}.
②{(x,y)|x<0,且y>0}.
③{x|x=3n+1,n∈Z}.
变式训练3-1:用适当的方法表示下列集合.
(1)所有奇数组成的集合;
(2)不大于10的所有素数组成的集合;
(3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合;
(4)满足-1<2x-1≤3的x的取值集合.
解:(1){x|x=2n-1,n∈Z}.
(2)不大于10的所有素数分别是2,3,5,7,所以该集合可用列举法表示为{2,3,5,7}.
(3){(x,y)|x∈R,且y∈R}.
(4)由-1<2x-1≤3,得0(1)列举法表示集合的一般形式为{a1,a2,…,an},其中ai,i=1,2,…,n为集合的元素.
(2)描述法表示集合的一般形式为{x|p(x)},其中x为集合的一般符号及范围,p(x)为元素所具有的共同特征.
提醒:在用列举法表示集合时,不能用{所有实数}或{R}来表示实数集R.
集合表示方法的综合应用
[典例] 已知集合A={x|kx2-8x+16=0}.
(1)若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合;
(2)若集合A中只有两个元素,求实数k的值组成的集合;
(3)若集合A中至少有一个元素,求实数k的值组成的集合.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:集合的含义,集合的表示方法,一元二次方程.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:(1)①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;
②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.
综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.
(2)由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根,故
即k<1且k≠0.
所以实数k的值组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.
(3)由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.
①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;
②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1.
综合①②可知,实数k的值组成的集合为{k|k≤1}.
[素养演练] 已知M={a|a≤-2,或a≥2},A={a|(a-2)(a2-3)=0,a∈M},则集合A的元素个数为(　　)
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
解析:由(a-2)(a2-3)=0,
得a-2=0或a2-3=0,
解得a=2或a=或a=-.
又因为a∈M,
所以a=2,
所以集合A的元素个数为1.
故选B.
[例1] 直角坐标平面中除去两点A(1,1),B(2,-2)可用集合表示为(　　)
(A){(x,y)|x≠1,y≠1,x≠2,y≠-2}
(B){(x,y)|或}
(C){(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)2+(y+2)2]≠0}
(D){(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]≠0}
解析:直角坐标平面中除去两点A(1,1),B(2,-2),其余的点全部在集合中,
A选项中除去的是四条直线x=1,y=1,x=2,y=-2;
B选项中除去的是A(1,1)或除去B(2,-2)或者同时除去A,B两个点,共有三种情况,不符合题意;
C选项{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)2+(y+2)2]≠0},则(x-1)2+(y-1)2≠0且(x-2)2+(y+2)2≠0,即除去两点A(1,1),B(2,-2),符合题意;
D选项{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]≠0},则任意点(x,y)都不满足[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0,即不能同时除去A,B两点.
故选C.
[例2] 已知集合A的元素全为实数,且满足:若a∈A,则∈A.若a=2,求出A中其他所有元素.
解:因为若a∈A,则∈A,
所以当a=2时,==-3∈A;
当a=-3时,==-∈A;
当a=-时,==∈A;
当a=时,==2∈A.
综上,A中其他所有元素为-3,-,.
基础巩固
知识点一:集合的含义
1.下列给出的对象中,能组成集合的是(　B　)
(A)一切很大数
(B)方程x2-1=0的实数根
(C)漂亮的小女孩
(D)好心人
解析:A选项,元素不确定,不能组成集合,排除A;
B选项,方程x2-1=0的实数根为±1,能组成集合,B正确;
C选项,元素不确定,不能组成集合,排除C;
D选项,元素不确定,不能组成集合,排除D.
故选B.
知识点二:元素与集合的关系
2.已知集合A={a-2,a2+4a,10},若-3∈A,则实数a的值为(　B　)
(A)-1 (B)-3
(C)-3或-1 (D)无解
解析:若-3∈A,可得当a-2=-3时,解得a=-1,此时A={-3,-3,10},不满足集合中元素的互异性,故a=-1应舍去;
当a2+4a=-3时,解得a=-1(舍去)或a=-3,此时A={-5,-3,10},满足题意.故实数a的值为-3.故选B.
3.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(　D　)
(A)∈M (B)0 M
(C)1∈M (D)-∈M
解析:>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-<1,
故选D.
知识点三:集合的表示方法
4.下列集合不能用区间形式表示的是(　D　)
①A={1,2,3,4};②{x|x是三角形};③{x|x>1,且x∈Q};④;
⑤{x|2(A)①②③ (B)③④⑤
(C)③⑤ (D)①②③④⑤
解析:集合A={1,2,3,4}中的元素是不连续的四个实数,故不能用区间表示;
所有三角形构成的集合只能用描述法表示,不能用区间表示;
集合{x|x>1,且x∈Q}中的元素不连续,不能用区间表示;
空集中不含任何元素,不能用区间表示;
集合{x|2所以不能用区间表示的有①②③④⑤.故选D.
5.能被2整除的所有正整数的集合,用描述法可表示为　　　　.
答案:{x|x=2n,n∈N+}
6.集合{x∈N|∈N}用列举法可表示为　　　　.
解析:由题意得,x-1是6的正约数,又6的正约数分别是1,2,3,6,
所以x的值分别是2,3,4,7.
答案:{2,3,4,7}
能力提升
7.设集合A={x|x2-2x=0},则下列表述正确的是(　D　)
(A){0}∈A (B)2 A
(C){2}∈A (D)0∈A
解析:因为A={x|x2-2x=0}={0,2},所以0∈A,2∈A,A,C表示错,B错,D正确.故选D.
8.(多选题)用集合表示方程组的解集,下面正确的是(　BD　)
(A)(-1,2) (B){(x,y)|}
(C){-1,2} (D){(-1,2)}
解析:解得故选BD.
9.(多选题)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是(　AC　)
(A)-1 (B)-2 (C)6 (D)2
解析:由题意得解得a≠±2且a≠1,
因此排除BD,故选AC.
10.设集合A={2,3,a2-3a,a++7},B={|a-2|,0},已知4∈A且4 B,则实数a的取值集合为(　D　)
(A){-1,-2} (B){-1,2}
(C){-2,4} (D){4}
解析:当a2-3a=4时,可得a=4或a=-1.
若a=-1,则a++7=4,不合题意;
若a=4,则a++7=11.5,|a-2|=2,符合题意;
当a++7=4时,可得a=-1或a=-2.
若a=-1,则a2-3a=4,不合题意;
若a=-2,则|a-2|=4,不合题意.
综上所述,a=4.故选D.
11.设集合A={x|3x-1-m<0},若1∈A,则实数m的取值范围是　　　.
解析:因为3x-1-m<0,所以x<,
所以A={x|x<}.　
又因为1∈A,所以>1,所以m>2,
所以实数m的取值范围为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
12.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为　　　 　,所有元素的和为　　 　　.
解析:当a,b同正时,+=+=1+1=2.
当a,b同负时,+=+=-1-1=-2.
当a,b异号时,+=0.
所以+的可能取值所组成的集合中元素共有3个,且3个元素的和为2+(-2)+0=0.
答案:3　0
13.根据要求写出下列集合.
(1)已知集合A={x∈N|∈N},用列举法表示集合A;
(2)已知方程组分别用描述法、列举法表示该集合;
(3)已知集合B={(x,y)|2x+y-5=0,x∈N,y∈N},用列举法表示该集合.
解:(1)因为∈N,则8-x可取的值有1,2,4,8,16,x的可能值有7,
6,4,0,-8.
因为x∈N,则x=7,6,4,0,
所以A={0,4,6,7}.
(2)方程组的解为
所以用描述法表示该集合为{(x,y)|x=1,y=2},用列举法表示该集合为{(1,2)}.
(3)当x=0时,y=5;当x=1时,y=3;
当x=2时,y=1,
所以用列举法表示该集合为{(0,5),(1,3),(2,1)}.
14.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0},其中a∈R.
(1)若1是A中的一个元素,用列举法表示A;
(2)若A中至多有一个元素,试求a的取值范围.
解:(1)因为1∈A,所以a+2+1=0,得a=-3,
所以A={x∈R|-3x2+2x+1=0}={-,1}.
(2)当A中只有一个元素时,ax2+2x+1=0只有一个解,
所以a=0或
所以a=0或a=1.
当A中没有元素时,ax2+2x+1=0无解,所以解得a>1.
综上所述,a的取值范围为{a|a=0,或a≥1}.
应用创新
15.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A是否为双元素集合,并说明理由.
(1)证明:因为若x∈A,则∈A.
又因为2∈A,
所以=-1∈A.
因为-1∈A,
所以=∈A.
所以A中还有另外两个元素,分别为-1,.
(2)解:集合A不是双元素集合,理由如下:
因为x∈A,∈A,
所以∈A,且x≠,≠,x≠,
所以集合A中至少有3个元素,
所以集合A不是双元素集合.1.2　集合的基本关系
核心知识目标 核心素养目标
1.理解集合的包含与相等的含义,能识别集合的子集、真子集. 2.在具体情境中,了解空集的含义并学会应用. 3.会判断集合间的基本关系. 4.能使用Venn图表示集合间的关系. 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助子集、真子集的应用,培养逻辑推理素养.
　子集及相关概念
[问题1] 实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3等.类比实数之间的关系,你会想到集合之间的什么关系 观察下面三个例子,你能发现两个集合之间的关系吗
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
(2)A={高一年级的女生},B={高一年级的全体同学};
(3)A={x|x是三边相等的三角形},B={x|x是三个角相等的三角形}.
提示:(1)(2)中集合A中的任何一个元素都是集合B的元素.(3)中集合A中的元素都是集合B中的元素,同时集合B中的元素也都是集合A中的元素,集合A与集合B是相同的集合.
知识点1:子集与集合相等的概念
(1)Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
(2)子集
文字叙述 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集
符号表示 A B(或B A)
图形表示
性质 ①任何一个集合都是它本身的子集,即A A
②空集是任何集合的子集,即 A
③若A B,B C,则A C
(3)集合相等
①定义:对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.
也就是说,若A B,且B A,则A=B.
②符号表示:A=B.
③Venn图表示:
④性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
[思考1] 符号“∈”与“ ”有何不同
提示:“∈”表示元素与集合的关系,而“ ”表示集合与集合的关系.
[例1] 已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A B,且A B,求实数x和y的值.
解:由A B,且A B知,A=B.
由集合相等的概念可得:或
解方程组得或或
当x=0,y=0时,A={1,0,0},B={1,0,0},不符合集合中元素的互异性,舍去.
所以x=2,y=2或x=,y=.
变式训练1-1:设集合A={1,a,b},集合B={a,a2,ab}.若A=B,则a2 022+
b2 021=　　　　.
解析:由A=B知或
解得或或
当a=1时,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
因此a=-1,b=0,此时原式=(-1)2 022+02 021=1.
答案:1
根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解.
　真子集的概念
[问题2] 观察下列两组集合,两个集合有什么共性
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
(2)A=N,B=Z.
提示:集合A是集合B的子集,且存在集合B中的元素不在集合A中.
知识点2:真子集
(1)定义:对于两个集合A与B,如果A B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集.
(2)符号表示:A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
(3)Venn图表示:
(4)性质:①对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.②空集是任何非空集合的真子集.
[思考2-1] 若A B,则集合A有几种情况
提示:若A B,则A有以下三种情况:
①A是空集;
②A是由B的部分元素组成的集合;
③A是由B的全部元素组成的集合.
故不能简单地认为“若A B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
[思考2-2] 任何集合都有子集和真子集吗
提示:任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
[思考2-3] 与0,{0},{}有什么区别 它们之间有何关系
提示:
与0 与{0} 与{}
相同点 都表示 无的意义 都是集合 都是集合
不同点 是集合, 0是实数 不含任何元素,{0}含一个元素0 不含任何元素,{ }含一个元素,该元素是
关 系 0 {0} {}或∈{}
[例2-1] 已知集合M={x|x<2,且x∈N},N={x|-2(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
解:M={x|x<2,且x∈N}={0,1},
N={x|-2(1)M的子集为,{0},{1},{0,1},真子集为,{0},{1}.
(2)N的子集为,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1},
所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.
变式训练2-1:集合{y|y=-x2+6,x,y∈N}的真子集的个数是(　　)
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析:当x=0时,y=6;当x=1时,y=5;
当x=2时,y=2;当x=3时,y=-3.
所以{y|y=-x2+6,x,y∈N}={2,5,6},共3个元素,故其真子集的个数为23-1=7,故选C.
(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.
(2)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论:
①的子集只有1个.
②{a}的子集有2个.
③{a,b}的子集有4个.
④{a,b,c}的子集有8个.
……
含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
写一个集合的子集时,不要忘记和其本身.
[例2-2] 判断下列组中两个集合之间的关系:
(1)A={x|-1(2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z};
(3)A={x|x=k+,k∈Z},B={x|x=2k+,k∈Z}.
解:(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},
B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A B.
(3)集合A中,x=k+=(k∈Z),
因此k∈Z时,2k+1是奇数.
集合B中,x=2k+=(k∈Z),
因此k∈Z时,4k+1只表示部分奇数.
故B A.
变式训练2-2:判断下列各组中两个集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};
(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};
(3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(4)G={等腰三角形},H={等边三角形}.
解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且
4 B,所以B A.
(2)因为C和D包含的元素都是1和-1,
所以C=D.
(3)集合E代表的元素是数,集合F代表的元素是实数对,因此两集合之间无包含关系.
(4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故G H.
判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:(1)直接法:判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A B,否则A不是B的子集.再通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.
(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.
(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(4)对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
集合间关系的应用
[典例] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,求实数m的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:子集、真子集的概念.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:直观想象,数学运算.
解:(1)当B=时,由m+1>2m-1,得m<2.
(2)当B≠时,如图所示.
所以或
解这两个不等式组,得2≤m≤3.
综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3].
[素养演练1] 若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2解:(1)当B=时,由m+1>2m-1,得m<2.
(2)当B≠时,如图所示.
所以解得
即2≤m<3.
综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3).
[素养演练2] 若本例条件“B A”改为“A B”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:当A B时,如图所示,此时B≠.
所以
即所以m不存在.
即不存在实数m,使A B.
(1)利用集合的关系求参数的范围问题
①利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点值的取舍.
②空集是任何集合的子集,因此在解A B(B≠)的含参数的问题时,要注意讨论A=和A≠两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
(2)数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识,以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题.
[例1] (多选题)定义集合运算:A B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A={,},B={1,},则(　　)
(A)当x=,y=时,z=1
(B)x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x-y)有4个算式
(C)A B中有4个元素
(D)A B的真子集有7个
解析:A B={z|z=x2-y2,x∈A,y∈B}={1,0,2},
故A B中有3个元素,其真子集的个数为23-1=7,故C错误,D正确.
当x=,y=时,z=0,故A错误.
x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x-y)共有4个算式,分别为
(+1)(-1),(+1)(-1),(+)(-),(+)(-),故B正确.
故选BD.
[例2] 已知集合A={x|x2+2x-a=0}.
(1)若是A的真子集,求实数a的取值范围;
(2)若B={x|x2+x=0},且A是B的子集,求实数a的取值范围.
解:(1)因为是A的真子集,
所以A={x|x2+2x-a=0}≠,
所以Δ=22-4×(-a)≥0,
所以a≥-1,
即实数a的取值范围为[-1,+∞).
(2)B={x|x2+x=0}={0,-1},
因为A B,所以A=,{0},{-1},{0,-1}.
由A=,得Δ=4+4a<0,所以a<-1;
由A是单元素集合,得Δ=4+4a=0,
所以a=-1,此时A={-1},符合题意;
若A={0,-1},0-1=-1≠-2,不符合题意.
综上,a≤-1.
即实数a的取值范围为(-∞,-1].
基础巩固
知识点一:子集与真子集
1.已知集合A={x|x2-1=0},则有(　C　)
(A)1 A (B)0 A
(C A (D){0} A
解析:因为A={x|x2-1=0}={1,-1},故选C.
2.集合A={x∈N|-1(A)3 (B)4
(C)7 (D)8
解析:因为A={x∈N|-1所以A的真子集为,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.故选C.
3.若{x∈Z|2x-a=0} {x|-1解析:由题意可知,-1<<3,
所以-2又a=2x,x∈Z,
所以a取0,2,4,
因此实数a的值组成的集合为{0,2,4},其真子集个数为23-1=7.
答案:7
知识点二:集合相等
4.(多选题)下面关于集合的表示正确的是 (　CD　)
(A)3∈{y|y=x2+π,x∈R}
(B){(a,b)}={(b,a)}
(C){x|x>1}={y|y>1}
(D){x∈R|x2+2=0}=
解析:A项,因为y=x2+π≥π,A错误;B项,若a≠b,则{(a,b)}≠{(b,a)},故B错误;CD正确.故选CD.
5.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,b,},则b-a等于(　D　)
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
解析:因为a≠0,所以a+b=0,则=-1,所以b=1,a=-1,所以b-a=2.
6.已知集合A={a,0,-1},B={c+b,,1},且A=B,则a=　 ,bc=　 .
解析:因为A={a,0,-1},B={c+b,,1},A=B,
又因为≠0,所以a=1,c+b=0,=-1,
所以b=-2,c=2,bc=-4.
答案:1　-4
能力提升
7.满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　C　)
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9
解析:因为{1,2} A {1,2,3,4,5},
所以A={1,2},A={1,2,3},A={1,2,4},A={1,2,5},A={1,2,3,4},
A={1,2,3,5},A={1,2,4,5},A={1,2,3,4,5},共8个.
8.(多选题)已知集合A=[2,5),B=(a,+∞).若A B,则实数a的值可能是(　AB　)
(A)-3 (B)1 (C)2 (D)5
解析:因为A B,所以a<2,
所以a可能取-3,1.故选AB.
9.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={x|x=3l+1,l∈Z},S={x|x=6m+1,m∈Z}之间的关系是(　C　)
(A)S P M (B)S=P M
(C)S P=M (D)S P=M
解析:因为M={x|x=3k-2,k∈-1)+1,k∈Z}=P,
S={x|x=6m+1,m∈Z}={x|x=3×2m+1,m∈Z} P,又4∈P,但4 S,
所以S P.
综上,S P=M.
10.设a,b∈R,集合A={1,a},B={x|x(x-a)(x-b)=0},若A=B,则a=　 ,
b=　 .
解析:A={1,a},解方程x(x-a)(x-b)=0,
得x=0或x=a或x=b,若A=B,则a=0,b=1.
答案:0　1
11.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1解析:由题意,得A={x|-2≤x≤5}.当B=时,则m-1≥2m+1,
解得m≤-2,满足A B.
当B≠时,则解得-1≤m≤2,满足A B.
综上所述,m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,2].
答案:(-∞,-2]∪[-1,2]
12.已知集合A={2,6}.
(1)若集合B={a+1,a2-23},且A=B,求a的值;
(2)若集合C={x|ax2-x+6=0},且A与C有包含关系,求a的取值范围.
解:(1)因为集合A={2,6},集合B={a+1,a2-23},且A=B,
所以a+1=2或a+1=6.
当a+1=2,即a=1时,B={-22,2},
此时A≠B;
当a+1=6,即a=5时,B={2,6},此时A=B.
故a的值为5.
(2)若2∈C,则4a+4=0,a=-1.此时C={-3,2},A与C没有包含关系.
因为A与C有包含关系,所以只能是C A.
当C≠时,6∈C,则a=0,此时C={6},满足C A.
当C=时,解得a>.
综上,a的取值范围为{a|a=0,或a>}.
应用创新
13.(多选题)设集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N+},则下列关系正确的是(　BC　)
(A)P M (B)1 P
(C)M=P (D)M P
解析:因为a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2.
因为b∈N+,b2-4b+6=(b-2)2+2≥2,
所以1 P且M=P.故选BC.
14.定义:对于非空集合A,若元素x∈A,则必有(m-x)∈A,则称集合A为“m和集合”.已知集合B={1,2,3,4,5,6,7},则集合B的所有子集中,是“8和集合”的集合有　　　　个.
解析:由题意,集合B的子集中,1,7;2,6;3,5;4一定成组出现,
当集合B的子集中只有1个元素时,即为{4},共1个;
当集合B的子集中有2个元素时,即为{1,7},{2,6},{3,5},共3个;
当集合B的子集中有3个元素时,即为{1,4,7},{2,4,6},{3,4,5},共3个;
当集合B的子集中有4个元素时,即为{1,7,2,6},{1,7,3,5},
{2,6,3,5},共3个;
当集合B的子集中有5个元素时,即为{1,7,4,2,6},{1,7,4,3,5},
{2,6,4,3,5},共3个;
当集合B的子集中有6个元素时,即为{1,2,3,5,6,7},共1个;
当集合B的子集中有7个元素时,即为{1,2,3,4,5,6,7},共1个.
则集合B所有子集中,是“8和集合”的集合有15个.
答案:151.3　集合的基本运算
1.3.1　交集与并集
核心知识目标 核心素养目标
1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集. 2.能使用Venn图表达集合的关系与运算,体会图示对理解抽象概念的作用. 1.借助Venn图培养直观想象素养. 2.通过并集与交集的运算,提升数学运算素养.
　交集
[问题1] 我们知道两个实数除了能比较大小外,还能进行加、减、乘、除等运算,那么两个集合是否也能进行运算呢 如果能,又该如何表示这样的运算 考查下面的各个集合,集合C与集合A,B之间有什么关系
(1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(2)A={x|x是甲中学今年在校的女同学},
B={x|x是甲中学今年在校的高一年级同学},
C={x|x是甲中学今年在校的高一年级女同学}.
提示:集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.
知识点1:交集的概念及运算性质
(1)交集
①定义:一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B.
②符号语言表示为A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
③图形语言表示为
(2)交集的运算性质
A∩B=B∩A
A∩A=A
A∩=
A B等价于A∩B=A
A∩B A
A∩B B
[例1] (1)已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么M∩N为(　　)
(A){3} (B){-1}
(C){3,-1} (D){(3,-1)}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　)
(A){x|0≤x≤2} (B){x|1≤x≤2}
(C){x|0≤x≤4} (D){x|1≤x≤4}
解析:(1)由得所以M∩N={(3,-1)}.故选D.
(2)因为A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},如图,故A∩B={x|0≤x≤2}.故选A.
变式训练1-1:(1)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N+},B={x|0≤x≤4,x∈N+},则A∩B等于(　　)
(A){1,2,3,6} (B){1,3}
(C){-3,-1,1,3} (D){3}
(2)已知集合M={x|-3(A){x|-5(B){x|-3(C){x|-5(D){x|-3(3)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x(A)(-1,2] (B)(2,+∞)
(C)[-1,+∞) (D)(-1,+∞)
解析:(1)因为集合A={1,3,5,7,…},B=[0,4],
所以A∩B={1,3}.故选B.
(2)M∩N={x|-3(3)因为A∩B≠,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图所示,易知a>-1.故选D.
用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,根据交集的定义写出结果.
求解集合交集问题,必须先明确集合中元素的性质,明确是数集还是点集等,然后准确写出集合的交集.
　并集
[问题2] 观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A与集合B之间的关系吗
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
提示:集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
知识点2:并集的概念及运算性质
(1)并集
①定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B.
②符号语言表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
③图形语言表示为
(2)并集的运算性质
A∪B=B∪A
A∪A=A
A∪=A
A B等价于A∪B=B
A A∪B
B A∪B
[思考] (1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和
提示:(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A,但x B;x∈B,但x A;x∈A,且x∈B.用Venn图表示如图所示.
(2)不一定等于,A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.
[例2] (1)若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B等于(　　)
(A){1} (B){1,2}
(C){-1,1,2} (D){-1,1,-2}
(2)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于(　　)
(A){x|3≤x<4} (B){x|x≥2}
(C){x|2≤x<4} (D){x|2≤x≤3}
解析:(1)集合A={-1,1},集合B={1,2},则集合A∪B={-1,1,2}.故选C.
(2)解不等式3x-7≥8-2x,可得x≥3,因此集合B={x|x≥3}.又集合A={x|2≤x<4},由图可得A∪B={x|x≥2}.故选B.
变式训练2-1:(1)设集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于(　　)
(A){1,2,3} (B){0,1,2,3}
(C){2} (D){-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|0≤x<7},B={x|x<5},则A∪B等于(　　)
(A){x|x<7} (B){x|x<0}
(C){x|5解析:(1)因为集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},集合B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.故选B.
(2)用数轴表示A∪B,为如图所示的阴影部分.
则A∪B={x|x<7}.故选A.
变式训练2-2:设集合A={x|-1解析:在数轴上表示A∪B如图所示,A∪B={x|-1答案:3
两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一次.求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合,而对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.
集合交、并集运算的性质及综合应用
[典例] 已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3(1)求A∩B,A∪B;
(2)若集合C (A∪B),求a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:交集、并集及其运算性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:(1)因为集合A={x|2≤x<7},B={x|3故A∩B={x|3(2)由a-5又C (A∪B),A∪B={x|2≤x≤10},
可得解得7≤a≤10.
所以a的取值范围是[7,10].
[素养演练] 已知A={x|x2+x-2=0},B={x|x2+ax+a2-12=0}.
(1)若B∪A=A,求实数a的取值范围;
(2)若B∪A≠A,求实数a的取值范围.
解:(1)A={x|x2+x-2=0}={-2,1},
若B∪A=A,则B A,
所以B可能为,{-2},{1},{-2,1}.
①若B=,则Δ=a2-4(a2-12)<0,
所以a>4或a<-4;
②若B={-2},
则即
所以a=4;
③若B={1},则
④若B={-2,1},则即a∈.
综上,a≥4或a<-4,
即实数a的取值范围为(-∞,-4)∪[4,+∞).
(2)因为B∪A≠A,
所以由(1)知,实数a的取值范围为[-4,4).
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=的情况,切不可漏掉.
(2)集合运算常用的性质:
①A∪B=B等价于A B;
②A∩B=A等价于A B;
③A∩B=A∪B等价于A=B.
(3)含参数的连续数集的交集、并集运算,应借助数轴的直观性求解,求解此类问题时,要注意参数端点值的取舍.
[例1] 在昌都市第一高级中学高三第一学期入学考试中,理科数学试卷的第一题是考查集合,第二题是考查复数.某数学老师为了了解学生对这两个知识点的掌握情况,对高三(5)班和(12)班的答题结果进行了统计,得到如下数据:
高三(5)班和 (12)班人数合计 两题都答 对人数 答对第一 题人数 答对第二 题人数
80 60 70 64
则两题都答错的人数是(　　)
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
解析:由数据可知只答对第一题的人数是70-60=10,只答对第二题的人数是64-60=4,由图可知两题都答错的人数是80-60-10-4=6.故选B.
[例2]已知集合A={x|1(A)[,+∞) (B)[0,)
(C)(-∞,0] (D)[0,+∞)
解析:由A∩B=,得
①当B=,即2m≥1-m时,解得m≥,符合题意;
②当B≠,即m<时,由图可知:
或解得0≤m<或m∈,
即0≤m<.
综上可知m≥0,即实数m的取值范围为
[0,+∞).故选D.
基础巩固
知识点一:交集
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|-1(A){-1,0,1} (B){0,1}
(C){-1,1,2} (D){1,2}
解析:因为A={-1,0,1,2},B={x|-12.已知A={y|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于(　A　)
(A){y|y≥0} (B){x|x∈R}
(C){(0,0),(0,1)} (D)
解析:A={y|y=x,x∈R}=R,B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},
所以A∩B={y|y≥0}.故选A.
3.已知集合A={x|x<3},B={x|x>a},若A∩B≠,则实数a的取值范围为(　C　)
(A)[3,+∞) (B)(3,+∞)
(C)(-∞,3) (D)(-∞,3]
解析:如图,画出数轴,
若A∩B≠,则实数a的取值范围为(-∞,3).故选C.
知识点二:并集
4.若{1,2,a}∪{2,a2}={1,2,a},则a的取值集合为(　B　)
(A){0,-1,1} (B){0,-1)
(C){-1,1} (D){0,1}
解析:由于{1,2,a}∪{2,a2}={1,2,a},则或解得a=-1或a=0,
因此,实数a的取值集合为{0,-1}.故选B.
5.已知A={1,3},B={1,2,m},若A∩B={1,3},则A∪B=　　　　.
解析:由A∩B={1,3},得m=3,
所以A∪B={1,2,3}.
答案:{1,2,3}
6.若集合A={x|-1A∩B=　　　　　　　.
解析:如图.
A∪B=R,A∩B={x|-1答案:R　{x|-1能力提升
7.设集合A={1,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则A∪B=(　B　)
(A){1,4} (B){1,3,4}
(C){1,3} (D){1,3,5}
解析:因为A∩B={1},所以1∈B,则有12-4+m=0,解得m=3,
集合B={x|x2-4x+3=0}={1,3},则A∪B={1,3,4}.
8.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∩B=B,则实数a的值为(　A　)
(A)0或1或2 (B)1或2
(C)0 (D)0或1
解析:已知A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|ax-2=0},
因为A∩B=B,所以B A.
当B=时,a=0;
当B≠时,a-2=0或2a-2=0,
解得a=2或a=1.
综上,实数a的值为0或1或2.
9.已知集合M={x|x≤0或x≥2},N={x|m(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
解析:因为M={x|x≤0或x≥2},N={x|m所以N={x|0所以m=0,n=2,m+n=2.
10.(多选题)设集合M={x|a4},则下列结论中正确的是(　ABC　)
(A)若a<-1,则M N
(B)若a>4,则M N
(C)若M∪N=R,则1(D)若M∩N≠,则1解析:对于A,若a<-1,则3+a<2,则M N,故A正确;对于B,若a>4,则显然对任意x∈M,有x>4,则x∈N,故M N,故B正确;对于C,若M∪N=R,则解得111.已知集合A={1,3},B={a,a2+3},若A∩B={3},则实数a的值为　 .
解析:由集合A={1,3},B={a,a2+3},
又A∩B={3},
则有或
解得a=3或a=0.
答案:3或0
12.已知集合A={x|-1解析:如图所示,A={x|-1如图所示.
A={x|-1为{a|-1答案:{a|a≤-1}　{a|-113.已知集合A={x|x≤1或x≥5},集合B={x|2a-2≤x≤a+1}.
(1)若a=1,求A∩B和A∪B;
(2)若记符号A-B={x|x∈A且x B},在图中把表示“集合A-B”的部分用阴影涂黑,并求当a=1时的A-B;
(3)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,B={x|0≤x≤2},
所以A∩B={x|0≤x≤1},A∪B={x|x≤2或x≥5}.
(2)集合A-B如图阴影部分所示.
当a=1时,A-B={x|x<0或x≥5}.
(3)因为A∩B=B,所以B A,
当B=时,2a-2>a+1,解得a>3,
当B≠时,则或
解得a≤0或a∈,
综上,a≤0或a>3.
即实数a的取值范围为(-∞,0]∪(3,+∞).
14.已知集合A={x|-2(1)若A∩B={2},求a的值;
(2)若A∪B=A,求a的取值范围.
解:(1)因为A∩B={2},所以2是集合B中的元素,
即22-2(2a-1)+a2-a=0,解得a=2或a=3.
当a=2时,集合B={x|x2-3x+2=0}={1,2},A={x|-2{x|-1所以A∩B={1,2},不满足题意,舍去;
当a=3时,集合B={x|x2-5x+6=0}={2,3},所以A∩B={2},满足题意.
综上,a=3.
(2)由(1)知A={x|-1又A∪B=A,所以B A,
因此只需解得0即a的取值范围为(0,3).
应用创新
15.在①A∪B=A和②A∩B=A这两个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.
问题:设集合A={x|x2-2ax+1=0},B={x|x2+2ax-3a=0},　　 　　,求实数a的取值范围.
解:若选择条件①A∪B=A,则B A.
当B=时,关于x的方程x2+2ax-3a=0没有实数根,
故Δ=(2a)2-4(-3a)<0,
即a2+3a<0,解得-3当B≠时,若B只有一个元素,则Δ=(2a)2-4(-3a)=0,即a2+3a=0,解得a=0或a=-3.
当a=0时,A={x|x2+1=0}=,B={x|x2=0}={0},不符合要求;
当a=-3时,A={x|x2+6x+1=0}={-3-2,-3+2},
B={x|x2-6x+9=0}={3},不符合要求.
若B有两个元素,则必有A=B,此时方程x2-2ax+1=0与x2+2ax-3a=0的系数对应成比例,从而-2a=2a,且1=-3a,此时a无解.
综上所述,实数a的取值范围为(-3,0).
若选择条件②A∩B=A,则A B.
当A=时,关于x的方程x2-2ax+1=0没有实数根,故Δ=(-2a)2-4<0,即a2<1,解得-1当A≠时,若A只有一个元素,则Δ=(-2a)2-4=0,即a2=1,解得a=1或a=-1.
当a=1时,A={x|x2-2x+1=0}={1},B={x|x2+2x-3=0}={1,-3},符合
要求;
当a=-1时,A={x|x2+2x+1=0}={-1},B={x|x2-2x+3=0}=,不符合
要求.
若A有两个元素,则必有A=B,此时方程x2-2ax+1=0与x2+2ax-3a=0的系数对应成比例,从而-2a=2a,且1=-3a,此时a无解.
综上所述,实数a的取值范围为(-1,1].1.3.2　全集与补集
核心知识目标 核心素养目标
1.了解全集的含义及符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定集合的补集. 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算. 1.通过补集的运算,培养数学运算素养. 2.借助集合对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养.
　全集及相关概念
[问题1] 从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.例如方程(x-2)(x2-3)=0的解集,在有理数范围内只有一个解2,即A={x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2};在实数范围内有三个解:2,,-,即B={x∈R|(x-2)(x2-3)=0}={2,,-}.若在实数范围内研究方程的解,则集合B包含方程的所有解.那么集合A与集合B有什么关系 集合C={,-}与集合A,B三者之间呢
提示:A B;A∪C=B.
知识点1:全集与补集
(1)全集
①定义:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集.
②记法:全集通常记作U.
(2)补集
①定义:设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作 UA.
②符号表示: UA={x|x∈U,且x A}.
③图形表示:
[思考1] 在研究数集时,全集一定是实数集R吗
提示:不一定.全集是一个相对概念,可以根据所研究问题的不同,选择不同的全集.比如,在研究素数时,可选择正整数集为全集.
[思考2] AC与 BC相等吗 为什么
提示:不一定.依据补集的含义,符号 AC和 BC都表示集合C的补集,但是 AC表示集合C在全集A中的补集,而 BC表示集合C在全集B中的补集,由于集合A和B不一定相等,所以 AC与 BC不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错.
[例1] (1)已知A={0,1,2}, UA={-3,-2,-1}, UB={-3,-2,0}.用列举法表示集合B;
(2)若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0,或1解:(1)因为A={0,1,2}, UA={-3,-2,-1},
所以由补集性质可知U=A∪( UA)={-3,-2,-1,0,1,2}.
又 UB={-3,-2,0},
所以B={-1,1,2}.
(2)如图.由补集定义可知 UA表示图中阴影部分,
故 UA={x|0变式训练1-1:设集合U={x|x<5,x∈N+},M={x|x2-5x+6=0},则 UM等于(　　)
(A){1,4} (B){1,5}
(C){2,3} (D){3,4}
解析:由集合U={x|x<5,x∈N+}={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},则 UM={1,4}.故选A.
变式训练1-2:已知集合 UA={x|5x-1≥3x-5},U={x|x>-5},则A=　　.
解析:因为5x-1≥3x-5,
所以x≥-2,
所以 UA={x|x≥-2}.
由图可知A={x|-5答案:{x|-5求一个确定集合的补集,首先确定该集合,然后根据补集的定义求解,如果一个集合的全集及集合本身不是最简形式,需要先化简集合.
对于涉及连续数集的补集运算,可借助数轴的直观性求解,但要注意端点值的特殊情况.
　补集的运算性质
[问题2] 问题1中 BA是什么 A∪ BA呢 A∩ BA呢
提示: BA=C;A∪ BA=B;A∩ BA=.
知识点2:补集的运算性质
性质 说明
A∪( UA)=U 任何集合与其补集的并集为全集
A∩( UA)= 任何集合与其补集的交集为空集
U( UA)=A 任何集合补集的补集为集合本身
UU=, U=U 全集的补集为空集,空集的补集为全集
[例2] (1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求:( UA)∩( UB),A∩( UB),( UA)∪B;
(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2解:(1)法一　因为 UA={1,2,6,7,8},
UB={1,2,3,5,6},
所以( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二　画出Venn图,如图所示,可得( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},
( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
(2)把集合A,B在数轴上表示如图.
由图知 RB={x|x≤2,或x≥10},A∪B={x|2所以 R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
因为 RA={x|x<3,或x≥7},
所以( RA)∩B={x|2变式训练2-1:在本例(1)中,分别求出 U(A∩B), U(A∪B),( UA)∪
( UB),寻找其中的规律.
解:因为A={3,4,5},B={4,7,8},
所以A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},
所以 U(A∩B)={1,2,3,5,6,7,8},
U(A∪B)={1,2,6}.
又( UA)∪( UB)={1,2,6,7,8}∪{1,2,3,5,6}={1,2,3,5,6,7,8},
所以 U(A∪B)=( UA)∩( UB), U(A∩B)=( UA)∪( UB).
变式训练2-2:已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7}.
求 UA, UB,( UA)∪( UB), U(A∩B).
解:由题意知U={0,1,2,3,4,5,6,7},A={0,1,2},B={1,2,3}.
因此 UA={3,4,5,6,7}, UB={0,4,5,6,7},
( UA)∪( UB)={0,3,4,5,6,7},
U(A∩B)={0,3,4,5,6,7}.
变式训练2-3:设全集U={x|x≤4},集合A={x|-2求A∩B,( UA)∪B,A∩( UB).
解:如图所示,
因为A={x|-2所以 UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},
UB={x|x<-3,或2A∩B={x|-2所以( UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4},
A∩( UB)={x|2集合交、并、补集综合运算的方法
注意:涉及补集的有关运算应先求集合的补集.
由补集的运算求参数的值或范围
试题情境:课程学习情境.
必备知识:补集及其运算性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
[典例1] 已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且 UA={-1},则a的值是(　　)
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)±1
解析:因为全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且 UA={-1},
所以1,3是集合A的元素,
所以或
解得a=-1,
解无解.
所以a=-1.故选A.
[素养演练1] 已知集合U={3,4,a2+2a+3},A={3,4}, UA={6},则实数a的值为　　　　.
解析:由题意得a2+2a+3=6,解得a=-3或a=1,经检验均符合题意.
答案:-3,1
集合中的元素是离散的参数问题,应根据已知条件建立关于参数方程求参数,求出参数后要检验是否满足集合中元素的互异性.
[典例2] 已知全集U=R,集合A={x|<0},B={x|2a解:因为A={x|<0}={x|x<-1},
所以 RA={x|x≥-1}.
又因为B∩( RA)=B,
所以B RA.
①若B=,则a+3≤2a,即a≥3,满足B RA.
②若B≠,则由B RA,
得2a≥-1且2a综上可得a的取值范围是{a|a≥-}.
[素养演练2] 已知集合A={x|x(1)若A∪( RB)=R,求实数a的取值范围;
(2)若A RB,求实数a的取值范围.
解:因为B={x|1所以 RB={x|x≤1或x≥3}.
(1)要使A∪( RB)=R,结合数轴分析(如图),
可得a的取值范围为{a|a≥3}.
(2)要使A ( RB),结合数轴分析(如图),
可得a的取值范围为{a|a≤1}.
与集合交、并、补集运算有关的求参数问题一般利用数轴分析法分析求解.同时要注意区间的端点问题.
[例1] 用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,已知全集U=A∪B,D=( UA)∪( UB),card(U)=m,card(D)=n.若A∩B非空,则card(A∩B)等于(　　)
(A)mn (B)m+n (C)n-m (D)m-n
解析:由于D=( UA)∪( UB)= U(A∩B),U=A∪B,card(U)=m,所以card(A∩B)+card( U(A∩B))=m,所以card(A∩B)=m-n.故选D.
[例2] 集合S={x|x≤10,且x∈N+},A S,B S,且A∩B={4,5},( SB)∩A={1,2,3},( SA)∩( SB)={6,7,8},求集合A和B.
解:法一　因为A∩B={4,5},
所以4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.
因为( SB)∩A={1,2,3},
所以1∈A,2∈A,3∈A,1 B,2 B,3 B.
因为( SA)∩( SB)={6,7,8},
所以6,7,8既不属于A,也不属于B.
因为S={x|x≤10,且x∈N+},
所以9,10不知所属.
因为9,10均不属于 SB,所以9∈B,10∈B.
综上可得,A={1,2,3,4,5},B={4,5,9,10}.
法二　如图,
因为A∩B={4,5},所以将4,5写在A∩B中.
因为( SB)∩A={1,2,3},
所以将1,2,3写在A中,A∩B之外.
因为( SB)∩( SA)={6,7,8},
所以将6,7,8写在S中A∪B之外.
因为( SB)∩A与( SB)∩( SA)中均无9,10,
所以9,10在B中,A∩B之外.
故A={1,2,3,4,5},B={4,5,9,10}.
[例3] (1)已知集合A={x|x<-3或x>5},集合B={x|k+1≤x≤k+2},若A∩B≠,求k的取值范围;
(2)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},集合B={x|x<-2或x>4},若A∪B≠B,求a的取值范围.
解:(1)因为A={x|x<-3或x>5},B={x|k+1≤x≤k+2},若A∩B=,则
即-4≤k≤3.
令P={k|-4≤k≤3},
则 RP={k|k>3或k<-4}.
所以当A∩B≠时,k的取值范围为{k|k>3或k<-4}.
(2)设A∪B=B,则A B.
①若A=,则2-a>2+a,a<0,符合题意;
②若A≠,则a≥0,
依题意2+a<-2或2-a>4.
解得a<-4或a<-2,
即a<-2.
又a≥0,故此时无解.
综上,若A∪B=B,则a<0,
所以A∪B≠B时a的取值范围是{a|a≥0}.
[例4] 在①B={x|-2a}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
问题:已知非空集合A={x|a解:选①:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4.
因为B={x|-2所以a≥3或8-a≤-2,解得a≥3或a≥10,
综上所述,a的取值集合是{a|3≤a<4}.
选②:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4.
因为 RB={x|-3所以B={x|x≤-3或x≥5}.
因为A∩B=,所以解得3≤a<4,
故a的取值集合是{a|3≤a<4}.
选③:因为A是非空集合,所以8-a>a,解得a<4.
因为A∩B=,B={x|x≥a2+6},A∪B={x|x>a},
所以a2+6=8-a,解得a=-2或1,
故a的取值集合是{-2,1}.
基础巩固
知识点一:补集的运算
1.已知集合U={-2,-1,0,1,2},A={x∈Z|-2(A) (B){0,1}
(C){-1,0,1} (D){-2,2}
解析:由题意,集合U={-2,-1,0,1,2},A={x∈Z|-2所以 UA={-2,2}.
2.已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则 UM=　　　　　　.
解析:因为M={x|-1≤x≤3},
所以 UM={x|x<-1或x>3}.
答案:{x|x<-1或x>3}
知识点二:集合的交、并、补集运算
3.已知集合A={x|1≤x<7},B={x|2≤x<9},则( RA)∩B=(　A　)
(A){x|7≤x<9} (B){x|2≤x<7}
(C){x|1≤x<9} (D){x|2≤x<9}
解析:由A={x|1≤x<7},则 RA={x|x<1或x≥7}.
又B={x|2≤x<9},
所以( RA)∩B={x|7≤x<9}.
4.(多选题)下列命题正确的有(　CD　)
(A)A∪=
(B) U(A∪B)=( UA)∪( UB)
(C)A∩B=B∩A
(D) U( UA)=A
解析:A错误;因为 U(A∪B)=( UA)∩( UB),故B错误;C,D正确.
故选CD.
5.设全集U=Z,集合N={x|x=2n,n∈Z},M= UN,则下列关系成立的是(　A　)
(A)-2∈N (B)2∈M
(C)0 UM (D)-3 M
解析:由题意知N为偶数集,M为奇数集,故只有A成立.
6.设集合U={0,1,2,3},集合A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m=　　 　　.
解析:因为集合U={0,1,2,3}, UA={1,2},所以A={0,3},故m=-3.
答案:-3
能力提升
7.已知全集U=R,集合A={-2,-1,0,1,2},B={y|y≥0},则图中阴影部分表示的集合为(　D　)
(A){-1,1} (B){1,2}
(C){-1,0,1} (D){-1,-2}
解析:由题意,集合A={-2,-1,0,1,2},B={y|y≥0},
其中阴影部分表示的集合为A∩( UB),
可得 UB={y|y<0},所以A∩( UB)={-2,-1}.
8.已知集合A={x|x(A)(-∞,1] (B)(-∞,1)
(C)[2,+∞) (D)(2,+∞)
解析: RB={x|x≤1或x≥2},如图所示.
因为A∪( RB)=R,所以a≥2.故选C.
9.设U为全集,M,P,N是U的三个子集,则图中阴影部分表示的集合是(　C　)
(A)(M∩P)∩N
(B)(M∩P)∪N
(C)(M∩P)∩( UN)
(D)(M∩P)∪( UN)
10.(多选题)设A,B,I均为非空集合,且满足A B I,则下列各式中正确的是(　ACD　)
(A)( IA)∪B=I
(B)( IA)∪( IB)=I
(C)A∩( IB)=
(D)( IA)∩( IB)= IB
解析:因为A,B,I满足A B I,画出Venn图,如图.
根据Venn图可判断出A,C,D都是正确的,
而( IA)∪( IB)= IA,故B错误.
11.已知全集U=R,集合A={x||x|≤2,x∈Z},集合B={x|x>-},
则( UB)∩A=　　 　　.
解析:集合A={x||x|≤2,x∈Z}={-2,-1,0,1,2},
B={x|x>-},所以 UB={x|x≤-},
所以( UB)∩A={-2,-1}.
答案:{-2,-1}
12.已知A={x|x2+px-6=0},B={x|x2+qx+2=0},且A∩( RB)={2},则p+q等于　　 　　.
解析:因为A∩( RB)={2},所以2∈A,则22+2p-6=0,解得p=1,
所以A={x|x2+x-6=0}={2,-3}.
又因为A∩( RB)={2},
所以-3 RB,即-3∈B,
所以(-3)2-3q+2=0,解得q=,
所以p+q=1+=.
答案:
13.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)设全集U=A∪B,求( UA)∪( UB).
解:(1)因为A∩B={2},所以2是方程x2+ax+12=0和x2+3x+2b=0的唯一公共解,
则22+2a+12=0,22+3×2+2b=0,
解得a=-8,b=-5,
所以A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6},
B={x|x2+3x-10=0}={x|(x-2)(x+5)=0}={2,-5}.
(2)由A={2,6},B={2,-5},可得全集U=A∪B={-5,2,6},
所以 UA={-5}, UB={6},则( UA)∪( UB)={-5,6}.
14.设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m(1)若A∩B=B,求实数m的取值范围;
(2)若B∩( RA)中只有一个整数,求实数m的取值范围.
解:(1)因为A∩B=B,所以B A.
①当m<时,B={x|2m②当m≥时,B=,有B A成立.
综上所述,所求实数m的取值范围是[-,+∞).
(2)因为A={x|-1≤x≤2},
所以 RA={x|x<-1或x>2}.
①当m<时,B={x|2m若B∩( RA)中只有一个整数,则-3≤2m<-2,
得-≤m<-1;
②当m≥时,B=,因此B∩( RA)=,不符合题意.
综上可知,实数m的取值范围是[-,-1).
应用创新
15.已知集合A={x|a(1)若a=1,求A∪B;
(2)在①A∩B=,②( RB)∩A=,③B∪( RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,A={x|1所以A∪B={x|0≤x≤2}.
(2)选择①:A∩B=作为已知条件.
因为A∩B=,
所以a+1≤0或a≥2,
解得a≤-1或a≥2.
则实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).
选择②:( RB)∩A=作为已知条件.
因为( RB)∩A=, RB={x|x<0或x>2},
所以
解得0≤a≤1.
则实数a的取值范围为[0,1].
选择③:B∪( RA)=R作为已知条件.
因为B∪( RA)=R, RA={x|x≤a或x≥a+1},
所以
解得0≤a≤1.
则实数a的取值范围为[0,1].§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
2.1.1　必要条件与充分条件(一)
核心知识目标 核心素养目标
1.理解命题的概念并能判断所给语句是否为命题,并判断真假. 2.理解并掌握充分条件、必要条件的意义. 3.能够利用充分条件、必要条件的意义进行判定与证明. 4.会用充分条件、必要条件表述已学过的判定定理和性质定理. 1.通过必要条件、充分条件的判断,提升逻辑推理素养. 2.借助必要条件、充分条件的应用,培养数学运算素养.
　命题的概念
[问题1] 根据初中学过的命题知识,判断下列语句是不是命题 为什么
(1)对顶角相等.
(2)π是无限不循环小数.
(3)不相交的两条直线一定平行吗
(4)x>5.
提示:(1)(2)是命题;(3)是疑问句,不是命题;(4)不能判断真假,不是命题.
知识点1:命题的概念
(1)定义:可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题.
(2)分类:判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题.
(3)结构形式:“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论.
[例1] 下列语句是不是命题 若是命题,判断其真假;若不是命题,请说明理由.
(1)是无限不循环小数.
(2)x2+3x+2=0.
(3)当x=4时,2x>0.
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗
(5)一个数不是奇数就是偶数.
解:(1)是命题,且是真命题.
(2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没有给x赋值前,无法判断x2+3x+2=0的真假.
(3)是命题,且是真命题.
(4)不是命题,因为它是疑问句,没有作出任何判断,所以不是命题.
(5)是命题,且是假命题.因为数1.5既不是奇数也不是偶数.
变式训练1-1:指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假.
(1)两个周长相等的三角形面积相等;
(2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2.
解:(1)条件是“两个三角形周长相等”,结论是“两个三角形面积相等”,假命题.
(2)条件是“已知x,y为正整数且y=x+1”,结论是“y=3,x=2”,假命题.
(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,一般疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
　必要条件与充分条件
[问题2] 观察如图所示电路图,条件p:开关A闭合,结论q:灯泡B亮.
(1)当开关A闭合时,灯泡B一定会亮吗 说明了什么
(2)如果“灯泡B不亮”,开关A可以闭合吗
提示:(1)一定会亮,说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就可以.
(2)如果“灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合.
知识点2:必要条件与充分条件的概念
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件;当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
[思考1] (1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同
(2)以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
提示:(1)相同,都是p q.(2)等价.
[思考2] 记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件,则集合A,B的关系是什么 若p是q的必要不充分条件呢
提示:若p是q的充分不必要条件,则A B;若p是q的必要不充分条件,则B A.
[例2] 指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x=1,q:x2=1;
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(3)p:a>b,q:ac>bc.
解:(1)x=1 x2=1,但x2=1x=1,故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等 两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件.
(3)a>bac>bc,ac>bca>b,故p是q的既不充分也不必要条件.
变式训练2-1:指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)在△ABC中,p:AB=AC,q:∠B=∠C;
(2)p:x=2,q:x>1;
(3)p:a>b,q:>1.
解:(1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知,p是q的充要条件.
(2)x=2 x>1,但x>1x=2,故p是q的充分不必要条件.
(3)当b<0时,由a>b,可得<1,由>1,可得a充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:
①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
(3)利用集合间的包含关系判断法:如果条件p和结论q都是集合,那么若p q,则p是q的充分条件;若p q,则p是q的必要条件;若p=q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件.
　充分、必要条件与判定、性质定理
[问题3] 分析下列性质定理与判定定理,定理中的条件与结论是什么关系 你认为有什么规律
(1)性质定理:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
(2)判定定理:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
提示:(1)两个角是对顶角,那么这两个角一定相等,故两个角相等是两个角是对顶角的必要条件.
(2)如果一个平行四边形有一个角是直角,那么这个平行四边形一定是矩形,故一个平行四边形有一个角是直角是这个平行四边形是矩形的充分条件.
性质定理体现了条件与结论的必要性,判定定理体现了条件与结论的充分性.
知识点3:充分、必要条件与判定定理、性质定理的关系
(1)判定定理是数学中一类重要的定理,阐述了结论成立的依据,也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件.
(2)性质定理同样是数学中一类重要的定理,阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质,其作用是揭示这个研究对象的某个特征,性质定理给出了结论成立的必要条件.
[例3] 指出下面的定理是判定定理还是性质定理,并用充分、必要条件的语言来表述.
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;
(2)正方形的对角线互相垂直且相等.
解:(1)是判定定理,用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”.
(2)是性质定理,用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件.
变式训练3-1:指出下面的定理是判定定理还是性质定理,并用充分、必要条件的语言来表述.
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
解:(1)是判定定理,用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”.
(2)是性质定理,用必要条件的语言表述为“两个平面同时和第三个平面相交,它们的交线平行”是“这两个平面平行”的必要条件.
(1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征,若定理阐述了结论成立的依据,则是判定定理,否则是性质定理.
(2)判定定理给出了结论成立的充分条件,性质定理给出了结论成立的必要条件,所以判定定理可用充分条件的语言来表述,性质定理可用必要条件的语言来表述.
根据充分、必要条件确定参数的取值范围
[典例]已知p:1(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:充分条件,必要条件.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:(1)因为p是q的充分不必要条件,
所以解得≤m≤2,
所以实数m的取值范围是[,2].
(2)因为p是q的必要不充分条件,
当m-1>2m,即m<-1时,满足题意;
当m-1≤2m,即m≥-1时,
解得m∈.
综上m<-1,
所以实数m的取值范围为(-∞,-1).
[素养演练] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解:由p是q的充分不必要条件,得集合{x|-2≤x≤10}是集合{x|1-m≤x≤1+m}的真子集,
所以或
解得m≥9.
所以实数m的取值范围是[9,+∞).
根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解.
[例1] 下列条件中,使“”成立的充分不必要条件是(　　)
(A)0(C)0解析:不等式即解得0所以观察四个选项易知,只有A项的0[例2] 设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　;若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　.
解析:由|x|≤m(m>0)得-m≤x≤m,
p是q的充分条件 0所以m的最大值为1.
p是q的必要条件 m≥4,
所以m的最小值为4.
答案:1　4
[例3] 集合P={x|a+1≤x≤a+3},M={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩M;
(2)若“x∈P”是“x∈M”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=3时,P={x|4≤x≤6},则 RP={x|x<4或x>6},
所以( RP)∩M={x|x<4或x>6}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈M”的充分不必要条件,所以P M.
因为a+1所以且两等号不能同时成立,
解得-3≤a≤2,经验证,符合题意.
所以实数a的取值范围是[-3,2].
基础巩固
知识点一:命题及其真假判断
1.下列语句为命题的是(　D　)
(A)对角线相等的四边形
(B)a<5
(C)x2-x+1=0
(D)有一个内角是90°的三角形是直角三角形
解析:由命题定义:能够判断真假的陈述句.所以D为命题,ABC不能判断真假,所以不是命题,故选D.
2.设p(x):2x>x2,则p(5)是　　 　　命题,p(-1)是　　　 　命题.
(选填“真”或“假”)
解析:因为p(5):10>25,p(-1):-2>1,
所以p(5),p(-1)均为假命题.
答案:假　假
知识点二:充分、必要条件
3.设x,y∈R,则“x>1”是“x>0”的(　A　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:x>1可以得出x>0,但x>0得不出x>1,
所以“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.故选A.
4.给出定理“四条边都相等的四边形是菱形”,下列说法正确的是(　C　)
(A)此定理是性质定理,可用充分条件的语言来表述
(B)此定理是性质定理,可用必要条件的语言来表述
(C)此定理是判定定理,可用充分条件的语言来表述
(D)此定理是判定定理,可用必要条件的语言来表述
解析:此定理阐述了结论成立的依据,是判定定理,可用充分条件的语言来表述.故选C.
5.在△ABC中,“∠B=∠C”是“△ABC是等腰三角形”的　　　条件.
答案:充分不必要
6.若“1-x<0”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围是　 　　.
解析:由题意得{x|1-x<0} {x|x>a},故a≤1.
答案:(-∞,1]
能力提升
7.下列说法正确的是(　D　)
(A)“x=1”是“(x-1)(x+2)=0”的必要条件
(B)“x>1”是“x3>1”的既不充分也不必要条件
(C)“A∩B=A”是“A B”的充分不必要条件
(D)“A∩B=A”是“A=”的必要不充分条件
解析:对于A,“x=1”是“(x-1)(x+2)=0”的充分不必要条件,错误;对于B,x3>1等价于x>1,即“x>1”是“x3>1”的充要条件,错误;对于C,“A∩B=A”是“A B”的充要条件,错误;对于D,“A∩B=A”是
“A=”的必要不充分条件,正确.故选D.
8.(多选题)有以下命题,其中正确的为(　CD　)
(A)“x,y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件
(B)“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
(C)“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
(D)“x>1”是“<1”的充分不必要条件
解析:×=2为有理数,A不正确;x∈Ax∈(A∩B),B不正确;
x=3 x2-2x-3=0,C正确;<1 x>1或x<0,D正确.故选CD.
9.设U为全集,则“A∩B=”是“A UB”的(　C　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:因为U为全集,若A∩B=,则A UB;若A UB,则A∩B=,
所以“A∩B=”是“A UB”的充要条件.故选C.
10.(多选题)一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　BC　)
(A)a<0 (B)a<-2
(C)a<-1 (D)a<1
解析:由解得a<0,
则充分不必要条件应为(-∞,0)的真子集.故选BC.
11.设集合A=[1,2],B={x|m+1≤x≤2m+4},且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　 　　.
解析:因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以A B,因为2m+4=2与m+1=1不能同时取得等号,
则解得-1≤m≤0.
答案:[-1,0]
12.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有　　　　,p是q的必要条件的有　　　　.(填序号)
①p:x∈R,q:x∈N;
②p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;
③p:方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数解,q:b2-4ac>0;
④p:ab=0,q:a2+b2=0.
解析:①p是q的必要条件;
②p是q的必要条件;
③p是q的充要条件;
④p是q的必要条件.
答案:③　①②③④
13.说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件.
(1)形如y=ax2(a是非零常数)的函数是一元二次函数;
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)如果一个函数是正比例函数,则这个函数是一次函数.
解:(1)这可以看成一个判定定理,因此“形如y=ax2(a是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件.
(2)这可以看成菱形的一个性质定理,因此“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件.
(3)这可以看成是一次函数的判定定理,因此“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件.
14.已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|1≤x≤6}.
(1)当a=3时,求A∩B,( RA)∪( RB);
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解:(1)因为a=3,
所以A={x|-1≤x≤5},
RA={x|x<-1或x>5},
RB={x|x<1或x>6},
所以A∩B={x|1≤x≤5},
( RA)∪( RB)={x|x<1或x>5}.
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以A B.
若A是空集,则2+a<2-a,
解得a<0.
若A不是空集,
则或
解得0≤a≤1.
综上,实数a的取值范围是(-∞,1].
应用创新
15.在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M;若问题中的a不存在,请说明理由.
问题:已知集合A={x|x2-4x≤0},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的　　　　
解:A=[0,4],
若选①,则A是B的真子集,
所以1-a≤0且1+a≥4(两等号不同时取得).
又a>0,解得a≥3,
所以存在实数a,a的取值集合M={a|a≥3}.
若选②,则B是A的真子集,
所以1-a≥0且1+a≤4(两等号不同时取得),
又a>0,解得0所以存在实数a,a的取值集合M={a|0若选③,则A=B,
所以1-a=0且1+a=4,
又a>0,方程组无解,
所以不存在满足条件的a.2.1.2　必要条件与充分条件(二)
核心知识目标 核心素养目标
1.理解充要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系. 2.能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件. 3.能利用充要条件进行计算和推理论证. 1.通过充要条件的判断,提升逻辑推理素养. 2.借助充要条件的应用,培养数学运算素养.
　充要条件
[问题1] 判断下列各题:p是q 的充分条件吗 p是 q的必要条件吗
(1)p:三角形的三条边相等,q:三角形的三个角相等;
(2)p:两条直线平行,q:内错角相等;
(3)p:整数a是 2 的倍数,q:整数a是偶数.
提示:三个问题中均有p q且q p,故p是q的充分条件,同时p也是q的必要条件.
[问题2] 根据以上实例的共性,能用自己的语言描述你得到的结论吗
提示:p与q是等价命题.
知识点1:充要条件
一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.
[思考1] 充分条件、必要条件与充要条件可以有几种情况
提示:
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
[思考2] 记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,则p是q的什么条件 若N M,M=N呢
提示:若M N,则p是q的充分条件;若N M,则p是q的必要条件;若M=N,则p是q的充要条件.
[例1] 判断下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)p:|x|=|y|,q:x3=y3;
(2)p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,∠C>∠B;
(3)p:A B,q:A∪B=B;
(4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.
解:(1)因为|x|=|y|时,x=±y,不一定有x3=y3,而x3=y3时一定有x=y,必有|x|=|y|,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件.
(3)若A B,则一定有A∪B=B,反之,若A∪B=B,则一定有A B,故p是q的充要条件.
(4)若两个三角形全等,则这两个三角形面积一定相等,若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可),却不一定有两个三角形全等,故p是q的充分不必要条件.
变式训练1-1:判断下列各题中,p是q的什么条件.
(1)p:四边形对角线相等,q:四边形是平行四边形;
(2)p:二次方程ax2+bx+c=0有实根,q:ac<0;
(3)p:A∩B=A,q: UB UA.
解:(1)四边形的对角线相等,不一定是平行四边形(如等腰梯形满足),而平行四边形的对角线不一定相等.
因此p是q的既不充分也不必要条件.
(2)若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac≥0,此时不一定有ac<0,反之,若ac<0,则必有b2-4ac>0,即二次方程ax2+bx+c=0一定有实根,故p是q的必要不充分条件.
(3)若A∩B=A,则A B,此时必有 UB UA,反之也成立,因此p是q的充要条件.
判断充分必要条件常用定义法,主要判断方法如下:
(1)分清条件p和结论q:分清哪个是条件,哪个是结论;
(2)找推式:判断“p q”及“q p”的真假;
(3)下结论:根据定义下结论.
　充要条件的探求
[例2] (1)已知p:0(A)0(C)(2)使x>1成立的一个必要条件是(　　)
(A)x>0 (B)x>3
(C)x>2 (D)x<2
解析:(1)运用集合的知识易知只有C中由(2)只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
变式训练2-1:(多选题)下列式子:①x<1;②0(A)① (B)②
(C)③ (D)④
解析:因为x2<1,所以-1所以②③④可以是x2<1的充分条件,故选BCD.
(1)选择题中的充分不必要条件问题,是由选择项推出题干,但是题干不能推出选择项,而选择题中的必要不充分条件问题,是由题干推出选择项,但是选择项不能推出题干.
(2)对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解“充分性”即“有它就行”,“必要性”即“没它不行”.
充要条件的证明
[典例] 已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:充要条件.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
证明:先证充分性:若a+b=1,
则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,
即充分性成立.
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0.
因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
[素养演练] 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.
证明:假设p:方程ax2+bx+c=0有一个根是1,
q:a+b+c=0.
①证明p q,即证明必要性.
因为x=1是方程ax2+bx+c=0的根,
所以a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
②证明q p,即证明充分性.
由a+b+c=0,得c=-a-b.
因为ax2+bx+c=0,
所以ax2+bx-a-b=0,即a(x2-1)+b(x-1)=0.
故(x-1)(ax+a+b)=0.
所以x=1是方程的一个根.
故方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.
证明p是q的充要条件分两步:一是充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[例1] (多选题)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则下列命题中正确的是(　　)
(A)r是q的充要条件
(B)p是q的充分不必要条件
(C)r是q的必要不充分条件
(D)r是s的充分不必要条件
解析:由已知有p r,q r,r s,s q,由此得r
q且q r,A正确,C不正确,p q,B正确,r是s的充要条件,D不正确,故选AB.
[例2] 充要条件与数学中的定义有关,数学中一些数学对象的定义是给出了这个对象的充要条件,试判断“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义,为什么
解:可以,因为“有两个角之和为90°的三角形”是“三角形为直角三角形”的充要条件.
[例3] 写出a>b的一个充分不必要条件,以及一个必要不充分条件.
解:a>b的一个充分不必要条件是a>b+1;a>b的一个必要不充分条件是a>b-1(本题答案不唯一,本质之处是a>b恒成立的充分不必要条件是a大于比b大的数,而a>b成立的必要不充分条件是a大于比b小的数).
基础巩固
知识点一:充分、必要、充要条件的判定
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”成立的(　A　)
(A)充要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当x=1时,x2-2x+1=0.由x2-2x+1=0,解得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”成立的充要条件.故选A.
2.设实数a,b满足|a|>|b|,则“a-b>0”是“a+b>0”的(　C　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由a-b>0,得a>b.又|a|>|b|,得a+b>0;由a+b>0,得a>-b.
又|a|>|b|,得a-b>0.故“a-b>0”是“a+b>0”的充要条件.故选C.
3.如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的(　B　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:根据题意得AB,B A,B C,
D C,CD,所以D C B A,即D A,
AD,所以A是D的必要不充分条件.故选B.
知识点二:充分、必要、充要条件的探求
4.使不等式0<<1成立的一个充分不必要条件是(　C　)
(A)01
(C)x>2 (D)x<0
解析:不等式0<<1成立,所以
解得x>1,
则其一个充分不必要条件可以是x>2.故选C.
5.在平面直角坐标系中,点(x,1-x)在第一象限的充要条件是　　　.
解析:由点(x,1-x)在第一象限,可得x>0,且1-x>0,所以0答案:0能力提升
6.在下列三个结论中,正确的是(　C　)
①设x∈R,“x>1”是“x>2”的必要不充分条件;
②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
(A)①② (B)①②③
(C)①③ (D)②③
解析:因为x>2 x>1,但x>1x>2,故①正确;由a2+b2≠0 a,b不全为0,反之,由a,b不全为0 a2+b2≠0,故③正确.②不正确,故选C.
7.(多选题)对任意实数a,b,c,下列命题中正确的是(　AB　)
(A)“a<5”是“a<3”的必要条件
(B)“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
(C)“a=b”是“ac=bc”的充要条件
(D)“a>b”是“a2>b2”的充分条件
解析:A,B正确;C中,由a=b,得ac=bc,充分性成立,由ac=bc,不能得出a=b,C不正确;D中,因为a>b不能得出a2>b2,例如:a=1,b=-2,满足a>b,但a28.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则(　B　)
(A)“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
(B)“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
(C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件
(D)“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
解析:由非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,知“x∈C”这个元素既可能来自集合A,也可能来自集合B,故“x∈C”“x∈A”,“x∈A” “x∈C”,即“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件,故选B.
9.设计如图所示的四个电路图,条件A:“开关S1闭合”,条件B:“灯泡L亮”,则A是B的充要条件的图为　　 　　.
解析:对于图甲,开关S1闭合灯泡L亮,反过来灯泡L亮,也可能是开关S2闭合,
所以A是B的充分不必要条件.
对于图乙,只有一个开关,灯如果要亮,开关S1必须闭合,所以A是B的充要条件.
对于图丙,因为灯亮必须开关S1和S2同时闭合,
所以A是B的必要不充分条件.
对于图丁,灯一直亮,跟开关没有关系,
所以A是B的既不充分也不必要条件.
答案:乙
10.若“x>a”是“x>6”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由“x>a”是“x>6”的必要条件,知a≤6,故实数a的取值范围为(-∞,6].
答案:(-∞,6]
11.设m∈N+,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=　　.
解析:由题意得x==2±,因为x是整数,即2±为整数,所以为整数,且m≤4.又m∈N+,则m=1,2,3,4,验证可得m=3,4符合题意,反之m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
答案:3或4
12.求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
解:①当a=0时,解得x=-1,满足条件.
②当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a<0.
若方程有两个负的实根,
则必须满足 0综上,若方程至少有一个负实根,则a≤.
反之,若a≤,则方程至少有一个负实根.
因此关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
13.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件
是ac<0.
证明:充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根):
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
所以方程一定有两个不等实根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=<0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性(由方程有一正根和一负根,推证ac<0):
因为方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0.
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
应用创新
14.在我国南北朝时期,数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.其意思是,用一组平行平面去截两个几何体,若在任意等高处的截面面积都对应相等,则两个几何体的体积必然相等.根据祖暅原理,“两几何体A,B的体积不相等”是“A,B在等高处的截面面积不恒相等”的(　A　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:“两几何体A,B的体积不相等”是“A,B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件.故选A.
15.记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为l=max{,,}·min{,,},则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的(　A　)
(A)必要不充分条件
(B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当△ABC是等边三角形时,a=b=c,
所以l=max{,,}·min{,,}=1×1=1.
所以“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件.
因为a≤b≤c,所以max{,,}=.
又因为l=1,所以min{,,}=,
即=或=,得b=c或b=a,
可知△ABC为等腰三角形,而不能推出△ABC为等边三角形.
所以“l=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.故选A.§3　不等式
3.1　不等式的性质
核心知识目标 核心素养目标
1.理解不等式的含义,会用不等式(组)来描述不等关系. 2.掌握作差法比较数或式大小的理论依据和一般步骤. 3.掌握等式的性质和不等式的性质以及性质的简单应用. 1.通过实数大小的比较及不等式性质的证明,培养逻辑推理素养. 2.借助不等式性质的应用,提升数学运算素养.
　不等关系
[问题1] 生活中的不等关系处处存在,我们经常看到下列标志:
其含义分别为
①最低限速:限制行驶速度v不得低于50 km/ h;
②限制质量:装载总质量m不得超过10 t;
③限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;
④限制宽度:装载宽度a不得超过3 m.
你能用数学式子表示上述关系吗
提示:①v≥50 km/h;②m≤10 t;③h≤3.5 m;
④a≤3 m.
[例1] 某汽车货运公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.
解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆,y辆,
则即
变式训练1-1:某工厂购得甲材料x t,乙材料y t,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120 t,则x,y应满足的不等关系是(　　)
(A)x+y>120 (B)x+y<120
(C)x+y≥120 (D)x+y≤120
解析:由题意可得x+y≥120,选C.
用不等式(组)表示不等关系的步骤:
(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等;
(2)适当地设未知数表示变量;
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式.
(1)用不等式(组)表示不等关系应正确找出题中的显性不等关系和隐性不等关系;
(2)当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题有几个变量,选用几个字母分别表示这些变量即可.
　两个实数的大小比较
[问题2] 在数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数,那么对于两个实数a,b,如何用代数的方法来比较大小呢
提示:可以采用作差的方法.
知识点1:两个实数的大小关系的基本事实
对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
a>b a-b>0;
a=b a-b=0;
a[例2] 已知-解:C-A=-(1+a2)=
=.
因为-0,-a>0,(a+)2+>0,
所以C>A.
因为A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0,
所以A>B.
B-D=1-a2-=
=.
因为-所以1-a>0,
(a-)2-<(--)2-<0,
所以B>D.
综上,C>A>B>D.
变式训练2-1:比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
解:(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)
=x2+x+1
=(x+)2+>0,
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差;
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形;
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号;
(4)做出结论.
使用作差比较法比较大小时,若待比较的两式是无理式,这时可以先将待比较的式子变形为有理式后再用作差法比较大小,但是要注意变形的等价性.　
　不等式的性质
[问题3] 在日常生活中,糖水中加些糖后就会变得更甜,也可以用不等式来表示这一现象.
你能利用这一事实表示出糖水浓度的不等式吗
提示:糖水变甜这一现象对应的不等式为<,其中a0.
知识点2:不等式的基本性质
性质 性质内容 注意
1 a>b,b>c a>c
2 a>b a+c>b+c
3 ac>bc c的符号
ac4 a+c>b+d
5 ac>bd
ac6 a>b>0 >(n∈N+,n≥2) 同正
[例3] (1)如果a(A)< (B)ab(C)ab>a2 (D)->-
(2)已知a>b>0,c.
解析:(1)因为-=,
又因为a0,ab>0.
所以->0.
所以>,故A不正确.
因为a所以ab>b2,ab故只有D正确.
故选D.
(2)证明:法一　因为c所以-c>-d>0.
因为a>b>0,
所以a-c>b-d>0,
所以0<<.
又因为e<0,
所以>.
法二　-
=
=,
因为a>b>0,c所以-c>-d>0,
所以a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0.
又e<0,
所以>0,
所以>.
变式训练3-1:本例(2)中条件不变,求证改为“>”,请证明.
证明:因为c所以-c>-d>0.
又因为a>b>0,
所以a-c>b-d>0.
所以0<<,
所以<.
又因为e<0,
所以>.
变式训练3-2:若bc-ad≥0,bd>0.求证:≤.
证明:因为bc-ad≥0,
所以ad≤bc.
因为bd>0,
所以≤,
所以+1≤+1,
所以≤.
利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价.要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明.利用性质时要注意性质适用的前提条件.
根据不等式性质求范围
[典例] 实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求3a-2b的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:不等式的性质.
关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:(1)由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
两式相加得,-4≤2a≤6,则-2≤a≤3.
由-1≤a-b≤4,
得-4≤-a+b≤1.
又-3≤a+b≤2,
两式相加得,-7≤2b≤3,即-≤b≤.
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,
则解得
所以3a-2b=(a+b)+(a-b).
因为-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
所以-≤(a+b)≤1,-≤(a-b)≤10,
则-4≤3a-2b≤11.
[素养演练] 已知-1解析:设x+y=m,x-y=n,因此x=,y=,-13x+2y=3·+2·=+.
因为-1所以-<<10,1<<2.
因此-<+<12,
所以-<3x+2y<12.
答案:(-,12)
(1)根据不等式性质求范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的范围,只能先求-b的范围,再与a的范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的范围,只能先求出的范围后再与a的范围相乘.
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变,同乘一个负数不等号变为相反的方向,因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
[例1] (多选题)已知6(A)∈(,4)
(B)a+b∈(21,78)
(C)a-b∈(-9,42)
(D)∈(,)
解析:因为6所以21以<<4,<<5,A正确,D不正确;-18<-b<-15,6-18[例2] 已知a>b>0,c|c|,求证:
(1)b+c>0;
(2)<.
证明:(1)因为|b|>|c|且b>0,c<0,
所以b>-c,即b+c>0.
(2)因为c-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以>>0,所以<<.
[例3] 已知a>b,比较与的大小.
解:因为-=,
所以①当a>b>0时,<0,即-<0,
所以<;
②当0>a>b时,<0,即-<0,
所以<;
③当a>0>b时,>0,即->0,
所以>.
综上,当a>b>0或0>a>b时,<;
当a>0>b时,>.
基础巩固
知识点一:不等关系与不等式的性质
1.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒 cm,人跑开的速度是每秒4m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区,导火索的长度x(cm)应该满足的不等式为(　C　)
(A)4×2x≥100 (B)4×2x≤100
(C)4×2x>100 (D)4×2x<100
解析:当导火索的长度为x cm时,燃烧的时间为2x s,人跑开的距离为(4×2x) m,为了保证安全,有4×2x>100.故选C.
2.已知a(A)ac2(C)ab
解析:根据a取a=-1,b=0,c=1,则BC不成立;
由a所以>,故D一定成立.故选D.
3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是(　A　)
(A)-2<α-β<0 (B)-2<α-β<-1
(C)-1<α-β<0 (D)-1<α-β<1
解析:由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1.
所以-2<α-β<2,又α<β,
故-2<α-β<0.故选A.
4.下列命题中,真命题是　　 　　(填序号).
①若a>b>0,则<;
②若a>b,则c-2a③若a<0,b>0,则<;
④若a>b,则2a>2b.
解析:①a>b>0 0<< <;②a>b -2a<-2b c-2a答案:①②④
知识点二:两实数的大小关系的基本事实
5.若M=a2+3ab,N=5ab-b2,则M,N的大小关系是(　B　)
(A)M>N (B)M≥N
(C)M解析:因为M-N=a2+3ab-(5ab-b2)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,
所以M≥N.故选B.
6.已知a(A)> (B)<
(C)≥ (D)≤
解析:-==,
因为ab2,ab>0,b2-a2<0,
所以-=<0,
所以<.故选B.
能力提升
7.下列命题中,正确的是(　D　)
(A)若a>b,c>d,则ac>bd
(B)若ac>bd,则a(C)若a>b,c>d,则a-c>b-d
(D)若<,则a解析:选项A中,若2>1,-1>-2,则-2>-2,显然错误,故选项A错误;
选项B中,若(-2)×2>(-3)×2,则-2<-3显然不成立,故选项B错误;
选项C中,若3>2,2>1,则1>1,显然错误,故选项C错误;
选项D中,若<,显然c≠0,c2>0,则a8.某校高一两名同学(甲、乙)同时从教室到食堂就餐(路程相等),甲一半时间步行,一半时间跑步,乙一半路程步行,一半路程跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则(　A　)
(A)甲先到食堂
(B)乙先到食堂
(C)两人同时到食堂
(D)谁先到食堂不确定
解析:设甲用时为2t,乙用时为T,步行速度为a,跑步速度为b,路程
为s,
则ta+tb=s,解得2t=,T=+=,
而T-2t=-=>0.故选A.
9.已知a,b为正数,a≠b,n为正整数,则anb+abn-an+1-bn+1的正负情况为(　B　)
(A)恒为正 (B)恒为负
(C)与n的奇偶性有关 (D)与a,b的大小有关
解析:anb+abn-an+1-bn+1=an(b-a)+bn(a-b)=-(a-b)(an-bn),不妨设a>b,
则an>bn,所以anb+abn-an+1-bn+1<0恒成立.故选B.
10.(多选题)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则(　AC　)
(A)1≤x≤4 (B)-2≤y≤1
(C)2≤4x+y≤15 (D)≤x-y≤
解析:因为-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,3≤3x≤12,所以1≤x≤4,故A
正确;
因为所以-2≤-3y≤11,解得-≤y≤,故B错误;
因为4x+y=2(x+y)+(2x-y),
又-2≤2(x+y)≤6,所以2≤4x+y≤15,故C正确;
因为x-y=-(x+y)+(2x-y),
又-1≤-(x+y)≤,≤(2x-y)≤6,所以≤x-y≤,故D错误.
故选AC.
11.已知a<0,-1解析:由a<0,-1则ab>0,ab2<0,0又ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,
所以a答案:a12.若角α,β满足<α<β<π,则α+β的取值范围是　　　 　,α-β的取值范围是　　　 　.
解析:由<α<β<π,
则<α<π,<β<π,-π<-β<-且α-β<0,
所以π<α+β<2π,-<α-β<0,
所以α+β的取值范围是(π,2π),α-β的取值范围是(-,0).
答案:(π,2π)　(-,0)
13.(1)已知a>b,ab>0,求证:<;
(2)已知a>b>0,0.
证明:(1)因为ab>0,所以>0.
又因为a>b,所以a·>b·,即>,
因此<.
(2)因为0>0.
又因为a>b>0,则a·>b·,即>.
14.(1)设x(2)已知-1解:(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
因为x0,x-y<0,
所以-2xy(x-y)>0,
所以(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
(2)设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),则
所以m=,n=-,
所以2a+3b=(a+b)-(a-b).
因为-1所以-<(a+b)<,
-2<-(a-b)<-1,
所以-<(a+b)-(a-b)<,
即-<2a+3b<.
所以2a+3b的取值范围为(-,).
应用创新
15.某花店搞活动,6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰价格之和大于24元,而4枝红玫瑰与5枝黄玫瑰价格之和小于22元,那么2枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格比较的结果是(　A　)
(A)2枝红玫瑰贵 (B)3枝黄玫瑰贵
(C)相同 (D)不能确定
解析:设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别为x,y元,
由题意可得(*)
令2x-3y=m(6x+3y)+n(4x+5y)=(6m+4n)x+(3m+5n)y,
则解得
所以2x-3y=(6x+3y)-(4x+5y),
由(*)得(6x+3y)>×24,
-(4x+5y)>-×22,
所以(6x+3y)-(4x+5y)>×24-×22=0,
所以2x-3y>0,因此2x>3y.
所以2枝红玫瑰的价格高.故选A.3.2　基本不等式
3.2.1　基本不等式
核心知识目标 核心素养目标
1.理解并掌握基本不等式≥(a,b≥0). 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 1.通过不等式的证明,培养逻辑推理素养. 2.借助重要不等式与基本不等式的应用,提升数学运算素养.
　重要不等式
[问题1] 2002年8月,中国成功主办了国际数学家大会,其会标设计的基础是中国数学家赵爽的弦图,对这个图进行加工变化便形成了这个会标.这个会标中含有怎样的几何图形 你能在这个图形中找到一些相等和不等关系
提示:(1)a2+b2=(a-b)2+2ab;
(2)a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取等号.
知识点1:重要不等式
对于任意实数x和y,≥xy,当且仅当x=y时,等号成立.
[思考1] 不等式≥xy中的x,y可以是具体的实数吗 可以是一个代数式吗
提示:均可以.
[例1]已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
证明:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
所以3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2,
所以a2+b2+c2≥(a+b+c)2.
因为a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca),
所以≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c,等号成立).
所以原命题得证.
变式训练1-1:若x≠0,求y=的最大值;
解:因为x≠0,所以y==,
因为x2+≥2,当且仅当x2=,即x2=时取等号.
所以≤=,
所以y=的最大值为.
在利用重要不等式≥xy时,要注意灵活变形.x,y代表两个位置,这两个位置上可以是数字、字母,也可以是代数式.
　基本不等式
[问题2] 在a≥0,b≥0的条件下,把≥xy中的x,y分别用,代换,可得到一个什么样的不等式
提示:可以得到≤.
知识点2:基本不等式
(1)如果a≥0,b≥0,有≥,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式.
(2)称为a,b的算术平均值,称为a,b的几何平均值.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
(3)下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整.
如图所示,AB为半圆O的直径,点C在AB上,AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交于D,连接AD,BD,OD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以≥,当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立.
[思考2] 不等式a+≥2一定成立吗 为什么
提示:不一定成立,例如当a=-1时,a+=-2,不等式不成立,事实上,当a>0时,a+≥2,当a<0时,a+≤-2.
[例2] (1)给出下面三个推导过程:
①因为a,b为正实数,所以+≥2=2;
②因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;
③因为x,y∈R,xy<0,所以+=-[(-)+(-)]≤-2=-2.
其中正确的推导为(　　)
(A)①② (B)①③
(C)②③ (D)①②③
(2)①已知x>3,求y=2x+的最小值;
②若0(1)解析:①的推导正确;②当a<0时不成立,故②错误;③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,(-),(-)均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.故选B.
(2)解:①因为x>3,所以2x-6>0,
所以y=2x+=(2x-6)++6
≥2+6=2×2+6=10,
当且仅当2x-6=,即x=4时取等号.
所以y=2x+的最小值是10.
②因为0所以8-2x>0,
所以y=x(8-2x)=·2x(8-2x)≤·()2=8,当且仅当2x=8-2x,即x=2时取等号,所以y=x(8-2x)的最大值为8.
变式训练2-1:若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　　　.(写出所有正确命题的编号)
①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2.
解析:对于命题①,ab≤()2=1,所以命题①正确;
对于命题②,当a=b=1时,不成立,所以命题②错误;
对于命题③,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,所以命题③正确;
对于命题④,当a=b=1时,不成立,所以命题④错误;
对于命题⑤,+==≥2,所以命题⑤正确.
答案:①③⑤
变式训练2-2:本例(2)中,若无条件x>3,求y=2x+的最值.
解:因为y=2x+=(2x-6)++6,
所以当x>3时,y≥10,当且仅当x=4时取等号.
当x<3时,
因为y=(2x-6)++6,
所以6-y=-(2x-6)-,
所以6-y≥2=4,
所以y≤2,当且仅当-(2x-6)=-,即x=2时取等号.
所以x>3时,y的最小值为10,x<3时,y的最大值为2.
变式训练2-3:若x>-2,求y=x+的取值范围.
解:因为y=x+=(x+2)+-1,
又因为x>-2,
所以x+2>0,
所以y≥2-1=2-1,
当且仅当(x+2)=,
即x=2-2时取等号,
所以y的取值范围是{y|y≥2-1}.
(1)基本不等式≤ (a≥0,b≥0)反映了两个非负实数的和与积之间的关系.
(2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:
①定理成立的条件是a,b都是非负实数.
②“当且仅当”的含义:a=b =;反之,= a=b.
(3)使用基本不等式求一个式子的最值时,若所给式子不满足直接应用基本不等式的条件,可以利用“拼凑项”的方法变形后应用基本不等式求解.
(4)拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证参数基本不等式的各量满足“一非负、二定、三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件.
两个正数的基本不等式
结论:如果a>0,b>0,那么有≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.
[典例探究] 如果a>0,b>0,证明:≤≤≤.
证明:(1)由a>0,b>0,得≥=,
所以≤,当且仅当a=b时等号成立.
(2)≤,当且仅当a=b时等号成立.
(3)-=-=
-.
因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),
所以-≥0,
所以≥(当且仅当a=b时,等号成立).
综上,≤≤≤得证.
[应用探究] 已知a,b∈R+,则下列各式中不一定成立的是(　　)
(A)a+b≥2
(B)+≥2
(C)≥2
(D)≥
解析:由≥得a+b≥2,所以A成立;
因为+≥2=2,所以B成立;
因为≥=2,所以C成立;
因为≤=,所以D不一定成立.故选D.
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
[例1] 已知a>b>c,则与的大小关系是　　　　　.
解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以=≥,当且仅当a-b=b-c时,等号成立.
答案:≤
[例2] 设a≥0,b≥0,a2+=1,求a的最大值.
解:a2+=1 a2+=,
a=·a·≤·
=×=.
当且仅当即时,
a的最大值为.
[例3] 用基本不等式证明不等式:
(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++;
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)·(-1)(-1)≥8.
证明:(1)因为a,b,c是正数,所以a+b≥2,
b+c≥2,c+a≥2.
又a,b,c是不全相等的正实数,上述三个等号不能同时取到,
所以2(a+b+c)>2+2+2,
即a+b+c>++.
(2)因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1,
所以(-1)(-1)(-1)=··=··
≥··=8,当且仅当a=b=c时,等号成立.
基础巩固
知识点一:重要不等式
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(　B　)
(A)a=±1 (B)a=1
(C)a=-1 (D)a=0
解析:由a2+1=2a,得a=1时,等号成立.故选B.
2.已知a>0,b>0,则下列不等式中错误的是(　D　)
(A)ab≤()2
(B)ab≤
(C)≥
(D)≤()2
解析:由基本不等式知A正确;由重要不等式知B正确;由≥ab>0,得≥,故C正确;由 ≥,得ab≤()2,所以≥()2,故D错误.故选D.
3.下列不等式恒成立的是(　B　)
(A)a2+b2≤2ab (B)a2+b2≥-2ab
(C)a+b≥2 (D)a+b≥-2
解析:A不正确;
B.a2+b2≥-2ab a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确;
C.当a<0,b<0时,不等式不成立,故C不正确;
D.当a=-3,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B.
知识点二:基本不等式
4.已知x>0,则x+的最小值为(　D　)
(A) (B)1 (C) (D)
解析:由x>0,可得x+≥2=,当且仅当x=,即x=时取等号.故选D.
5.若正实数x,y满足+=1,则xy的最小值是(　C　)
(A)48 (B)56 (C)64 (D)72
解析:由1=+≥2=8,即≥8,即xy≥64,当且仅
当即时,取得等号.故选C.
6.已知x>0,则的最小值是　　　 　.
解析:由x>0,则=x+-1≥2-1=3,当且仅当x=,即x=2时取等号.
答案:3
能力提升
7.若a>0,且a+b=0,则a-+1的最小值是(　D　)
(A)1+2 (B)-2
(C)2 (D)3
解析:因为a>0且a=-b,
所以-=,
所以a-+1=a++1≥2+1=3.
当且仅当a=1时取等号,故选D.
8.(多选题)下列命题中正确的是(　ABC　)
(A)当x≥1时,x+≥2
(B)当x<0时,x+≤-2
(C)当02
(D)当x>2时,+≥2
解析:A.由x≥1,得x+≥2=2,等号成立的条件是x= x=1,故A正确;
B.当x<0时,-x>0,x+=-[(-x)+]≤-2=-2,所以x<0时,
x+≤-2,等号成立的条件是x=-1,故B正确;
C正确;
D.当x>2时,+≥2=2,等号成立的条件是=,即x=2,但条件x>2,所以等号取不到,所以+>2,故D不正确.故选ABC.
9.设x>0,y>0,x+y=1,则+≤a恒成立的a的最小值是(　B　)
(A) (B) (C)2 (D)2
解析:由≥()2,
得+≤2=,
当且仅当x=y=时等号成立.
所以a≥.故选B.
10.已知a>0,b>0,a+2b=2,则ab的最大值是　　 　　.
解析:ab=a·2b≤()2=,
当且仅当a=2b=1时等号成立.
答案:
11.已知a,b为正实数,若ab=2,则2a+b的最小值为　　 　　;若ab=2a-b+5,则2a+b的最小值为　　　　.
解析:由题意知a=,则2a+b=+b≥2=4,当且仅当a=1,b=2时等号成立.
当ab=2a-b+5时,有b=2+,
所以2a+b=2(a+1)+≥2=2,当且仅当a=,
b=2+时等号成立.
答案:4　2
12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:a2+b2≥.
证明:因为a>0,b>0且a+b=1,所以≤=(当且仅当a=b=时取等号),即ab≤,-2ab≥-,所以1-2ab≥.
又(a+b)2=a2+2ab+b2=1,
所以a2+b2=1-2ab≥.
13.已知函数f(x)=x+(x>3).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若不等式f(x)≥t2-t+7恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)因为x>3,所以x-3>0,
所以f(x)=x+=(x-3)++3≥2+3=9,
当且仅当x-3=,
即(x-3)2=9时,等号成立.
又x>3,所以x=6,
所以当x=6时,函数f(x)的最小值是9.
(2)由(1)知f(x)的最小值是9,
所以不等式f(x)≥t2-t+7恒成立等价于9≥t2-t+7,即t2-t-2≤0,
解得-1≤t≤2.
即实数t的取值范围为[-1,2].
应用创新
14.若a,b均为正数,则++2的最小值为　　 　　.
解析:因为a>0,b>0,
所以+≥2,当且仅当a=b时取等号.
所以++2≥2+2≥4=4,
当且仅当ab=,即a=b=1时取等号.
答案:4
15.设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于点D.连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段　　 　　的长度是a,b的几何平均数,线段　　　 　的长度是a,b的调和平均数.
解析:在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得CD2=AC·CB,
故CD=,即CD的长度为a,b的几何平均数.
将OC=a-=,CD=,OD=代入OD·CE=OC·CD,
可得CE=.
故OE==,
所以ED=OD-OE=,
故DE的长度为a,b的调和平均数.
答案:CD　DE3.2.2　基本不等式的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 2.能够根据基本不等式求解条件最值问题. 3.掌握利用基本不等式求参数范围的方法. 1.通过基本不等式求函数最值的应用,提升数学运算素养. 2.借助基本不等式在实际问题中的应用,培养数学建模素养.
　基本不等式与最值
[问题] (1)某养殖场要用100m的篱笆围成一个矩形的鸡舍,怎样设计才能使鸡舍面积最大
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000m2的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最省呢 实例中两个问题的实质是什么 如何求解
提示:这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定,即长x与宽y的和一定,求xy的最大值,xy≤()2=252=625,即当鸡舍为正方形,边长为25 m时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定,求矩形长x与宽y之和的最小值,x+y≥2=2=200,当且仅当x=y=100,即当农场为正方形,边长为100 m时,所用篱笆最省.
知识点:基本不等式与最值
已知x,y都是正数,
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值.(简记:和定积最大)
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2.(简记:积定和最小)
[例1] 已知x>0,y>0且+=1,求x+2y的最小值.
解:因为x>0,y>0且+=1,
所以x+2y=(+)(x+2y)=10++≥10+2=18,
当且仅当
即时,等号成立,
故当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18.
变式训练1-1:已知x>0,y>0且x+y=1,则的最小值是(　　)
(A)+ (B) (C)5+2 (D)2
解析:因为x>0,y>0且x+y=1,
所以+=(+)(x+y)=5++≥5+2=5+2,当且仅当=且x+y=1,即y=3-,x=-2时取等号,≥=+,即最小值是+.
故选A.
变式训练1-2:本例中,若把“+=1”改成“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值.
解:因为x>0,y>0,x+2y=1,
所以+=(x+2y)(+)
=8+++2=10++≥10+2=18.
当且仅当=时取等号,
结合x+2y=1,
得x=,y=,
所以当x=,y=时,+取到最小值18.
变式训练1-3:将本例中的已知条件改为“+=1”,求x+2y的最小值.
解:x+2y=(x+1)+2y-1=[(x+1)+2y]·(+)-1=(8+++2)-1≥(10+2)-1=18-1=17,当且仅当=,即x+1=4y且+=1,也就是y=3,x=11时取得最小值17.
变式训练1-4:将本例中的已知条件改为“8y+x=2xy”,求x+2y的最小值.
解:因为8y+x=2xy,所以+=2,
所以+=2,
所以+=1,
所以x+2y=(x+2y)(+)=4+++1
≥5+2=9,
当且仅当x=4y且8y+x=2xy,即x=6,y=时取得最小值9.
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
　利用基本不等式解决实际问题
[例2] 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一个如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3 000 m2,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2 m,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S m2.
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域);
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少
解:(1)由已知xy=3 000,2a+6=y,
则y=(6S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)·=(x-5)(y-6)=3 030-6x-(6(2)S=3 030-6x-≤3 030-2=3 030-2×300=2 430,
当且仅当6x=,即x=50时,“=”成立,此时x=50,y=60,Smax=2 430.
即设计x=50 m,y=60 m时,塑胶运动场地占地面积最大,最大为2 430 m2.
用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设好变量;
(2)建立相应的关系式,把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题;
(3)在自变量范围内,求出最大值或最小值;
(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
利用基本不等式求含参数的恒成立问题
[典例] 设函数f(x)=x2-2x-3,若x∈(1,+∞)时不等式[4f(x)-m+16]·[f(x)+4]+4≥0恒成立,求实数m的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:基本不等式.
关键能力:逻辑推理能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:因为f(x)=x2-2x-3,
所以f(x)+4=(x-1)2.
又x∈(1,+∞),所以f(x)+4>0,
所以[4f(x)-m+16]·[f(x)+4]+4≥0等价于4[f(x)+4]+≥m,
即4[(x-1)2+]≥m.
因为4[(x-1)2+]≥
8=8,
当且仅当(x-1)2=,即x=2时取等号,
所以m≤8.
即实数m的取值范围是(-∞,8].
[素养演练] 设a>b>c,且+≥恒成立,求实数m的取值范围.
解:由a>b>c知a-b>0,b-c>0,a-c>0.
所以原不等式等价于+≥m.
要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.
因为+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立.
所以m≤4,即实数m的取值范围是(-∞,4].
含参数的不等式恒成立问题,若能分离参数,常分离参数后求解,一般地,若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)的最大值[其中f(x)是关于变量x的关系式],a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解,则a≥f(x)的最小值.a≤f(x)有解,则a≤f(x)的最大值.
[例1] 已知实数m,n,p∈(0,+∞),且m+n=mn,若+=2,则实数p的取值范围为(　　)
(A)(1,] (B)[1,]
(C)(,] (D)[,]
解析:由题意知+=1,
所以m+n=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,
当且仅当m=n=2时,等号成立,
所以∈(0,],=2-∈[,2),
所以p∈(,].故选C.
[例2] 已知0解析:已知0由4ab-4a-4b+3=0得4ab-4a-4b+4=1,
即(1-a)(1-b)=,
令x=1-a∈(0,1),y=1-b∈(0,1),4xy=1,
所以y=∈(0,1),所以x∈(,1),
故+=+=+
=+
=2++
=2++
=2+(+)[(4-4x)+(4x-1)]
=2+[6++]
≥4+=4+,
当且仅当=,即x=时,取等号.
答案:4+
基础巩固
知识点一:由基本不等式求最值
1.若正数a,b满足+=1,则a+b的最小值为(　C　)
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
解析:因为a>0,b>0,+=1,
所以a+b=(a+b)(+)=2+8++≥10+2=10+8=18,当且仅当a=6,b=12时,等号成立.故选C.
2.已知x+y=1,x,y∈R+,则(1+)(1+)的最小值是(　D　)
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解析:因为x+y=1,x>0,y>0,
所以xy≤,当且仅当x=y=时取等号.
所以(1+)(1+)==+1≥+1=9.故选D.
3.当x>2时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(　B　)
(A)(-∞,2] (B)(-∞,4]
(C)[0,+∞) (D)[2,4]
解析:因为x+≥a恒成立,
所以a小于或等于x+的最小值.
因为x>2,所以x-2>0,
所以x+=(x-2)++2≥4,当且仅当x=3时取最小值4.所以a≤4.故选B.
4.正实数a,b满足3a+2b=1,则+的最小值为　　 　　.
解析:因为3a+2b=1,
所以+=(3a+2b)(+)=3+++12≥27,
当且仅当a=,b=时取等号.
答案:27
知识点二:基本不等式的实际应用
5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2,侧面造价是10元/m2,则该容器的最低总造价是(　C　)
(A)80元 (B)120元
(C)160元 (D)240元
解析:设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,
则xy·1=4 xy=4.
T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)80+20×2=80+20×4=160
(当且仅当x=y时取等号).
故该容器的最低总造价是160元.故选C.
6.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上、下空白各宽2 dm,左、右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是　　 　　dm2.
解析:设阴影部分的长为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是
y dm2.
由题意,得y=(x+4)(+2)-72=8+2(x+)≥8+2×2=56.
当且仅当x=,即x=12时等号成立.
答案:56
能力提升
7.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　C　)
(A)8 (B)6 (C)4 (D)2
解析:(x+y)(+)=1+a·++a≥a+1+2 =a+2+1,
当且仅当a·=时,等号成立,
所以()2+2+1≥9,所以≥2,则a≥4.
所以正实数a的最小值为4.故选C.
8.若正数a,b满足a>1,b>1,且a+b=3,则+的最小值为(　C　)
(A)4 (B)6 (C)9 (D)16
解析:+=(+)(a-1+b-1)=5++≥5+2=9,
当且仅当b-1=2(a-1),即b=,a=时等号成立.
9.(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　ABCD　)
(A)+有最小值4
(B)有最大值
(C)+有最大值
(D)a2+b2有最小值
解析:正实数a,b满足a+b=1,即有a+b≥2,可得0即有+==≥4,当且仅当a=b=时,+取得最小值4,A正确;
由0B正确;
由+==≤=,可得当且仅当a=b=时,+取得最大值,C正确;
由a2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,则a2+b2≥,当且仅当a=b=时,a2+b2取得最小值,D正确.故选ABCD.
10.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为(　C　)
(A)1 (B) (C)2 (D)4
解析:由正数a,b满足+=1,则=1-=,所以b=,
由a>0,b=>0,可得a>3,
所以+=+=+=+≥2=2,
当且仅当=,即a=b=5时取等号.
因此,+的最小值为2.
11.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:m/s)、平均车长l(单位:m)的值有关,其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为　　　 　辆/时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加
　　　 　辆/时.
解析:(1)l=6.05,则F==,由基本不等式,得v+≥2=22,得F≤=1 900(辆/时),当且仅当v=,即v=11时等号成立.
(2)l=5,F==,
由基本不等式,得v+≥2=20,得F≤=2 000(辆/时),当且仅当v=,即v=10时等号成立,增加2 000-1 900=100(辆/时).
答案:(1)1 900　(2)100
12.已知实数x>0,y>0,且2xy=x+y+a(x2+y2)(a∈R).
(1)当a=0时,求x+4y的最小值,并指出取最小值时x,y的值;
(2)当a=时,求x+y的最小值,并指出取最小值时x,y的值.
解:(1)当a=0时,2xy=x+y,
所以+=2,
所以x+4y=(x+4y)(+)×=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当=且+=2,即 y=,x=时取等号,此时x+4y的最小值为.
(2)当a=时,2xy=x+y+(x2+y2)=x+y+(x+y)2-xy,
所以3xy=x+y+(x+y)2≤3,
解得x+y≥4,
当且仅当x=y及2xy=x+y+(x2+y2),
即 x=y=2时取等号,
故x+y的最小值为4.
13.泉州与福州两地相距约200 km,一辆货车从泉州匀速行驶到福州,规定速度不得超过a km/h,已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v km/h的平方成正比,比例系数为0.01;固定部分为64元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v km/h的函数,并求出x的取值范围;
(2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大速度行驶
解:(1)依题意一辆货车从泉州匀速行驶到福州所用时间为 h,
全程运输成本为y=64×+0.01v2×=+2v,
x的取值范围为(0,a].
(2)当a≥80时,y=+2v≥2=320,
当且仅当=2v,即v=80时,等号成立.
当0故当v=a km/h,全程运输成本最小.
综上,为了使全程运输成本最小,当a≥80时,货车应以v=80 km/h的速度行驶;当0应用创新
14.(1)若a,b是正常数,x,y∈(0,+∞),求证:+≥ (当且仅当ay=bx时等号成立);
(2)求函数f(x)=+(0(1)证明:由(+)(x+y)=a2+++b2≥a2+2+b2=(a+b)2,
所以+≥,当且仅当=,即ay=bx时等号成立.
(2)解:由(1)得f(x)=+≥=49,当且仅当2(1-2x)=5·2x,即x=时等号成立,所以f(x)的最小值是49,此时x=.§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.1　一元二次函数
4.2　一元二次不等式及其解法
核心知识目标 核心素养目标
1.会结合一元二次函数的图象和一元二次方程实根的情况,求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.能够利用分类讨论思想求解含参数的一元二次不等式. 1.通过一元二次函数、一元二次不等式的学习,培养直观想象和数学运算素养. 2.通过一元二次不等式的应用,培养逻辑推理素养.
　一元二次不等式
[问题1] 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉,若栅栏的长度是 24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则如何建立不等关系
提示:设这个矩形的一条边长为 x m,则另一条边长为(12-x)m.由题意,得(12-x)x>20.
知识点1:一元二次不等式
(1)一般地,形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
[思考] 不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗
提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式.
　一元二次不等式的解法
知识点2:一元二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠-} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,
x2=2.
画出一元二次函数y=2x2-3x-2的图象[如图(1)],结合图象得不等式2x2-3x-2>0的解集是{x|x<-,或x>2}.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
对应方程3x2-6x+2=0,因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以它有两个不相等的实数根,
解得x1=1-,x2=1+.
画出一元二次函数y=3x2-6x+2的图象[如图(2)],结合图象得不等式3x2-6x+2<0的解集是{x|1-所以不等式-3x2+6x-2>0的解集是{x|1-(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,
画出一元二次函数y=4x2-4x+1的图象[如图(3)],结合图象得不等式4x2-4x+1≤0的解集是{x|x=}.
(4)因为方程x2-2x+2=0的判别式Δ<0,
所以方程x2-2x+2=0无实数根.
画出一元二次函数y=x2-2x+2的图象[如图(4)],结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R.
变式训练1-1:解下列不等式:
(1)3x2+2x>2-3x;
(2)9x2-6x+1>0;
(3)-2x2+x+1<0.
解:(1)原不等式移项整理,得3x2+5x-2>0.
因为Δ=49>0,所以方程3x2+5x-2=0有两个不相等的实数根,即x1=-2,x2=.
画出函数y=3x2+5x-2的图象[如图(1)],由图象得不等式的解集为{x|x<-2,或x>}.
(2)因为Δ=0,所以方程9x2-6x+1=0有两个相等的实数根,即x1=x2=.
函数y=9x2-6x+1的图象是开口向上的抛物线[如图(2)],与x轴仅有一个交点(,0).
由图象可得不等式的解集为{x|x∈R,且x≠}.
(3)法一　因为Δ=9>0,所以方程 -2x2+x+1=0的解为x1=-,x2=1.
函数y=-2x2+x+1的图象是开口向下的抛物线[如图(3)],与x轴交于点(-,0)和(1,0).
由图象得不等式的解集是{x|x<-,或x>1}.
法二　不等式两边同乘-1,可得2x2-x-1>0.
方程2x2-x-1=0的解为x1=-,x2=1,函数y=2x2-x-1的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集为{x|x<-,或x>1}.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正.
(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图.
(5)根据图象写出不等式的解集.
　三个“二次”间的关系
[问题2] 对于一元二次函数y=ax2+bx+c,令y=0可以得到一元二次方程ax2+bx+c=0,令y>0可得到一元二次不等式ax2+bx+c>0,那么一元二次方程,一元二次函数,一元二次不等式之间有何联系
提示:一元二次方程的根是一元二次函数图象与x轴交点的横坐标,同时也是一元二次不等式解集的端点值.
[例2] 已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-解:因为不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-所以-,是方程ax2+bx+2=0的两实根.
由根与系数的关系得解得
所以2x2+bx+a<0可化为2x2-2x-12<0,
即x2-x-6<0,
所以(x-3)(x+2)<0,解得-2所以不等式2x2+bx+a<0的解集为{x|-2变式训练2-1:若不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2(A)11 (B)13 (C)-11 (D)-13
解析:不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2所以b-2c=-1-2×(-6)=11.故选A.
(1)一元二次不等式解集的端点是一元二次不等式对应的二次方程的根.
(2)给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.
①如果不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|de},则说明a>0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.
②如果不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|d0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=;若解集为{x|xe},则说明a<0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.
含参数的一元二次不等式的解法
[典例] 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:一元二次不等式的解法.
关键能力:逻辑推理能力,运算求解能力.
学科素养:逻辑推理,数学运算.
解:原不等式变形为(x-2a)(x+a)<0.
①若a>0,则-a②若a<0,则2a③若a=0,则原不等式即为x2<0,此时解集为.
[素养演练] 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(-3,2),则不等式cx2+bx+a>0的解集为(　　)
(A)(-2,3)
(B)(-∞,-2)∪(3,+∞)
(C)(-∞,-)∪(,+∞)
(D)(-,)
解析:由题意知-3和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
所以 可得b=a,c=-6a,
则不等式cx2+bx+a>0等价于-6ax2+ax+a>0,
即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故不等式cx2+bx+a>0的解集为(-∞,-)∪(,+∞).故选C.
解含参数的一元二次不等式时,应对系数中的参数进行讨论:
(1)讨论二次项系数的符号,即相应一元二次函数图象的开口方向.
(2)讨论判别式的符号,即相应一元二次函数图象与x轴交点的个数.
(3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小.
简记为“一a,二判(Δ),三大小(两根)”.
最后对系数中的参数进行完全分类,即将(-∞,+∞)分成若干个区间,根据相应一元二次函数在各个区间的值,写出一元二次不等式的解集.
[例题] 已知函数f(x)=x2-4ax,x∈R,a∈R.
(1)若f(x)(2)解关于x的不等式f(x)<5a2.
解:(1)依题意有x2-4ax-b<0的解集为(1,3),
故方程x2-4ax-b=0的两根为1和3,
故
(2)由f(x)<5a2,得x2-4ax-5a2<0,
又x2-4ax-5a2=0 x=-a或5a,
①当a>0时,有-a<5a,则x2-4ax-5a2<0时,-a②当a=0时,原不等式可化为x2<0,则x∈;
③当a<0时,有5a<-a,则x2-4ax-5a2<0时,5a综上所述,当a>0时,不等式的解集为(-a,5a);当a=0时,不等式的解集为;
当a<0时,不等式的解集为(5a,-a).
基础巩固
知识点一:一元二次不等式
1.下列不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中一定是一元二次不等式的有(　D　)
(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个
解析:由题知①②为一元二次不等式,④⑤一定不是,③⑥中的a不确定,所以不能确定是一元二次不等式.故选D.
知识点二:一元二次不等式的解法
2.不等式x(x-9)(A)(3,7)
(B)(-∞,3)∪(7,+∞)
(C)(-7,-3)
(D)(-∞,-7)∪(-3,+∞)
解析:原不等式可化为x2-10x+21<0,所以(x-3)(x-7)<0,解得33.已知c>1,则不等式x2-(c+)x+1>0的解集为(　C　)
(A){x|或x(C){x|x<或x>c} (D){x|c解析:不等式可变形为(x-c)(x-)>0,因为c>1,所以c>,所以不等式的解集为{x|x<或x>c}.故选C.
4.不等式-2x2-5x+3<0的解集是　　　　.
解析:-2x2-5x+3<0 2x2+5x-3>0 (2x-1)(x+3)>0,即x>或x<-3.
答案:(-∞,-3)∪(,+∞)
知识点三:三个“二次”间的关系
5.若不等式ax2+2x+c<0的解集是(-∞,-)∪(,+∞),则不等式cx2+2x+a≤0的解集是(　D　)
(A)[-,] (B)[-,]
(C)[-2,3] (D)[-3,2]
解析:由题意得解得
所以不等式cx2+2x+a≤0可化为x2+x-6≤0,
解得-3≤x≤2.故选D.
6.已知关于x的不等式x2+mx-6<0的解集是{x|-2n=　　　 　.
解析:由题知-2和n是方程x2+mx-6=0的两个根,
所以解得
答案:-1　3
能力提升
7.若关于x的不等式ax2-2ax+1<0的解集为,则实数a的取值范围是(　D　)
(A)(1,+∞) (B)[1,+∞)
(C)(0,1] (D)[0,1]
解析:当a=0时,1<0,此不等式无解;
当a≠0时,要使原不等式无解,应满足
解得0故选D.
8.关于x的不等式2ax2-4x(A)(,1] (B)(1,2)
(C)[1,2) (D)(-1,1)
解析:由题意得2ax2-(4+a)x+2=(2x-1)(ax-2)<0,
当a=0时,得x>,不符合题意;
当a<0,显然不符合题意;
当a>0时,由题意得1<≤2,解得1≤a<2.故选C.
9.不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,1),则不等式b(2x2-1)-a
(x+3)+c>0的解集为(　A　)
(A)(-,2)
(B)(-2,)
(C)(-∞,-)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-2)∪(,+∞)
解析:由题可得方程ax2+bx+c=0的两根为-2和1,且a<0,
所以解得b=a,c=-2a,
所以不等式b(2x2-1)-a(x+3)+c>0可化为a(2x2-1)-a(x+3)-2a>0,
即(2x2-1)-(x+3)-2<0,
整理得(2x+3)(x-2)<0,
解得-0的解集为(-,2).故选A.
10.关于x的不等式ax2-(2+a)x+2<0,当a=0时的解集是　 　　　,
当a<0时的解集是　　 　　.
解析:由条件知(ax-2)(x-1)<0,当a=0时,不等式为-2(x-1)<0,
解得x>1.
当a<0时,<0,不等式的解集为(-∞,)∪(1,+∞).
答案:(1,+∞)　(-∞,)∪(1,+∞)
11.解下列不等式.
(1)4x2-20x<25;
(2)x2+(1-a)x-a<0.
解:(1)令4x2-20x=25,解得x1=,x2=,
所以不等式4x2-20x<25的解集为{x|(2)不等式x2+(1-a)x-a<0即为(x-a)(x+1)<0,
当a>-1时,不等式的解集为{x|-1当a=-1时,不等式的解集为;
当a<-1时,不等式的解集为{x|a12.(1)当a=3时,求不等式x2-(a+)x+1<0的解集﹔
(2)若关于x的不等式x2-(a+)x+1<0有且仅有一个整数解,求正实数a的取值范围.
解:(1)当a=3时,不等式为x2-x+1<0,
即(x-3)(x-)<0,解得所以不等式的解集为{x|(2)原不等式可化为(x-a)(x-)<0,
①当a=,即a=1时,原不等式的解集为,不满足题意;
②当a>,即a>1时,x∈(,a),
此时0<<1,所以1③当a<,即0所以只需1<≤2,解得≤a<1.
综上所述,正实数a的取值范围是[,1)∪(1,2].
应用创新
13.已知M是关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集,且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集.
解:原不等式可化为(2x-a-1)(x+2a-3)<0,
由x=0适合不等式,得(a+1)(2a-3)>0,
所以a<-1或a>.
若a<-1,则-2a+3-=(-a+1)>5,
所以3-2a>,
此时不等式的解集是{x|若a>,由-2a+3-=(-a+1)<-,
所以3-2a<,
此时不等式的解集是{x|3-2a综上,当a<-1时,原不等式的解集为{x|当a>时,原不等式的解集为{x|3-2a核心知识目标 核心素养目标
1.理解一元二次不等式的解法,会解决简单的一元二次不等式的实际应用问题. 2.掌握一元二次不等式的求解过程,能够把简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解. 3.灵活运用三个“二次”的关系解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
　分式不等式的解法
[问题1] 由符号法则,我们知道>0 ab>0,那么>0与(x-3)(x+2)>0等价吗 将>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么意义
提示:等价;将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式,体现了等价转化的数学思想.
知识点1:分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0 (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二:(ax+b)(cx+d)>0
≥0 (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二:
>k (其中a,b,c,d,k为常数) 先移项转化为 >0,再求解
对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解.
[思考] 已知集合A={x|>0},则集合 RA与{x|≤0}相等吗
提示:不相等, RA={x|≤0,或x+b=0}.
[例1] 解下列不等式:
(1)≥0;(2)>4.
解:(1)不等式≥0等价于
解不等式组得-1≤x<3.
故原不等式的解集为{x|-1≤x<3}.
(2)不等式>4等价于-4>0.
即>0,整理得>0,
即(x-3)(x+1)>0,
解不等式得x<-1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x<-1,或x>3}.
变式训练1-1:已知≥0的解集是{x|-1≤x<5},则a的值为　　　.
解析:由于原不等式等价于
因此结合不等式解集知a=5.
答案:5
变式训练1-2:已知不等式≤0,求不等式的解集.
解:当a>-1时,不等式等价于
此时不等式解集为{x|-1≤x当a<-1时,不等式等价于
此时不等式解集为{x|a当a=-1时,不等式变为1≤0,其解集为.
变式训练1-3:解下列不等式:
(1)≥1;(2)>1.
解:(1)法一　原不等式等价于-1≥0,
即≥0.
该不等式等价于
所以不等式的解集为{x|x≤-3,或x>2}.
法二　注意到x-2≠0,因此原不等式等价于或
解得x>2或x≤-3.
故原不等式的解集为{x|x≤-3,或x>2}.
(2)原不等式等价于
即
故原不等式的解集为{x|0分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分合并,不等式右侧化为“0”.
(2)转化为同解的整式不等式.
(3)解整式不等式.
　一元二次不等式的实际应用
[问题2] 汽车在行驶过程中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要依据.
在一个限速为40 km/ h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,司机发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/ h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.如何判断甲、乙两车是否超速
提示:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1 200>0,
解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h,但根据题意刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,
即x2+10x-2 000>0,
解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.
知识点2:建立一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.
(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数的最值).
(4)联系实际问题.
[例2] 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
解:设这家工厂在一个星期内利用这条流水线生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000.
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.
画出一元二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时,这家工厂能够获得60 000元以上的收益.
变式训练2-1:某种商品原来定价为每件p元,每月将卖出n件.假若定价上涨x成(x成即,0解:依题意,涨价后的售货金额为npz=p(1+)·
n·(1-),按实际情况需满足z>1才合算,
所以np(1+)(1-)>np.
因为n>0,p>0,y=x,
所以(1+)(1-x)>1.
整理得x2-5x<0,解得0又因为0故x的取值范围是(0,5).
一元二次不等式恒成立问题
[典例] 已知y=x2+ax+3-a,若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0恒成立,求a的取值范围.
试题情境:课程学习情境.
必备知识:一元二次不等式的解法及一元二次函数的图象与性质.
关键能力:直观想象能力,运算求解能力.
学科素养:直观想象,数学运算.
解:若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0恒成立,则当-2≤x≤2时,函数y=x2+ax+3-a的最小值大于或等于0.函数y=x2+ax+3-a图象的对称轴是直线x=-.
(1)当-<-2,即a>4时,(-2)2+(-2)a+3-a=7-3a≥0,解得a≤,与a>4矛盾,不符合题意.
(2)当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,3-a-≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2.
(3)当->2,即a<-4时,22+2a+3-a=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4.
综上,a的取值范围为[-7,2].
[素养演练1] 本例条件不变,若y=x2+ax+3-a≥2恒成立,求a的取值范围.
解:若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥2恒成立等价于当-2≤x≤2时,函数y=x2+ax+3-a的最小值大于或等于2,
则
或
或
解得-5≤a≤-2+2,
所以a的取值范围为[-5,-2+2].
[素养演练2] 将本例中的条件“已知y=x2+ax+3-a,若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0恒成立”变为“不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R”,求a的取值范围.
解:法一　因为不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,
所以函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方,
所以Δ=4-4(a2-3)<0,
解得a>2或a<-2.
所以a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
法二　令y=x2+2x+a2-3,要使x2+2x+a2-3>0的解集为R,则a满足y最小值=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
所以a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
在给定区间上的一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
[例1] (1)若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈{x|m≤x≤m+1}都成立,则实数m的取值范围是　　　　;
(2)对任意-1≤m≤1,函数y=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
(1)解析:由题意,得函数y=x2+mx-1在x∈{x|m≤x≤m+1}上的最大值小于0,
又抛物线y=x2+mx-1开口向上,
所以只需
即
解得-答案:{m|-(2)解:y=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,
g(m)=(x-2)m+x2-4x+4可看作以m为自变量的一次函数.
由题意知在-1≤m≤1上,g(m)的值恒大于零,
所以
解得x<1或x>3.
故当x<1或x>3时,对任意的-1≤m≤1,函数y=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零.
故x的取值范围是{x|x<1或x>3}.
[例2] 关于x的不等式>的解集是{x|解:因为x2+x+1=(x+)2+>0,x2-x+1=(x-)2+>0,
所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1).
整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.①
由已知可得当x∈{x|(x-)(x-1)<0.
即2x2-3x+1<0,②
比较①②可知==.
故a=4,b=2.
[例3] 若不等式<0的解集为R,求实数m的取值范围.
解:由于x2-8x+20>0恒成立,故问题等价于mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R.
求实数m的取值范围,只需
即
解得m<-.
即实数m的取值范围为{m|m<-}.
基础巩固
知识点一:分式不等式
1.不等式≥-1的解集为(　B　)
(A)[,3)
(B)(-∞,]∪(3,+∞)
(C)[-,3)
(D)(-∞,-]∪(3,+∞)
解析:根据题意,≥-1 ≥0 (3x-2)(x-3)≥0且x-3≠0,
解得x≤或x>3.故选B.
2.不等式≥0的解集为(　B　)
(A)(1,2]∪[3,+∞)
(B)[-6,1)∪(1,+∞)
(C)[-3,1)∪[2,+∞)
(D)[-6,+∞)
解析:原不等式等价于
解得x≥-6且x≠1,
所以不等式的解集为[-6,1)∪(1,+∞).故选B.
知识点二:不等式的实际应用
3.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足(　A　)
(A)6≤x≤7 (B)5≤x≤7
(C)5≤x≤6 (D)4≤x≤6
解析:每本杂志的定价为x元,则提价后的销售量为(10-×0.1)
万本.
因为销售总收入不低于42万元,
所以(10-×0.1)x≥42,
即(x-6)(x-7)≤0,解得6≤x≤7.故选A.
4.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=500+30x,若要求每天获利不少于1 300元,则日销售量x的取值范围是(　B　)
(A)[20,30] (B)[20,45]
(C)[15,30] (D)[15,45]
解析:设该服装厂每天获得的利润为y元,
则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500(0根据题意知,-2x2+130x-500≥1 300,解得20≤x≤45.
所以当20≤x≤45时,每天获得的利润不少于1 300元,故选B.
知识点三:不等式恒成立问题
5.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则t的取值范围是　　　
解析:若函数f(x)=的定义域是一切实数,则tx2+tx+1≥0恒成立.
若t=0,则不等式等价于1≥0,满足条件;
若t≠0,则满足即
解得0答案:[0,4]
6.已知函数f(x)=x2-2ax+1,若对 x∈(0,2],恒有f(x)≥0,则实数a的取值范围是　　
解析:由题意得2a≤=x+在x∈(0,2]上恒成立.
又x+≥2=2,当且仅当x=1时,x+的最小值为2,
所以2a≤2,即a≤1.
答案:(-∞,1]
能力提升
7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(　C　)
(A)[12,30]
(B)[12,25]
(C)[10,30]
(D)[20,30]
解析:设矩形的另一边长为y m,则由三角形相似知,=,
所以y=40-x,0因为xy≥300,
所以x(40-x)≥300,
所以x2-40x+300≤0,
所以10≤x≤30,满足08.下列不等式中,解集相同的是(　C　)
(A)x2-2x<3与<
(B)x<5与x+<5+
(C)>0与x-3>0
(D)>0与x+1>0
解析:对于A,1∈{x|x2-2x<3},1 {x|<},所以解集不同;
对于B,x+<5+
解集为(-∞,1)∪(1,2)∪(2,5),所以解集不同;
对于C,>0的解集为(3,+∞),故两个解集相同;
对于D,>0的解集为(-1,3)∪(3,+∞),与x+1>0的解集不同.故选C.
9.不等式>1的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则不等式≥0的解集为(　C　)
(A)[-6,-] (B)[-1,1)
(C)[-6,-] (D)[-,1]
解析:不等式>1转化为[(a-1)x-b+1](x+b)>0,
其解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),
所以a>1,且方程(ax-x-b+1)(x+b)=0的两个根为x1=-1,x2=4,
则 或
解得或(舍去),
所以≥0 ≥0 解得-6≤x<-.故选C.
10.不等式≥m对任意实数x都成立,则m的取值范围是(　A　)
(A)(-∞,2]
(B)[,+∞)
(C)[2,]
(D)(-∞,2]∪[,+∞)
解析:不等式≥m化为(3-m)x2+(2-m)x+(2-m)≥0,
因此(3-m)x2+(2-m)x+(2-m)≥0对任意实数x都成立.
当m≥3时,不满足要求,舍去;
当3-m>0时,Δ=(2-m)2-4(3-m)(2-m)≤0,解得m≤2.故选A.
11.某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x(单位:m)的取值范围是　　 .
解析:花卉带的宽度为x m(0答案:{x|012.已知函数f(x)=ax2-ax+2.若不等式f(x)>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由题知ax2-ax+2>0在R上恒成立,
当a=0时,2>0恒成立,满足题意;
当a≠0时,则解得0综上,0≤a<8.
答案:[0,8)
13.若一元二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)-mx2+mx>0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(0)=2,所以c=2,
所以f(x)=ax2+bx+2.
因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以2ax+a+b=2x,
所以解得
所以f(x)=x2-x+2.
(2)f(x)-mx2+mx>0即(1-m)x2+(m-1)x+2>0对于x∈R恒成立,
当m=1时,2>0恒成立;
当m≠1时,则
解得-7综上,实数m的取值范围为(-7,1].
14.某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量为
8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投
入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价.
解:(1)设每件定价为t元,依题意得(8-×0.2)t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意知当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x成立,
等价于x>25时,a≥+x+有解,
由于+x≥2=10,
当且仅当=,即x=30时等号成立,
所以a≥10.2.
所以当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为
30元.
应用创新
15.已知函数f(x)=x2+ax+1.若不等式f(x)≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则实数a的最小值为　　;若f(x)=0的一个根比1大,另一个根比1小,则实数a的取值范围是　 .
解析:若f(x)=x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,
则-a≤x+对一切x∈(0,1]恒成立.
设g(x)=x+,x∈(0,1],
则g(x)=x+≥2(当且仅当x=1时等号成立),
所以-a≤2,即a≥-2,
所以a的最小值为-2;
若f(x)=0的一个根比1大,另一个根比1小,
则f(1)=2+a<0,即a<-2.
答案:-2　(-∞,-2)章末总结
题型一　集合及其数学思想
[例1] (1)已知全集U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,3},则 U(A∪B)=(　　)
(A){1,3,4} (B){3,4}
(C){3} (D){4}
(2)已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠,则实数m的取值范围是　　　　.
解析:(1)因为A∪B={1,2,3},
所以 U(A∪B)={4}.故选D.
(2)因为B={x|x<0},且A∩B≠,
所以方程x2-4mx+2m+6=0至少存在一个负实数根.
若方程x2-4mx+2m+6=0有实根,
则Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0,即2m2-m-3≥0,解得m≤-1或m≥.
若方程x2-4mx+2m+6=0无负实数根,
则解得m≥.
故方程x2-4mx+2m+6=0至少存在一个负实数根时,m≤-1.
所以当A∩B≠时,实数m的取值范围是{m|m≤-1}.
答案:(1)D　(2){m|m≤-1}
跟踪训练1-1:已知集合A={x|00},则A∩( RB)=(　　)
(A)(0,2] (B)(0,2)
(C)(0,4] (D)(0,4)
解析:由已知得B={x|x2-2x-8>0}={x|x<-2或x>4},所以 RB={x|-2≤x≤4},
A∩( RB)={x|0跟踪训练1-2:已知集合M={x|x2-2x-3≤0},N={x|2a-3≤x≤2a+2},若M N,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:M={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},
因为M N,所以
解得≤a≤1.
答案:[,1]
(1)交集思想
许多数学问题是求同时满足若干个条件p1,p2,…,pn的解,如果把满足各条件的对象表示成集合A1,A2,…,An,则Q=A1∩A2∩…∩An就是问题的解集.如列方程组或不等式组解应用题等,都是运用交集思想方法解题的具体体现.
(2)并集思想
有些数学问题需要分若干种情况讨论,若将问题分为n类,每类问题的解集为A1,A2,…,An,则Q=A1∪A2∪…∪An就是问题的解集.
(3)补集思想
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时,我们可以从其反面入手解决.这种“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A求A.
题型二　充分条件与必要条件
[例2] (1)已知p:x2-2x-3<0,q:x+2≥0,则p是q的(　　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(2)“ x>0,a≤x+”的充要条件是(　　)
(A)a>2 (B)a≥2
(C)a<2 (D)a≤2
(3)已知条件p:x>m,条件q:≥0.若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　.
解析:(1)由题意,得p:-1所以{x|-1则p能推出q,但q不能推出p,
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
(2)因为x>0,可得x+=x+2+-2≥2-2=2,
当且仅当x+2=,即x=0时等号成立.
因为x>0,所以x+>2,
所以a≤2.故选D.
(3)由≥0,得-1又p:x>m,且p是q的必要不充分条件,
所以m≤-1.
答案:(1)A　(2)D　(3)(-∞,-1]
跟踪训练2-1:已知a,b∈R,且c>0,则“a>b”是“<”的(　　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当a=1,b=-1时满足a>b,但不满足<,故由a>b推不出<.
当a=-1,b=1时满足<,但不满足a>b,故由<推不出a>b.
所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件.
故选D.
跟踪训练2-2:已知p: x∈(0,+∞),2x2-mx+3>0,q:m解析:由p: x∈(0,+∞),2x2+3>mx,则2x+>m.
又2x+≥2,当且仅当2x=,即x=时等号成立,
所以m<2.
因为p是q的充分不必要条件,所以a>2,
即实数a的取值范围为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
(1)充分条件、必要条件的判断方法
定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.
集合法:若A B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
(2)判断指定条件与结论之间关系的基本步骤
①确定条件是什么,结论是什么;
②尝试从条件推结论,从结论推条件;
③确定条件和结论是什么关系.
(3)利用充要条件可进行命题之间的等价转化.
题型三　利用基本不等式求最值
[例3] (1)若正实数x,y满足x+3y=xy,则3x+4y的最小值是(　　)
(A)12 (B)15 (C)25 (D)27
(2)已知正实数a,b满足+=1,则(a+1)(b+2)的最小值为　　　　.
(3)设x>-1,则函数y=的最小值为　　　　.
解析:(1)x+3y=xy变形得+=1,
因为x,y是正实数,
则3x+4y=(3x+4y)(+)=++13≥2+13=2×6+13=25,
当且仅当时,取最小值25.
故选C.
(2)因为+=1,则2a+b=ab,
所以(a+1)(b+2)=2a+b+ab+2=2(2a+b)+2=2(2a+b)(+)+2
=2(4++)+2≥2(4+2)+2=18,
当且仅当b=2a,即a=2,b=4时取等号.
(3)y==x+1++5,
又x>-1,所以x+1>0,
由基本不等式可得y≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时等号成立,
所以最小值为9.
答案:(1)C　(2)18　(3)9
跟踪训练3-1:(1)已知a>0,b>0,a+2b=1,则的最小值为　　　;
(2)已知a>0,b>0,且+=,则a+b的最小值为　　　　.
解析:(1)===++6≥2+6,
当且仅当=时取等号.
(2)a+b=a+2+b+2-4=6(a+2+b+2)(+)-4
=6×(2++)-4
≥6×(2+2)-4=20,
当且仅当=,即a=b=10时等号成立,
所以a+b的最小值为20.
答案:(1)2+6　(2)20
利用基本不等式求最值,要注意使用的范围和条件:“一非负、二定、三相等”,特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法,和对等号能否成立的验证.
题型四　全称量词命题与存在量词命题
[例4] (1)命题“ x∈(0,1),x2-x<0”的否定是(　　)
(A) x (0,1),x2-x≥0
(B) x (0,1),x2-x<0
(C) x∈(0,1),x2-x≥0
(D) x∈(0,1),x2-x≥0
(2)已知命题p: x∈(-1,3),x2-a-2≤0.若p为假命题,则a的取值范围为(　　)
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)
(C)(-∞,7) (D)(-∞,0)
解析:(1)命题的否定是 x∈(0,1),x2-x≥0.
故选D.
(2)因为p为假命题,所以﹁p: x∈(-1,3),x2-a-2>0为真命题.
故a跟踪训练4-1:(1)已知命题p: n∈N,2n>1 000,则﹁p为(　　)
(A) n∈N,2n≤1 000
(B) n∈N,2n>1 000
(C) n∈N,2n≤1 000
(D) n∈N,2n<1 000
(2)已知命题“ x∈R,x2-4x+a>0”的否定是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:(1)命题p: n∈N,2n>1 000的否定是 n∈N,2n≤1 000.故选A.
(2)由“ x∈R,x2-4x+a>0”的否定为假命题,
可知原命题必为真命题,
即不等式x2-4x+a>0对任意实数x恒成立.
设y=x2-4x+a,则其图象恒在x轴的上方,
所以Δ=16-4×a<0,
解得a>4,
即实数a的取值范围为(4,+∞).
答案:(1)A　(2)(4,+∞)
(1)不等式恒成立问题的求解方法
若y≥a恒成立,则a≤y最小值;若y≤a恒成立,则a≥y最大值.
(2)不等式有解问题的求解方法
若y≥a有解,则a≤y最大值;若y≤a有解,则a≥y最小值.
题型一　集合及其数学思想
1.(2020·全国Ⅱ卷T1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则 U(A∪B)=(　A　)
(A){-2,3} (B){-2,2,3}
(C){-2,-1,0,3} (D){-2,-1,0,2,3}
解析:由题意可得A∪B={-1,0,1,2},则 U(A∪B)={-2,3}.
故选A.
2.(2020·天津卷T1)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩( UB)=(　C　)
(A){-3,3}
(B){0,2}
(C){-1,1}
(D){-3,-2,-1,1,3}
解析: UB={-2,-1,1},则A∩( UB)={-1,1}.
故选C.
3.(2020·新高考Ⅰ卷T1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2(A){x|2(C){x|1≤x<4} (D){x|1解析:A∪B={x|1≤x≤3}∪{x|2故选C.
题型二　充分条件与必要条件
4.(2020·天津卷T2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的(　A　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由a2>a得a>1或a<0,
所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.
故选A.
5.(2019·浙江卷T5)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是 “ab≤4”的(　A　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:当a>0,b>0时,a+b≥2,则当a+b≤4时,有2≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.
故选A.
6.(2019·天津卷T3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(　B　)
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由x2-5x<0得0由|x-1|<1得0又0所以“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
故选B.
题型三　利用基本不等式求最值
7.(2020·天津卷T14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.
解析:由题得++=++
=+≥2=4,当且仅当a+b=4时取等号,
结合ab=1,解得a=2-,b=2+或a=2+,b=2-时,等号成立.
答案:4
8.(2020·江苏卷T12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
解析:因为5x2y2+y4=1,所以y≠0且x2=,
所以x2+y2=+y2=+≥2=,当且仅当=,即x2=,y2=时取等号.
所以x2+y2的最小值为.
答案:
9.(2019·天津卷T13)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　　　　.
解析:由x+2y=4,得x+2y=4≥2,得xy≤2,===2+≥2+=,
当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.
故所求的最小值为.
答案:
题型四　全称量词命题与存在量词命题
10.(2016·浙江卷T4)命题“ x∈R, n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(　D　)
(A) x∈R, n∈N*,使得n(B) x∈R, n∈N*,使得n(C) x∈R, n∈N*,使得n(D) x∈R, n∈N*,使得n解析: 的否定是 , 的否定是 ,n≥x2的否定是n第一章　检测试题
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|<0},集合B={x|4(A)(3,6) (B)[3,6)
(C)[4,5) (D)(4,5)
解析:A={x|<0}=(3,5),
又因为B=(4,6),所以A∩B=(4,5).故选D.
2.设全集U=R,集合A={x|1(A)(1,) (B)[,3)
(C)(1,+∞) (D)(-∞,)
解析:因为全集U=R,集合B={x|2x-3<0}={x|x<},
所以 UB={x|x≥}.
又因为A={x|1所以A∩( UB)={x|≤x<3}.故选B.
3.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中有且只有两个整数,则a的取值范围是(　C　)
(A)(-2,-1]∪[3,4) (B)[-2,-1]∪[3,4]
(C)[-2,-1)∪(3,4] (D)(-2,-1)∪(3,4)
解析:由题意得(x-1)(x-a)<0,
a=1时,不等式无解,
a<1时,不等式的解集为aa>1时,不等式的解集为1综上,a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4].故选C.
4.“a>b”是“a>|b|”的(　B　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当a=1,b=-3时,此时a>b,但是a>|b|不成立,所以不满足充
分性;
当a>|b|时,
若b≥0,则a>|b|=b成立,
若b<0,则a>|b|>b成立,
所以满足必要性.
综上,“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件.故选B.
5.命题“ x∈R,x2-x+1≥0”的否定是(　C　)
(A) x∈R,x2-x+1<0
(B) x∈R,x2-x+1≤0
(C) x∈R,x2-x+1<0
(D) x∈R,x2-x+1≤0
解析:命题“ x∈R,x2-x+1≥0”的否定是“ x∈R,x2-x+1<0”.
故选C.
6.下列命题为真命题的是(　B　)
(A)若a>b,则a2>b2
(B)若ac2>bc2,则a>b
(C)若a>b,则<
(D)若a>b,c>d,则a-c>b-d
解析:取a=1,b=-2,则a>b,但a2,故A,C错.
对于D,取a=1,b=-2,c=-2,d=-5,则a>b,c>d,
但a-c=3=b-d,故D错误.
B正确.故选B.
7.若正数m,n满足2m+n=1,则+的最小值为(　B　)
(A)1+ (B)+
(C)2+ (D)
解析:正数m,n满足2m+n=1,
则+=(2m+n)(+)=++≥+2=+,当且仅当n=m=-1时取等号.
所以+的最小值为+.故选B.
8.某单位为节约成本,进行了技术更新,可以把细颗粒物进行处理.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-100x+80 000,则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为(　C　)
(A)100元 (B)200元
(C)300元 (D)400元
解析:由题意得每吨细颗粒物的平均处理成本为==
x+-100,x∈[300,600],
所以=x+-100≥2-100=300,
当且仅当x=,即x=400时,等号成立.故选C.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.命题“ x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　ACD　)
(A)a>4 (B)a≤4
(C)a≥5 (D)a≥6
解析:由题 x∈[1,2],a≥x2恒成立,
得a≥4,
由选项可知ACD符合题意.B选项中为既不充分也不必要条件.
10.若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2),则下列选项正确的是(　ABD　)
(A)b<0且c>0
(B)a-b+c>0
(C)a+b+c>0
(D)不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2解析:由题知a<0,-1,2是方程ax2-bx+c=0的两个根,所以-1+2=
1=,-1×2=,所以b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以A正确;
ax2+bx+c>0,即ax2+ax-2a>0,x2+x-2<0,解得-2当x=1时,不等式a-b+c>0成立,B正确;
当x=-1时,a+b+c=0,C错误.
故选ABD.
11.若不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+x+a2-a<0的解集为C.已知p:“x∈A且x∈B”,q:“x∈C”,若q是p的充分不必要条件,则实数a的可能取值为(　ABCD　)
(A)-1 (B)0 (C)2 (D)3
解析:由已知A={x|x2-2x-3<0}={x|-1B={x|x2+x-6<0}={x|-3C={x|x2+x+a2-a<0},
则p:“x∈A且x∈B”,即为p:x∈A∩B=(-1,2).
若q是p的充分不必要条件,
则C (-1,2),
当a=-1时,C={x|x2+x+2<0}=,满足C (-1,2);
当a=0时,C={x|x2+x<0}={x|-1当a=2时,C={x|x2+x+2<0}=,满足C (-1,2);
当a=3时,C={x|x2+x+6<0}=,满足C (-1,2).
故选ABCD.
12.已知x,y是正数,且2x+y=1,下列叙述正确的是(　ABC　)
(A)xy的最大值为
(B)4x2+y2的最小值为
(C)+的最小值为4
(D)+的最小值为4
解析:xy=·2xy≤·=,当且仅当2x=y,即x=,y=时等号成立,故A正确;
4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy≤,则4x2+y2=1-4xy≥1-4×=,当且仅当2x=y,即x=,y=时等号成立,故B正确;
+=(+)(2x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当=,
即x=,y=时等号成立,故C正确;
+=(+)(2x+y)=++≥+2=,当且仅当=,即x=y=时等号成立,故D错误.
故选ABC.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.
13.已知不等式x2-x-a2+a+1≥0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为　　　 　.
解析:由题意知,Δ=1+4(a2-a-1)≤0,
解得-≤a≤.
答案:[-,]
14.若存在实数x∈[2,5],使不等式x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围是　　　 　.
解析:由题意存在x∈[2,5],使得不等式m>x2-2x+5成立.
当x∈[2,5]时,x2-2x+5=(x-1)2+4,其最小值为(2-1)2+4=5,
所以m>5.
答案:(5,+∞)
15.若不等式>1的解集为(1,2),则实数a的值是　　 　　.
解析:>1等价于-1>0,等价于>0,等价于(x-1)[(a-1)
x+1]>0.
因为不等式>1的解集为(1,2),
所以原不等式为(x-1)(x-)<0,
所以=2,解得a=.
答案:
16.如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,AD=3,已知AB=4,那么当BM=　　　时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小值为　　　.
解析:令BM=x,由题意可知△CDN∽△MBC,则=,即=,
所以DN=,
则矩形花坛AMPN的面积S=AM·AN=(4+x)(3+)=24+3x+≥24+2=48,
当且仅当3x=,即x=4时等号成立,
故当BM=4时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小值为48.
答案:4　48
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知集合A={x|>0},集合B={x|a-2≤x≤2a+1}.
(1)当a=3时,求A和( RA)∪B;
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解:(1)由题可知,当a=3时,B={x|1≤x≤7},
A={x|>0}={x|x<-3或x>4},
则 RA={x|-3≤x≤4},
所以( RA)∪B={x|-3≤x≤4}∪{x|1≤x≤7}={x|-3≤x≤7}.
(2)由题可知,x∈A是x∈B的必要不充分条件,则B A,
当B=时,a-2>2a+1,解得a<-3;
当B≠时,或
解得-3≤a<-2或a>6.
综上可得a<-2或a>6.
即实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(6,+∞).
18.(12分)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0(a∈R).
解:不等式ax2-(a+1)x+1>0等价于(ax-1)(x-1)>0.
当a<0时,不等式化为(x-)(x-1)<0,其解集为(,1).
当a=0时,不等式化为x-1<0,其解集为(-∞,1).
当a>0时,不等式化为(x-)(x-1)>0.
当<1,即a>1时,其解集为(-∞,)∪(1,+∞);
当=1,即a=1时,其解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
当>1,即019.(12分)已知正实数x,y满足2x+5y=20.
(1)求xy的最大值;
(2)若不等式+≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)20=2x+5y≥2,解得xy≤10,
当且仅当x=5,y=2时取等号,
所以xy的最大值为10.
(2)+=(+)(+)=++≥+2=,
当且仅当x=,y=时取等号,
所以m2+4m≤,解得-≤m≤.
故实数m的取值范围为[-,].
20.(12分)某工厂计划在厂区附近建一职工宿舍,由于该厂对产品的灭菌消毒方式为辐射消毒,故要对宿舍进行防辐射处理,防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关.若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p=(0≤x≤15),若距离为
10 km时,测算宿舍建造费用为20万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需10万元,铺设路面每千米成本为4万元.设f(x)为建造宿舍与修路费用之和.
(1)求f(x)的解析式;
(2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用最小,并求f(x)的最小值.
解:(1)由题意可知,距离为10 km时,测算宿舍建造费用为20万元,则20=,解得k=900,所以p=,则f(x)=+10+4x,0≤x≤15.
(2)因为f(x)=+10+4x=+(4x+5)+5≥2+5=65,当且仅当4x+5=,即x=时取等号,此时总费用最小.
所以宿舍应建在离工厂 km处,可使总费用最小,f(x)的最小值为65万元.
21.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)(1+)(1+)≥9.
证明:(1)因为a+b=1,a>0,b>0,
所以++=++
=2(+)=2(+)
=2(+)+4
≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),
所以++≥8.
(2)因为(1+)(1+)
=+++1,
由(1)知++≥8.
所以(1+)(1+)≥9.
22.(12分)如图所示,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,设AB=x cm,AP=y cm.
(1)建立变量y与x之间的函数关系式y=f(x),并求出x的取值范围;
(2)求△ADP的最大面积以及此时x的值.
解:(1)依题意有AD=10-x,
折叠之后, ∠APD=∠CPB′,∠D=∠B′,AD=B′C,
所以△ADP≌△CB′P,
则DP=B′P,AP=CP=y.
又AB=DC=x,所以DP=B′P=x-y,
在Rt△ADP中,有(10-x)2+(x-y)2=y2,
化简得y=x+-10,即f(x)=x+-10.
因为AB>AD,即x>10-x>0,解得5(2)依题意△ADP的面积S=×DP×AD=×(x-y)×(10-x)
=×(10-x)×(10-)
=×[150-(+10x)],
由基本不等式可得+10x≥2=100,当且仅当=10x,
即x=5时取等号,
于是S≤×(150-100)=75-50.
所以△ADP的最大面积为(75-50)cm2,此时x=5.

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