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第十四讲 同角三角函数基本关系与诱导公式
【考纲解读】
掌握同角三角函数的基本关系式，能够运用同角三角函数的基本关系式解答相关的数学问题；
掌握三角函数的诱导公式，能够运用三角函数诱导公式求任意角三角函数的值。
【知识精讲】
一、同角三角函数的基本关系式：
1平方关系：+=1（R）；
2商除关系：tan=（k+，kZ）。
二、诱导公式：
1、任意角的正弦，余弦，正切在各个象限的符号：
（1）任意角的正弦三角函数在第一，第二象限为正，第三，第四象限为负；
（2）任意角的余弦三角函数在第一，第四象限为正，第二，第三象限为负；
（3）任意角的正切三角函数在第一，第三象限为正，第二，第四象限为负。
2、正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的实际含义：
（1）“奇变偶不变”中的“奇”，是指中，n为奇数，“变”，是指诱导后三角函数的名称要改变；“偶”，是指中，n为偶数，“不变”，是指诱导后三角函数的名称不改变；
（2）“符号看象限”，是指三角函数诱导后所得三角函数的符号由诱导前原三角函数所在的象限的符号来确定。
【探导考点】
考点1同角三角函数的基本关系式及运用：热点①已知某一三角函数的值和角所在的象限，求该角其余三角函数的值；热点②已知某一三角函数的值，求该角其余三角函数的值；热点③ 运用同角三角函数的基本关系式，化简三角函数式；
考点2三角函数诱导公式及运用：热点①运用三角函数诱导公式，求三角函数式的值；热点②运用三角函数诱导公式，化简三角函数式；
考点3同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用：热点①已知角的取值范围，运用同角三角函数基本关系式和诱导公式，求三角函数式的值；热点②已知角的取值范围和某一三角函数式的值，求给定三角函数式的值；热点③ 已知某一三角函数的值，运用同角三角函数的基本关系式和诱导公式，求给定三角函数式的值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知sinA+cosA=-，A为第四象限角，则tanA等于（ ）
A B C - D -
2、已知sin.cos=，＜＜，则cos-sin的值为（ ）
A - B C - D
3、已知sin=，则sin-cos的值为（ ）
A - B - C D
4、若是三角形的内角，且sin+cos=，则三角形是（ ）
A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形
5、已知sin=，并且是第二象限的角。求下列三角函数的值：
（1）cos； （2）tan。
6、已知cos=-。求下列三角函数的值：
（1）sin； （2）tan。
7、已知tan=3，则①= ；②sin-3sincos+1= ；
8、化简（1+tan）（1-sin）= ；
9、化简，其中是第二象限的角。
10、已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos；
11、求证：；
『思考问题1』
（1）【典例1】是同角三角函数的基本关系式及应用的问题，解答这类问题需要理解和掌握同角三角函数常用的基本关系式；
（2）【典例1】中的5，6的关系是：①联系：是已知某角某三角函数的值，求该角其他三角函数的值；②区别：5中角所在的象限是确定的，6中角所在的象限是不确定的；
（3）在解答【典例1】中的6时，应该注意的问题是由已知三角函数的值，确定角可能所在的象限，再分别求解；
（4）【典例1】中的8，9是三角函数的化简问题，解答这类问题的基本方法是：运用同角三角函数的基本关系式进行变换使三角函数式成为简单的式子；
（5）【典例1】中的12，13是三角函数恒等式的证明问题，解答这类问题的基本方法是：①从恒等式的一边入手，通过变换证明与另一边相等；②对恒等式的两边同时进行变换，证明它们等于同一式子。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、已知sin=，并且是第一象限的角，求下列三角函数的值：
（1）cos； （2）tan。
2、已知cos=-，且为第三象限的角，
求下列三角函数的值：①sin， ②tan；
3、已知cos=。
求下列三角函数的值：①sin， ②tan；
4、已知tan=-。
求下列三角函数的值：①sin， ②cos；
5、已知tan=2，求的值；
6、化简下列三角函数式：
①； ②costan； ③化简；
④； ⑤（1+；
7证明下列三角函数恒等式：
①； ②；
③； ④；
⑤；
⑥若sin.cos＜0,sin.tan＜0，求证： =2tan。
8、已知x=cos，y=sin，x≠0,求证：
①； ②。
【典例2】解答下列问题：
1、与sin相等的是（ ）
A sin B -cos C cos D -sin
2、已知cos(-)=-，且是第四象限的角，则sin(-2+)等于（ ）
A - B C D
3、tan +tan 的值为（ ）
A 1 + B 1- C -1 - D -1 +
4、tan的值为（ ）
A - B C D -
5、已知A=+（kZ），则A的值构成的集合是（ ）
A {1，-1，2，-2} B {-1，1} C {-2，2} D {1，-1，0，2，-2}
6、已知f(x)= ，则f(-)= ；
7、求下列三角函数的值：
（1）cos(-) ； （2）cos ； (3)sin ； (4)cos ；
(5)sin(-) ； (6)sin(-) ； (7)tan(-) ； (8)tan ；
(9)sin(-) ； (10)sin(-)。
8、已知tan=2，求的值；
9、已知sin(3+ )= ，求的值；
10、化简下列各式：
（1）； （2）；
（3）+；
（4），kZ。
『思考问题2』
（1）【典例2】是诱导公式及应用的问题，解答这类问题需要理解诱导公式定义，掌握运用诱导公式的基本方法；利用诱导公式的目的是把任意角三角函数问题转化为熟悉的锐角三角函数问题，其主要包括：①求三角函数的值；②化简三角函数式；③明三角函数的恒等式；
（2）三角函数的诱导公式很多，要完全记住有一定困难，这里只需吃透“奇变偶不变，符号看象限”这句话就可以巧妙解答问题。
（3）运用诱导公式把任意角三角函数问题转化为熟悉的锐角三角函数问题的基本方法是：①确定诱导后三角函数的名称是否改变，基本法则是：“奇变偶不变”；②确定诱导后三角函数的符号，基本法则是“符号看象限”；
（4）三角函数的求值，化简是三角函数的基础，求值与化简常用的基本方法有：①弦切互化即运用基本关系式tan= ；②和积互换即运用基本关系式+=1；
（5）证明三角函数的恒等式常用方法是：①左右归一，即从恒等式的两边进行化简使它们都与第三个式子相等；②左右互推，即从恒等式的一边进行化简使它与另一边相等；③转化与化归综合运用，即先将恒等式变形，再进行证明。
〔练习2〕按要求解答下列各题：
1、cos（-）+cos(+)等于（ ）
A -1 B 1 C 0 D
2、已知tan(-)=，且∈（，），则sin（+）等于（ ）
A B - C D -
3、sin(+)cos(+)+sin(+)cos(-)= ；
4、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；
5、化简= ；
6、求下列三角函数的值：
（1）cos (2)sin (3)cos (4)sin(-)
(5)cos(-) (6)tan (-) （7）cos (8)sin(-)
(9)sin(-) (10)cos(-) (11)sin(-) (12)sin(-)
(13)cos(-) (14)sin(-) (15)cos(-) (16)cos(-)
(17)sin(-) (18)sin(-)
7、已知sin(--)=，求的值。
8、化简下列各三角函数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）1+； （6）
【典例3】解答下列问题：
1、已知为锐角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，则sin的值是（ ）
A B C D
2、已知-＜x＜0，sin(+x)-cosx=-。
（1）求sinx-cosx的值； （2）求的值。
3、已知sin+cos=，∈（0，）。
求：（1）sin-cos的值；
（2）tan的值；
（3）+的值。
4、已知sin2=，且∈（，），求cos- sin的值。
『思考问题3』
（1）【典例3】是同角三角函数基本关系式与诱导公式综合应用的问题，解答这类问题需要熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式；
（2）对于sin，cos的齐次式一般是采用弦化切的思路进行解答，即运用公式tan= ；
（3）运用同角三角函数基本关系式及诱导公式时应注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数的值时，应先根据角的象限或取值范围，判断三角函数的符号，再进行正确的取舍；
（4）已知a sinbcos=m（其中a、b、m为常数）求sin，cos，tan的值时，可按如下思路进行解答：①若a=1，b=1，运用关系式：= 2 sin
cos+，+=2（+）再通过解方程组得到结果；②把已知式a sinbcos=m与+=1联立方程组直接求解；③构造bsin-acos=x，两式平方求出x，再解方程组得到结果；④把已知式平方，逆用平方关系式，化为sin、cos的齐次式，然后“弦化切”求出结果。
〔练习3〕解答下列各题：
1、已知sin(+)=，∈（0，），则sin(+)等于（ ）
A B - C D -
2、已知＜＜，cos(+)=m，（-1＜m＜0），则sin(-)的值为 ；
3、已知sin+cos=，求的值；
4、已知sin+cos= ，求tan+ 的值；
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、角，满足sin（+）+cos（+）=2cos（++）sin,则（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A tan（+）=1 B tan（+）=-1 C tan（-）=1 D tan（-）=-1
2、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且cos=-，
若角的终边上有一点P（x，3），则x的值为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A -4 B 4 C -3 D 3
3、计算tan的值为 （成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
4、已知（，），若cos(-)=-，则sin(+)的值为（ ）（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研考试）
A - B C - D
5、已知（0，），且=。
（1）求tan的值；
（2）求cos-sin的值（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研考试）
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于同
角三角函数基本关系式与诱导公式相关的问题，归结起来主要包括：①同角三角函数基本关系的运用 关系式及运用； ②诱导公式的运用；③同角三角函数基本关系和诱导公式的综合运用等几
种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题属于哪一种类型； ②运用
解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习4〕解答下列各题：
1、已知tan=3，则的值是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A B 1 C -1 D -
2、cos的值是 （成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
3、已知A是锐角，lg（1+cosA）=m，lg=n，则lgsinA=（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A m+ B m-n C D
解答该类
3、已知ta 4、已知tan=3， 则的值是（ ）（2018—2019成都市高一上调研考试）
A B 1 C -1 D -
5、tan =（ ）（2019全国高考新课标I）
A -2- B -2+ C 2- D 2+
第十四讲 同角三角函数基本关系与诱导公式
【考纲解读】
1.掌握同角三角函数的基本关系式，能够运用同角三角函数的基本关系式解答相关的数学问题；
2.掌握三角函数的诱导公式，能够运用三角函数诱导公式求任意角三角函数的值。
【知识精讲】
一、同角三角函数的基本关系式：
1平方关系：+=1（R）；
2商除关系：tan=（k+，kZ）。
二、诱导公式：
1、任意角的正弦，余弦，正切在各个象限的符号：
（1）任意角的正弦三角函数在第一，第二象限为正，第三，第四象限为负；
（2）任意角的余弦三角函数在第一，第四象限为正，第二，第三象限为负；
（3）任意角的正切三角函数在第一，第三象限为正，第二，第四象限为负。
2、正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的实际含义：
（1）“奇变偶不变”中的“奇”，是指中，n为奇数，“变”，是指诱导后三角函数的名称要改变；“偶”，是指中，n为偶数，“不变”，是指诱导后三角函数的名称不改变；
（2）“符号看象限”，是指三角函数诱导后所得三角函数的符号由诱导前原三角函数所在的象限的符号来确定。
【探导考点】
考点1同角三角函数的基本关系式及运用：热点①已知某一三角函数的值和角所在的象限，求该角其余三角函数的值；热点②已知某一三角函数的值，求该角其余三角函数的值；热点③ 运用同角三角函数的基本关系式，化简三角函数式；
考点2三角函数诱导公式及运用：热点①运用三角函数诱导公式，求三角函数式的值；热点②运用三角函数诱导公式，化简三角函数式；
考点3同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用：热点①已知角的取值范围，运用同角三角函数基本关系式和诱导公式，求三角函数式的值；热点②已知角的取值范围和某一三角函数式的值，求给定三角函数式的值；热点③ 已知某一三角函数的值，运用同角三角函数的基本关系式和诱导公式，求给定三角函数式的值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知sinA+cosA=-，A为第四象限角，则tanA等于（ ）
A B C - D -
【解析】
【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②勾股定理及其运用；③一元二次方程的定义与基本解法；④同角三角函数基本关系即运用。
【解题思路】运用任意角三角函数的定义与性质，借助图像和勾股定理求出两直角边的值，根据任意角正切函数的定义通过运算就可得出结果。
【详细解答】如图，设0B=x， sinA+cosA=-， y
BC=x+7，在RtOBC中，OB+BC=OC， O B x
+=13，+7x-60=0，x=5， 13
BC=5+7=12，A为第四象限角， tanA=-， C
C正确，选C。
2、已知sin.cos=，＜＜，则cos-sin的值为（ ）
A - B C - D
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二倍角公式及运用；③完全平方公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系求出cos-sin的平方的值，根据＜＜，就可得出cos-sin的值。
【详细解答】 sin.cos=，= cos-2 sin.cos+ sin
=1-2=，＜＜， cos-sin>0， cos-sin=，B正确，选B。
3、已知sin=，则sin-cos的值为（ ）
A - B - C D
【解析】
【知识点】①平方差公式及运用；②同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用平方差公式分解因式，由同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】 sin-cos=（sin+ cos）（sin- cos）= sin- cos=2 sin- 1，sin=， sin-cos=2-1=-，B正确，选B。
4、若是三角形的内角，且sin+cos=，则三角形是（ ）
A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形
【解析】
【知识点】①两数和的完全平方公式及运用；②同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用两数和的完全平方公式，结合问题同角得到sin.cos=- ＜0，从而得出cos＜0，求出＜＜，得到三角形是钝角三角形就可得出选项。
【详细解答】 sin+cos=， sin.cos=- ＜0，是三角形的内角， cos＜0，＜＜，三角形是钝角三角形，A正确，选A。
5、已知sin=，并且是第二象限的角。求下列三角函数的值：
（1）cos； （2）tan。
解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】sin=，并且是第二象限的角，① cos=-=-；
②tan==-。
6、已知cos=-。求下列三角函数的值：
（1）sin； （2）tan。
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos=-<0，可能是第二或第三象限的角，当是第二象限的角时，①sin==；②tan==-；当是第三象限的角时，①sin=-=-；②tan==。
7、已知tan=3，则①= ；②sin-3sincos+1= ；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②十字相乘法及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果；②运用十字相乘法分解因式，根据同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】 tan=3，①===1；②sin-3sincos+1=2sin-3sincos+ cos=（2sin- cos）（sin- cos）= cos（2tan-1）（tan-1）= （23-1）（3-1）=1。
8、化简（1+tan）（1-sin）= ；
【解析】
【知识点】同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=（1+）. =.=1。
9、化简，其中是第二象限的角。
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②分式的定义与性质；③二次根式的定义与性质。
【解题思路】运用分式的定义与性质和同角三角函数的基本关系，结合二次根式的定义与性质通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】是第二象限的角，cos<0，原式=-
=-=-+===-2tan。
10、已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos；
【解析】
【知识点】同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件就可求出sin，cos关于tan的表示式。
【详细解答】 tan= ①，sin+=1②，联立①②解得：sin=
，cos= 。
11、求证：；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②平方差公式即运用；③证明三角函数恒等式的基本方法。
【解题思路】从等式的左边入手，分子，分母同乘以1+sinx，运用同角三角函数的基本关系就可得到右边，从而三角函数恒等式得以证明。
【详细解答】证明：左边====
=右边，。
13、求证：=。
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②平方差公式即运用；③证明三角函数恒等式的基本方法。
【解题思路】从等式的左边入手，将分子，分母同时分解因式，约分得到，分子，分母同除以cosx就可得到右边，从而三角函数恒等式得以证明。
【详细解答】证明：左边====右边，
=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是同角三角函数的基本关系式及应用的问题，解答这类问题需要理解和掌握同角三角函数常用的基本关系式；
（2）【典例1】中的5，6的关系是：①联系：是已知某角某三角函数的值，求该角其他三角函数的值；②区别：5中角所在的象限是确定的，6中角所在的象限是不确定的；
（3）在解答【典例1】中的6时，应该注意的问题是由已知三角函数的值，确定角可能所在的象限，再分别求解；
（4）【典例1】中的8，9是三角函数的化简问题，解答这类问题的基本方法是：运用同角三角函数的基本关系式进行变换使三角函数式成为简单的式子；
（5）【典例1】中的12，13是三角函数恒等式的证明问题，解答这类问题的基本方法是：①从恒等式的一边入手，通过变换证明与另一边相等；②对恒等式的两边同时进行变换，证明它们等于同一式子。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、已知sin=，并且是第一象限的角，求下列三角函数的值：
（1）cos； （2）tan。（答案：（1）；（2））
2、已知cos=-，且为第三象限的角，
求下列三角函数的值：（1）sin； （2）tan。（答案：（1）-；（2））
3、已知cos=。
求下列三角函数的值：（1）sin； （2）tan。（答案：当为第一象限的角时，（1）；（2）；当为第四象限的角时，（1）-；（2）-。）
4、已知tan=-。
求下列三角函数的值：（1）sin； （2）cos。（答案：当为第二象限的角时，（1）；（2）-；当为第四象限的角时，（1）-；（2）。）
5、已知tan=2，求的值；（答案：3）
6、化简下列三角函数式：
（1）； （2）costan； （3）化简；
（4）； （5）（1+； （答案：（1）；（2）sin；（3）cos；（4）1；（5）1。）
7证明下列三角函数恒等式：
①； ②；
③； ④；
⑤；
⑥若sin.cos＜0，sin.tan＜0，求证： =2tan。
（（1）提示：左边用平方差公式分解；（2）提示：左边前两项提取公因式sin；（3）提示：左边先切化弦，再分子提取公因式sin；（4）提示：左边用完全平方差公式展开；（5）提示：两边同时加上2sinxcosx，左边运用完全平方和公式；（6）根据条件确定是第二象限角，从而得到可能是第一象限或第三象限的角，左边运用分母有理化的方法进行化简。）
8、已知x=cos，y=sin，x≠0,求证：
①； ②。（提示：直接运用同角三角函数基本关系式）
【典例2】解答下列问题：
1、与sin相等的是（ ）
A sin B -cos C cos D -sin
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式即运用；②任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式和任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法把sin化为锐角三角函数就可得出选项。
【详细解答】 sin= sin（-）=- cos，B正确，选B。
2、已知cos(-)=-，且是第四象限的角，则sin(-2+)等于（ ）
A - B C D
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式即运用；②同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件求出cos的值，根据同角三角函数基本关系，结合问题条件求出sin的值，利用三角函数诱导公式得到sin(-2+)的值就可得出选项。
【详细解答】 cos(-)=-cos=-，cos=，是第四象限的角， sin
=- =- =- ，即sin(-2+)= sin=-，A正确，选A。
3、tan +tan 的值为（ ）
A 1 + B 1- C -1 - D -1 +
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式即运用；②任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式和任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法求出tan 的值，从而求出tan +tan 的值就可得出选项。
【详细解答】 tan = tan （- ）=- tan =-， tan +tan
=+1，B正确，选B。
4、tan的值为（ ）
A - B C D -
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式即运用；②任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式和任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法求出tan 的值就可得出选项。
【详细解答】 tan = tan （- ）=- tan =-，A正确，选A。
5、已知A=+（kZ），则A的值构成的集合是（ ）
A {1，-1，2，-2} B {-1，1} C {-2，2} D {1，-1，0，2，-2}
【解析】
【知识点】三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，对k为奇数（或偶数）分别通过运算求出A的值就可得出选项。
【详细解答】①当k为奇数时，原式=+=-1-1=-2；②当k为偶数时，原式=+ =1+1=2；综上所述，A={-2，2}， C正确，选C。
6、已知f(x)= ，则f(-)= ；
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式即运用；②化简三角函数的基本方法；③任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式和化简三角函数的基本方法，将f(x)的解析式化简，利用任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法就可求出f(-)的值。
【详细解答】 f(x)= =- x， f(-)=- (-)=- （-5-）=-=-1。
7、求下列三角函数的值：
（1）cos(-) ； （2）cos ； (3)sin ； (4)cos ；
(5)sin(-) ； (6)sin(-) ； (7)tan(-) ； (8)tan ；
(9)sin(-) ； (10)sin(-)。
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式即运用；②任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式和化简三角函数的基本方法，结合问题条件就可分别求出各小题三角函数的值。
【详细解答】（1）cos(-)=cos(-+)=-cos=-；（2）cos=cos(+)
=-cos=-；(3)sin = sin（2-）=- sin =- ；(4)cos= cos（-）
=- cos =-；(5)sin(-)=sin(-6+)= sin =；(6)sin(-) = - sin =-；
(7)tan(-)=tan(--)=-tan =- ；(8)tan =tan （2-）=- tan =- ；
(9)sin(-)=sin(--)=-sin=-；(10) sin(-)=sin(--)=sin =。
8、已知tan=2，求的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数基本关系和三角函数诱导公式通过运算就可求出结果。
【详细解答】 tan=2，====-2。
9、已知sin(3+ )= ，求的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数基本关系和三角函数诱导公式通过运算就可求出结果。
【详细解答】 sin(3+ )=- sin= ， sin=- ，
+=+===18。
10、化简下列各式：
（1）； （2）；
（3）+；
（4），kZ。
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②分式的定义与性质；③同角三角函数基本关系即运用。
【解题思路】运用诱导公式，分式的性质和同角三角函数基本关系通过运算就可以将各三角函数式化简。
【详细解答】（1）原式==1；（2）原式==-；（3）原式=+=+
===；（4）①当k为奇数时，原式
==-1；②当k为偶数时，原式= =-1；
=-1，kZ。
『思考问题2』
（1）【典例2】是诱导公式的应用问题，解答这类问题需要理解诱导公式定义，掌握运用诱导公式的基本方法；利用诱导公式的目的是把任意角三角函数问题转化为熟悉的锐角三角函数问题，其主要包括：①求三角函数的值；②化简三角函数式；③明三角函数的恒等式；
（2）三角函数的诱导公式很多，要完全记住有一定困难，这里只需吃透“奇变偶不变，符号看象限”这句话就可以巧妙解答问题。
（3）运用诱导公式把任意角三角函数问题转化为熟悉的锐角三角函数问题的基本方法是：①确定诱导后三角函数的名称是否改变，基本法则是：“奇变偶不变”；②确定诱导后三角函数的符号，基本法则是“符号看象限”；
（4）三角函数的求值，化简是三角函数的基础，求值与化简常用的基本方法有：①弦切互化即运用基本关系式tan= ；②和积互换即运用基本关系式+=1；
（5）证明三角函数的恒等式常用方法是：①左右归一，即从恒等式的两边进行化简使它们都与第三个式子相等；②左右互推，即从恒等式的一边进行化简使它与另一边相等；③转化与化归综合运用，即先将恒等式变形，再进行证明。
〔练习2〕按要求解答下列各题：
1、cos（-）+cos(+)等于（ ）（答案：B）
A -1 B 1 C 0 D
2、已知tan(-)=，且（，），则sin（+）等于（ ）（答案：B）
A B - C D -
3、sin(+)cos(+)+sin(+)cos(-)= ；（答案：-1）
4、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；（答案：-）
5、化简= ；（答案：1）
6、求下列三角函数的值：
（1）cos (2)sin (3)cos (4)sin(-)
(5)cos(-) (6)tan (-) （7）cos (8)sin(-)
(9)sin(-) (10)cos(-) (11)sin(-) (12)sin(-)
(13)cos(-) (14)sin(-) (15)cos(-) (16)cos(-)
(17)sin(-) (18)sin(-) （答案：（1）-；（2）-；（3）-；（4）-；（5）-；（6）；（7）-；（8）-；（9）-；（10）；（11）；（12）-；（13）-；（14）-；（15）；（16）；（17）；（18）。）
7、已知sin(--)=，求的值。（答案：-4）
8、化简下列各三角函数式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）1+； （6）（答案：
（1）-cos；（2）sin；（3）-；（4）-1；（5）-；（6）1。）
【典例3】解答下列问题：
1、已知为锐角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，则sin的值是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②方程组的定义与基本解法；③同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】运用诱导公式，结合问题条件得到关于tan，sin的方程组，求解方程组求出tan的值，利用同角三角函数基本关系求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，-2 tan
+3sin+5=0①，tan-6sin-1=0②，联立①②解得： tan=3，sin=， tan= =3③，+=1④，联立③④解得：sin= ，为锐角， sin= ，C正确，选C。
2、已知-＜x＜0，sin(+x)-cosx=-。
（1）求sinx-cosx的值； （2）求的值。
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②完全平方式的定义与性质；③同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】（1）运用诱导公式，结合问题条件得到sinx+cosx的值，根据完全平方式的性质就可求出sinx-cosx的值；（2）由（1）结合问题条件分别求出sinx，cosx的值，从而求出的值。
【详细解答】（1） sin(+x)-cosx=-， -sinx-cosx=-， sinx+cosx=①，即2sinxcosx=- ＜0，-＜x＜0， sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0， sinx-cosx
=- =- =- ②，（2）联立①②解得：sinx=- ，cosx = ，tanx= =- ，=
=-。
3、已知sin+cos=，∈（0，）。
求：（1）sin-cos的值；
（2）tan的值；
（3）+的值。
【解析】
【知识点】①完全平方式的定义与性质； ②同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】（1）运用诱导公式和完全平方式的性质，结合问题条件得到sincos的值，从而求出sin-cos的值；（2）由（1）结合问题条件分别求出sin，cos的值就可求出tan的值；（3）由（2）可求出+的值。
【详细解答】（1） sin+cos=①，2 sincos=- ＜0，∈（0，）， sin＞0，cos＜0，sin-cos＞0， sin-cos=
==②，（2）联立①②解得：sin=，cos =- ，tan= =- ；（3）由（2）得+=+=。
4、已知sin2=，且∈（，），求cos- sin的值。
【解析】
【知识点】①完全平方式的定义与性质； ②三角函数的定义与性质；③二倍角公式即运用。
【解题思路】运用二倍角公式，三角函数和完全平方式的性质，结合问题条件就可求出sin-cos的值。
【详细解答】∈（，）， cos- sin＜0， sin2=2 sincos=， cos- sin=-=-=-。
『思考问题3』
（1）【典例3】是同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合问题，解答这类问题需要熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式；
（2）对于sin，cos的齐次式一般是采用弦化切的思路进行解答，即运用公式tan= ；
（3）运用同角三角函数基本关系式及诱导公式时应注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数的值时，应先根据角的象限或取值范围，判断三角函数的符号，再进行正确的取舍；
（4）已知a sinbcos=m（其中a、b、m为常数）求sin，cos，tan的值时，可按如下思路进行解答：①若a=1，b=1，运用关系式：= 2 sin
cos+，+=2（+）再通过解方程组得到结果；②把已知式a sinbcos=m与+=1联立方程组直接求解；③构造bsin-acos=x，两式平方求出x，再解方程组得到结果；④把已知式平方，逆用平方关系式，化为sin、cos的齐次式，然后“弦化切”求出结果。
〔练习3〕解答下列各题：
1、已知sin(+)=，∈（0，），则sin(+)等于（ ）（答案：D）
A B - C D -
2、已知＜＜，cos(+)=m，（-1＜m＜0），则sin(-)的值为 ；（答案：sin(-)的值为）
3、已知sin+cos=，求的值；（答案：的值为16）
4、已知sin+cos= ，求tan+ 的值；（答案：tan+ 的值为2）
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、角，满足sin（+）+cos（+）=2cos（++）sin,则（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A tan（+）=1 B tan（+）=-1 C tan（-）=1 D tan（-）=-1
2、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且cos=-，
若角的终边上有一点P（x，3），则x的值为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A -4 B 4 C -3 D 3
【解析】
【考点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法；③任意角三角函数在各个象限的符号及运用。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质和求任意角三角函数值的基本方法，运用确定任意
角三角函数在各个象限符号的基本方法求出x的值就可得出选项。
【详细解答】 cos=-<0，角可能是二象限或三象限的角，角的终边上有一点P（x，3），角可能是二象限的角，即x=-4，A正确，选A。
3、计算tan的值为 （成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①任意角三角函数定义与性质；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用三角函数诱导公式就可求出tan的值。
【详细解答】 tan=tan（- ）=-tan=- ， tan=-。
4、已知（，），若cos(-)=-，则sin(+)的值为（ ）（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研考试）
A - B C - D
【解析】
【考点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数问题中凑角的基本方法。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系，结合问题条件求出sin(-)的值，运用三角函数诱导公式和三角函数问题中凑角的基本方法求出sin(+)的值就可得出选项。
【详细解答】（，），-(-，-)， cos(-)=-， sin(-)
=- =-，(+)+(-)=，(+)=-(-)，即sin(+)
=sin[-(-)]=sin(-)=-，C正确，选C。
5、（本小题满分10分）
已知（0，），且=。
（1）求tan的值；
（2）求cos-sin的值（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①同角三角函数基本关系及运用；②锐角三角函数定义与性质。
【解题思路】（1）根据同角三角函数基本关系得到关于tan的方程，求解方程就可求出tan的值；（2）根据同角三角函数基本关系由（1）分别求出cos，sin的值就可求出cos-sin的值。
【详细解答】（1）（0，），==。3（tan-1）= tan+1，
tan=2，（2）由（1）得tan= =2， sin =4 cos ，（0，
），sin + cos =5 cos =1， cos= ，sin= = ，
cos-sin=-=-。
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于同
角三角函数基本关系式与诱导公式相关的问题，归结起来主要包括：①同角三角函数基本关系的运用 关系式及运用； ②诱导公式的运用；③同角三角函数基本关系和诱导公式的综合运用等几
种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题属于哪一种类型； ②运用
解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习4〕解答下列各题：
1、已知tan=3，则的值是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：C）
A B 1 C -1 D -
2、cos的值是 （成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：-）
3、已知A是锐角，lg（1+cosA）=m，lg=n，则lgsinA=（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）（答案：C）
A m+ B m-n C D
解答该类
3、已知ta 4、已知tan=3， 则的值是（ ）（2018—2019成都市高一上调研考试）
A B 1 C -1 D - （答案：C）
5、tan =（ ）（2019全国高考新课标I）（答案：D）
A -2- B -2+ C 2- D 2+
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