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第十五讲 三角函数的图像和性质
【考纲解读】
理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的图像，能够熟练地运用“五点作图法”作出正弦三角函数和余弦三角函数的大致图像；
了解正弦型三角函数和余弦型三角函数的图像，理解函数y=Asin（x+）(或函数y=Acos（x+）)解析式中A，，的物理意义，能够熟练地运用“五点作图法”作出正弦型三角函数和余弦型三角函数的大致图像；
了解函数奇偶性，周期函数和最小正周期的定义，能够根据函数y=Asin（x+）(或函数y=Acos（x+）)解析式求出正弦型三角函数（或余弦型三角函数）的最小正周期；
理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的性质，能够运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的性质解答相关的数学问题；
了解正弦型三角函数与正弦三角函数（或余弦型三角函数与余弦三角函数）之间的关系，掌握处理正弦型三角函数（或余弦型三角函数）的基本方法。
【知识精讲】
一、基本三角函数的图像：
1、正弦三角函数y=sinx的图像：
（1）正弦三角函数作图的基本方法是：“五点作图法”；
（2）“五点作图法”在作正弦三角函数图像的一个周期（即（0，2））上的五点是：①（0，0）；② （，1）；③ （，0）；④ （，-1）；⑤（2，0）。
2、余弦三角函数y=cosx的图像：
（1）余弦三角函数作图的基本方法是：“五点作图法”；
（2）“五点作图法”在作余弦三角函数图像的一个周期（即（0，2））上的五点是：①（0，1）；② （，0）；③ （，-1）；④ （，0）；⑤（2，1）。
3、正切三角函数y=tanx的图像：
（1）正切三角函数作图的基本方法是：仍可采用“五点作图法”；
（2）“五点作图法”在作正切三角函数图像的一个周期（即（-，））上的五点是：①（-，-）；② （-，-1）；③ （0，0）；④ （，1）；⑤（，）。
二、正弦型三角函数与余弦型三角函数的图像：
1、正弦型三角函数y= Asin(x+)的图像：
（1）正弦型三角函数y= Asin(x+)作图的基本方法有：①“五点作图法”；② “图像变换法”；
（2）“五点作图法”在作正弦型三角函数y= Asin(x+)图像的一个周期上的五点是：①（-，0）；② （，A）；③（，0）； ④（，-A）； ⑤（，0）；
（3）正弦型三角函数图像变换作图是：以正弦三角函数y=sinx的图像为基础，再通过图像平移和图像伸缩的基本变换来完成，其基本方法是：①运用“五点作图法”作出正弦三角函数y=sinx在（0，2）上的图像；②把①中的图像沿x轴向左（或右）平移个单位长度； ③把②中的图像沿x轴伸长（或压缩）倍；④ 把③中的图像沿y轴伸长（或压缩）A倍。
2、余弦型函数y= Acos(x+)的图像：
（1）余弦型三角函数y= Acos(x+)作图的基本方法有：①“五点作图法”；② “图像变换法”；
（2）“五点作图法”在作余弦型三角函数y= Acos(x+)图像的一个周期上的五点是：①（-，A）；② （，0）；③（，-A）； ④（，0）； ⑤（，A）；
（3）余弦型三角函数图像变换作图是：以余弦三角函数y=cosx的图像为基础，再通过图像平移和图像伸缩的基本变换来完成，其基本方法是：①运用“五点作图法”作出余弦三角函数y=cosx在（0，2）上的图像；②把①中的图像沿x轴向左（或右）平移个单位长度； ③把②中的图像沿x轴伸长（或压缩）倍；④ 把③中的图像沿y轴伸长（或压缩）A倍。
三、基本三角函数的性质：
三角函数 正弦三角函数y=sinx 余弦三角函数y=cosx 正切三角函数y=tanx
定义域 R R xk+，kZ
值 域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2为最小正周期 2为最小正周期 为最小正周期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在[2k-，2k+] 在[2k，2k+]上 在[k-，k+]
上单调递增，在[2k 单调递减，在[2k+， 上单调递增。
+ ，2k+] 上 2k+]上单调递增。
单调递减。
对称性 既是中心对称，又是 既是中心对称，又是 是中心对称图形，对
轴对称图形；对称中心 轴对称图形，对称中心 称中心为（k，0）。
是（k，0），对称轴 是（k+，0），对
是x=k+。 称轴是x=k。
当x=2k+时，函数 当x=2k时，函数取得 正切三角函数无最值。
最值 取得最大值为1；当x= 最大值为1；当x=2k
2k+时，函数取得 +时，函数取得最小
最小值为-1。 值为-1。
（二）正弦型三角函数与余弦型三角函数的性质：
函 数 定义域 值域 周期性 单调性 对称性 最值
正弦型三角函数 最小正周期 把(x+)视为整体未知数，分别根据正弦
y= Asin(x+) R [-A，A] 为。 三角函数（或余弦三角函数）的相应性质
余弦型函数 最小正周期 就可得出正弦型三角函数（或余弦型三角
y= Acos(x+) R [-A，A] 为。 函数）的相关性质。
理解三角函数性质时应该注意的问题：
（1）正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的单调区间，对称中心，对称轴，取得最值时自变量x的取值集合的表示式中都含有k，这里的kZ；
（2）正切函数y=tanx的单调区间，对称中心的表示式中也含有k，这里的kZ；
（3）对正弦型三角函数y= Asin(x+)，只需把(x+)看成整体未知数，就可以运用正弦三角函数y=sinx的性质进行理解，同时在处理正弦型三角函数y= Asin(x+)的相关问题时，也可以运用正弦三角函数y=sinx的相关性质来处理；
（4）对余弦型三角函数y= Acos(x+)，只需把(x+)看成整体未知数，就可以运用余弦三角函数y=cosx的性质进行理解，同时在处理余弦型三角函数y= Acos(x+)的相关问题时，也可以运用余弦三角函数y=cosx的相关性质来处理。
【探导考点】
考点1三角函数的定义域和值域：热点①已知三角函数的解析式，求三角函数的值域；热点②已知三角函数的解析式和自变量x的取值范围，求该三角函数的值域；热点③ 已知三角函数的解析式，自变量x的取值范围和该三角函数的值域，求三角函数式中参数的值（或取值范围）；
考点2三角函数的单调性：热点①已知三角函数的解析式，求三角函数的单调区间；热点②已知三角函数在某区间上的单调性，求三角函数式中参数的值（或取值范围）；
考点3三角函数的周期性和对称性：热点①已知三角函数的解析式，求三角函数的最小正周期（或已知三角函数最小正周期的取值范围，求三角函数式中参数的值（或取值范围））；热点②已知三角函数的解析式和对称点横坐标的取值范围，求对称点的横坐标（或已知三角函数对称点的坐标，求三角函数式中参数的值（或取值范围））；热点③ 已知三角函数对称轴的方程，求该三角函数的最小正周期；
考点4正弦型三角函数的图像及运用：热点①正弦型三角函数的“五点法”作图的基本方法；热点②正弦型三角函数的变换（平移或伸缩）；热点③ 已知正弦型三角函数的部分图像，求该正弦型三角函数的解析式；
考点5三角函数图像和性质的综合应用：热点①正弦型三角函数模型及运用；热点②已知三角函数的零点，求三角函数式中参数的值（或取值范围）；热点③ 三角函数图像和性质的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=2sin(x+)(＞0,- ＜＜）的部分图像如图所示，则、的
值分别是（ ）
A 2，- B 2， - C 4 ， - D 4，
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的定义与性质；②最小正周期的定义与性质；③根据正弦型三角函数的部分图像求，值的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数图像和最小正周期的性质，结合函数图像求出的值，由点（，2）在函数f(x)的图像上得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得出选项。
【详细解答】由函数f(x)的部分图像知，=-=，T=，==2，
点（，2）在函数f(x)的图像上，2=2sin(2+)，=2k-（kZ），
- ＜＜，=-，A正确，选A。
已知函数y=Asin(x+)(A＞0, ＞0,| |≤)的一段图像如图所示，求函数f(x)的解析式。
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的定义与性质；②最小正周期的定义与性质；③根据正弦型三角函数的部分图像求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数图像和最小正周期的性质，结合函数图像求出的值，由点（，2）在函数f(x)的图像上得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得出函数f(x)的解析式。
【详细解答】由函数f(x)的部分图像知，A=2，=-（-）==，T=，==2，点（-，2）在函数f(x)的图像上，2=2sin［2（- ）+］=2k+（kZ），| |≤，=，即函数f(x)= 2sin（2x+）。
3 、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解
析式；（改编）并画出它的图象；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求
的图象离原点最近的对称中心。
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的基本作法；②三角函数图像变换的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】（I）运用正弦型三角函数图像的“五点”作图法得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而确定表中空白处的值；（II）运用三角函数图像变换的性质求出函数的解析式，利用处理正弦型三角函数的基本方法就可求出的图象离原点最近的对称中心。
【详细解答】由表可得：+=①，+=②，联立①②解得：=2，=-，函数=5sin（2x-）, 当2x-=0时，x=，当2x-=时，x=，=0，
当5sin（2x-）2x-=2时，x= ，作出函数=5sin（2x-）如图所示；（II）
函数g(x)=f(x+)=5sin［2(x+)-］=5sin(2x+)，由2x+=k得x=-（kZ），
当k=0时，x=-，即函数g(x)的图像离原点最近的对称中心是（-，0）。
4、已知函数f(x)=Asin(x+)(A＞0，＞0,- ＜＜）的部分图像如图所示。
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）试写出f(x)对称轴方程。
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的定义与性质；②函数解析式与函数图像上点坐标之间的关系；③根据正弦型三角函数的部分图像求函数解析式的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦型函数图像和函数解析式与函数图像上点坐标之间的关系，结合函数图像得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而得出函数f(x)的解析式；（2）根据处理正弦型函数的基本方法得到关于x的方程，求解方程求出x关于k的表达式，从而得出函数f(x)对称轴的方程。
【详细解答】（1）由图知A=2，点（0，1）和（，0）在函数f(x)的图像上，1=2 sin①，0=2sin（+）②，联立①②解得：=，=，函数f(x)的表达式为：f(x)= 2sin（x+）；（2）由x+=k+得：x= k+ （kZ），
函数f(x)的对称轴方程是x= k+ （kZ）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是三角函数的图像及运用的问题，解答这类问题应该掌握基本三角函数（正弦三角函数，余弦三角函数，正切三角函数）图像的作法，重点掌握“五点作图法”；同时还应注意正弦型三角函数与正弦三角函数，余弦型三角函数与余弦三角函数之间的关系；
（2）对于正弦型三角函数（或余弦型三角函数），其作图方法有两种：①“五点作图法”；②图像变换法；
（3）【典例1】中的1，2是已知三角函数的部分图像，求三角函数解析式中某些待定系数（或求三角函数解析式）的问题，解答这类问题应从图像入手确定三角函数的最大值，最小值和三角函数的周期，然后再运用相关的公式求相应的系数，求的一般方法是在图像上找一个特殊点代入解析式并结合相关三角函数的性质进行解答；
（4）【典例1】中的3是一求三角函数的解析式，作三角函数图像的问题，解答时可在两种作图的方法中选择一种，具体选择哪一种应该根据问题的条件来确定。
〔练习1〕解答下列问题：
1、如图为函数f(x)= sin（x+）（＞0）的部分图像，B，C分别为图像的最高点和最底点，若.=||，则=（ ）
A B C D
2、已知函数f(x)= Asin（x+）（x R，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如图所示，若方程f(x)=m在区间［0，］上有两个不等的实数解，，则+的值为（）
A B C D 或
3、函数y=Asin(x+）（A＞0，＞0）在同一周期内的图像如图所示，则函数的解析式为（ ）
A y=2sin(2x+) B y=2sin(2x+) C y=2sin(-) D y=2sin(2x-)
4、若函数f(x)=2sin(x+）（其中x R，＞0，||＜）的最小正周期是4，且f(0)= ，则（ ）
A =，= B =，= C =2，= D =2，=
【典例2】解答下列问题：
1、把函数y=sinx（x R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A y=sin(2x+)，x R B y=sin(+) ，x R
C y=sin(+) ，x R D y=sin(2x+)，x R
【解析】
【知识点】①三角函数图像变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的基本方法；③三角函数伸缩变换的基本方法。
【解题思路】运用三角函数图像平移和伸缩变换的基本方法，结合问题条件求出得到的图像所表示的函数的解析式就可得出选项。
【详细解答】把函数y=sinx（x R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的解析式为：=sin（x+）（x R），把函数=sin（x+）图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的解析式为：=sin（2x+）（x R），A正确，选A。
2、为了得到函数y=sin(2x-)的图像，可将函数y=cos2x的图像（ ）
A 向右平移个长度单位 B向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位 D向左平移个长度单位
【解析】
【知识点】①三角函数图像变换的定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数平移变换的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，把函数y=cos2x化为y=sin(+2x)，根据三角函数平移变换的基本方法求出平移的单位长度和方向就可得出选项。
【详细解答】y=cos2x=sin(+2x)，函数=sin［2（x+）+］= sin（2x+2+）
= sin(2x-)，2x+2+=2 k+2x-，= k-（kZ），- ＜＜，
= -，B正确，选B。
3、将函数y=sin(2x+)的图像经过怎样的平移后所得图像关于点（-，0）中心对称（ ）
A 向右平移个长度单位 B向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位 D向左平移个长度单位
【解析】
【知识点】①三角函数图像变换的定义与性质；②三角函数平移变换的基本方法；③正弦型三角函数的图像与性质。
【解题思路】运用三角函数图像变换的性质和平移变换的基本方法得到图像变换后三角函数的解析式，根据正弦型三角函数的图像和性质，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】=sin［2（x+）+］= sin（2x+2+），函数的图像关于点（-，0）中心对称，2（-）+2+= k，=-（kZ），- ＜＜，
= -，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是三角函数图像变换的问题，解答这类问题应该掌握三角函数图像变换的基本类型：①平移变换；② 伸缩变换；
（2）三角函数的图像变换是近几年考试的热点问题，解答这类问题一定要注意是由哪一个函数通过变换，最后得到的是哪一个函数；变换过程中涉及到哪几种变换，如果是平移变换，则需要注意平移的方向；如果是伸缩变换，则应弄清楚是沿X轴伸缩还是沿Y轴伸缩。
〔练习2〕解答下列问题：
如果函数y=3cos(2x+)的图像关于点（，0）中心对称，那么为（ ）
A B C D
2、将函数y=sin(6x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位长度，得到的函数的一个对称中心是（ ）
A (，0) B （，0） C （，0） D （，0）
3、把函数y=cos(x+)的图像向右平移（＞0）个单位，可得到的函数为偶函数，求的最小值；
4、为了得到函数y=cos(2x-)的图像，可将函数y=sin2x的图像经过怎样的变换而得到。
【典例3】解答下列问题：
1、函数y= 的定义域为（ ）
A［-，］B［k-，k+］,k∈ZC［2k-，2k+］,k∈Z D R
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②余弦函数的图像和性质；③求函数定义域的基本方法；④求解三角函数不等式的基本方法。
【解题思路】运用二次根式的性质和求函数定义域的基本方法得到关于余弦函数的不等式，根据余弦函数的图像和性质，利用求解三角函数不等式的基本方法求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数y= 有意义，必有cosx-0， cosx，2k-
x2k+（k∈Z），函数y= 的定义域为［2k-，2k+］（k∈Z），C正确，选C。
2、求下列函数的定义域：
（1）求函数f(x)= (2sinx+1)的定义域；
（2）已知f(x)的定义域是〔0，1〕，求f(cosx)的定义域；
（3）求函数y=lgsin(cosx)的定义域。
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②正弦函数的图像与性质；③余弦函数的图像与性质；④求解三角函数不等式（或不等式组）的基本方法。
【解题思路】（1）运用对数性质得到关于三角函数的不等式组，根据正弦函数和余弦函数的性质，求三角函数不等式组的基本方法求出x的取值范围，从而得出函数f(x)= (2sinx+1)的定义域；（2）由函数f(x)的定义域是〔0，1〕得到关于三角函数的不等式，根据余弦函数的性质，求三角函数不等式的基本方法求出x的取值范围，从而得出函数f(cosx)的定义域；（3）运用对数性质得到关于三角函数的不等式，根据正弦函数和余弦函数的性质，求三角函数不等式组的基本方法求出x的取值范围，从而得出函数y=lgsin(cosx)的定义域。
【详细解答】（1）函数f(x)= (2sinx+1)有意义，必有1-2cosx＞0且1-2cosx1且2sinx+1＞0，cosx＜且cosx0且sinx＞-，2 k+ ＜x＜2k+ 或2 k+ ＜x＜2k+ （k∈Z），函数f(x)= (2sinx+1)的定义域为{x| 2 k+ ＜x＜2k+ 或2 k+ ＜x＜2k+ ， k∈Z }；（2）函数f(x) 的定义域是〔0，1〕，0 cosx 1，2 k- x2k+ ，函数f(cosx)的定义域为{x|2 k- x2k+ ， k∈Z }；（3）函数y=lgsin(cosx)有意义，必有sin(cosx)＞0， 2 k＜cosx＜2 k+，-1 cosx 1，0＜ cosx 1，2 k- ＜x＜2k+ ，
函数y=lgsin(cosx) 的定义域为{x|2 k- ＜x＜2k+ ， k∈Z }。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求与三角函数相关的定义域的问题，解答这类问题需要掌握基本三角函数（正弦函数，余弦函数，正切函数）的性质和求解三角函数不等式（或不等式组）的基本方法；
（2）求解三角函数不等式（或不等式组）问题的关键是确定各不等式的公共解，我们知道在解答一元一次不等式组时，确定公共解是借助于数轴来处理的；对于三角函数不等式组确定公共解有两种方法：①运用三角函数的图像；②借助于单位圆。
〔练习3〕解答下列问题：
求下列函数的定义域：
（1）y= ； （2）y= ； （3）y= ； （4）y= ；
（5）y=lg(sinx-cosx)； （6）y=lg(2sinx-1)+ ； （7）（1-2cosx）。
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=3cos(+)的最小正周期是（ ）
A 4 B C D
【解析】
【知识点】①余弦型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】运用余弦型函数的图像与性质，根据求三角函数最小正周期的基本方法求出函数y的最小正周期就可得出选项。
【详细解答】T= =4，函数y=3cos(+)的最小正周期是4，A正确，选A。
2、已知函数f(x)=sin(x-)-1，则下列命题正确的是（ ）
A f(x)是周期为1的奇函数 B f(x)是周期为2的偶函数
Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数 D f(x)是周期为2的非奇非偶函数
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法；③函数奇偶性的定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数的图像与性质，求三角函数最小正周期的基本方法求出函数f(x)=sin(x-)-1的最小正周期，从而排除A，C，根据判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)=sin(x-)-1的奇偶性对就可得出选项。
【详细解答】T= =2，排除A，C，函数f(x)=sin(x-)-1=-cosx-1，f(-x)= =-cos（-x）-1=-cosx-1= f(x)，函数f(x)=sin(x-)-1是偶函数，B正确，选B。
3、下列说法正确的是（ ）
A y=tanx是增函数 B y=tanx在第一象限是减函数
C y=tanx在某一区间上是减函数 Dy=tanx在（k-，k+）k∈Z上是增函数
【解析】
【知识点】①正切函数的图像与性质；②函数单调性的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正切函数和函数单调性的性质，根据判断函数单调性的基本方法对各说法的正确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】正切函数在定义域（k-，k+）（k∈Z）上单调递增，A，B，C的说法错误，D的说法正确，D正确，选D。
4、在区间（0，）上，下列函数是增函数的是（ ）
A y= B y=- C y=-sinx D y=-cosx
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②余弦函数的图像和性质；③函数单调性的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正弦函数和余弦函数的图像与性质，根据判断函数单调性的基本方法对各选项的准确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】正弦函数y= sinx在区间（0，）上单调递增，A，C错误；余弦函数y=cosx在区间（0，）上单调递减，B错误，D正确，D正确，选D。
5、下列关系式中正确的是（ ）
A sin＜cos＜sin B sin＜sin＜cos
C sin＜sin＜cos D sin＜cos＜sin
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②三角函数诱导公式及运用；③函数单调性的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正弦函数和余弦函数的图像与性质，根据判断函数单调性的基本方法对各选项的准确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】 cos= cos(-)=sin, sin= sin(-)=sin ,正弦函数y= sinx在区间（0，）上单调递增， sin＜sin ＜sin,即：sin＜sin＜cos，C正确，选C。
6、下列函数中，周期为，图像关于直线x=对称的函数是（ ）
A y=2sin(+) B y=2sin(- ) C y=-sin(2x+) D y=sin(2x-)
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法；③处理正弦型函数问题的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数的图像与性质，根据求三角函数最小正周期的基本方法确定周期为的选项，利用处理正弦型函数问题的基本方法确定图像关于直线x=对称的函数就可得出选项。
【详细解答】函数的周期为，==2，排除A，B，函数的图像关于直线x=对称，2+= k+，= k-（k∈Z），当k=0时， = -，排除C，D正确，选D。
7、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离是（ ）
A B C 2 D 与a值有关
【解析】
【知识点】①正切函数的图像和性质；②三角函数方程的定义与基本求法。
【解题思路】运用正切函数的图像与性质，根据求三角函数方程的基本方法确定出直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离就可得出选项。
【详细解答】正切函数的最小正周期为，直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离是，A正确，选A。
8、方程tan（2x+）=在区间［0，2）上的解的个数是（ ）
A 5 B 4 C 3 D 2
【解析】
【知识点】①正切型函数的图像和性质；②三角函数方程的定义与基本求法。
【解题思路】运用正切型函数的图像与性质，根据求三角函数方程的基本方法确定出方程tan（2x+）=在区间［0，2）上的解的个数就可得出选项。
【详细解答】 tan（2x+）= tan［2（x+）］， y
作出函数y= tan［2（x+）］的部分图像如图所
示，在同一之间坐标系中作出直线y=，由图可- -0 x
知直线y=与函数y= tan［2（x+）］的图像在区间［0，2）上有5个交点，方程tan（2x+）=在区间［0，2）上的解的个数是5，A正确，选A。
9、关于函数f(x)=tan(2x-)，有以下命题：①函数f(x)的最小正周期是；②函数f(x)的定义域是{x|x∈R ，且x+，k∈Z }；③y=f(x)是奇函数；④y=f(x)的一个单调递增区间为（-，）。其中正确的是 ；
【解析】
【知识点】①正切型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法；③处理正切型函数问题的基本方法。
【解题思路】运用正切型函数的图像与性质，根据求三角函数最小正周期和处理正切型函数的基本方法对各命题的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】函数f(x)=tan(2x-)的最小正周期T= ，①正确；由2x- k
+解得：x+ （k∈Z），函数f(x)的定义域是{x|x∈R ，且x+，k∈Z }，②错误；函数f(x)的定义域{x|x∈R ，且x+，k∈Z }关于原点不对称，函数f(x)不具有奇偶性， ③错误；由k-＜2x-＜k+解得：
-＜x＜+（k∈Z），当k=0时，-＜x＜，④错误，其中正确的是①。
10、求下列函数的周期：
（1）y=sin x，x∈R； （2）y=cos4x，x∈R；
（3）y=sin5x，x∈R； （4）y=3sin(x+)，x∈R。
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②余弦型函数的图像和性质；③三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】运用正弦型函数和余弦型函数的图像与性质，求三角函数最小正周期的基本方法就可求出各函数的最小正周期。
【详细解答】（1） T= =，函数y=sin x的最小正周期为；（2） T= =，函数y=cos4x的最小正周期为；（3） T= =，函数y=sin5x的最小正周期为；（4） T= =4，函数y=3sin(x+)的最小正周期为4。
『思考问题4』
（1）【典例4】是三角函数性质及运用的问题，解答这类问题应该理解并掌握三角函数的性质，注意正弦型函数和余弦型函数处理的基本方法；
（2）求三角函数最小正周期的基本方法有：①定义法（直接利用周期函数的定义求最小正周期）；②公式法（对函数y=Asin(x+) (或y=Acos(x+))可运用公式T=求最小正周期；对函数y=tan(x+)可运用公式T=求最小正周期）；③图像法（作出三角函数的图像，根据图像确定最小正周期）。
（3）【典例4】中的4，5是与三角函数的单调性相关的问题，解答时首先确定问题涉及到哪些基本三角函数，再根据相应的基本三角函数的性质直接得出解答；
（4）【典例4】中的6，7，8，9，10是与三角函数的周期，对称性相关的问题，解答时首先确定问题涉及到哪些基本三角函数，再根据相应的基本三角函数的性质求解，同时还要注意公式T= 中是的绝对值而不是。
〔练习4〕解答下列问题：
1、下列说法正确的是（ ）
A y=tanx是增函数 B y=tanx在第一象限是减函数
C y=tanx在某一区间上是减函数 Dy=tanx在（k-，k+）k∈Z上是增函数
2、函数y=5tan(-)的最小正周期是 ；
3、函数y=|sin(2x+)|的最小正周期是 ；
4、函数f(x)=|tanx|的最小正周期是 ；
5、函数y=5tan（x-）的单调区间是 ；
6、不求值，比较下列各小题中两个函数值的大小：
（1）sin与sin； （2）cos（-）与cos(-)；
（3）sin与sin； （4）cos与cos(-)。
7、求下列函数的单调区间：
（1）y=1+sinx，x∈R； （2）y=-cosx，x∈R。
8、不求值，指出下列各式大于0还是小于0：
（1）sin(-)-sin(-)； （2）cos(-)-cos(-)。
9、求下列函数的最小正周期周期：
（1）y=3cosx，x∈R； （2）y=sin2x，x∈R； （3）y=2sin(x- )，x∈R
【典例5】解答下列问题：
1、求下列函数的值域：
（1）y=2sin(2x+)(-x)； （2）y=6-4sinx-cosx； （3）y=。
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②处理正弦型函数的基本方法；③一元二次函数的定义余性质；④求函数值域的基本方法；⑤同角三角函数基本关系及运用；⑥换元法及运用。
【解题思路】（1）运用正弦函数的性质和处理正弦型函数的基本方法，就可求出函数y=2sin(2x+)(-x)的值域；（2）根据同角三角函数基本关系把函数化为关于正弦函数的一元二次式，利用换元法转化为一元二次函数，从而求出函数y=6-4sinx-cosx的值域；（3）运用正弦函数的性质就可求出函数y=的值域。
【详细解答】（1）-x，02x+，0sin(2x+)1，当 -x时，0y=2sin(2x+)2，即当 -x时，函数y=2sin(2x+)的值域为［0，2］；（2） y=6-4sinx-cosx=sinx-4sinx+5，设t= sinx，t∈［-1，1］， y= -4t
+5，函数y= -4t+5在［-1，1］上单调递减，=-4（-1）+5=10，=1-41+5
=2，即函数y=6-4sinx-cosx的值域为［2，10］；（3）-3 sinx -2-1，-3 y=
==2+-，即函数y=的值域为［-3，-］。
2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别求出最大值和最小值：
（1）y=-5sinx，x∈R； （2）y=1-cosx，x∈R；
（3）y=3sin(2x+)，x∈R； （4）y=sin(x+)，x∈R；
（5）y=cosx+1，x∈R； （6）y=sin2x，x∈R。
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②余弦函数的图像和性质；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦函数和余弦函数的性质，根据求函数最值的基本方法，就可求出各函数取最大值（或最小值）时自变量x的集合，同时求出函数的最大值（或最小值）。
【详细解答】（1）函数y=-5sinx，当且仅当x= 2k+（k∈Z）时，=-51=-5，当且仅当x= 2k+ （k∈Z）时，=-5（-1）=5，函数y=-5sinx取最大值5时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= 2k+ ，k∈Z }，函数y=-5sinx取最小值-5时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= 2k+ ，k∈Z }；（2）函数y=1-cosx，当且仅当x= 2k（k∈Z）时，=1-1=，当且仅当x= 2k+（k∈Z）时，=1-（-1）=，函数y=1-cosx取最大值时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= 2k+ ，k∈Z }，函数y=1-cosx取最小值时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= 2k，k∈Z }；
（3）函数y=3sin(2x+)，当且仅当2x+= 2k+，即x= k+ （k∈Z）时，=31=3，当且仅当2x+= 2k+，即x= k+ （k∈Z）时， =3（-1）=-3，函数y=3sin(2x+)取最大值3时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= k+ ，k∈Z }，函数y=3sin(2x+)取最小值-3时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= k+，k∈Z }；（4）函数y=sin(x+)，当且仅当x+= 2k+，即x= 4k+ （k∈Z）时，=1=，当且仅当x+= 2k+，即x= 4k+ （k∈Z）时， =（-1）=-，函数y=sin(x+)取最大值时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x=4 k+ ，k∈Z }，函数y=sin(x+)最小值-时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x=4k+，k∈Z }；（5）函数y=cosx+1，当且仅当x= 2k（k∈Z）时，=1+1=2，当且仅当x= 2k+（k∈Z）时， =1-1=0，函数y=cosx+1取最大值2时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= 2k，k∈Z }，函数y=cosx+1取最小值0时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= 2k+，k∈Z }；（6）函数y=sin2x，当且仅当2x= 2k+，即x= k+ （k∈Z）时，=11=1，当且仅当2x= 2k+，即x= k+ （k∈Z）时， =1（-1）=-1，函数y=sin2x取最大值1时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= k+ ，k∈Z }，函数y=sin2x取最小值-1时，自变量x的集合为{x|x∈R ，且x= k+，k∈Z }.
『思考问题5』
（1）【典例5】是求三角函数的值域（或最值）的问题，解答这类问题需要理解函数值域与最值的定义，掌握三角函数求值域（或最值）的基本方法；
（2）三角函数求值域（或最值）的基本方法有：①把三角函数化为 y=Asin(x+) (或y=Acos(x+))的形式，再利用三角函数的有界性求值域（或最值）；②把三角函数化为sinx（或cosx）的二次函数，运用二次函数求值域或最值的方法求求值域（或最值）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)= (0≤x≤2)的值域是（ ）
A〔-，0〕 B〔-1，0〕 C〔-，0〕 D〔-，0〕
2、（理）函数f(x)= x+cosx-(x［0，］)的最大值是 ；
（文）函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为 。
【典例6】解答下列问题：
1、设f(x)=Asin(x+)(A＞0, ＞0)，| |≤)最高点M的坐标为（2，），曲线上的点p由点M运动的相邻最低点N时在点（6，0）处越过x轴。
求A，，的值；
（2）确定g(x)的表达式，使其图像与f(x)的图像关于直线x=8对称。
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②已知正弦型函数的部分图像，求函数解析式中待定系数值的基本方法；③轴对称图形的定义与性质；④求函数解析式的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦型函数的性质，根据已知正弦型函数的部分图像，求函数解析式中待定系数值的基本方法就可求出A，，的值；（2）根据轴对称图形的性质，利用求函数解析式的基本方法就可求出函数g(x)的表达式。
【详细解答】（1）由题意作出函数f(x)的部分图像 y
如图所示，A=，=6-2=4，T=16， M（2，）
EMBED Equation.DSMT4 ==， f(x)= sin(x+)，点 0 1 2 3 4 5 6 x
（6，0）在函数f(x)的图像上，0=sin(6+）=sin(+），+= k，= k-（k∈Z），| |≤，＞0，=；（2）设P（x，y）是函数g(x)图像上的任意一点，它与直线x=8的对称点为（，），=8且=y，（16-x，y），点（16-x，y）在函数f(x)的图像上，y== f()= f(16-x)= sin［（16-x)+ ］=sin［2-（x-）］=-sin（x-），即函数g(x)= -sin（x-）。
2、已知f(x)=6+sinx-3（＞0），在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B、C为图像与X轴的交点，且为正三角形。
（1）求的值及函数f(x)的值域；
（2）若f()=，且∈（-，），求f(+1)的值。
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数二倍角公式即运用；③正三角形的定义与性质；④已知正弦型函数的部分图像，求函数解析式的基本方法；⑤求三角函数值域的基本方法；⑥求三角函数值的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦型函数的性质和三角函数二倍角公式，根据已知正弦型函数的部分图像，求函数解析式的基本方法求出的值和函数f(x)的解析式，根据求三角函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域；（2）由∈（-，），求出x+的取值范围，从而求出cos（+）的值，根据求三角函数值的基本方法就可求出f(+1)的值。
【详细解答】（1） f(x)=6+sinx-3=3（cosx+1）+sinx-3=sinx
+3cosx=2sin（x+），A为图像的最高点，B、C为图像与X轴的交点，为正三角形，=BC=2=4，T=8，==，即f(x)= 2sin（x+），-1 sin（x+）1，- 2 f(x)= 2sin（x+） 2，即函数f(x)的值域为［-2，2］；（2） f()=2sin（+）=，sin（+）
=，∈（-，），+∈（-，），cos（+）==，
f(+1)= 2sin［（+1）+］=2sin［（+）+］=2［ sin（+）
cos+ cos（+）sin］=2（+）=2=。
3、设函数f(x)= x+2. cosxsinx- x+(x∈R)的图像关于直线x=对称，其中、为常数，且∈（，1）。
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）若y=f(x)的图像经过点（，0），求函数f(x)的值域。
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数二倍角公式即运用；③三角函数最小正周期的定义与基本求法；④已知正弦型函数的部分图像，求函数解析式的基本方法；⑤求三角函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦型函数的性质和三角函数二倍角公式，根据求函数解析式的基本方法求出的值和函数f(x)的解析式，利用求三角函数最小正周期的基本方法就可求出函数f(x)的最小正周期；（2）由y=f(x)的图像经过点（，0），求出的值，从而得到函数f(x)的解析式，，根据求三角函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】（1） f(x)= x+2. cosxsinx- x+=sin2x- cos2x+=2 sin（2x- ）+，函数f(x) 的图像关于直线x=对称，2- =k
+，=+（k∈Z），∈（，1），=+=， f(x)= 2 sin（x- ）+，T==，即函数f(x)的最小正周期为；（2） y=f(x)的图像经过点（，0），0=2 sin（- ）+，=-2 sin（- ）=-2=-，函数f(x)= 2 sin（x- ）-，-1 sin（x- ） 1， -2- f(x)= 2 sin（x- ）- 2-，即函数f(x)的值域为［-2- ，2-］。
4、已知函数f(x)= 。
（1）求f(x)的定义域及最小正周期；
（2）求f(x)的单调递增区间。
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数二倍角公式即运用；③三角函数最小正周期的定义与基本求法；④求函数定义域的基本方法；⑤求三角函数单调区间的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦型函数的性质和三角函数二倍角公式，根据求函数解析式的基本方法求出函数f(x)的解析式，利用求函数定义域和三角函数最小正周期的基本方法就可求出函数f(x)的定义域与最小正周期；（2）运用处理正弦型函数的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式求出自变量x的取值范围就可求出函数f(x)的单调递增区间。
【详细解答】（1）函数f(x)= 有意义，必有sinx 0，xk( k∈Z），即函数f(x)的定义域为{x| xk，k∈Z}；函数f(x)= =2sinx
Cosx-2cosx= sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，T==，即函数f(x)的最小正周期为；（2）由2k-2x-2k+解得：k-xk+（k∈Z），函数f(x)的单调递增区间为［k-，k+］（k∈Z）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是三角函数图像与性质的综合运用问题，解答这类问题需要理解并掌握基本三角函数的图像与性质，能够运用三角函数的图像与性质去解决相关问题；
（2）已知三角函数y=Asin(x+)+B(A＞0, ＞0)的部分图像，求三角函数y=Asin (x
+)(A＞0, ＞0)解析式的方法是：① 确定A的值，设函数y的最大值为M，最小值为m，则A=M或A=|m|；②求的值，由图像确定三角函数的周期T，运用公式||=求出的值；③求的值，方法1根据求出的A、，在图像上找一特殊点代入解析式再运用相应三角函数的性质确定；方法2运用“五点法”一般是确定“五点法”中的第一个零点（，0）为突破口；
（3）求三角函数的最值或单调区间时，如果问题涉及到正弦型函数（或余弦型函数），则只需把x+看作整体未知数x转化为正弦函数（或余弦函数）来处理即可。
〔练习6〕解答下列问题： y
1、如右图所示，函数y=Asin(x+)(A＞0, ＞0), 3---- |
的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别是（，3） |
和（，-3），求该函数的解析式。 0 x
2、已知函数f(x)=Asin(x+)(A＞0, ＞0, x∈R) -3---------- |
在一个周期内的图像如右图所示。 y
（1）求函数f(x)的解析式； 2--
（2）求直线y= 与函数f(x)的图像的所有交点的
坐标。 - 0
3、函数f(x)=Asin(x-)+1(A＞0, ＞0)的最大值 -2-------------
为3，其图像上相邻的两条对称轴之间的距离为。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设（0，），f()=2，求的值。
4、已知函数f(x)=2sin(+).cos(+)-sin(x+)。
（1）求函数f(x)的的最小正周期；
（2）若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间［0，］上的最大值和最小值。
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、将函数f(x)=sin(x+)（>0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若曲线C的图像关于Y轴对称，则的最小值是（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数定义与性质；③余弦三角函数定义与性质；④三角函数图像平移定义与性质；⑤处理正弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】根据正弦型三角函数，余弦三角函数和三角函数图像平移的性质，运用处理正弦型三角函数的基本方法，得到关于的等式，从而求出关于k的表示式，结合问题条件求出的最小值就可得出选项。
【详细解答】将函数f(x)=sin(x+)（>0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，曲线C的图像关于Y轴对称，+=k+， =2k+（kZ），>0， 的最小值为，C正确，选C。
2、记函数f(x)=cos(x+)(>0，0<<)的最小正周期为T，若f(T)= ，x=为
f(x)的零点，则的最小值为 （2022全国高考乙卷理）
【解析】
【考点】①余弦三角函数定义与性质；②余弦型三角函数定义与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可求出最小正整数x的值。（文）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法就可求出f()的值。
【详细解答】 f(T)= cos(.+) = cos(2+)= cos=，0<<，=，
f(x)=cos(x+)， x=为f(x)的零点， f()=cos(+)=0，+=k+，=9k+3（kZ），>0，的最小值为3。
3、记函数f(x)=sin(x+)+b(>0)的最小正周期为T，若A 1 B C D 3
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，运用处理正弦型三角函数的基本方法，求出函数f(x) 的解析式，从而求出f()的函数值就可得出选项。
【详细解答】 y=f(x)的函数图像关于点（，2）中心对称，2=f()=sin(+)
+b，+= k，b=2，=k-（kZ），b=2，=， f(x)=sin(x+)+2，f()=sin(.+)+2= sin+2=-1+2=1，A正确，选A。
4、函数f(x)=sin(2x+)（0<<）的图像以（，0）中心对称，则（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A y= f(x)在（0，）单调递减 B y= f(x)在（- ，）有2个极值点
C 直线x= 是一条对称轴 D 直线y=-x是一条切线
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，运用处理正弦型三角函数的基本方法，求出函数f(x) 的解析式，从而求出f()的函数值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=sin(2x+)（0<<）的图像以（，0）中心对称， f()=sin
(2. +)= sin(+)=0，+= k，= k-（kZ），0<<，
=， f(x)=sin(2x+)，由2k+2x+ 2k+解得：k-x k+， y= f(x)在（-，）单调递减，y= f(x)在（0，）单调递减，A正确；当x（- ，）时，2x+（，），f(x)=sinx在（，）上只有1个极值点， y= f(x)在（- ，）只有1个极值点，B错误；由2x+= k+解得：x=-（kZ），x，C错误；（x）=2cos(2x+)=-1， cos(2x+)=-，x= k或x= k+（kZ），当x= k时， f(k)=sin(2 k+)= sin=，曲线y= f(x)在点（k，）处的切线方程为y-=-(x- k)，即y=-x++ k=-x+（k=0），直线y=-x是一条切线，D正确，综上所述，A，D正确，选AD。
5、函数f(x)=sinx(sinx+cosx)的最小正周期是（ ）（成都市2019级高三一诊）
A B C D 2
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数辅助角公式及运用；③正弦型三角函数定义与性质；④求正弦型三角函数最小正周期的基本方法。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式和三角函数辅助角公式得到正弦型三角函数，运用正弦型三角函数的性质和求正弦型三角函数最小正周期的基本方法，求出函数f(x)的最小正周期就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=sin x+sinxcosx=sin2x-cos2x+= sin(2x- )+，
函数f(x)的最小正周期为T==， C正确，选C。
6、将最小正周期为的函数f(x)=2sin（2x-）+1（>0）的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的图像的对称中心为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A （- + ，1），kZ B （- + ，1），kZ
C （- + ，1），kZ D （- + ，1），kZ
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④函数图像平移定义与性质。
【解题思路】根据正弦型三角函数的性质，结合问题条件求出的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用函数图像平移的性质，得到函数g(x)的解析式，利用正弦三角函数的性质和处理正弦型三角函数的基本方法，求出函数g(x)的图像的对称中心就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=2sin（2x-）+1（>0）的最小正周期为，2==2，
=1，函数f(x)=2sin（2,x-）+1，函数g(x)= f(x+)=2sin[2（x+）-]+1
=2sin（2x+）+1，由2x+=k解得：x=- + （kZ），函数g(x)的图像的对称中心为（- + ，1），kZ，C正确，选C。
7、已知函数f(x)=2cos(x+ )的部分图像如图所示，则f()= （2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①余弦三角函数的定义与性质；②余弦型三角函数的定义与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】（理）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可求出最小正整数x的值。（文）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法就可求出f()的值。
【详细解答】由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+ )，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+ )=2cos(+ )，+
=k+，=k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)， f(-)
=2cos(-2-)=2cos(--)=2cos=1，f()=2cos(2-)=2cos(-)
=2cos=0，[f(x)- f(-)][f(x)- f()]>0 [f(x)- 1)]f(x)>0 f(x)- 1>0且f(x)>0或
f(x)- 1<0且f(x)<0， cos(2x-)>且cos(2x-)>0或cos(2x-)<且cos(2x-)<0，
cos(2x-)>或cos(2x-)<0， 2k-<2x- <2k+或2k+<2x-<2k
+，k-0的最小正整数x为2。（文）
由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+)，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+ )=2cos(+ )，+=k+， =k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)， f()=2cos(2
-)=2cos(-)=-2cos=-2=-。
8、函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是（ ）（2021全国高考乙卷）
A 3和 B 3和2 C 6和 D 6和2
【解析】
【考点】①三角函数图像伸缩变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的定义与性质；③三角函数辅助角公式及运用；④处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据三角函数辅助角公式，把函数f(x)化为正弦型三角函数，运用处理正弦型三角函数的基本方法求出函数f(x)的最小正周期和最大值就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=sin+cos=sin（+），函数f(x)的最小正周期T== 6，=1=，C正确，选C。
9、下列区间中，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是（ ）（2021全国高考新高考I）
A (0，) B (，) C (，) D (，2)
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的定义与性质；②处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦型三角函数性质和处理正弦型三角函数的基本方法，求出函数f(x) =7sin（x-）单调递增的区间就可得出选项。
【详细解答】由2k-x-2k+解得，2k-x2k+（kZ），当k=0时， -x，(0，)[-，]，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是(0，)，A正确，选A。
10、已知锐角满足sin-cos=1，若要得到函数f(x)= -sin（x+）的图像，则可以将函数y=sin2x的图像（ ）（2021成都市高三一诊）
A 向左平移个单位长度 B 向左平移个单位长度
C 向右平移个单位长度 D 向右平移个单位长度
【解析】
【考点】①三角函数辅助角公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用； ③三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】根据三角函数辅助角公式，得到2sin( -)=1,从而求出 =，运用三角函数二倍角
公式得到-sin（x+）=+cos(2x+)-=cos(2x+)，由y=sin2x=cos(2x-)，利用三角函数图像平移变换的性质确定出由y=cos(2x-)得到函数f(x)= -sin（x+）=cos(2x+)的图像需要平移变换的长度单位与方向就可得出选项。
【详细解答】锐角满足sin -cos =2sin( -)=1， sin( -)=，
=，函数f(x)= -sin（x+）=+cos(2x+)-=cos(2x+)，y=sin2x=cos(2x-)， =cos［2（x+）-］=cos（2x+2 -）=cos(2x+)，2 -=2k+， = k+（kZ），当k=0时， = ，A正确，选A。
11、已知P是曲线y=sinx+cosx(x[0，])上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤函数求导公式，法则和基本方法；⑥
运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据y=sinx+cosx=sin(x+)，正弦函数的图像和处理正弦型函数的基本方法，结合问题条件，运用点到直线的公式得到|PQ|关于x的函数解析式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出|PQ|取最小值时x的取值就可得出选项。
【详细解答】 y=sinx+cosx=sin(x+)，设P（x，sin(x+)）是曲线y=sinx+cosx，
直线PQ垂直直线x+y-6=0时， |PQ|=，设f(x)=x+sin(x+)，显然当仅当函数f(x)取得最大值时，|PQ|的值最小，（x）=1+cos(x+)，令（x）=0，解得：x+=，即x=，当x[0，)时，（x）>0，x[，]时，（x）<0，函数f(x)在[0，)上单调递增，在[，]上单调递减，当x=时，函数f(x)取得最大值，当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为，C正确，选C。
12、已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f()=1，则函数f(x)的最小正周期为；③的取值范围为（0，4]；④函数f(x)在区间[0，2）上最多有6个零点，其中所有正确结论的序号为 （2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②正弦型三角函数的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，结合问题条件得到关于，的不等式组，求解不等式组求出，的取值范围；从而对各结论的真假进行判断就可得出所有正确结论的序号。
【详细解答】函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=- f()，2k-+，+2k+或2k++，+2k+①，+=--②，联立①②解得：=-，-24k-6(k0)或-24k +6(k<0)或12k+3(k1)或12k+9(k0)， f(x)=sin(x- )， f()=sin(- ) =sin0=0，①正确； f()==sin(- )=1，-=-=2k+，=-8k+2，>0，=2，函数f(x)的最小正周期为=，②正确；函数f(x) =sin(x- ) 在区间（，）上单调，2k--，且2k+，或2k+-，且2k+，12k +3 (k0)或-24k+6 (k>0)或-24k-6(k>0)或12k+9(k0)，>0，0<3， ③错误；x[0，2），x-[-，），当=3时，[-，），[-2，4），此时函数f(x) =sin(x- )在[0，2）上有6个零点，④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。
『思考问题7』
（1）【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于三角函数图像和性质的试题，归结起来主要包括：①三角函数图像及运用；②三角函数图像的变换；③求三角函数定义域的基本方法；④三角函数最小正周期的定义与基本求法；⑤求三角函数值域与最值的基本求法；⑥三角函数性质的综合运用等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：① 根据问题的结构特征，判断问题所属类型|；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、将函数y=sin(4x-)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图像，则函数f(x)的解析式为（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：A）
A f(x)=sin(2x+) B f(x)=sin(2x-) C f(x)=sin(8x+) D f(x)=sin(8x-)
2、已知函数f(x)=sin( x+)(0< <)，f()=0，则函数f(x)的对称轴方程为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：C）
A x=k-，kZ B x=k+，kZ C x=k，kZ D x=k+，kZ
3、已知函数f(x)=Asin( x+)-1(A>0，0< <1)的图像经过点（0，），且将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合，若对任意的，[0，t]，都有2 f()f()
成立，则实数t的最大值是（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：A）
A B C D
4、设函数f(x)=cos（ x+）在[-，]上的图像大致如图所示，则f(x)的最小正周期为（ ）（2020全国高考新课标I）（答案：C）
A B C D
5、已知函数f(x)=sinx+ ，则（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：C）
A f(x)的最小值为2. B f(x)的图像关于y轴对称
C f(x)的图像关于直线x=对称 D f(x)的图像关于直线x=对称
6、如图，是函数y=sin(x+)的部分图像，则sin(x+)=（ ）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）（答案：B，C）
A sin(x+) B sin(-2x) C cos(2x+) D cos(-2x)
7、函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期为（ ）（2019成都市高三三诊）（答案：C）
A B C 2 D 4
8、函数f(x)=2sinx-sin2x在［0,2］的零点个数为（ ）（2019全国高考新课标III）
A 2 B 3 C 4 D 5 （答案：B）
函数f(x)=sin（2x+）-3cosx的最小值为 （2019全国高考新课标I）（答案：-4）
10、若= ，= 是函数f(x)=sinx（>0）两个相邻的极值点，则=（ ）（2019全国高考新课标II）（答案：A）
A 2 B C 1 D
11、函数f(x)=2sin(x+)(＞0,- ＜＜）的部分图像如图所示，则、的
值分别是（ ）（答案：A）
A 2，- B 2， - C 4 ， - D 4，
第十五讲 三角函数的图像和性质
【考纲解读】
1.理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的图像，能够熟练地运用“五点作图法”作出正弦三角函数和余弦三角函数的大致图像；
2.了解正弦型三角函数和余弦型三角函数的图像，理解函数y=Asin（x+）(或函数y=Acos（x+）)解析式中A，，的物理意义，能够熟练地运用“五点作图法”作出正弦型三角函数和余弦型三角函数的大致图像；
3.了解函数奇偶性，周期函数和最小正周期的定义，能够根据函数y=Asin（x+）(或函数y=Acos（x+）)解析式求出正弦型三角函数（或余弦型三角函数）的最小正周期；
4.理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的性质，能够运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的性质解答相关的数学问题；
5.了解正弦型三角函数与正弦三角函数（或余弦型三角函数与余弦三角函数）之间的关系，掌握处理正弦型三角函数（或余弦型三角函数）的基本方法。
【知识精讲】
一、基本三角函数的图像：
1、正弦三角函数y=sinx的图像：
（1）正弦三角函数作图的基本方法是：“五点作图法”；
（2）“五点作图法”在作正弦三角函数图像的一个周期（即（0，2））上的五点是：①（0，0）；② （，1）；③ （，0）；④ （，-1）；⑤（2，0）。
2、余弦三角函数y=cosx的图像：
（1）余弦三角函数作图的基本方法是：“五点作图法”；
（2）“五点作图法”在作余弦三角函数图像的一个周期（即（0，2））上的五点是：①（0，1）；② （，0）；③ （，-1）；④ （，0）；⑤（2，1）。
3、正切三角函数y=tanx的图像：
（1）正切三角函数作图的基本方法是：仍可采用“五点作图法”；
（2）“五点作图法”在作正切三角函数图像的一个周期（即（-，））上的五点是：①（-，-）；② （-，-1）；③ （0，0）；④ （，1）；⑤（，）。
二、正弦型三角函数与余弦型三角函数的图像：
1、正弦型三角函数y= Asin(x+)的图像：
（1）正弦型三角函数y= Asin(x+)作图的基本方法有：①“五点作图法”；② “图像变换法”；
（2）“五点作图法”在作正弦型三角函数y= Asin(x+)图像的一个周期上的五点是：①（-，0）；② （，A）；③（，0）； ④（，-A）； ⑤（，0）；
（3）正弦型三角函数图像变换作图是：以正弦三角函数y=sinx的图像为基础，再通过图像平移和图像伸缩的基本变换来完成，其基本方法是：①运用“五点作图法”作出正弦三角函数y=sinx在（0，2）上的图像；②把①中的图像沿x轴向左（或右）平移个单位长度； ③把②中的图像沿x轴伸长（或压缩）倍；④ 把③中的图像沿y轴伸长（或压缩）A倍。
2、余弦型函数y= Acos(x+)的图像：
（1）余弦型三角函数y= Acos(x+)作图的基本方法有：①“五点作图法”；② “图像变换法”；
（2）“五点作图法”在作余弦型三角函数y= Acos(x+)图像的一个周期上的五点是：①（-，A）；② （，0）；③（，-A）； ④（，0）； ⑤（，A）；
（3）余弦型三角函数图像变换作图是：以余弦三角函数y=cosx的图像为基础，再通过图像平移和图像伸缩的基本变换来完成，其基本方法是：①运用“五点作图法”作出余弦三角函数y=cosx在（0，2）上的图像；②把①中的图像沿x轴向左（或右）平移个单位长度； ③把②中的图像沿x轴伸长（或压缩）倍；④ 把③中的图像沿y轴伸长（或压缩）A倍。
三、基本三角函数的性质：
三角函数 正弦三角函数y=sinx 余弦三角函数y=cosx 正切三角函数y=tanx
定义域 R R xk+，kZ
值 域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2为最小正周期 2为最小正周期 为最小正周期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在[2k-，2k+] 在[2k，2k+]上 在[k-，k+]
上单调递增，在[2k 单调递减，在[2k+， 上单调递增。
+ ，2k+] 上 2k+]上单调递增。
单调递减。
对称性 既是中心对称，又是 既是中心对称，又是 是中心对称图形，对
轴对称图形；对称中心 轴对称图形，对称中心 称中心为（k，0）。
是（k，0），对称轴 是（k+，0），对
是x=k+。 称轴是x=k。
当x=2k+时，函数 当x=2k时，函数取得 正切三角函数无最值。
最值 取得最大值为1；当x= 最大值为1；当x=2k
2k+时，函数取得 +时，函数取得最小
最小值为-1。 值为-1。
（二）正弦型三角函数与余弦型三角函数的性质：
函 数 定义域 值域 周期性 单调性 对称性 最值
正弦型三角函数 最小正周期 把(x+)视为整体未知数，分别根据正弦
y= Asin(x+) R [-A，A] 为。 三角函数（或余弦三角函数）的相应性质
余弦型函数 最小正周期 就可得出正弦型三角函数（或余弦型三角
y= Acos(x+) R [-A，A] 为。 函数）的相关性质。
理解三角函数性质时应该注意的问题：
（1）正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的单调区间，对称中心，对称轴，取得最值时自变量x的取值集合的表示式中都含有k，这里的kZ；
（2）正切函数y=tanx的单调区间，对称中心的表示式中也含有k，这里的kZ；
（3）对正弦型三角函数y= Asin(x+)，只需把(x+)看成整体未知数，就可以运用正弦三角函数y=sinx的性质进行理解，同时在处理正弦型三角函数y= Asin(x+)的相关问题时，也可以运用正弦三角函数y=sinx的相关性质来处理；
（4）对余弦型三角函数y= Acos(x+)，只需把(x+)看成整体未知数，就可以运用余弦三角函数y=cosx的性质进行理解，同时在处理余弦型三角函数y= Acos(x+)的相关问题时，也可以运用余弦三角函数y=cosx的相关性质来处理。
【探导考点】
考点1三角函数的定义域和值域：热点①已知三角函数的解析式，求三角函数的值域；热点②已知三角函数的解析式和自变量x的取值范围，求该三角函数的值域；热点③ 已知三角函数的解析式，自变量x的取值范围和该三角函数的值域，求三角函数式中参数的值（或取值范围）；
考点2三角函数的单调性：热点①已知三角函数的解析式，求三角函数的单调区间；热点②已知三角函数在某区间上的单调性，求三角函数式中参数的值（或取值范围）；
考点3三角函数的周期性和对称性：热点①已知三角函数的解析式，求三角函数的最小正周期（或已知三角函数最小正周期的取值范围，求三角函数式中参数的值（或取值范围））；热点②已知三角函数的解析式和对称点横坐标的取值范围，求对称点的横坐标（或已知三角函数对称点的坐标，求三角函数式中参数的值（或取值范围））；热点③ 已知三角函数对称轴的方程，求该三角函数的最小正周期；
考点4正弦型三角函数的图像及运用：热点①正弦型三角函数的“五点法”作图的基本方法；热点②正弦型三角函数的变换（平移或伸缩）；热点③ 已知正弦型三角函数的部分图像，求该正弦型三角函数的解析式；
考点5三角函数图像和性质的综合应用：热点①正弦型三角函数模型及运用；热点②已知三角函数的零点，求三角函数式中参数的值（或取值范围）；热点③ 三角函数图像和性质的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=2sin(x+)(＞0,- ＜＜）的部分图像如图所示，则、的
值分别是（ ）
A 2，- B 2， - C 4 ， - D 4，
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的定义与性质；②最小正周期的定义与性质；③根据正弦型三角函数的部分图像求，值的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数图像和最小正周期的性质，结合函数图像求出的值，由点（，2）在函数f(x)的图像上得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得出选项。
【详细解答】由函数f(x)的部分图像知，=-=，T=，==2，
点（，2）在函数f(x)的图像上，2=2sin(2+)，=2k-（kZ），
- ＜＜，=-，A正确，选A。
已知函数y=Asin(x+)(A＞0, ＞0,| |≤)的一段图像如图所示，求函数f(x)的解析式。
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的定义与性质；②最小正周期的定义与性质；③根据正弦型三角函数的部分图像求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数图像和最小正周期的性质，结合函数图像求出的值，由点（，2）在函数f(x)的图像上得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得出函数f(x)的解析式。
【详细解答】由函数f(x)的部分图像知，A=2，=-（-）==，T=，==2，点（-，2）在函数f(x)的图像上，2=2sin［2（- ）+］=2k+（kZ），| |≤，=，即函数f(x)= 2sin（2x+）。
3 、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 5 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解
析式；（改编）并画出它的图象；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求
的图象离原点最近的对称中心。
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的基本作法；②三角函数图像变换的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】（I）运用正弦型三角函数图像的“五点”作图法得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而确定表中空白处的值；（II）运用三角函数图像变换的性质求出函数的解析式，利用处理正弦型三角函数的基本方法就可求出的图象离原点最近的对称中心。
【详细解答】由表可得：+=①，+=②，联立①②解得：=2，=-，函数=5sin（2x-）, 当2x-=0时，x=，当2x-=时，x=，=0，
当5sin（2x-）2x-=2时，x= ，作出函数=5sin（2x-）如图所示；（II）
函数g(x)=f(x+)=5sin［2(x+)-］=5sin(2x+)，由2x+=k得x=-（kZ），
当k=0时，x=-，即函数g(x)的图像离原点最近的对称中心是（-，0）。
4、已知函数f(x)=Asin(x+)(A＞0，＞0,- ＜＜）的部分图像如图所示。
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）试写出f(x)对称轴方程。
【解析】
【知识点】①正弦型函数图像的定义与性质；②函数解析式与函数图像上点坐标之间的关系；③根据正弦型三角函数的部分图像求函数解析式的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦型函数图像和函数解析式与函数图像上点坐标之间的关系，结合函数图像得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而得出函数f(x)的解析式；（2）根据处理正弦型函数的基本方法得到关于x的方程，求解方程求出x关于k的表达式，从而得出函数f(x)对称轴的方程。
【详细解答】（1）由图知A=2，点（0，1）和（，0）在函数f(x)的图像上，1=2 sin①，0=2sin（+）②，联立①②解得：=，=，函数f(x)的表达式为：f(x)= 2sin（x+）；（2）由x+=k+得：x= k+ （kZ），
函数f(x)的对称轴方程是x= k+ （kZ）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是三角函数的图像及运用的问题，解答这类问题应该掌握基本三角函数（正弦三角函数，余弦三角函数，正切三角函数）图像的作法，重点掌握“五点作图法”；同时还应注意正弦型三角函数与正弦三角函数，余弦型三角函数与余弦三角函数之间的关系；
（2）对于正弦型三角函数（或余弦型三角函数），其作图方法有两种：①“五点作图法”；②图像变换法；
（3）【典例1】中的1，2是已知三角函数的部分图像，求三角函数解析式中某些待定系数（或求三角函数解析式）的问题，解答这类问题应从图像入手确定三角函数的最大值，最小值和三角函数的周期，然后再运用相关的公式求相应的系数，求的一般方法是在图像上找一个特殊点代入解析式并结合相关三角函数的性质进行解答；
（4）【典例1】中的3是一求三角函数的解析式，作三角函数图像的问题，解答时可在两种作图的方法中选择一种，具体选择哪一种应该根据问题的条件来确定。
〔练习1〕解答下列问题：
1、如图为函数f(x)= sin（x+）（＞0）的部分图像，B，C分别为图像的最高点和最底点，若.=||，则=（ ）（答案：C）
A B C D
2、已知函数f(x)= Asin（x+）（x R，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如图所示，若方程f(x)=m在区间［0，］上有两个不等的实数解，，则+的值为（ ）（答案：A）
A B C D 或
3、函数y=Asin(x+）（A＞0，＞0）在同一周期内的图像如图所示，则函数的解析式为（ ）（答案：A）
A y=2sin(2x+) B y=2sin(2x+) C y=2sin(-) D y=2sin(2x-)
4、若函数f(x)=2sin(x+）（其中x R，＞0，||＜）的最小正周期是4，且f(0)= ，则（ ）（答案：B）
A =，= B =，= C =2，= D =2，=
【典例2】解答下列问题：
1、把函数y=sinx（x R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A y=sin(2x+)，x R B y=sin(+) ，x R
C y=sin(+) ，x R D y=sin(2x+)，x R
【解析】
【知识点】①三角函数图像变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的基本方法；③三角函数伸缩变换的基本方法。
【解题思路】运用三角函数图像平移和伸缩变换的基本方法，结合问题条件求出得到的图像所表示的函数的解析式就可得出选项。
【详细解答】把函数y=sinx（x R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的解析式为：=sin（x+）（x R），把函数=sin（x+）图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的解析式为：=sin（2x+）（x R），A正确，选A。
2、为了得到函数y=sin(2x-)的图像，可将函数y=cos2x的图像（ ）
A 向右平移个长度单位 B向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位 D向左平移个长度单位
【解析】
【知识点】①三角函数图像变换的定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数平移变换的基本方法。
【解题思路】运用三角函数诱导公式，把函数y=cos2x化为y=sin(+2x)，根据三角函数平
移变换的基本方法求出平移的单位长度和方向就可得出选项。
【详细解答】y=cos2x=sin(+2x)，函数=sin［2（x+）+］= sin（2x+2+）
= sin(2x-)，2x+2+=2 k+2x-，= k-（kZ），- ＜＜，
= -，B正确，选B。
3、将函数y=sin(2x+)的图像经过怎样的平移后所得图像关于点（-，0）中心对称（ ）
A 向右平移个长度单位 B向右平移个长度单位
C向左平移个长度单位 D向左平移个长度单位
【解析】
【知识点】①三角函数图像变换的定义与性质；②三角函数平移变换的基本方法；③正弦型三角函数的图像与性质。
【解题思路】运用三角函数图像变换的性质和平移变换的基本方法得到图像变换后三角函数的解析式，根据正弦型三角函数的图像和性质，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】=sin［2（x+）+］= sin（2x+2+），函数的图像关于点（-，0）中心对称，2（-）+2+= k，=-（kZ），- ＜＜，
= -，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是三角函数图像变换的问题，解答这类问题应该掌握三角函数图像变换的基本类型：①平移变换；② 伸缩变换；
（2）三角函数的图像变换是近几年考试的热点问题，解答这类问题一定要注意是由哪一个函数通过变换，最后得到的是哪一个函数；变换过程中涉及到哪几种变换，如果是平移变换，则需要注意平移的方向；如果是伸缩变换，则应弄清楚是沿X轴伸缩还是沿Y轴伸缩。
〔练习2〕解答下列问题：
如果函数y=3cos(2x+)的图像关于点（，0）中心对称，那么为（ ）
A B C D （答案：C）
2、将函数y=sin(6x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位长度，得到的函数的一个对称中心是（ ）（答案：A）
A (，0) B （，0） C （，0） D （，0）
3、把函数y=cos(x+)的图像向右平移（＞0）个单位，可得到的函数为偶函数，求的最小值；（答案：的最小值为）
4、为了得到函数y=cos(2x-)的图像，可将函数y=sin2x的图像经过怎样的变换而得到。（答案：向左平移个单位长度）
【典例3】解答下列问题：
1、函数y= 的定义域为（ ）
A［-，］B［k-，k+］,kZC［2k-，2k+］,kZ D R
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②余弦函数的图像和性质；③求函数定义域的基本方法；④求解三角函数不等式的基本方法。
【解题思路】运用二次根式的性质和求函数定义域的基本方法得到关于余弦函数的不等式，根据余弦函数的图像和性质，利用求解三角函数不等式的基本方法求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数y= 有意义，必有cosx-0， cosx，2k-
x2k+（kZ），函数y= 的定义域为［2k-，2k+］（kZ），C正确，选C。
2、求下列函数的定义域：
（1）求函数f(x)= (2sinx+1)的定义域；
（2）已知f(x)的定义域是〔0，1〕，求f(cosx)的定义域；
（3）求函数y=lgsin(cosx)的定义域。
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②正弦函数的图像与性质；③余弦函数的图像与性质；④求解三角函数不等式（或不等式组）的基本方法。
【解题思路】（1）运用对数性质得到关于三角函数的不等式组，根据正弦函数和余弦函数的性质，求三角函数不等式组的基本方法求出x的取值范围，从而得出函数f(x)= (2sinx+1)的定义域；（2）由函数f(x)的定义域是〔0，1〕得到关于三角函数的不等式，根据余弦函数的性质，求三角函数不等式的基本方法求出x的取值范围，从而得出函数f(cosx)的定义域；（3）运用对数性质得到关于三角函数的不等式，根据正弦函数和余弦函数的性质，求三角函数不等式组的基本方法求出x的取值范围，从而得出函数y=lgsin(cosx)的定义域。
【详细解答】（1）函数f(x)= (2sinx+1)有意义，必有1-2cosx＞0且1-2cosx1且2sinx+1＞0，cosx＜且cosx0且sinx＞-，2 k+ ＜x＜2k+ 或2 k+ ＜x＜2k+ （kZ），函数f(x)= (2sinx+1)的定义域为{x| 2 k+ ＜x＜2k+ 或2 k+ ＜x＜2k+ ， kZ }；（2）函数f(x) 的定义域是〔0，1〕，0 cosx 1，2 k- x2k+ ，函数f(cosx)的定义域为{x|2 k- x2k+ ， kZ }；（3）函数y=lgsin(cosx)有意义，必有sin(cosx)＞0， 2 k＜cosx＜2 k+，-1 cosx 1，0＜ cosx 1，2 k- ＜x＜2k+ ，
函数y=lgsin(cosx) 的定义域为{x|2 k- ＜x＜2k+ ， kZ }。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求与三角函数相关的定义域的问题，解答这类问题需要掌握基本三角函数（正弦函数，余弦函数，正切函数）的性质和求解三角函数不等式（或不等式组）的基本方法；
（2）求解三角函数不等式（或不等式组）问题的关键是确定各不等式的公共解，我们知道在解答一元一次不等式组时，确定公共解是借助于数轴来处理的；对于三角函数不等式组确定公共解有两种方法：①运用三角函数的图像；②借助于单位圆。
〔练习3〕解答下列问题：
求下列函数的定义域：
（1）y= ； （2）y= ； （3）y= ； （4）y= ；
（5）y=lg(sinx-cosx)； （6）y=lg(2sinx-1)+ ； （7）（1-2cosx）。
（答案：（1）{x|x2k+（kZ）}；（2）{x|x2k（kZ）}；（3）{x|2k-≤x≤2k+（kZ）}；（4）{x|2k+≤x≤2k+2（kZ）}；（5）{x|2k++（kZ）}。）
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=3cos(+)的最小正周期是（ ）
A 4 B C D
【解析】
【知识点】①余弦型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】运用余弦型函数的图像与性质，根据求三角函数最小正周期的基本方法求出函数y的最小正周期就可得出选项。
【详细解答】T= =4，函数y=3cos(+)的最小正周期是4，A正确，选A。
2、已知函数f(x)=sin(x-)-1，则下列命题正确的是（ ）
A f(x)是周期为1的奇函数 B f(x)是周期为2的偶函数
Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数 D f(x)是周期为2的非奇非偶函数
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法；③函数奇偶性的定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数的图像与性质，求三角函数最小正周期的基本方法求出函数f(x)=sin(x-)-1的最小正周期，从而排除A，C，根据判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)=sin(x-)-1的奇偶性对就可得出选项。
【详细解答】T= =2，排除A，C，函数f(x)=sin(x-)-1=-cosx-1，f(-x)= =-cos（-x）-1=-cosx-1= f(x)，函数f(x)=sin(x-)-1是偶函数，B正确，选B。
3、下列说法正确的是（ ）
A y=tanx是增函数 B y=tanx在第一象限是减函数
C y=tanx在某一区间上是减函数 Dy=tanx在（k-，k+）k∈Z上是增函数
【解析】
【知识点】①正切函数的图像与性质；②函数单调性的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正切函数和函数单调性的性质，根据判断函数单调性的基本方法对各说法的正确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】正切函数在定义域（k-，k+）（k∈Z）上单调递增，A，B，C的说法错误，D的说法正确，D正确，选D。
4、在区间（0，）上，下列函数是增函数的是（ ）
A y= B y=- C y=-sinx D y=-cosx
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②余弦函数的图像和性质；③函数单调性的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正弦函数和余弦函数的图像与性质，根据判断函数单调性的基本方法对各选项的准确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】正弦函数y= sinx在区间（0，）上单调递增，A，C错误；余弦函数y=cosx在区间（0，）上单调递减，B错误，D正确，D正确，选D。
5、下列关系式中正确的是（ ）
A sin＜cos＜sin B sin＜sin＜cos
C sin＜sin＜cos D sin＜cos＜sin
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②三角函数诱导公式及运用；③函数单调性的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用正弦函数和余弦函数的图像与性质，根据判断函数单调性的基本方法对各选项的准确性进行判断就可得出选项。
【详细解答】 cos= cos(-)=sin, sin= sin(-)=sin ,正弦函数y= sinx在区间（0，）上单调递增， sin＜sin ＜sin,即：sin＜sin＜cos，C正确，选C。
6、下列函数中，周期为，图像关于直线x=对称的函数是（ ）
A y=2sin(+) B y=2sin(- ) C y=-sin(2x+) D y=sin(2x-)
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法；③处理正弦型函数问题的基本方法。
【解题思路】运用正弦型函数的图像与性质，根据求三角函数最小正周期的基本方法确定周期为的选项，利用处理正弦型函数问题的基本方法确定图像关于直线x=对称的函数就可得出选项。
【详细解答】函数的周期为，==2，排除A，B，函数的图像关于直线x=对称，2+= k+，= k-（kZ），当k=0时， = -，排除C，D正确，选D。
7、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离是（ ）
A B C 2 D 与a值有关
【解析】
【知识点】①正切函数的图像和性质；②三角函数方程的定义与基本求法。
【解题思路】运用正切函数的图像与性质，根据求三角函数方程的基本方法确定出直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离就可得出选项。
【详细解答】正切函数的最小正周期为，直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离是，A正确，选A。
8、方程tan（2x+）=在区间［0，2）上的解的个数是（ ）
A 5 B 4 C 3 D 2
【解析】
【知识点】①正切型函数的图像和性质；②三角函数方程的定义与基本求法。
【解题思路】运用正切型函数的图像与性质，根据求三角函数方程的基本方法确定出方程tan（2x+）=在区间［0，2）上的解的个数就可得出选项。
【详细解答】 tan（2x+）= tan［2（x+）］， y
EMBED Unknown 作出函数y= tan［2（x+）］的部分图像如图所
示，在同一之间坐标系中作出直线y=，由图可- -0 x
知直线y=与函数y= tan［2（x+）］的图像在区间［0，2）上有5个交点，方程tan（2x+）=在区间［0，2）上的解的个数是5，A正确，选A。
9、关于函数f(x)=tan(2x-)，有以下命题：①函数f(x)的最小正周期是；②函数f(x)的定义域是{x|xR ，且x+，kZ }；③y=f(x)是奇函数；④y=f(x)的一个单调递增区间为（-，）。其中正确的是 ；
【解析】
【知识点】①正切型函数的图像和性质；②三角函数最小正周期的定义与基本求法；③处理正切型函数问题的基本方法。
【解题思路】运用正切型函数的图像与性质，根据求三角函数最小正周期和处理正切型函数的基本方法对各命题的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】函数f(x)=tan(2x-)的最小正周期T= ，①正确；由2x- k
+解得：x+ （kZ），函数f(x)的定义域是{x|xR ，且x+，kZ }，②错误；函数f(x)的定义域{x|xR ，且x+，kZ }关于原点不对称，函数f(x)不具有奇偶性， ③错误；由k-＜2x-＜k+解得：
-＜x＜+（kZ），当k=0时，-＜x＜，④错误，其中正确的是①。
10、求下列函数的周期：
（1）y=sin x，x∈R； （2）y=cos4x，x∈R；
（3）y=sin5x，x∈R； （4）y=3sin(x+)，x∈R。
【解析】
【知识点】①正弦型函数的图像和性质；②余弦型函数的图像和性质；③三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】运用正弦型函数和余弦型函数的图像与性质，求三角函数最小正周期的基本方法就可求出各函数的最小正周期。
【详细解答】（1） T= =，函数y=sin x的最小正周期为；（2） T= =，函数y=cos4x的最小正周期为；（3） T= =，函数y=sin5x的最小正周期为；（4） T= =4，函数y=3sin(x+)的最小正周期为4。
『思考问题4』
（1）【典例4】是三角函数性质及运用的问题，解答这类问题应该理解并掌握三角函数的性质，注意正弦型函数和余弦型函数处理的基本方法；
（2）求三角函数最小正周期的基本方法有：①定义法（直接利用周期函数的定义求最小正周期）；②公式法（对函数y=Asin(x+) (或y=Acos(x+))可运用公式T=求最小正周期；对函数y=tan(x+)可运用公式T=求最小正周期）；③图像法（作出三角函数的图像，根据图像确定最小正周期）。
（3）【典例4】中的4，5是与三角函数的单调性相关的问题，解答时首先确定问题涉及到哪些基本三角函数，再根据相应的基本三角函数的性质直接得出解答；
（4）【典例4】中的6，7，8，9，10是与三角函数的周期，对称性相关的问题，解答时首先确定问题涉及到哪些基本三角函数，再根据相应的基本三角函数的性质求解，同时还要注意公式T= 中是的绝对值而不是。
〔练习4〕解答下列问题：
1、下列说法正确的是（ ）（答案：D）
A y=tanx是增函数 B y=tanx在第一象限是减函数
C y=tanx在某一区间上是减函数 Dy=tanx在（k-，k+）kZ上是增函数
2、函数y=5tan(-)的最小正周期是 ；（答案：T=4）
3、函数y=|sin(2x+)|的最小正周期是 ；（答案：T=）
4、函数f(x)=|tanx|的最小正周期是 ；（答案：T=）
5、函数y=5tan（x-）的单调区间是 ；（答案：在（k-，k+）（kZ）上单调递增）
6、不求值，比较下列各小题中两个函数值的大小：
（1）sin与sin； （2）cos（-）与cos(-)；
（3）sin与sin； （4）cos与cos(-)。
（答案：（1）sin>sin；（2）cos（-）>cos(-)；（3）sincos(-)。）
7、求下列函数的单调区间：
（1）y=1+sinx，xR； （2）y=-cosx，xR。
（答案：（1）在[2k-，2k+]上单调递增，在[2k+，2k+]上单调递减；（2）在[2k，2k+]上单调递减，在[2k+，2k+2]上单调递增。）
8、不求值，指出下列各式大于0还是小于0：
（1）sin(-)-sin(-)； （2）cos(-)-cos(-)。
（答案：（1）sin(-)-sin(-)>0；（2）cos(-)-cos(-)<0。）
9、求下列函数的最小正周期周期：
（1）y=3cosx，xR； （2）y=sin2x，xR； （3）y=2sin(x- )，xR。
（答案：（1）T=2；（2）T=；（3）T=4。）
【典例5】解答下列问题：
1、求下列函数的值域：
（1）y=2sin(2x+)(-x)； （2）y=6-4sinx-cosx； （3）y=。
【解析】
【知识点】①正弦函数的图像和性质；②处理正弦型函数的基本方法；③一元二次函数的定义余性质；④求函数值域的基本方法；⑤同角三角函数基本关系及运用；⑥换元法及运用。
【解题思路】（1）运用正弦函数的性质和处理正弦型函数的基本方法，就可求出函数y=2sin(2x+)(-x)的值域；（2）根据同角三角函数基本关系把函数化为关于正弦函数的一元二次式，利用换元法转化为一元二次函数，从而求出函数y=6-4sinx-cosx的值域；（3）运用正弦函数的性质就可求出函数y=的值域。
【详细解答】（1）-x，02x+，0sin(2x+)1，当 -x时，0y=2sin(2x+)2，即当 -x时，函数y=2sin(2x+)的值域为［0，2］；（2） y=6-4sinx-cosx=sinx-4sinx+5，设t= sinx，t∈［-1，1］， y= -4t
+5，函数y= -4t+5在［-1，1］上单调递减，=-4（-1）+5=10，=1-41+5
=2，即函数y=6-4sinx-cosx的值域为［2，10］；（3）-3 sinx -2-1，-3 y=
==2+-，

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