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第十二讲 导数的应用
【考纲解读】
理解函数单调性，函数零点，函数极值和函数最值的基本概念；
理解可导函数单调性，极值和最值与导数的关系；
掌握函数在闭区间上最值存在定理，掌握判断函数极值点和极值存在的基本方法，掌握求函数极值，函数零点和函数在闭区间上最值的基本方法；
能够熟练应用导数判断函数的单调性（或求函数的单调区间），求函数极值，函数零点和函数最值。
【知识精讲】
一、应用导数判定函数的单调性：
1、可导函数单调性与导数的关系：
定理：设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且导数为（x）。
(1)如果对任意的x（a，b），都有（x）≥0（但（x）不恒为0），则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递增函数（注意其逆定理不一定成立）；
(2)如果对任意的x（a，b），都有（x）≤0（但（x）不恒为0），则函数f(x)是区间（a，b）上的单调递减函数（注意其逆定理不一定成立）；
(3)如果对任意的x（a，b），都有（x）=0，则函数f(x)是区间（a，b）上的常值函数。
2、应用导数判断函数单调性的方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
（3）用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
（4）判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由可导函数单调性与导数的关系判断函数f(x)在各个小区间的单调性；
（5）得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
3、求函数单调区间的方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
（3）用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
（4）判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由可导函数单调性与导数的关系判断函数f(x)在各个小区间的单调性；
（3）得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
4、应用导数判断含有参变量函数f(x)的单调性：
（1）参数分类的原则和基本方法：①对方程（x）=0的根是否在函数f(x)的定义域内进行分类；②对方程（x）=0的根与函数f(x) 间断点（不属于f(x)定义域的点）的横坐标的大小进行分类；
（2）在参数分类的基础上，运用应用导数判断函数单调性的基本方法对函数f(x)的单调性进行判断；
（3）综合得出函数f(x)的单调性。
5、已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）：
（1）根据函数的单调性，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立（注意（x）=0在区间上不能恒成立）；
（2）求解不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立时参数的值（或取值范围）；
（3）得出函数f(x)解析式中参数的值（或取值范围）（注意（x）=0在区间上不能恒成立）。
二、应用导数求函数的极值：
1、函数极值的定义：
（1）设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)≤f()成立，则称f()是函数的一个极大值，记作 ；
（2）设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)≥f()成立，则称f()是函数的一个极小值，记作；
2、运用导数判断函数极值存在的基本方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导函数（x），令导函数（x）=0，求出可能的极值点（导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）；
（3）设函数f(x)在可能的极值点处连续。①如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的极大值；②如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<0，则f()是函数f(x)的极小值。
3、应用导数求函数极值的基本方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导数（x），令导函数（x）=0，求出可能的极值点（导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应对根是否在定义域内进行讨论））；
（3）运用应用导数判断函数极值存在的基本方法，判断函数f(x)在可能的极值点是否存在极值，并确定是极大值，还是极小值；
（4）运用求函数值的基本方法求出f()的值，从而得出函数f(x)的极值。
三、应用导数求函数在闭区间上的最值：
1、函数在闭区间上最值存在定理：
如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。
2、应用导数求函数在闭区间上最值的基本方法：
（1）求出函数f(x)在区间（a，b）上的极值；
（2）求出函数f(x)在闭区间上两个端点的函数值；
（3）比较函数极值与端点值的大小，得出函数f(x)在闭区间上的最值。
四、应用导数研究函数的零点，证明不等式的基本方法：
1、应用导数研究函数的零点，证明不等式的基本思想：
应用导数研究函数零点，证明不等式的基本思想是构造一个函数，再通过研究函数的单调性来解决函数的零点和证明不等式的问题。
2、应用导数研究函数的零点，证明不等式的基本方法：
（1）应用导数证明不等式的基本方法：
①构造函数（x），把问题转化为证明（x）＞0（或（x）＜0）；
②应用导函数求函数（x）的单调区间；
③判断定义域内（x）与0的大小关系，从而证明不等式。
（2）应用导数研究函数零点的基本方法：
①构造新函数（x），把问题转化为求方程（x）=0的根；
②求出函数（x）的单调区间和极值；
③根据函数（x）的单调性和极值作出函数（x）的大致图像；
④判断函数（x）零点的个数（函数（x）含有参数需对参数可能的情况进行分类讨论）。
五、应用导数研究任意性，存在性以及参数的取值问题：
1、应用导数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本思想：
分离参数，把问题转化为求函数的最值问题。
2、应用导数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本方法：
（1）解答不等式恒成立、任意性和存在性问题的方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②求出函数f(x)的最大值或最小值（若问题涉及到不确定性，需要分类进行讨论）。
（2）求参数取值问题的基本方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②求出函数f(x)的最大值或最小值。
六、应用导数解决生活中的优化问题：
1、生活中的优化问题的定义：
生活中的优化问题是指实际问题中的最大值或最小值问题。
2、解决生活中优化问题的基本思想：
根据实际问题中涉及的变量关系构造函数，把实际问题中的最大值或最小值问题转化为求函数的最大值或最小值问题。
3、解决生活中优化问题的基本方法：
（1）根据实际问题中涉及的变量关系构造函数f(x)（注意确定函数关系式中自变量的取值范围）；
（2）利用导数求出函数f(x)的最大值或最小值（如果函数f(x)在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点；注意求得结果的实际意义，不符合实际意义的值应该舍去）。
【探导考点】
考点1应用导数判断函数的单调性 ：热点①应用导数判断不含参数函数的单调性；热点②应用导数判断含参数函数的单调性；热点③ 已知函数单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2应用导数求函数的极值（或最值） ：热点①应用导数求函数的极值；热点②已知函数的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；热点③ 应用导数求函数的最值；热点④函数极值与最值的综合问题；
考点3应用导数求函数零点（或解答与不等式相关的问题） ：热点①应用导数求解不等式；热点②应用导数证明不等式；热点③ 不等式恒成立（不等式有解）的问题；热点④应用导数研究函数的零点问题；
考点4应用导数求解生活中的优化问题：热点①应用导数求生活中的最大值；热点②应用导数求生活中的最小值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、“在区间（a，b）内（x）＞0”是“f（x）在该区间内单调递增”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、设（x）是函数f(x)的导函数，函数（x）的图像如图所示，则函数 f(x)的图像可能是（ ）
y y y y y
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
A B C D
3、判断函数f(x)=4+的单调性；
4、已知函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+a+bx，其中函数g(x)的图像在点（1，g(1)）处的切线平行于x轴。
（1）确定a与b的关系；
（2）若a0，试讨论函数g(x)的单调性。
『思考问题1』
【典例1】是应用导数判断可导函数单调性的问题，这类问题主要包括：①应用导数判断可导函数解析式中不含参数的单调性；②应用导数判断可导函数解析式中含参数的单调性；③已知可导函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
（2）解答应用导数判断可导函数解析式中不含参数单调性问题的基本方法是：①求出函数的定义域；②求出函数f（x）的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出函数f（x）的单调性；
（3）解答应用导数判断可导函数解析式中含参数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域；②求出函数f（x）的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③运用参数分类的原则和基本方法分别对函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤综合得出函数f（x）的单调性；
（4）参数常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小；
（5）解答已知可导函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据可导函数的单调性，得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出参数的值（或取值范围）。
〔练习1〕解答下列问题：
设（x）是函数f(x)的导函数，y=（x）的 y
图像如图所示，则y=f(x)的图像最有可能是（ ）
0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、函数f(x)=4+的单调递增区间为（ ）
A （0，+∞） B （，+∞） C （-∞，-1） D （-∞，-）
3、已知函数f(x)=xlnx，则函数f(x)（ ）
A在（0，+∞）上递增B在（0，+∞）时递减C在（0，）上递增D在（0，）上递减
4、函数y=x-lnx的单调递减区间是 。
5、函数f(x)=x-2sinx在（0，2）内的单调递增区间是 。
6、讨论函数f(x)=(a-1)lnx+a+1的单调性。
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)= -lnx的单调递减区间为（ ）
A （-1，1） B （0，1） C （1，+∞） D （0，+∞）
2、已知定义在区间（-，）上的函数f(x)=xsinx+cosx，则函数f(x)的单调递增区间是 ；
3、已知函数f(x)=- +3+9x+a，求函数f(x)的单调区间；
4、已知函数f(x)= ++ax+1（aR），求函数f(x)的单调区间；
在区间（-∞，0），（-，+∞）上单调递减，在区间（0，-）上单调递增。
『思考问题2』
（1）【典例1】是运用函数导函数求函数单调区间的问题，解答这类问题需要理解导数与函数单调性的关系，掌握应用导数求函数单调区间的基本方法，对函数解析式中含有参数的问题应该根据参数分类讨论的原则和基本方法分别求出函数的单调区间，再综合得出函数f(x)的单调区间；
（2）解答应用导数求函数单调区间问题的基本方法是：①求出函数的定义域；②求出函数f(x)的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③根据函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，由（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出函数f(x)的单调区间；
（3）应用导数求解析式中含参数函数单调区间的基本方法是：①求出函数的定义域；②求函数f(x)的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③根据参数分类的原则和基本方法分别用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，由（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数f(x)的单调区间。
〔练习2〕解答下列问题：
1、求函数f(x)=(x-3) 的单调区间；
2、已知函数f(x)= lnx，求函数f(x)的单调区间；
3、已知函数f(x)=a+6-x(a≠0)，求函数f(x)的单调区间；
4、已知函数f(x)= (ax+b)- -4x，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=4x+4。（1）求a，b的值；
（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)=++mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C ［，+∞） D （-∞，］
2、设函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
3、设f(x)=a+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调间；
4、已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A（0，1）对称。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ 在区间（0，2〕上为减函数，求实数a的取值范围；
5、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据导数与函数单调性的关系（或函数具有单调性的条件），得到关于参数的不等式（或不等式组），然后求解不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在（a，b）上单调性，则区间（a，b）是相应单调区间的子集寻求参数应该满足的条件；②函数f(x)为增函数（或减函数）的充要条件是对任意的x（a，b）都有（x）0（或（x）0），且在（a，b）的任一非空子区间上（x）不恒为零（注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解）；③运用函数在某个区间存在单调区间参数应该满足的条件得到不等式（或不等式组）；④求解不等式（或不等式组）；⑤得出参数的值（或取值范围）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)= -ax-1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
2、如果函数f(x)=ax-在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围。
3、已知函数f(x)=-+a+1（aR）。
（1）若函数y=f(x)在区间（0，）上递增，在区间〔，+∞）递减，求a的值；
（2）当x〔0,1〕时，设函数y=f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a〔，+∞），求的取值范围。
4、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。
【典例4】解答下列问题：
1、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
3、求函数f(x)= 的极大值；
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
『思考问题4』
（1）【典例4】是应用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握判断函数极值存在和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0，但导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在（或确定函数在某点存在极大值还是极小值）的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0；②判定函数在该点左右的导数值的符号；③运用极值存在定理判定该点是否是极值；④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值；⑤得出函数的极值；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值（或取值范围）；
（5）求函数极值的基本方法是：①求出函数f(x)的导数（x）；②求出导数（x）=0这个方程的根；③运用极值存在定理判断这些点哪些极值点；④确定极值点是极大值还是极小值；⑤求出函数在该点的函数值得到函数极大值（或极小值）。
〔练习4〕解答下列问题：
函数f(x)= +2的极值点的（ ）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值；
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
求函数f(x)的极值；
若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。
【典例5】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，求出函数f(x) 在区间〔-2，2〕上的极值，同时求出f(-2)，f(2)的函数值，利用函数最值的性质和求函数最值的基本方法就可求出函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值。
【详细解答】（x）=4-4x x -2 (-2，-1) -1（-1，0）0（0，1） 1（1，2） 2
=4x(x+1)(x-1)，令 （x）=0解 （x） - + - +
得：x=-1或x=0或x=1，x， f(x) 13 4 5 4 13
（x），f(x)的变化情况如图所示：= f(-2)= f(2)=13，= f(-1)= f(1)=4。
2、求函数y= - 的值域。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质； ⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 的导数（x），运用求函数最值的基本方法，求出函数f(x)的最小值与最大值，就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】函数f(x)的定义域为［-2，+），（x）= -
==
=0在［-2，+）恒成立，函数f(x) 在区间［-2，+）上单调递增，= f(-2)=0-1=-1，无最大值，函数f(x)的值域为［-1，+）。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥求函数
极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 当a=1时的导数（2）的值，根据函数在某点导数的几何意义和求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，e）上的最小值。
【详细解答】（1）当a=1时，（x）=-+=，（2）=， f(2)
= +ln2-1=ln2- ，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为：y-( ln2- )= (x-2)，
即：y=x+ln2-1；（2）（x）=-+=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在区间（0，+）上单调递增，此时函数f(x)在区间（0，e）上无最值；②当a＞0时，令（x）=0得x=a，x（0，a）时，（x）＜0， x（a，+）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（0，a）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，若a＜e, = f(a)=1+lna-1=lna，若a＞e，＞f(e)= +1-1=，综上所述，当a0时，函数f(x)在区间（0，e）上无最值，当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e）上的最小值为lna，当ae时，函数f(x)在区间（0，e）上无最小值。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x）；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间〔0，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)，（x）=-1=；（2）令
（x）=0得x=1-a, ①当1-a0，即a1时，（x）＜0在区间〔0，2〕上恒成立，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递减，即= f(2)=ln(2+a)-2；②当0＜1-a2，即0＜a＜1时，x［0，1-a）时，（x）＞0， x（a，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，1-a）上单调递增，在区间（1-a，2］上单调递减， f(2)=ln(2+a)-2，f(0)=lna-0
=lna, f(2)- f(0) =ln(2+a)-2- lna=ln -2，若0＜a ＜，= f(0)= lna，若
a＜1，= f(2) =ln(2+a)-2，综上所述，当0＜a ＜时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为= lna，当a时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为=ln(2+a)-2。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【详细解答】（1）（x）=a+=，①当a0时， （x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增；②当a＜0时，令（x）=0解得：x=-或x=，若2，即a-时，（x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增， 综上所述，若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，则实数a的取值范围是［-，+）；（2）由（1）知，①当a-时，函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-;②当＜2，即a＜-时， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，函数f(x) 在区间（0，）上单调递增，在区间（，2〕上单调递减，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f()=-2， 综上所述，当a［-，+）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-，当a（-，-）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为=f()=-2。
6、已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在［1，2］上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间［1，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）（x）=-a=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立， 函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；②当a＞0时，令（x）=0解得：x=，
x（0，）时，（x）＞0， x（，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减，综上所述，当a0时，函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减；（2）①当＜1，即a＞1时，由（1）知（x）＜0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递减，= f(2)=ln2-2a；②当1＜2，即＜a1时，由（1）知， x［1，）时，（x）＞0， x（，2］时，（x）＜0， 函数f(x) 在区间［1，）上单调递增，在区间（，2］上单调递减， f(2)=ln2-2a，f(1)=ln1-a=-a，f(2)- f(1)=ln2-2a+a= ln2-a，若ln2＜a， =f(2)=ln2-2a，若ln2＞a，=f(1)=ln1-a=-a；③当2，即0＜a时，由（1）知（x）＞0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递增，
=f(1)=ln1-a=-a，综上所述，当0＜a＜ln2时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(1)=ln1-a=-a；当ln2a时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(2)=ln2-2a。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求函数的最值（或值域）的问题，解答这类问题应该理解函数最值（或值域）的定义和连续函数在闭区间上最值存在定理，掌握求函数最值（或值域）的基本求法，注意函数极值与最值之间的关系；
（2）应用导数求函数的最大值与最小值的理论依据是连续函数在闭区间上最值存在定理；
（3）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间上函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（4）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数f(x)的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值（或值域）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值与最小值；（答案：函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值为f(1)= +2+1+1=，最小值为f(-2+ )=（7-4）（-2+）+2（7-4）-2++1=-2。）
2、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；（答案：= f(a-1+ )=2(1-)。）
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）实数a的取值范围是[0，+）；（2）①当a0时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；②当a-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；③当-1【典例6】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 ；
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，求a的取值范围。
『思考问题6』
（1）【典例6】是已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据导数判断函数在某点存在极值和求函数极值（或最值）的基本方法得到关于参数的方程，不等式（或不等式组），然后求解方程，不等式（或不等式组）就可得出参数的值（或取值范围）；
（2）已知函数极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在某点存在极值的必要条件和求函数极值（或最值）的基本方法寻求函数解析式中参数应该满足的条件；②函数f(x)在某点存在极值的必要条件是函数在该点的导数值为0，判断函数在该点是否存在极值的基本方法是函数在该点左右的导函数符号相异，函数在某点的极值就是函数在该点的函数值，函数最值是依据函数最值存在定理，在求出函数极值的基础上确定函数的最值；③根据②得到关于参数的方程，不等式（或不等式组）；④求解方程，不等式（或不等式组）；⑤得出参数的值（或取值范围）。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
2、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。
3、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对x〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。
【典例7】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
2、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+3、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=2时，证明： f(x)-(x) x+对任意的x[1,2]都成立（2020成都市高三一诊）
4、已知函数f(x)= -lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
『思考问题7』
（1）【典例7】是应用导数证明（或求解）不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握应用导数证明（或求解）不等式的基本方法；
（2）应用导数证明（或求解）不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明（或求解）的不等式两边之差）；②应用导数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数的单调性；③应用导数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明新函数的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）；④由③证明（或求解）不等式；⑤综合得出证明的结论。
「练习7」解答下列问题：
1、已知函数f(x)= -+x。
（1）求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；
（2）当x［-2，4］时，求证：x-6f(x) x；
（3）设F（x）=［f(x)-(x+a) ］(aR)，记F（x）在区间［-2，4］上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值（2019全国高考北京）
2、已知函数f(x)=lnx，g(x)=x+1，若函数f(x)图像上任意一点P关于直线y=x的对称点
Q恰好在函数h(x)的图像上。
（1）证明：g(x) h(x)；
（2）若函数F（x）= 在［k，+）（k）上存在极值，求k的最大值（2018成都市高三三诊）
3、已知函数f(x)=xlnx+ax+1，aR。
（1）当x＞0时，若关于x的不等式f(x) 0恒成立，求a的取值范围；
当n（1，+ ），证明：＜lnx＜-x（2018成都市高三二诊）
【典例8】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=a--1，其中a>0。
（1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值（2020成都市高三零诊）
2、已知函数f(x)= -kx+ 。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有三个零点，求k的取值范围（2020全国高考新课标III）。
3、设函数f(x)=axlnx-x+ ，a 0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，求a的取值范围。
4、已知函数f(x)=（2-a）x-2(1+lnx)+a。
（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间（0，）上无零点，求a的最小值。
『思考问题8』
（1）【典例8】是应用导数探导方程的根（或函数零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与x轴的交点的横坐标与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）应用导数求解方程的根（或函数零点）的基本方法是：①应用导数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数零点）与函数图像与x轴交点横坐标之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
「练习8」解答下列问题：
1、已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，（x）为f(x)的导数。
（1）证明：（x）在区间（0，）存在唯一零点；
（2）若x［0，］时，f(x) ax，求a的取值范围（2019全国高考新课标I）
2、已知函数f(x)=（x-1）lnx-x-1.证明：
（1）f(x)存在唯一的极值点；
（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（2019全国高考新课标II）
3、已知函数f(x)= （x-1）-m+2，其中mR，e=2.71828----为自然对数的底数。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当常数m（2，+）时，若函数f(x)在［0，+）上有两个零点，（＜），证明： -＞ ln（2018成都市高三一诊）
【典例9】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值（2019全国高考江苏）
2、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2018全国高考江苏卷）
『思考问题9』
（1）【典例9】是应用导数解答生活中的优化问题，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）应用导数解答生活中的优化问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，列出相应函数的解析式； ③应用导数求函数最值的基本方法求出函数的最值；④得出生活中问题的优化答案。
〔练习9〕解答下列问题：
1、某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元。
（1）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以46万元出售该写字楼；
②纯利润总和最大时，以10万元出售该写字楼，问哪种方案盈利更多？
2、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-)元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。
【追踪考试】
【典例10】解答下列问题：
1、已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
2、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
3、已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若
<，则a的取值范围是 （2022全国高考乙卷理）
4、函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2]的最小值，最大值分别为（ ）（2022全国高考乙卷文）
A - ， B - ， C - ，+2 D - ，+2
5、已知函数f(x)= -x+1，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 函数f(x)有两个极值点 B 函数f(x)有三个零点
C 点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心 D 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
『思考问题10』
（1）【典例10】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中导数应用的问题，归结起来主要包括：①应用导数判断可导函数的单调性；②应用导数求可导函数的极值（或最值）；③应用导数确定可导函数的零点个数（或零点所在区间）；④应用导数求解（或证明）不等式；⑤应用导数解答生活中的优化问题等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习10〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②02、设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；（答案：函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增；）
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
第十二讲 导数的应用
【考纲解读】
1.理解函数单调性，函数零点，函数极值和函数最值的基本概念；
2.理解可导函数单调性，极值和最值与导数的关系；
3.掌握函数在闭区间上最值存在定理，掌握判断函数极值点和极值存在的基本方法，掌握求函数极值，函数零点和函数在闭区间上最值的基本方法；
4.能够熟练应用导数判断函数的单调性（或求函数的单调区间），求函数极值，函数零点和函数最值。
【知识精讲】
一、应用导数判定函数的单调性：
1、可导函数单调性与导数的关系：
定理：设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且导数为（x）。
(1)如果对任意的x（a，b），都有（x）≥0（但（x）不恒为0），则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递增函数（注意其逆定理不一定成立）；
(2)如果对任意的x（a，b），都有（x）≤0（但（x）不恒为0），则函数f(x)是区间（a，b）上的单调递减函数（注意其逆定理不一定成立）；
(3)如果对任意的x（a，b），都有（x）=0，则函数f(x)是区间（a，b）上的常值函数。
2、应用导数判断函数单调性的方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
（3）用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
（4）判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由可导函数单调性与导数的关系判断函数f(x)在各个小区间的单调性；
（5）得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
3、求函数单调区间的方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
（3）用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
（4）判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由可导函数单调性与导数的关系判断函数f(x)在各个小区间的单调性；
（3）得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
4、应用导数判断含有参变量函数f(x)的单调性：
（1）参数分类的原则和基本方法：①对方程（x）=0的根是否在函数f(x)的定义域内进行分类；②对方程（x）=0的根与函数f(x) 间断点（不属于f(x)定义域的点）的横坐标的大小进行分类；
（2）在参数分类的基础上，运用应用导数判断函数单调性的基本方法对函数f(x)的单调性进行判断；
（3）综合得出函数f(x)的单调性。
5、已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）：
（1）根据函数的单调性，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立（注意（x）=0在区间上不能恒成立）；
（2）求解不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立时参数的值（或取值范围）；
（3）得出函数f(x)解析式中参数的值（或取值范围）（注意（x）=0在区间上不能恒成立）。
二、应用导数求函数的极值：
1、函数极值的定义：
（1）设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)≤f()成立，则称f()是函数的一个极大值，记作 ；
（2）设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)≥f()成立，则称f()是函数的一个极小值，记作；
2、运用导数判断函数极值存在的基本方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导函数（x），令导函数（x）=0，求出可能的极值点（导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）；
（3）设函数f(x)在可能的极值点处连续。①如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的极大值；②如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<0，则f()是函数f(x)的极小值。
3、应用导数求函数极值的基本方法：
（1）求出函数的定义域；
（2）求出函数f(x)的导数（x），令导函数（x）=0，求出可能的极值点（导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应对根是否在定义域内进行讨论））；
（3）运用应用导数判断函数极值存在的基本方法，判断函数f(x)在可能的极值点是否存在极值，并确定是极大值，还是极小值；
（4）运用求函数值的基本方法求出f()的值，从而得出函数f(x)的极值。
三、应用导数求函数在闭区间上的最值：
1、函数在闭区间上最值存在定理：
如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。
2、应用导数求函数在闭区间上最值的基本方法：
（1）求出函数f(x)在区间（a，b）上的极值；
（2）求出函数f(x)在闭区间上两个端点的函数值；
（3）比较函数极值与端点值的大小，得出函数f(x)在闭区间上的最值。
四、应用导数研究函数的零点，证明不等式的基本方法：
1、应用导数研究函数的零点，证明不等式的基本思想：
应用导数研究函数零点，证明不等式的基本思想是构造一个函数，再通过研究函数的单调性来解决函数的零点和证明不等式的问题。
2、应用导数研究函数的零点，证明不等式的基本方法：
（1）应用导数证明不等式的基本方法：
①构造函数（x），把问题转化为证明（x）＞0（或（x）＜0）；
②应用导函数求函数（x）的单调区间；
③判断定义域内（x）与0的大小关系，从而证明不等式。
（2）应用导数研究函数零点的基本方法：
①构造新函数（x），把问题转化为求方程（x）=0的根；
②求出函数（x）的单调区间和极值；
③根据函数（x）的单调性和极值作出函数（x）的大致图像；
④判断函数（x）零点的个数（函数（x）含有参数需对参数可能的情况进行分类讨论）。
五、应用导数研究任意性，存在性以及参数的取值问题：
1、应用导数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本思想：
分离参数，把问题转化为求函数的最值问题。
2、应用导数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本方法：
（1）解答不等式恒成立、任意性和存在性问题的方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②求出函数f(x)的最大值或最小值（若问题涉及到不确定性，需要分类进行讨论）。
（2）求参数取值问题的基本方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②求出函数f(x)的最大值或最小值。
六、应用导数解决生活中的优化问题：
1、生活中的优化问题的定义：
生活中的优化问题是指实际问题中的最大值或最小值问题。
2、解决生活中优化问题的基本思想：
根据实际问题中涉及的变量关系构造函数，把实际问题中的最大值或最小值问题转化为求函数的最大值或最小值问题。
3、解决生活中优化问题的基本方法：
（1）根据实际问题中涉及的变量关系构造函数f(x)（注意确定函数关系式中自变量的取值范围）；
（2）利用导数求出函数f(x)的最大值或最小值（如果函数f(x)在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点；注意求得结果的实际意义，不符合实际意义的值应该舍去）。
【探导考点】
考点1应用导数判断函数的单调性 ：热点①应用导数判断不含参数函数的单调性；热点②应用导数判断含参数函数的单调性；热点③ 已知函数单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2应用导数求函数的极值（或最值） ：热点①应用导数求函数的极值；热点②已知函数的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；热点③ 应用导数求函数的最值；热点④函数极值与最值的综合问题；
考点3应用导数求函数零点（或解答与不等式相关的问题） ：热点①应用导数求解不等式；热点②应用导数证明不等式；热点③ 不等式恒成立（不等式有解）的问题；热点④应用导数研究函数的零点问题；
考点4应用导数求解生活中的优化问题：热点①应用导数求生活中的最大值；热点②应用导数求生活中的最小值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、“在区间（a，b）内（x）＞0”是“f（x）在该区间内单调递增”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【知识点】①运用导数判断函数单调性的基本方法；②充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；③判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据导数判断函数单调性的基本方法和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，对问题进行正确判断就可得出选项。
【详细解答】由在区间（a，b）内（x）＞0，可以推出函数f（x）在该区间内单调递增；由函数f（x）在该区间内单调递增，不一定能够推出在区间（a，b）内（x）＞0，
“在区间（a，b）内（x）＞0”是“f（x）在该区间内单调递增”的充分不必要条件，A正确，选A。
2、设（x）是函数f(x)的导函数，函数（x）的图像如图所示，则函数 f(x)的图像可能是（ ）
y y y y y
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
A B C D
【解析】
【知识点】①运用导数判断函数单调性的基本方法；②函数图像的定义与性质。
【解题思路】根据导数判断函数单调性的基本方法和函数图像的性质，利用函数（x）的图像确定出函数 f(x)的图像就可得出选项。
【详细解答】由函数（x）的图像可知，在区间（-1，1）上（x）>0，在区间（-∞，-1），（1，+∞）上（x）<0，函数 f(x) 在区间（-1，1）上单调递增，在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，A正确，选A。
3、判断函数f(x)=4+的单调性；
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导法则及运用；③运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和函数求导法则求出函数f(x)的导函数（x），运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)=4+的单调性。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-∞， x （-∞，0）0 （0，）（，+∞）
0）（0，+∞），（x）=8x- （x） - - 0 +
=，令（x）=0解得x=,x， f(x)
（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在（-∞，0），（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。
4、已知函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+a+bx，其中函数g(x)的图像在点（1，g(1)）处的切线平行于x轴。
（1）确定a与b的关系；
（2）若a0，试讨论函数g(x)的单调性。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤运用导数判断函数单调性的基本方法；⑥参数分类讨论原则及基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义得到关于a，b的等式，从而求出a与b的关系；（2）运用导数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则及基本方法对参数a的取值分别考虑求出函数f(x)= 的单调区间，就可综合得出结果。
【详细解答】（1） g(x)=f(x)+a+bx= lnx+a+bx，（x）=+2ax+b，函数g(x)的图像在点（1，g(1)）处的切线平行于X轴，（1）=1+2a+b，b=-1-2a；（2）由（1）知（x）=+2ax+b==，函数g(x)的定义域为（0，+∞），①当a=0时，令（x）=0解得：x=1， x（0，1）时，（x）>0，x（1，+∞）时，（x）<0，函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；②当a>0时，令（x）=0解得：x=1或x= ，若>1，即00，x（1，）时，（x）<0，函数g(x)在区间（0，1），（，+∞）上单调递增，在区间（1，）上单调递减；若0<<1，即a>时， x（0，）（1，+∞）时，（x）>0，x（，1）时，（x）<0，函数g(x)在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减；若
=1，即a=时， x（0，+∞）时，（x）0恒成立，函数g(x)在区间（0，+∞）上单调递增，综上所述，当a=0时，函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；当0
时，函数g(x)在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减。
『思考问题1』
【典例1】是应用导数判断可导函数单调性的问题，这类问题主要包括：①应用导数判断可导函数解析式中不含参数的单调性；②应用导数判断可导函数解析式中含参数的单调性；
（2）解答应用导数判断可导函数解析式中不含参数单调性问题的基本方法是：①求出函数的定义域；②求出函数f（x）的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出函数f（x）的单调性；
（3）解答应用导数判断可导函数解析式中含参数单调性的基本方法是：①求出函数的定义域；②求出函数f（x）的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③运用参数分类的原则和基本方法分别对函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤综合得出函数f（x）的单调性；
（4）参数常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
〔练习1〕解答下列问题：
设（x）是函数f(x)的导函数，y=（x）的 y
图像如图所示，则y=f(x)的图像最有可能是（ ）（答案：C）
0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、函数f(x)=4+的单调递增区间为（ ）（答案：B）
A （0，+∞） B （，+∞） C （-∞，-1） D （-∞，-）
3、已知函数f(x)=xlnx，则函数f(x)（ ）（答案：D）
A在（0，+∞）上递增B在（0，+∞）时递减C在（0，）上递增D在（0，）上递减
4、函数y=x-lnx的单调递减区间是 。（答案：（0，1））
5、函数f(x)=x-2sinx在（0，2）内的单调递增区间是 。（答案：（0，），（，2））
6、讨论函数f(x)=(a-1)lnx+a+1的单调性。（答案：当a0时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；当0【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)= -lnx的单调递减区间为（ ）
A （-1，1） B （0，1） C （1，+∞） D （0，+∞）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法求出函数f(x)= -lnx的单调递减区间就可得出选项。
【详细解答】（x）=x-=，函数f(x)的定义域为（0，+∞），由（x）
=<0解得：-1选B。
2、已知定义在区间（-，）上的函数f(x)=xsinx+cosx，则函数f(x)的单调递增区间是 ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)= xsinx+cosx的单调递增区间。
【详细解答】（x）=sinx+x cosx-sinx= x cosx， y
作出函数（x）= x cosx在区间（-，）上的
图像如图所示，由图知，函数（x）在区间（-， - - 0 x
-），（0，）上，（x）>0，函数 f(x) 的单调递增区间是（-，-），（0，）。
3、已知函数f(x)=- +3+9x+a，求函数f(x)的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)= xsinx+cosx的单调递增区间。
【详细解答】（x）=-3+6x+9=-3（-2x-3）=-3(x+1)（x-3），令（x）=0解得：x=-1或x=3，x，函数（x），f(x)的变化情况如表所示，函数f(x)的定义域为R，由表可知，当x（-∞，-1）（3， x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
+∞）时，（x）<0，当x（-1， （x） - 0 + 0 -
3）时，（x）>0，函数f(x)在 f(x)
区间（-∞，-1），（3，+∞）上单调递减，在区间（-1，3）上单调递增。
4、已知函数f(x)= ++ax+1（aR），求函数f(x)的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法；⑤参数分类讨论原则及基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则及基本方法对参数a的取值分别考虑求出函数f(x)= ++ax+1的单调区间，就可综合得出结果。
【详细解答】（x）=+2x+a，①当=4-4a0，即a1时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)= ++ax+1在R上单调递增；②当=4-4a>0，即a<1时，令（x）=0解得：x=-1 -或x=-1 +， x（-∞，-1-）（-1+，+∞）时，（x）>0，x（-1 -，-1+）时，（x）<0，函数f(x)= ++ax+1在区间（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递增，在区间（-1 -，-1+）上单调递减，综上所述，当a1时，函数f(x)= ++ax+1在R上单调递增；当a<1时，函数f(x)= ++ax+1在区间（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递增，在区间（-1 -，-1+）上单调递减。
5、已知a∈R,求函数f(x)= 的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法；⑤参数分类讨论原则及基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则及基本方法对参数a的取值分别考虑求出函数f(x)= 的单调区间，就可综合得出结果。
【详细解答】（x）=2x+a=( a+2x) ，令（x）=0解得：x=0或x=- ，①当-<0，即a>0时， x（-∞，-）（0，+∞）时，（x）>0，x（-，0）时，（x）<0，函数f(x)= 在区间（-∞，-），（0，+∞）上单调递增，在区间（-，0）上单调递减；②当a=0时， x（-∞，0）时，（x）<0，x（0，+∞）时，（x）>0，函数f(x)= 在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；③当->0，即a<0时， x（-∞，0）（-，+∞）时，（x）<0，x（0，-）时，（x）>0，函数f(x)= 在区间（-∞，0），（-，+∞）上单调递减，在区间（0，-）上单调递增，综上所述，当a>0时，函数f(x)= 在区间（-∞，-），（0，+∞）上单调递增，在区间（-，0）上单调递减；当a=0时，函数f(x)= 在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；当a<0时，函数f(x)= 在区间（-∞，0），（-，+∞）上单调递减，在区间（0，-）上单调递增。
『思考问题2』
（1）【典例1】是运用函数导函数求函数单调区间的问题，解答这类问题需要理解导数与函数单调性的关系，掌握应用导数求函数单调区间的基本方法，对函数解析式中含有参数的问题应该根据参数分类讨论的原则和基本方法分别求出函数的单调区间，再综合得出函数f(x)的单调区间；
（2）解答应用导数求函数单调区间问题的基本方法是：①求出函数的定义域；②求出函数f(x)的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③根据函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，由（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出函数f(x)的单调区间；
（3）应用导数求解析式中含参数函数单调区间的基本方法是：①求出函数的定义域；②求函数f(x)的导数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③根据参数分类的原则和基本方法分别用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导数（x）在各个小区间上的符号，由（x）的符号判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数f(x)的单调区间。
〔练习2〕解答下列问题：
1、求函数f(x)=(x-3) 的单调区间；（答案：函数f(x)在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。）
2、已知函数f(x)= lnx，求函数f(x)的单调区间；（答案：函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。）
3、已知函数f(x)=a+6-x(a≠0)，求函数f(x)的单调区间；（答案：当a>0时，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-∞，），（，+∞）上单调递增；当a>0时，函数f(x)在（-∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增。）
4、已知函数f(x)= (ax+b)- -4x，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=4x+4。（1）求a，b的值；
（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。（答案：（1）a=4，b=4；（2）函数f(x)在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减；= f(-2)=4（1- ），= f(-ln2)=-ln 2+2ln2+2。）
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)=++mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C ［，+∞） D （-∞，］
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数m的不等式，求解不等式求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=3+2x+m，函数f(x)=++mx+1是R上的单调函数，=4
-12m0，m，实数m的取值范围是［，+∞），C正确，选C。
2、设函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=-ax+a-1，函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，（4）=15-3a0①，（6）=35-5a0②，=-4（a-1）0③,联立①②③解得：5 a 7, 实数a的取值范围是［5，7］。
3、设f(x)=a+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=3a+1，①当a0时，（x）＞0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，与题意不符；②当a＜0时，令（x）=0解得：x=或x=- ， x（-∞，）（-，+∞）时，（x）＜0，x（，-）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（-∞， ），（-，+∞）上单调递减，在区间（ ，-）上单调递增，综上所述，若函数f(x)=a+x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是（-∞，0），三个单调区间分别是（-∞，），（-，+∞），（，-）。
4、已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A（0，1）对称。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ 在区间（0，2〕上为减函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数解析式的定义与性质； ⑤求函数解析式的基本方法；⑥函数单调性的定义与性质；⑦运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）运用函数解析式的性质和求函数解析式的基本方法就可求出函数f(x)的解析式；（2）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）设P（x，y）是函数f(x)图像上的任意一点，它关于点A（0，1）的对称点为（，）， =0，=1， =-x，=2-y，点（，）在函数h(x)的图像上， =2-y = h(-x)=-x-+2，函数f(x)= x+；（2）g(x)=f(x)+ = x++， （x）=1- - = ， 函数g(x)在区间（0，2〕上为减函数， （x）= 0在区间（0，2〕上恒成立，-1a在区间（0，2〕上恒成立，设函数m（x）=-1，（x）=2x＞0在区间（0，2〕上恒成立，函数m（x）在区间（0，2〕上单调递增， x∈（0，2〕时，= m（2）=4-1=3，若函数g(x)=f(x)+ 在区间（0，2〕上为减函数，则实数a的取值范围是［3，+∞）。
5、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质； ⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）设存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减，利用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式若有解，就可求出实数a的取值范围；若无解，则不存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减。
【详细解答】（1）（x）=3-a，函数f(x)在实数集R上单调递增，（x）0在R上恒成立，即a3在R上恒成立，设函数g(x)= 3， =0，若函数f(x)在实数集R上单调递增，则实数a的取值范围（-∞，0］；（2） 设存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减，①当a0时，由（1）知函数f(x)在实数集R上单调递增，与题意不符；②当a＞0时，令（x）=0解得：x=- 或x= ，函数f(x)在（-1，1）
上单调递减，- -1且1，a3，综上所述，存在实数a∈［3，+∞），使函数f(x)在（-1，1）上单调递减。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据导数与函数单调性的关系（或函数具有单调性的条件），得到关于参数的不等式（或不等式组），然后求解不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在（a，b）上单调性，则区间（a，b）是相应单调区间的子集寻求参数应该满足的条件；②函数f(x)为增函数（或减函数）的充要条件是对任意的x（a，b）都有（x）0（或（x）0），且在（a，b）的任一非空子区间上（x）不恒为零（注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解）；③运用函数在某个区间存在单调区间参数应该满足的条件得到不等式（或不等式组）；④求解不等式（或不等式组）；⑤得出参数的值（或取值范围）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)= -ax-1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是（-∞，0]。）
2、如果函数f(x)=ax-在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是[- ， +∞）。）
3、已知函数f(x)=-+a+1（aR）。
（1）若函数y=f(x)在区间（0，）上递增，在区间〔，+∞）递减，求a的值；
（2）当x〔0,1〕时，设函数y=f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a〔，+∞），求的取值范围。（答案：（1）a=1；（2）（0，）。）
4、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。（答案：（1）a=2；（2）实数a的取值范围是（-∞，1]。）
【典例4】解答下列问题：
1、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】当x<-2时，(1-x)>0，函数y=(1-x) （x）>0，（x）>0，当-20，函数y=(1-x) （x）<0，（x）<0，当10，（x）<0，当x>2时，(1-x)<0，函数y=(1-x) （x）<0，（x）>0，
函数f(x)在x=-2时，取得极大值f(-2)，在x=2时，取得极小值f(2)，D正确，选D。
2、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出a-b的值。
【详细解答】（x）=3+6ax+b，函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，（-1）=3-6a+b=0①，f(-1)=-1+3a-b+=0②，联立①②解得：a=1，b=3或a=2，b=9，a-b
=1-3=-2或a-b=2-9=-7。
3、求函数f(x)= 的极大值；
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；④
函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)= 的极大值。
【详细解答】（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x=1，①当b>0时，x，（x）， x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
f(x)的变化情况如表所示， （x） - 0 + 0 -
= f(1)= = ； f(x)
②当b<0时，x，（x），f(x)的变 x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
化情况如表所示，= f(-1) （x） + 0 - 0 +
= = ；综上所述，当b>0 f(x)
时，=；当b<0时，=。
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）（x）=1-=，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，（1）==0，即a=e；（2）（x）=1-=，①当a0时，（x）>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)不存在极值；②当a>0时，令（x）=0解得：x=lna， x（-∞，lna）时，（x）<0，x（lna，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，即
= f(lna)= lna-1+1= lna，综上所述，当a0时，函数f(x)不存在极值；当a>0时，函数f(x)存在极小值lna。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)当a=2时的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）当a=2时，f(x)=x-2lnx，（x）=1-，（1）=1-2=-1，
f(1)=1-0=1，曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程为：y-1=-(x-1),即y=-x+2；（2）
（x）=1-=，①当a0时， （x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，即此时函数f(x)没有极值；②当a＞0时，令 （x）=0解得：
x=a， x（0，a）时，（x）<0，x（a，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即函数f(x)存在极小值f(a)=a-alna, 综上所述，当a0时，函数f(x)没有极值；当a＞0时，函数f(x)有= a-alna。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤求函数单调区间的基本方法；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组就可求出a，b，c的值；（2）运用求函数单调区间和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间与极值。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx+c，函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，（1）=3a+2b+c=0①， （-1）=3a-2b+c=0②，f(1)= a+b+c =-1③，联立①②③解得a=,b=0，c=-, a=,b=0，c=-；（2）由（1）知f(x)= -x，
（x）=-=（-1）=（x+1）（x-1）,x，（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在区间（-∞，-1），（1，+∞） x （-∞，-1）-1 （-1，1）1（1，+∞ ）
上单 调递增，在区间（-1，1）上单调递减； （x） + - +
= f(1)= -=-1， f(x)
=f(-1)= -+=1。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数在某点导数的几何意义；⑧求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值；（3）利用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出点A（0,16）曲线y=f(x)的切线方程。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx-3，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3a+2b-3=0①， （-1）=3a-2b-3=0②，联立①②解得：a=1，b=0；（2）由（1）知f(x)=-3x，
（x）=3-3=3（x+1）（x-1），令（x）=0解得x=-1或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在区间（-∞，-1）， x （-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单 （x） + - +
调递减；= f(1)=1-3=-2， f(x)
= f(-1)= -1+3=2；（3）当x=0时，f(0)=0-0=0 16，点A（0,16）不在曲线y=f(x)上，设切线与曲线y=f(x)的切点为（，f()）, （）=3-3, f()=-3,曲线y=f(x)在点（，f()）处的切线方程为：y-(-3)=(3-3)(x-),y=(3-3)x-2,
点A（0，16）在切线上，16=-2，=-2，过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为：y=9x-16。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用判断函数在某点存在极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值点。
【详细解答】（1）（x）=3+2ax+b，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3+2a+b=0①， （-1）=3-2a+b=0②，联立①②解得：a=0，b=-3；（2）由（1）知f(x)=-3x，
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （x）=f(x)+2=-3x+2=（x-1）(+x-2)= (x+2)，令（x）=0解得x=-2或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示： x （-∞，-2）-2 （-2，1）1（1，+∞）
函数f(x)在点x=-2处取得极小值f(-2) ，即 （x） - + +
函数f(x)只有一个极小值点（-2，f(-2) ）。 f(x)
『思考问题4』
（1）【典例4】是应用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握判断函数极值存在和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0，但导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在（或确定函数在某点存在极大值还是极小值）的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0；②判定函数在该点左右的导数值的符号；③运用极值存在定理判定该点是否是极值；④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值；⑤得出函数的极值；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值（或取值范围）；
（5）求函数极值的基本方法是：①求出函数f(x)的导数（x）；②求出导数（x）=0这个方程的根；③运用极值存在定理判断这些点哪些极值点；④确定极值点是极大值还是极小值；⑤求出函数在该点的函数值得到函数极大值（或极小值）。
〔练习4〕按要求解答下列问题：
1、函数f(x)= +2的极值点的（ ）（答案：C）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；（答案：函数y=-2x-的极大值是1。）
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值； （答案：函数f(x)在（-∞，-），（0，）上单调递减，在（-，0），（，+∞）上单调递增；= f(-)
=f()=-+6= ，= f(0)= 0-0+6=6。）
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。（答案：（1）f(-1)是函数f(x)的极大值，f(1) 是函数f(x)的极小值；（2）过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为y=21x 16 。）
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。（答案：（1）a=e；（2）= f(lna)=lna-1+1=lna。）
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
求函数f(x)的极值；
若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）
a=-，b=-；（2）= f()=-+-ln2=-ln2，=f(1)=-++0
=-；（3）实数c的取值范围（-∞，-ln2））
【典例5】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，求出函数f(x) 在区间〔-2，2〕上的极值，同时求出f(-2)，f(2)的函数值，利用函数最值的性质和求函数最值的基本方法就可求出函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值。
【详细解答】（x）=4-4x x -2 (-2，-1) -1（-1，0）0（0，1） 1（1，2） 2
=4x(x+1)(x-1)，令 （x）=0解 （x） - + - +
得：x=-1或x=0或x=1，x， f(x) 13 4 5 4 13
（x），f(x)的变化情况如图所示：= f(-2)= f(2)=13，= f(-1)= f(1)=4。
2、求函数y= - 的值域。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质； ⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 的导数（x），运用求函数最值的基本方法，求出函数f(x)的最小值与最大值，就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】函数f(x)的定义域为［-2，+），（x）= -
==
=0在［-2，+）恒成立，函数f(x) 在区间［-2，+）上单调递增，= f(-2)=0-1=-1，无最大值，函数f(x)的值域为［-1，+）。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥求函数
极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题

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