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泰安市近八年中考试题分类汇编
7. 三角形的全等与相似
考点一：全等三角形
1.(2008.22. ) （本小题满分9分） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：．
解答：（1）解：图2中
证明如下：
与均为等腰直角三角形
，，
即

（2）证明：由（1）知

又
2.（2006.24. ） （本小题满分10分）
（1）已知：如图①，在和中，，，
，求证：①；②．
（2）如图②，在和中，若，，，则与间的等量关系式为________________；的大小为__________________．
（3）如图③，在和中，若，，
，则与间的等量关系式为___________；的大小为____________．
解答：（1）证明：
　　①，
，
　　　即：．
　　　又，，
　　　．
　　　．
　　②由①得：，
　　　又，
　　　，，
　　　．
（2），
（3），
3.（2011.27. ）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
分析：（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
解答：解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG，
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．
4. （2012.26. ）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
解答：证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中xk b1 .co m
∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE和△CBE中
∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．
5. （2012.20. ）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）
　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1
解答：解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴DE=EH，
∴△DCE≌△HAE，
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是三角形DHB的中位线，
∴EF=BH，
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，
∴EF=1．
故选D．
考点二：相似三角形
6. （２００９）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是
（A）2 （B）3 （C） （D）4
答案：B
7. （2007.11. ）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，
且，下列结论：①，②，
③，④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
8.（2006.26. ） （本小题满分10分）
如图，点，分别在的边，上，四边形是等腰梯形，．与交于点，且．
（1）试问：成立吗？说明理由；
（2）若，求证：是等腰三角形．
解答：（1）成立．
理由：四边形是等腰梯形，，
　　　　　，，．
　　　　　又，
．

　　　　　
　　　　　
（2）证明：，，
　　　　　．
　　　　　．
　　　　　，，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　则是等腰三角形．

9.（2007.26. ） （本小题满分12分）如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．
（1）证明：在和中，
，

（2）与垂直
证明如下：
在四边形中，
四边形为矩形
由（1）知

为直角三角形，

又
即

（3）当时，为等腰直角三角形，
理由如下：
，
由（2）知：
又
为等腰直角三角形
10.（2008.26. ）．（本小题满分10分）
在等边中，点为上一点，连结，直线与分别相交于点，且．

（1）如图1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当满足什么条件时（其它条件不变），？请写出探究结果，并说明理由．
（说明：结论中不得含有未标识的字母）
（1）与
以为例，证明如下：

（2）均成立，均为，
（3）平分时，．
证明：平分

又
11．（2009.24. ）.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。
求证：FD2=FB●FC。
若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。
证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点
∴DE=EA
∴∠A=∠2
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FDC=∠FBD
∵F是公共角
∴△FBD∽△FDC
∴
∴
（2）GD⊥EF
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC
∴∠3=∠4
由（1）得∠4=∠1
∴∠3=∠1
∵∠3+∠5=90°
∴∠5+∠1=90°
∴DG⊥EF

考点三：三角形与其他图形综合
１2.（2013.19. ）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（　　）
　 A．2 B．4 C．4 D．8
考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：计算题．
分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．
解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
则AF=2AG=2，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故选B
点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
13.（2010.25. ）如图 ，△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90ｏ，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP = AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，说明理由．
【分析】（1）连结AD，要证明PD = QD，只需证明△BPD≌△AQD，
∠BDP +∠ADP = 90°，∠ADQ +∠ADP =∠PDQ =90°，从而命题成立；（2）当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，可先证明四边形APDQ为矩形，由（1）知DP = AP = AB，所以四边形APDQ是正方形．
【答案】解：（1）证明：连结AD
　　 ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
　　　∴AD⊥BC，AD = BD = DC，∠DAQ =∠B
又∵BP = AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD = QD，∠ADQ =∠BDP
∵∠BDP +∠ADP = 90°
∴∠ADQ +∠ADP =∠PDQ =90°
∴△PDQ为等腰直角三角形．
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．
　　　由（1）知△ABD为等腰直角三角形．
当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD =90°
又∵∠A =90°，∠PDQ =90°
∴四边形APDQ为矩形
又∵DP = AP = AB
∴四边形APDQ是正方形．
【涉及知识点】等腰三角形 正方形 动点问题
【点评】本题以等腰直角三角形为模型综合考查了，等腰直角三角形的性质、三角形的全等、正方形等知识，通过动点问题，设计巧妙，难度较高，区分度大．
14（2012.28. ）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM．
证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；
（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=RC=，
∴EM=．
15.（2010.23. ）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB2＝AE?AC．
【分析】（1）在△ADE和△ACD中，要证明∠AED=∠ADC，只需证明∠ADE＝∠C，∠ADE＝∠C，是已知条件，从而能证明，∠AED +∠DEC = 180°，∠ADB +∠ADC = 180°，可知∠DEC =∠ADB，从而证明∠DEC=∠B；（2）只需证明△ADE∽△ACD即可．
【答案】证明：（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE =∠C，∠DAE =∠DAE
∴∠AED = 180°－∠DAE－∠ADE
∠ADC ＝ 180°－∠DAE－∠C
∴∠AED =∠ADC
∵∠AED +∠DEC = 180°
∠ADB +∠ADC = 180°
∴∠DEC =∠ADB
又∵AB = AD
∴∠ADB =∠B
∴∠DEC =∠B
（2）在△ADE和△ACD中
由（1）知∠ADE ＝∠C，∠DAE =∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2 = AE?AC
又∵AB = AD
∴AB2 ＝ AE?AC．
【涉及知识点】相似三角形 三角形的内角和 等腰三角形
【点评】关键是找出各个角之间的关系，要证明等积式成立，只需证明比例式成立，从而找到相似三角形．
16. （2012.17. ）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）
　　A．9：4　　B．3：2　　C．4：3　　D．16：9
考点：翻折变换（折叠问题）。
解答：解：设BF=x，则CF=3﹣x，BF′=x，
又点B′为CD的中点，
∴B′C=1，
在Rt△B′CF中，BF′2=B′C2+CF2，即，
解得：，即可得CF=，
∵∠DB′G=∠DGB=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，
∴∠DGB=∠CB′F，
∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，
根据面积比等于相似比的平方可得：==．
故选D．

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