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泰安市近八年中考试题分类汇编
8. 四边形
考点一：平行四边形
1.（2010.9.）(3分）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD =∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD = CF B．BF = CF C．AF = CD D．DE = EF
【分析】因为BF∥CD，所以∠FCD =∠F，又因为∠FCD =∠D，
所以∠D =∠F，四边形ABCD是平行四边形，∠B =∠D，所以
∠B =∠F，BC = CF，即AD = CF，所以选项A成立，
△AEF≌△DEC，所以AF = CD，所以选项C成立，由△AEF≌△DEC知EF = CE，∠FCD =∠D，所以CE =DE，因此DE = EF，故选项D成立，B选项只有在△BCF是等边三角形时才成立，已知条件中并没有说明△BCF是等边三角形，因此选项B不成立． 【答案】B
【涉及知识点】平行四边形的性质 等腰三角形的性质
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，通过一个图形考查了多个知识点，知识考查到位，难度中等．
2. （2012.7.）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）
　　A．53°　　B．37°　　C．47°　　D．123°
解答： ∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°﹣53°=37°，
∴∠DFC=37
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故选B．
3.（2013.19.）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（　　）
　 A．2 B．4 C．4 D．8
分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．
解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
则AF=2AG=2，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故选B
点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
考点二：矩形
4.（2010.12）(3分）如图，矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O，∠AOB = 60°，设AB = x cm，矩形ABCD的面积为S cm2，则变量y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】因为矩形ABCD的两对角线相等，所以BO = CO，
因此∠ACB = 30°，在Rt△ABC中，∠ACB = 30°，AB = x cm，
tan∠ACB =，所以，矩形ABCD的面积．【答案】A
【涉及知识点】矩形 解直角三角形
【点评】本题以矩形为背景考查了解特殊的直角三角形，考查知识到位，综合能力强，难度较大，区分度高．
5. （2012.9. ）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）
　　A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8
考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。
解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即 ，
解得，
即CE的长为2.5．
故选C．
考点三：菱形
6. (2008.4.) 如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
7.（2013.28）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．
分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；
（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．
解答：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFE，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．　
8. （2012.14.）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）
　　A．（，）　　B．（，）　　C．（2012泰安）　　D．（，）
考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。
解答：解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′=105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=OA=2，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，
∴OE=B′E=OB′?sin45°=，
∴点B′的坐标为：（，）．
故选A．
考点四：正方形
9.（2011.17.）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）
A、16 B、17
C、18 D、19
分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答；
解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

考点五：梯形
10.（2006.12.） 如图，在梯形中，，，分别是，的中点，若与互余，则与的关系是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：C
11.（2007.21） （本小题满分8分）如图，在梯形中，，对角线平分，的平分线交于分别是的中点．
（1）求证：；
（2）当与满足怎样的数量关系时，？并说明理由．
12. (2009.26 .)如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
求证：BE=AD；
求证：AC是线段ED的垂直平分线；
△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
考点六：综合性题目
13.（2011.27.）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
考点：相似三角形的判定；菱形的判定。
专题：证明题；数形结合。
分析：（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；
（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．
解答：（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE=BC=AD，
又∵AD∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE∽△COF；
（2）证明：连接DE，
∵DE平行且等于BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴□ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中线，
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

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