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泰安市近八年中考试题分类汇编
9. 圆
考点一：圆的相关定理及运用．
1.（2007.16．）如图，⊙M与轴相交于点，，与轴相切于点，则圆心的坐标是 ．
答案: 　
2.（2011.23.）如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为　 　．
分析：连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角形的性质求解．
解答：解：连接OA．
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠B=64°，
∴∠P=90°﹣64°=26°．
故答案为：26°．
点评：本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．
3. （2012.11）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
　　A．CM=DM　　B．　　C．∠ACD=∠ADC　　D．OM=MD
解答： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D
4.（2011.10）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（　　）
A、 B、 C、 D、
分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=则AD==，OD=，再利用勾股定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，设⊙O的半径为r，
∵AB垂直平分半径OC，AB=，
∴AD==，OD=，
在Rt△AOD中，
OA2=OD2+AD2，即r2=（）2+（）2，
解得r=．
故选A．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.（2012.23）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．
解答：解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，
可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，
∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，
∴BD=，
∵∠D=∠C，
∴cosC=cosD=，
故答案为：．
6. （2013.13）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（　　）
　 A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE

分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；
由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；
由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确；
AC不一定垂直于OE，选项D错误．
解答：解：A．∵点C是的中点，
∴OC⊥BE，
∵AB为圆O的直径，
∴AE⊥BE，
∴OC∥AE，本选项正确；
B．∵=，
∴BC=CE，本选项正确；
C．∵AD为圆O的切线，
∴AD⊥OA，
∴∠DAE+∠EAB=90°，
∵∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；
D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，
故选D
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．　

考点二：圆的有关计算．
7.（2013.9.）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）
　 A．60° B．70° C．120° D．140°
分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．
解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．
故选D
8. (2008.6.) 如图，在⊙O中，的度数为是 上一点，
是 上不同的两点（不与两点重合），则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案:B
9. (2008.11) 如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开
图所对应扇形圆心角的度数为（ ）
A． B．C． D．
答案:D
9.（2009.4.）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为
（A）30° （B）60°（C）30°或150° （D）60°或120°
答案:D
10.（2009.16.）如图，（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为 。
答案: 4：9
11.（2010.18.）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF =，则∠EDC的度数为 ．
【分析】如图，连接OE，OC，直线AB与⊙O相切于点C，因此CO⊥AB，
有因为EF∥AB，所以EF⊥OC，由垂径定理知，EG =EF =，
在Rt△OEG中，sin∠EOG =，所以∠EOG = 60°，故∠EDC = 30°．
【答案】30° 【涉及 知识点】圆的有关性质 解直角三角形
【点评】圆是中考重点考查内容之一，正确合理地做出辅助线能帮助我们快速地解决圆中的有关问题，中考主要从以下几个方面考查辅助线：①作半径或直径；②作弦心距；③作切线等等．
12.（2011.14.）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（　　）
A、5π B、4π
C、3π D、2π
分析：半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积，从而求解．
解答：解：侧面积是：×π×22=2π．
底面的周长是2π．
则底面圆半径是1，面积是π．
则该圆锥的全面积是：2π+π=3π．
故选C．
点评：本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．
13.（2012.18.）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（　　）
　　A．π　　B．2π　　C．3π　　D．5π
解答：解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∴的长为，
故选B．
14.（2013.18.）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（　　）
　 A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4
考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．
分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．
解答：解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，
正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，
∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，
∵⊙O的半径为2，
∴O1，O2，O3，O4的半径为1，
∴小圆的面积为：π×12=π，
扇形COB的面积为：=π，
∴扇形COB中两空白面积相等，
∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．
故选：A．
点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．
考点三：圆与三角形、四边形等综合性题目．
15.（2006.22）（本小题满分8分）已知：如图，以的边为直径的⊙O交边于点，且过点的切线平分边．
（1）与⊙O是否相切？请说明理由；
（2）当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．
解答：（1）与⊙O相切
　　理由：连结，，
　　切于，为直径，
　　，
　　又平分，
　　，
　　．又，；
　　，即．
　　与⊙O相切．
（2）当为等腰直角三角形时，四边形是平行四边形．
　　是等腰直角三角形，
　　．
　　于，为中点．
　　，．
　　四边形是平行四边形．
16.（2007.23） （本小题满分9分）如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若过点且与平行的直线交的延长线于点，连结．当是等边三角形时，求的度数．
解答：（1）证明：连结
是⊙O的直径
是等腰三角形
又

是⊙O的切线
（2）是的直径
是等边三角形
是的垂直平分线

又，
是等边三角形

17.（2008.24.）（本小题满分10分）如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，，求．
（1）证明：连结
是直径

是的中点

又
即
但

是⊙O的切线
（2）


18.（2009.22.）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。
求证：DB∥CF。
当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。
证明：（1）连接OF，如图
∵AB且半圆O于F，
∴OF⊥AB。
∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。
∵BC=OD，OD=OF，
∴BC=OF。
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DB∥CF。
（2）∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°，
∴∠A∠OBF∠BOF
∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，
∴∠OBF＞∠A
∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。
∴∠A与∠BOF是对应角。
∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=
19.（2010.26.）(10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值．
【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，只需要证明OD⊥DE，
DE⊥AB，只需证明OD∥AB，若CD = BD，则命题成立；
（2）cosA＝，，
求出CF和AF的长度即可．
【答案】解：（1）证明：连结AD、OD．
∵AC是直径，∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，∴D是BC的中点．
又∵O是AC的中点，∴OD∥AB．
∵DE⊥AB，∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）由（1）知OD∥AE．
∴．
∴．
∴，解得FC＝2．
∴AF＝6．
∴cosA＝．
【涉及知识点】直线与圆的位置关系 等腰三角形 中位线定理 比例的性质 解直角三角形
【点评】本题综合考查了几何问题，需要考生有较强的逻辑分析能力和转化能力，结合多种数学思想，难度大，区分度大．

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