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渐近线与定比点差法
一．基本原理
1.双曲线的渐近线方程亦为，即，就是
.
2.双曲线的渐近线方程亦为，故双曲线
的渐近线方程为.
二．原理推导
既然可以将双曲线的渐近线方程看做二次式，那么就可以对它使用定比点差法，特别是当我们遇到直线与双曲线的两只渐近线都相交的时候，比如下面的经典案例：
已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如下图.若.
设，则坐标均满足①，②.
又.
则由，可得：. 给②式乘再相减得：
故.由
情形2.如下图.若.
设，则
故得：
由于
由
三．典例分析
例1．过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________
解析：满足情形1，即，故，则
例2．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解析：满足情形2，即，.
四．习题
1．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______.
4．已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______．
答案：1．A 2．C 3． 4．
利用本节的思想还可以解决2022新高考2卷解析几何试题，其过程如下：
（2022新高考2卷）．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解析：（1）C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为，直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设，则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即，即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为，
∴由，∴,
所以直线的斜率，直线,即，代入双曲线的方程,即中，
得：，解得的横坐标：，
同理：，∴∴,
∴条件②等价于，综上所述：
条件①在上，等价于；条件②等价于；
条件③等价于；选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；选①③推②：
由①③解得：，，∴，∴②成立；
选②③推①：由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.渐近线与定比点差法
一．基本原理
1.双曲线的渐近线方程亦为，即，就是
.
2.双曲线的渐近线方程亦为，故双曲线
的渐近线方程为.
二．原理推导
既然可以将双曲线的渐近线方程看做二次式，那么就可以对它使用定比点差法，特别是当我们遇到直线与双曲线的两只渐近线都相交的时候，比如下面的经典案例：
已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如下图.若.
设，则坐标均满足①，②.
又.
则由，可得：. 给②式乘再相减得：
故.由
情形2.如下图.若.
设，则
故得：
由于
由
三．典例分析
例1．过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________
例2．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
四．习题
1．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______.
4．已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______．
利用本节的思想还可以解决2022新高考2卷解析几何试题，其过程如下：
（2022新高考2卷）．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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