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第2讲 圆的方程与性质（教师）
一、教学目标：
1．能根据给定条件求圆的方程；
2．掌握圆的有关性质；
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；
4．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
二、教学重、难点
1．给定条件求圆的方程；
2．能解决圆的有关性质．(易错点、难点)
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；．(重点)
4．掌握用代数方法处理几何问题的思想．(难点)
三、教学方法：一学、二记、三应用。
四、知识梳理：
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
以A（为直径的圆的方程是：（x-。
2. 确定圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于或的方程组；
(3)解出或代入标准方程或一般方程．
3.点与圆的位置关系及性质
圆的标准方程()2＋()2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)24、求曲线(轨迹)方程的步骤
(1) 设点(曲线上任意一点M(x，y))建系(建适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或定线段的中点为原点，利用对称性可简化方程)；
(2)列式：写出适合条件p的点M的集合P＝{M | p(M)}；
(3) 代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)列出方程f(x，y)＝0；
(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明：证明以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略)．
五、课前测试：
1.已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2.将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.
【答案】
3. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．答案：[0,10]
解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．
六、典例剖析:
题型一 圆的方程判断
例1 （1）圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是_________
【答案】
（2） 方程表示的曲线是(　　)
A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆
【答案】D【详解】由得，即，∴曲线是半个圆．
（3）如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是　　．
解析：1+1-4k>0解得
课堂小结：　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．
课堂练习1.已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．
答案：
2.m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？
解析：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
答案：由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，即m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.
当m＝1时，原方程化为2x2＋2y2＋3＝0.不合题意舍去；
当m＝－3时，原方程化为14x2＋14y2－1＝0，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，
以为半径的圆．
题型二 点与圆位置关系
例2．（1）已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为(　　)
A. 在圆心 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 在圆外
【答案】C【解析】将 代入圆方程得 ，因此点在圆内，故选C.
（2）若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是______
【答案】【详解】由题意，解得．
（3）已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是____________．
解析：将圆的方程配方得2＋(y＋1)2＝，则4－3a2>0，即－ ，化简得a2＋a＋9>0，a∈R，故a的取值范围是.答案：
课堂练习2：1.已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为______
【答案】【详解】由题意，解得，又，
∴．
2.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 (　　)
A．原点在圆上 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定
【答案】　B【解析】　将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，
所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，即＞，所以原点在圆外．
题型三 求圆的方程
例3 （1）．已知圆C经过A(5,1).B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为______
【答案】【解析】设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2=r2，把所给两点坐标代入方程得，
解得，所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2=10.
（2）． △ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，则△ABC外接圆的标准方程为______
【答案】【详解】设圆方程为，则
，解得，
∴圆方程为，标准方程为．
（3）.求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．
∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．
∴解之得：，．所以所求圆的方程为．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．
又知圆心在直线上，故圆心坐标为∴半径．
故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为
．∴点在圆外．
课堂小结：求圆的方程的2种方法
方 法 解读 适合题型
几 何 法 通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征
待 定 系 数 法 (1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 题设条件中有明显的代数特征
课堂练习3：1.以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是_______
【答案】【解析】：由题意，所以圆的方程为．
2.过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则( )
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C
3.圆关于原点对称的圆的方程为_______
【答案】【解析】：圆的圆心关于的对称点为，圆的半径为，所以圆的方程为
题型四　 与圆有关的距离问题
例4（1）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
【答案】最小值为34，最大值为74【详解】设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.
【点睛】表示点与点间的距离，因此在涉及到这种形式的最值问题时，可利用其几何意义即距离求解，这样代数问题可转化为几何问题，易于求解．
（2）已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______
【答案】【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆心到点距离为，∴所求最大值为．
课堂练习4．1.(2018·大连模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．
解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.
∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.易知点P(1,2)在圆外．∴点P到圆心C的距离为：
|PC|＝＝≥3.∴|PC|min＝3.
∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.答案：2
2.已知点，，点是圆： 上的动点，则面积的最大值与最小值之差为___________．
【答案】
3.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】D【解析】由题意得的圆心为，半径为．因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最大值为，又由，可得以为直径的圆与圆有交点，所以，故选D．
七、课堂巩固
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　)
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆 B．以(1,2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆 D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆
解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.答案：D
2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析　AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝＝2，∴圆的方程为：x2＋y2＝2. 答案　A
3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
解析　由圆C与已知圆关于原点对称可知，圆C的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，半径不变，而点(－2,1)关于原点对称点为(2，－1)，又半径为1，故
4．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
（A）1 （B）2 （C） （D）2
【答案】C
5．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)．
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．不确定
解析　因为x＋y＝m4＋25＞24，所以点P在圆外．答案　A
6.已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线相切，设直线与圆相交于两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得先的垂直平分线过点？
解析：（1）设圆心为（）．
由于圆与直线相切，且半径为，所以，，
即．因为为整数，故．
故所求的圆的方程是．
（2）直线即．代入圆的方程，消去整理，得
．由于直线交圆于两点，
故，即，解得 ，或．
所以实数的取值范围是．
（3）设符合条件的实数存在，由（2）得，则直线的斜率为，
的方程为，即．
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以，解得．由于，
所以存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.第2讲 圆的方程与性质
一、教学目标：
1．能根据给定条件求圆的方程；
2．掌握圆的有关性质；
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；
4．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
二、教学重、难点
1．给定条件求圆的方程；
2．能解决圆的有关性质．(易错点、难点)
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；．(重点)
4．掌握用代数方法处理几何问题的思想．(难点)
三、教学方法：一学、二记、三应用。
四、知识梳理：
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
以A（为直径的圆的方程是：（x-。
2. 确定圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于或的方程组；
(3)解出或代入标准方程或一般方程．
3.点与圆的位置关系及性质
圆的标准方程()2＋()2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)24、求曲线(轨迹)方程的步骤
(1) 设点(曲线上任意一点M(x，y))建系(建适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或定线段的中点为原点，利用对称性可简化方程)；
(2)列式：写出适合条件p的点M的集合P＝{M | p(M)}；
(3) 代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)列出方程f(x，y)＝0；
(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明：证明以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略)．
五、课前测试：
1.已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
2.将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.
3. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
六、典例剖析:
题型一 圆的方程判断
例1 .（1）圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是_________
（2） 方程表示的曲线是(　　)
A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆
（3）如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是　　．
课堂小结：　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．
课堂练习1.已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．
2.m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？
题型二 点与圆位置关系
例2．（1）已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为(　　)
A. 在圆心 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 在圆外
（2）若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是______
（3）已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是____________．
课堂练习2：1.已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为______
2.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 (　　)
A．原点在圆上 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定
题型三 求圆的方程
例3 （1）．已知圆C经过A(5,1).B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为______
（2）． △ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，则△ABC外接圆的标准方程为______
（3）.求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
课堂小结：求圆的方程的2种方法
方 法 解读 适合题型
几 何 法 通过研究圆的性质、直线和圆及圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征
待 定 系 数 法 (1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 题设条件中有明显的代数特征
课堂练习3：1.以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是_______
2.过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则( )
A．2 B．8 C．4 D．10
3.圆关于原点对称的圆的方程为_______
题型四　 与圆有关的距离问题
例4（1）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
（2）已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______
课堂练习4．1.点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．
2.已知点，，点是圆： 上的动点，则面积的最大值与最小值之差为___________．
3.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
七、自我测评：
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　)
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆 B．以(1,2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆 D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆
2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
4．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
（A）1 （B）2 （C） （D）2
5．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)．
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．不确定
6、方.程为圆的方程，则的范围为________
8.已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线相切，设直线与圆相交于两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得先的垂直平分线过点？

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