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第3讲 直线与圆的位置关系（教师）
一、教学目标：
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；
2．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及有关直线与圆的问题；
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；
4．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
二、教学重、难点
1．直线与圆：位置关系的判定与分类，以及解析法研究几何问题的思想的体会与应用．(重点)
2．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)
3．会进行圆与圆位置关系的判断．(重点)
4．用直线与圆、圆与圆的方程解决平面几何问题和其他综合问题．(难点)
三、教学方法：
一学、二记、三应用。
四、知识梳理：
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法 位置关系 几何法 代数法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2．求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程
(1)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：.
(2)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过P的切线方程可设为：y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2.
(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为，，则
4.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
五．基础自测：
1、以（-1，0）为圆心，半径为2的圆的方程( )
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】圆的圆心坐标为（-1，0），所以所求圆的方程为，
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D解析　圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为____________．
答案：
六．典例剖析
题型一 直线与圆的位置关系的判定
【例1】已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
答案：(1) (-2,2) (2) (3)或
变式练习 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；
(2)相切；
(3)相离．
答案（1）或
（2）
（3）
【例2】若直线y＝x＋m与曲线＝x有两个不同交点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－，) B．(－，－1]
C．(－，1] D．[1，)
解析：曲线＝x表示圆心为(0,0)，半径为1的右半圆，如图，直线y＝x＋m表示斜率为1的一组平行直线，若直线与曲线有两个交点，由图易得－＜m≤－1.
答案：B
变式练习：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是
解：依题意有，解得，∴的取值范围是.
题型二 求圆的切线方程
【例3】(1)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0；
解析　圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程
为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
(2)求圆的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．
答案：（2）
变式练习 过点A(4,－3)作圆C:的切线，求此切线的方程．
答案： 或
题型三 圆与圆的位置关系
例4：已知圆 ，圆，
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
分析：方法一，几何法．
判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系.
方法二，代数法．
由两者方程组成方程组，由方程组解的情况决定.
解法一：把圆的方程都化成标准形式,为 ，
的圆心坐标是 ，半径长；的圆心坐标是 ，半径长；
所以圆心距 ，两圆半径的和与差 ，，而，即，所以两圆相交。
例5:已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B 两点，求公共弦AB的长.
解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10.
即为公共弦AB 所在的直线方程，
解得或
所以两点的坐标是A(－2,6)，B(4,－2)，或A（4，-2），B（-2,6），
故|AB|=
题型四 弦长问题
【例六】求直线被圆C:截得的弦长．
答案：
变式练习
1、设直线被圆截得的弦最短，则直线的方程为 ．
【命题立意】考查直线与圆相交，考查转化能力，容易题．
【解析】因为直线恒过定点，由变形为，
易知点在圆的内部，依题意，，即，
所以直线的方程为．
2、直线被圆所截得弦的长度为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
题型五 关于中点弦
【例7】设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．
答案：
【变式练习】
1、若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 (　　)
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
【解析】：设圆心为C，则kPC＝＝－1，则AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
2、已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解(1)方法一　如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，C点坐标为(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得CD＝2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式＝ 2，得k＝.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
当k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则,即＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
题型五 对称问题的应用
【例8】 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
解 已知圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，如图所示．
可设光线l所在直线方程为
y－3＝k(x＋3)，∵直线l与圆C′相切，
∴圆心C′(2，－2)到直线l的距离d＝＝1，
解得k＝－或k＝－.∴光线l所在直线的方程为
3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
【变式练习】1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
解析：　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.]
2．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
解析：[圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝＝6，选C.]
七．课堂作业：
1、已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】C【解析】设.由于，所以，联立直线和圆的方程，消去得，，代入式得.
2、【2019浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
答案：
3、【2018全国三卷6】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
答案：A
4、直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.
【答案】D
5、在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】 【解析】点既在圆上，又在圆上，所以圆和圆有公共点，圆 的圆心为 ，半径为1，圆的圆心为 ，半径为2，则圆心距 ，满足 ，解得： ，故选B.
6、直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C．
7、已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、， 、为切点，则直线经过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】设 则 即因此、在直线上，直线方程为，又，所以
即，直线经过定点，选A.
8.m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.
(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．
思维启迪：(1)无公共点即相离，用点到直线的距离d>r判断；
(2)充分利用直角三角形；
(3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形．
解　(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝＝，
∵直线与圆无公共点，∴d>r，即>，
∴m>5或m<－5.
故当m>5或m<－5时，直线与圆无公共点．
(2) 如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12.
即5－＝1.得m＝±2，
∴当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2.
(3) 如图，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴d＝r，即＝·，解得m＝±. 故当m＝±时，
直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．第3讲 直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及有关直线与圆的问题；
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；
4．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
二、教学重、难点
1．直线与圆：位置关系的判定与分类，以及解析法研究几何问题的思想的体会与应用．(重点)
2．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)
3．用直线与圆的方程解决平面几何问题和其他综合问题．(难点)
三、教学方法：
一学、二记、三应用。
四、知识梳理：
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法 位置关系 几何法 代数法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2．求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程
(1)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：.
(2)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过P的切线方程可设为：y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2.
(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为，，则
4.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
五．基础自测：
1、以（-1，0）为圆心，半径为2的圆的方程( )
A． B．
C． D．
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为____________．
六．典例剖析
题型一 直线与圆的位置关系的判定
【例1】已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
变式练习 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；
(2)相切；
(3)相离．
【例2】若直线y＝x＋m与曲线＝x有两个不同交点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－，) B．(－，－1]
C．(－，1] D．[1，)
变式练习：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是
题型二 求圆的切线方程
【例3】(1)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0；
(2)求圆的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．
变式练习 过点A(4,－3)作圆C:的切线，求此切线的方程．
题型三 圆与圆的位置关系
例4：已知圆 ，圆，
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例5:已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B 两点，求公共弦AB的长.
题型四 弦长问题
【例6】求直线被圆C:截得的弦长．
变式练习
1、设直线被圆截得的弦最短，则直线的方程为 ．
2、直线被圆所截得弦的长度为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
题型五 关于中点弦
【例7】设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．
【变式练习】
1、若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 (　　)
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
2、已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
题型六 对称问题的应用
【例8】 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
【变式练习】1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
2．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．2
七，自我测评：
1、已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2、【2019浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
3、【2018全国三卷6】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
4、直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
5、在平面直角坐标系中，直线：，圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，且在圆:上，则圆心的横坐标的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
6、直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 （ ）
A. B. C. D.
7、已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、， 、为切点，则直线经过定点（ ）
A. B. C. D.
8.　m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.
(1)无公共点； (2)截得的弦长为2； (3)交点处两条半径互相垂直．

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