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第6讲 双曲线的定义及方程
一、教学目标：
1.了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程.
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.
二、教学重、难点：
1.重点：用定义法 待定系数法求双曲线的标准方程。
2.难点：双曲线焦点三角形的应用．
三、教学方法：
探究启发式
四、知识梳理
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2.双曲线的标准方程：
标准方程 -= 1 （ a>0，b>0 ） -=1 （ a>0，b>0 ）
图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a,b,c的关系 c2＝a2 + b2 c2＝a2 + b2
双曲线定义中应注意的几个问题：
(1)当________|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当________时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当________时，P点不存在．
五 课前测试:
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.－2
六 典例剖析:
题型(一) 双曲线定义应用
例1（1）若双曲线 的左 右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
（2）已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.
题型(二) 求双曲线的标准方程
例2 ⑴经过点，焦点在x轴上，。
⑵双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且点A(4，－)，B，则此双曲线方程为
（3）与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
规律总结：待定系数法求双曲线方程的五种类型
类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)或者＋＝1(mn<0)
类型五 与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ题型（三） 双曲线定义求轨迹方程
例3（1） 设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
求圆C的圆心轨迹L的方程；
（2）在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件
|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
课堂练习3：（1）已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 (x>0) B.－＝1 (x<0)
C.－＝1 D.－＝1
（2）如图,在中,已知,且三内角A,B,C满足,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求顶点C的轨迹方程.
题型（四） 双曲线的焦点三角形
例4、已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
课堂练习4：已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8
七、自我测评：
1.下列曲线中焦点坐标为的是
A. B.
C. D.
2.已知双曲线C：－＝1的＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.过双曲线的左焦点有一条弦交左支于 点,若,是双曲线的右焦点,则的周长是
A. B. C. D.
4.如右图,从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 ( )
A. B. C.- D.+
5.(2017新课标全国I)已知F是双曲线C:的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
6.椭圆与双曲线有相同的焦点 ,是这两条曲线的一个交点,则的面积是
A. B. C. D.
7.已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
8.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．第6讲 双曲线的定义及方程
一、教学目标：
1.了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程.
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.
二、教学重点、难点：
1.重点：用定义法 待定系数法求双曲线的标准方程。
2.难点：双曲线焦点三角形的应用．
三、教学方法：
探究启发式
四、知识梳理
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2.双曲线的标准方程：
标准方程 -= 1 （ a>0，b>0 ） -=1 （ a>0，b>0 ）
图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a,b,c的关系 c2＝a2 + b2 c2＝a2 + b2
双曲线定义中应注意的几个问题：
(1)当________|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当________时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当________时，P点不存在．
五 课前测试:
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，，则椭圆C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.
2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.－2
解析：选A　由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.
六 典例剖析:
题型(一) 双曲线定义应用
例1（1）若双曲线 的左 右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得,即,解得
（2）已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.
【答案】44
【解析】由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,
且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,
由双曲线定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.
∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,
因此△PQF的周长为
|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.
题型(二) 求双曲线的标准方程
例2 ⑴经过点，焦点在x轴上，。
解：∵双曲线焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为
∵双曲线经过点，∴
解得或（舍）
故所求双曲线方程为
⑵双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且点A(4，－)，B，则此双曲线方程为
解：设双曲线方程为mx2－ny2＝1，由双曲线经过A(4，－)，B
可得解得∴所求标准方程为－y2＝1.
（3）与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
解：法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.
规律总结：待定系数法求双曲线方程的五种类型
类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)或者＋＝1(mn<0)
类型五 与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ题型（三） 双曲线定义求轨迹方程
例3（1） 设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
求圆C的圆心轨迹L的方程；
解析： 设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.由题设知
＝4，化简得L的方程为－y2＝1.
（2）在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件
|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
解　以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：则B，C.
设点A坐标(x，y)，由题设，得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝m.可知点A在以B、C为焦点的双曲线上．
这里2a＝m，∴a＝.又c＝m，∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．
课堂练习3：（1）已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 (x>0) B.－＝1 (x<0)
C.－＝1 D.－＝1
答：B
（2）如图,在中,已知,且三内角A,B,C满足,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求顶点C的轨迹方程.
【答案】.
【解析】由题意可得,.
因为,由正弦定理可得,
故,
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
由题意,设所求轨迹方程为,
因为,,所以,故所求轨迹方程为
题型（四） 双曲线的焦点三角形
例4、已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
解析：由题可知a＝，c＝2.∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos∠F1PF2＝
＝＝.
答案：
课堂练习4：已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8
[解析]　由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|.
解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
七、自我测评：
1.下列曲线中焦点坐标为的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】双曲线中,,,故,焦点为,符合题意;
椭圆中,焦点为,不符合题意;
双曲线中,焦点为,不符合题意;
椭圆中,焦点为,不符合题意.故选A.
2.已知双曲线C：－＝1的＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C　∵e＝＝，F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，则b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为－＝1.
3.过双曲线的左焦点有一条弦交左支于 点,若,是双曲线的右焦点,则的周长是
A. B. C. D.
【答案】C
4.如右图,从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 ( )
A. B. C.- D.+
【答案】C
【解析】|OM|-|MT|=|PE|-(|MF|-|FT|)=|FT|-(|PF|-|PE|)=-×2×=-,故选C
5.(2017新课标全国I)已知F是双曲线C:的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为
A. B. C. D.
6.椭圆与双曲线有相同的焦点 ,是这两条曲线的一个交点,则的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】联立两方程得,解得,由题意可知,
所以.故选C.
7.已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( A )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
8.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】　设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，
∴|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)．∴|C1C2|＝8，∴2<|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．

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