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第1讲 直线方程与距离（教师）
课前评估：
1.已知直线的倾斜角α的余弦值为，则此直线的斜率是( )．
A. B．－ C. D．±
【答案】A【解析】由题意知cos α＝，又0°≤α<180°，∴sin α＝，
∴k＝tan α＝＝
2.如果，那么直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B【解析】斜率为，截距，故不过第二象限.
3.若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点(　　)
A．(1，－2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－1，－2)
【答案】A【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，
∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．
二．学习目标：
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式，两点式及一般式）；
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离。
三．重点，难点：
重点：直线的倾斜角和斜率，常与三点共线，平面几何知识等结合的命题；
难点：距离与直线的综合问题。
知识梳理：
1.直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .
②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当时，越大，斜率越大；
（2）当时，越大，斜率越大.
2.直线的方程
1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：
.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
直线过两点其中，则直线的方程为：
.这个方程叫做直线的两点式方程.
当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.
特别地，若直线过两点，则直线的方程为：
，这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.
教学方法：
一学，二记，三应用；
典例剖析：
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1（1）已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
（2）坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】【解析】，且.设直线的倾斜角为，当时，则，所以倾斜角的范围为.当时，则，所以倾斜角的范围为.
变式训练：（1）过点和 的直线的斜率为1，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或4 D．1或2
【答案】A【解析】依题意有．
（2）已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是 .
【答案】
题型二 直线的方程
例2（1）已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】如图所示，直线额倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程为.
（2）已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．
【答案】
变式训练：（1）直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】或.
（2）将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.
【答案】【解析】直线的倾斜角为，点直线上，绕点按逆时针方向旋转，所得直线的倾斜角为，其斜率为，所以由点斜式方程得，.即为所求.
题型三 直线的位置关系
例3（1）.设，若三点共线，则的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
（2）已知直线的方程为，求的方程，使得：
（1）与平行，且过点；
（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4.
【答案】（1）（2）
试题解析：解：（1）设，∵过点，∴.
∴方程为.， .
（2）设，设与轴交于点，与轴交于点.
∴.∴.∴.
∴方程为或.
变式训练：（1）若直线与直线互相垂直，则实数= （ ）.
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】C【解析】，因为直线互相垂直，所以，即，选C.
（2）点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
题型四 距离公式
例4（1）.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为(　　)．A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【解析】设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
∵原点到直线的距离，∴，
即直线方程为x＝1或4x＋3y＋5＝0，选C．
（2）已知直线，平行，则它们之间的距离是 ．
【答案】2【解析】由题意得，即，所以它们之间的距离是
变式训练：定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是，给出以下命题：
①若，则直线与直线平行；
②若，则直线与直线平行；
③若，则直线与直线垂直；④若，则直线与直线相交；
其中正确命题的序号是_______________.
【答案】④【解析】特别地：当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的异侧，故命题④正确．
题型五 直线的综合应用
例5(1).若直线： 经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是 ．
【答案】．【解析】由题意得，∴截距之和为
，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为．
(2)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
【答案】（1）x＝2或4x－3y－5＝0；（2）.
【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．∴＝3．
即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．
(2)由
解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴．
变式训练：（1）如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
【答案】A【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为
C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2故选A．
（2）.已知，直线， 相交于点P，交y轴于点A，交x轴于点B
（1）证明：；（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；
（3）设S= f (m), 求的单调区间.
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.
又
（3）, 又是单调递减的函数,
而在（－1，0）上递增，在（0，1）上递减，
在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数
七．课堂巩固：
1.过点，且在轴上的截距为3的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2.直线与两条直线，分别交于、两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
【答案】D【解析】在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为y＝2x－3，故选D项．
4.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 ．
【答案】【解析】
试题分析：关于直线：对称点为，所以反射光线所在直线的方程为
5.点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．
【答案】
6.若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】或
7.过点的直线被两平行线与截得的线段长，求直线的方程.
【答案】.【解析】
由解得；
由解得，
因为，所以，
整理得，解得或．
8.已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）取上一点，任作弦，满足,则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为点），请写出点的坐标，否则说明理由.
【答案】（1） （2），见解析
假设弦经过一个定点，则有，即，
化简得（＊＊）比较（＊）和（＊＊），得.第1讲 直线方程与距离
课前评估：
1.已知直线的倾斜角α的余弦值为，则此直线的斜率是( )．
A. B．－ C. D．±
2.如果，那么直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点(　　)
A．(1，－2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－1，－2)
二．学习目标：
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式，两点式及一般式）；
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离。
三．重点，难点：
重点：直线的倾斜角和斜率，常与三点共线，平面几何知识等结合的命题；
难点：距离与直线的综合问题。
知识梳理：
1.直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .
②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当时，越大，斜率越大；
（2）当时，越大，斜率越大.
2.直线的方程
1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：
.这个方程就叫做直线点斜式方程.
特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.
2.直线的两点式方程
直线过两点其中，则直线的方程为：
.这个方程叫做直线的两点式方程.
当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.
特别地，若直线过两点，则直线的方程为：
，这个方程叫做直线的截距式方程.
3.直线的一般式方程
关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.
由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.
教学方法：
一学，二记，三应用；
典例剖析：
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1（1）已知直线方程为则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
（2）坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
变式训练：（1）过点和 的直线的斜率为1，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或4 D．1或2
（2）已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是 .
题型二 直线的方程
例2（1）已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．
变式训练：（1）直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.
题型三 直线的位置关系
例3（1）.设，若三点共线，则的最小值是（ ）A． B． C． D．
（2）已知直线的方程为，求的方程，使得：
（1）与平行，且过点；
（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4.
变式训练：（1）若直线与直线互相垂直，则实数= （ ）.
A．-4 B．-1 C．1 D．4
（2）点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
题型四 距离公式
例4（1）.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为(　　)．A．0 B．1 C．2 D．3
（2）已知直线，平行，则它们之间的距离是 ．
变式训练：定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是，给出以下命题：
①若，则直线与直线平行；
②若，则直线与直线平行；
③若，则直线与直线垂直；④若，则直线与直线相交；
其中正确命题的序号是_______________.
题型五 直线的综合应用
例5(1).若直线： 经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是 ．
(2)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
变式训练：（1）如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
（2）.已知，直线， 相交于点P，交y轴于点A，交x轴于点B
（1）证明：；
（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；
（3）设S= f (m), 求的单调区间.
七．自我测评：
1.过点，且在轴上的截距为3的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.直线与两条直线，分别交于、两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
3.平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
4.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 ．
5.点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．
6.若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．
7.过点的直线被两平行线与截得的线段长，求直线的方程.
8.已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）取上一点，任作弦，满足,则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为点），请写出点的坐标，否则说明理由.

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