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第9讲 抛物线的性质及应用
一、教学目标：
了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
二、教学重点.
重点：会利用抛物线的性质解决抛物线问题．
难点：抛物线综合问题
三、教学方法
一学、二记、三应用。
知识梳理：
1.抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
2.焦点弦的常用结论：
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)；
(5)＋＝为定值；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
五、课前测试
1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
答案　D解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　A解析　由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋，∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
答案　C解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.
六、典例剖析
题型一、抛物线的几何性质
例1 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)
A.　　　　　　　　 B．(1,0)
C. D．(0,1)
(2)若抛物线y2＝x的准线经过椭圆＋＝1的左焦点，则实数m的值为________．
[解析]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，椭圆＋＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－＝－2，所以实数m＝.[答案]　(1)B　(2)
[方法技巧]
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
　课堂练习
1.抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是.
2.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A. B．－ C．4 D．－4
解析：选B　由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得a＝－.
3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
解析：选B　因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.
4.以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是(　　)
A．y＝4x2 B．y＝12x2
C．y2＝6x D．y2＝12x
解析：选D　设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋＝4，即p＝6，所以抛物线方程为y2＝12x.
5.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6(负值舍去)．答案：6
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±.∴水位下降1米后，水面宽为2米．
答案：2
题型二、焦点弦问题
例2 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解]　(1)由题意得直线AB的方程为y＝2·，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[方法技巧]
焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
　　
课堂练习
1.(2016·广州一模)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
解析：选A　由题意得，抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋x2＋…＋xn＋n＝n＋10，选A.
2.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是(　　)
A．等于1 B．等于4
C．最小值是1 D．最大值是4
解析：选A　设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝.而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.
3.已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，即|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
4.若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．
解析：由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.设P(y0≥0)，则点P到直线AB的距离d＝，∴△PAB的面积S＝|AB|·d＝＝≥2，即△PAB的面积的最小值是2.答案：2
5.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
证明：设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，
∴C.则kOC＝＝＝＝kOA.∴直线AC经过原点O.
题型三、抛物线与直线位置关系
结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？
答　设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px (p>0)，
将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，
(1)若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．
另外，还要注意直线斜率不存在的情形．
例3　如图，已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
解　由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组(*)
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. ①
(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.把y＝1代入y2＝4x，得x＝.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．
1°由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝.
于是，当k＝－1，或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
2°由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－13°由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1，或k>.
于是，当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得
当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1，或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
例4　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．由题意可设直线方程为x＝my＋，
代入y2＝2px，得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
反思与感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
课堂练习
1、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②点D在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
2、若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________.
解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)．
又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，
∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，由图知点P的纵坐标y＝2，
∴P(2,2)，∴直线PF的方程为y＝2(x－1)．
方法一　联立直线与抛物线的方程解之得或
由图知Q(，－)，∴S△OPQ＝|OF|·|yP－yQ|＝×1×|2＋|＝.
方法二　将y＝2(x－1)代入y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，∴x1＋x2＝，
∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝，O到PQ的距离d＝，∴S△OPQ＝×|PQ|×d＝××＝.
3、如图，已知O为坐标原点，P(a,0)(a>0)为x轴上一动点，过P作直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A、B两点，
设S△AOB＝t·tan∠AOB.
试问：当a为何值时，t取得最小值，并求出最小值．
解　当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y＝k(x－a)(k≠0)，
联立消去y得k2x2－2(k2a＋p)x＋k2a2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝a2，y1y2＝－2pa.当AB与x轴垂直时，上述结论仍然成立．
由S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB，得t＝|OA|·|OB|cos∠AOB.
∵|OA|·|OB|cos∠AOB＝·＝x1x2＋y1y2，∴t＝(x1x2＋y1y2)＝(a2－2pa)
＝(a－p)2－p2≥－p2，∴当a＝p时，t有最小值－p2.
真题回顾
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1 C. D．2
解析：选D　∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.故选D.
2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.
3．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，
A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B　∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆的方程为＋＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：选C　如图所示，过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，设l与x轴交点为M，因为＝4，所以|QQ′|∶|MF|＝|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离|MF|＝4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
七、自我测评：
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D　依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．13
解析：选B　依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.
3．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意知，抛物线的准线方程为x＝－.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±，所以S△MFO＝××＝.
4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
5．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为x2＝8y.
答案：x2＝8y
6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝.∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，
联立解方程组得x＝，y＝，
∴点N的坐标为.
7.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．
(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；
(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．
解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，
则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．
由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.
又直线AB的斜率kAB＝＝，
直线MN的斜率kMN＝＝，
∴＝＝＝＝2.
故直线AB与直线MN斜率之比为定值．第9讲 抛物线的性质及应用
一、教学目标：
了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
二、教学重点.
重点：会利用抛物线的性质解决抛物线问题．
难点：抛物线综合问题
三、教学方法
一学、二记、三应用。
知识梳理：
1.抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
2.焦点弦的常用结论：
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)；
(5)＋＝为定值；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
五、课前测试
1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
六、典例剖析
题型一、抛物线的几何性质
例1 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)
A.　　　　　　　　 B．(1,0)
C. D．(0,1)
(2)若抛物线y2＝x的准线经过椭圆＋＝1的左焦点，则实数m的值为________．
[方法技巧]
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
　
课堂练习
1.抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
2.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A. B．－
C．4 D．－4
3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
4.以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是(　　)
A．y＝4x2 B．y＝12x2
C．y2＝6x D．y2＝12x
5.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
题型二、焦点弦问题
例2 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[方法技巧]
焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
课堂练习
1.如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
2.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是(　　)
A．等于1 B．等于4
C．最小值是1 D．最大值是4
3.已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4.若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．
5.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
题型三、抛物线与直线位置关系
结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？
答　设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px (p>0)，
将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，
(1)若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．
另外，还要注意直线斜率不存在的情形．
例3　如图，已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
例4　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
反思与感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
课堂练习
1、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
2、若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________.
3、如图，已知O为坐标原点，P(a,0)(a>0)为x轴上一动点，过P作直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A、B两点，设S△AOB＝t·tan∠AOB.试问：当a为何值时，t取得最小值，并求出最小值．
真题回顾
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1
C. D．2
2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
3．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
七、自我测评：
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．13
3．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为(　　)
A. B.
C. D.
4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．
6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
7．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．
(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；
(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．

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