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第4讲 椭圆的定义与方程
一．学习目标：
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
二．重点难点：
1.利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
2.会求简单的与椭圆有关的轨迹方程．(难点)
三．教学方法
一学、二记、三应用.
四．知识梳理
1、椭圆的定义
文字语言 图形语言 符号语言
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、椭圆的定义应注意以下几点：
当｜F1F2｜=2a时，其轨迹为线段F1F2；
当｜F1F2｜>2a时，其轨迹不存在.
只有当｜F1F2｜<2a时，其轨迹才是椭圆。
椭圆的定义表达式为：｜PF1｜+｜PF2｜=2a（其中｜F1F2｜<2a）
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点 （-c,0）,(c,0) (0,-c),(0,c)
a、b、c的关系
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个位置上
五 课前自测
1.椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
答案：B
3.已知a=4,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________.
答案：
六．典例剖析：
题型一 椭圆定义的运用
1.椭圆的左、右焦点为一直线过交椭圆于A、B两点，
则△的周长为（ ）（A）32 （B）16 （C）8 （D）4
解：　(1)由得a2＝16，b2＝7，于是a＝4，
所以，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)=4a=16，答案：B
2. 设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】A【解析】由题意知为的中位线，∵，∴，又，∴，故选A.
3. 椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则的面积为( )A． B． C． D．
【试题解析】（1）由椭圆定义知，又，所以，从而得，所以的面积为，故选A．
课堂小结：　(1)已知椭圆标准方程求焦点坐标，关键是由方程确定焦点所在轴，a2，b2的值可以由方程直接得到，利用式子c＝可求焦点坐标．若椭圆方程不是标准方程需先化为标准方程．
若F1，F2是椭圆＋＝1(或＋＝1)的两个焦点，且过F1(或F2)的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2(或△ABF1)的周长为4a.
课堂练习：1. 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为　(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案：A 解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.
2. 椭圆＋＝1，焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)
A．7倍　　　　 　B．5倍 C．4倍 D．3倍
解析：　
(1)如图所示，由已知：a＝5，△AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
(2)不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P，
即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
即|PF1|＝，所以|PF1|＝7|PF2|.故选A.
3.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的余弦值为
A． B． C． D．
解：【答案】A【解析】因为椭圆的方程为，可得因为，，所以，在中，，所以，故选A．
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
（2）两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.
（3）已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程．
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为2a＝＋＝10,2c＝6，
所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.，所以b2＝a2－c2＝144.
所求椭圆方程为＋＝1.
（3）解：　方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为点和点在椭圆上，
所以所以，而a>b>0，
所以a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆不存在.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为点和点在椭圆上，
所以所以所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
方法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
因为点和点都在椭圆上，
即解得所以所求的椭圆的标准方程为x2＋＝1
课堂小结：1.求椭圆标准方程的一般步骤为：
2. (1)并不知道焦点在哪个坐标轴上，因此设置标准方程时，要分两种情况：①焦点在x轴上，②焦点在y轴上．
(2)由于已知两点时，椭圆是唯一确定的，因此也可把方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，非标准形式，这样避免了分类讨论．
课堂练习：（1）已知椭圆经过点和点，求它的标准方程；
（2）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
答案 （1）设所求的椭圆方程为，因为该椭圆过点和点，代入得解得，，故所求的椭圆方程为；
（2）椭圆的焦点坐标为，依题意则可设所求的椭圆的方程为，把代入得，解得，所以所求的椭圆方程为。
【例3】1. 已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则的取值范围是 （ ）
A. B. C.或 D.
【答案】 B（点拨：由可得）
2. 设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________．
答案：＋＝1
解析：由△F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴，得＝×2c，×2c×＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所求的椭圆方程为＋＝1.
课堂练习： 1. 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>3　　　　 B．a<－2 C．a>3或a<－2 D．a>3或－6解析：　由椭圆＋＝1的焦点在x轴上可得a2>a＋6>0，所以有可得所以a>3或－62.若的两个顶点坐标为，，的周长为18,则顶点的轨迹方程为 （ ）
B.
C. D.
【答案】 D（点拨：顶点满足）
题型三 由椭圆定义求轨迹方程
【例4】 1. 已知的周长是18，，求点的轨迹方程。
2.已知中、、成等差数列，且。
求顶点的轨迹方程；
求重心的轨迹方程。
解析 结合椭圆的定义来探求轨迹问题，并注意重心与顶点的关系。
答案 （1）、、成等差数列，，
故顶点的轨迹是以、为焦点，长轴为8的椭圆。不妨以线段所在的直线为轴，线段的中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，，，，，，则顶点的轨迹方程为：。
（2）设重心，，由于
由于。
3.已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C的方程；
【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为（，），半径为R.
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.
课堂小结：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
课堂练习：1.已知椭圆的焦点地，，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ）
圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
解析 ，，，即，动点到定点的距离等于定长，故动点的轨迹是圆。答案 A
2. 已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．
解析：　
如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B，C，且原点O为BC的中点，由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10>6，即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2c＝6,2a＝10. ∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16.
由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形，
∴点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
3. 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．
解析：　由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径分别为C1(4,0)，r1＝13；C2(－4,0)，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②
如图所示，由①＋②可得:|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16.
即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可得动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为其焦点．由题意得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
∴椭圆的方程为＋＝1.∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
其方程为＋＝1.
七．自我测评：
1.设P为椭圆+=1上一点，若F1，F2为椭圆的两个焦点，则｜PF1｜+｜PF2｜等于（）
A.4 B.5 C.8 D.10
答案：D
2.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .故应填.
在平面直角坐标系xOy中，已知：△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆+=1上，则=
答案：
已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则m的取值范围是________．
答案：　(－3,0)∪(0,3)
5. 过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C解析：椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C.
6.如图，在直角坐标平面内，已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P.则点P的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：连接PB，因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，所以|PB|＝|PQ|.又|AQ|＝6，所以|PA|＋|PB|＝|AQ|＝6.又|PA|＋|PB|>|AB|，从而点P的轨迹是中心在原点，以A，B为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以椭圆方程为＋＝1.故选B.
7. (2018·湖北襄阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
解析：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n.∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1，
∴m2＋n2＝(2)2，m＋n＝2a，mn＝1，解得a＝2，又c＝，
∴b2＝a2－c2＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
8.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－， 求椭圆的标准方程；
解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝
|F1F2|＝＝＝2，
即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.第4讲 椭圆的定义与方程
一．学习目标：
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
二．重点难点：
1.利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
2.会求简单的与椭圆有关的轨迹方程．(难点)
三．教学方法
一学、二记、三应用.
四．知识梳理
1、椭圆的定义
文字语言 图形语言 符号语言
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、椭圆的定义应注意以下几点：
当｜F1F2｜=2a时，其轨迹为线段F1F2；
当｜F1F2｜>2a时，其轨迹不存在.
只有当｜F1F2｜<2a时，其轨迹才是椭圆。
椭圆的定义表达式为：｜PF1｜+｜PF2｜=2a（其中｜F1F2｜<2a）
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点 （-c,0）,(c,0) (0,-c),(0,c)
a、b、c的关系
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个位置上
五 课前自测：
1.椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知a=4,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________.
六．典例剖析：
题型一 椭圆定义的运用
【例1】 1.椭圆的左、右焦点为一直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长为（ ）
（A）32 （B）16 （C）8 （D）4
2. 设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
3. 椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则的面积为( )
A． B． C． D．
．
课堂小结：　(1)已知椭圆标准方程求焦点坐标，关键是由方程确定焦点所在轴，a2，b2的值可以由方程直接得到，利用式子c＝可求焦点坐标．若椭圆方程不是标准方程需先化为标准方程．
若F1，F2是椭圆＋＝1(或＋＝1)的两个焦点，且过F1(或F2)的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2(或△ABF1)的周长为4a.
课堂练习：1. 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为　(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
2. 椭圆＋＝1，焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)
A．7倍　　　　 　B．5倍 C．4倍 D．3倍
　
3.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的余弦值为
A． B． C． D．
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
（2）两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.
（3）已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程．
课堂小结：1.求椭圆标准方程的一般步骤为：
2. (1)并不知道焦点在哪个坐标轴上，因此设置标准方程时，要分两种情况：①焦点在x轴上，②焦点在y轴上．
(2)由于已知两点时，椭圆是唯一确定的，因此也可把方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，非标准形式，这样避免了分类讨论．
课堂练习：（1）已知椭圆经过点和点，求它的标准方程；
（2）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
【例3】1. 已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则的取值范围是 （ ）
A. B. C.或 D.
2. 设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________．
课堂练习： 1. 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>3　　　　 B．a<－2 C．a>3或a<－2 D．a>3或－62.若的两个顶点坐标为，，的周长为18,则顶点的轨迹方程为 （ ）
B.
D.
题型三 由椭圆定义求轨迹方程
【例4】 1. 已知的周长是18，，求点的轨迹方程。
2.已知中、、成等差数列，且。
求顶点的轨迹方程；
求重心的轨迹方程。
3.已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C的方程；
课堂小结：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
课堂练习：1.已知椭圆的焦点地，，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ）
圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2. 已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．
3. 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．
七．自我测评：
1.设P为椭圆+=1上一点，若F1，F2为椭圆的两个焦点，则｜PF1｜+｜PF2｜等于（）
A.4 B.5 C.8 D.10
椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .
在平面直角坐标系xOy中，已知：△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆+=1上，则=
已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则m的取值范围是________．
5. 过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
6.如图，在直角坐标平面内，已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P.则点P的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
7. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
8.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－， 求椭圆的标准方程；

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