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第10讲 函数复习专题
1.函数表示及性质
一．教学目标：
1．复习函数的概念及表示。
2. 复习函数的性质及应用
二．教学重、难点：
1.重点：函数四大性质的应用。
2.难点：函数性质的综合应用。
三、教学方法：数性结合，讲练结合。
四．知识梳理：
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性:(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
3．函数的奇偶性:(1)f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)＝f(|x|) f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．
(2)f(x)是偶函数 f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数 f(x)的图象关于原点对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
(4)若f(x＋a)为奇函数 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数 f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，
奇×偶＝奇．
4．函数的周期性的结论”(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，（其中a,b都是非零常数）恒成立，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
5．函数的图象:对于函数的图象要会作图、识图、用图．
作函数图象有两种基本方法：一是描点法（特征点），二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点（a,b）中心对称。
五．课前自测：
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)f(x)＝＋是一个函数．(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　)
2．(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对一切实数都有f(2＋x) ＝f(2－x)则(　　)
A．f(2)4.已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
六．典例剖析：
题型一 函数及其表示
例1 （函数概念）(1) [2022·重庆诊断]如图所示，对应关系f是从A到B的映射的是(　　)
(2)(2022·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝()2n－1，n∈N* D．f(x)＝·，g(x)＝
（3）下列所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
例2 （定义域问题）（1）（函数的定义域是 .
（2）[2022·山东潍坊青州段测]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为(　　)
A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
（3）设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f的定义域为(　　)
A．[1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
（4）．（提高）已知函数y＝f(x＋2)的定义域是[－2,5)，则y＝f(3x－1)的定义域为(　　)
A．[－7,14) B．(－7,14] C. D.
课堂小结：　简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
例3（分段函数）(1) [2022·河南开封模拟]f(x)＝则f(f(2))的值为________．
（2）已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f[f(－3)]＝(　　)
A．－2 B．2 C．3 D．－3
(3)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
（4）．（提高）（遂宁市高中2022届三诊考试）已知函数，
则方程的根的个数为
（5）（提高）已知，则方程的根的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
课堂小结：分段函数问题的求解策略：(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
例4（函数解析式）（1）已知f(1－cosx)＝sin2x，则f(x)的解析式为________．
（2）定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
（3）[·南阳模拟]已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为________．
课堂练习1: 　[2022·德州期末]y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2) C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
（2）[2022·新疆乌鲁木齐诊断]函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为(　　)
A．(1,2) B. C. D．[2，＋∞)
题型二 函数性质及运用
例5（函数奇偶性）（1）函数f(x)＝－2x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
（2）（2022年高考全国2卷文）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
（3）（乐山市高中2022届第一次调查研究考试）已知函数满足：，且当时，，则（ ）A． B． C． D．
（4）（2022年高考全国2卷）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
（5） （2022学年度福州市高三第一学期质量抽测）已知函数，且，则 ．
（6）（提高）已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
例6（函数单调性）（1）（2022年高考全国3卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3
（2）已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，3] B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．[1,3)
（3）已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)A. B. C．[－1,1] D.
（4）（绵阳市高中2022级第二次诊断性考试）若f（x)＝，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是　　．
例7（函数对称性）（1）[2022·潍坊统考]下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝2x D．y＝log2|x|
（2）．[2022·贵阳监测]已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
（3）（2022年河北省石家庄市高考数学一模试卷）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足
f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝4x﹣1，则在（1，3）上，f（x）≤1的解集是（　　）
A．（1，] B．[，] C．[，3） D．[2，3）
例8（函数周期性）（1）[2022·黑龙江双鸭山适应性考试]函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝(　　)A．－5 B．5 C. D．－
（2）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则__________.
（3） [2022·安徽合肥月考]已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 016)＋f(－2 015)＝(　　)
A．1－e B．e－1 C．－1－e D．e＋1
（4）已知定义在R上的函数f(x)满足： x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＝f(5－x)成立．
若f(－2)＝－1，则f(2 018)＝________.
（5）（提高）已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，满足f(x)＝
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝(　　)
A．log25 B．－log25 C．－2 D．0
（6）（提高）设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为_______
（7）（提高）[2022·沈阳监测]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，
f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在区间(－2,6)内有且只有4个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)A. B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞)
课堂练习2：（1）（河北衡水中学2022届高三第一次摸底联考）已知是定义在上的奇函数，若时，，则时， A. B. C. D.
（2）已知f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，则f(0)＋m＝________.
（3）[2022·云南民族大学附中模拟]f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________________．
（4）（惠州市2022届高三模拟考试）设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为 ．
题型三 比较函数值大小
例9 （1）（2022年高考天津卷）已知，，，则的大小关系为A． B． C． D．
（2）（2022年高考全国1卷）已知，则
A． B． C． D．
（3）（2022届河南省八市重点高中联盟“领军考试”）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（4）（2022年高考全国3卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
课堂练习3：（1）（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷），，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022届海南省高三年级第三次联合考试）设函数，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
题型四 函数性质综合运用
例10．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值。(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若对任意的，不等式有解，求的取值范围.
课堂练习4：已知是定义在上的奇函数，且当时,.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
七．自我评估：
1．(2022·长春模拟)下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．
其中是A到B的映射的是(　　)A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
2．(2022·山东滨州期末)已知f(x)＝则f(－1＋log35)＝(　　)
A．15 B. C．5 D.
3．(2022·山西太原一模)若函数f(x)满足f(1－lnx)＝，则f(2)等于(　　)
A. B．e C. D．－1
4．(2022·新疆乌鲁木齐一诊)函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为(　　)A．(1,2) B.
C. D．[2，＋∞)
5．(2022·西安调考)若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)的值为(　　)
A．1 B．－1 C．－ D.
6.（江西南昌市2022届高三二模考试题）已知，则的大小关系是 A. x7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．08．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝ __________.
9．[2022·福建龙岩毕业班教学质量检查]函数f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________．
10.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（I）若函数为奇函数，求实数的值；
（II）在1的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（III）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.第10讲 函数复习专题
1.函数表示及性质（教师）
一．教学目标：
1．复习函数的概念及表示。
2. 复习函数的性质及应用
二．教学重、难点：
1.重点：函数四大性质的应用。
2.难点：函数性质的综合应用。
三、教学方法：数性结合，讲练结合。
四．知识梳理：
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性:(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
3．函数的奇偶性:(1)f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数 f(x)＝f(－x)＝f(|x|) f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．
(2)f(x)是偶函数 f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数 f(x)的图象关于原点对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
(4)若f(x＋a)为奇函数 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数 f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，
奇×偶＝奇．
4．函数的周期性的结论”(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，（其中a,b都是非零常数）恒成立，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
5．函数的图象:对于函数的图象要会作图、识图、用图．
作函数图象有两种基本方法：一是描点法（特征点），二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点（a,b）中心对称。
五．课前自测：
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)f(x)＝＋是一个函数．(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
[解析]　由得x≥0且x≠2，所以函数f(x)的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．故选C.
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对一切实数都有f(2＋x) ＝f(2－x)则(　　)
A．f(2)答案：A解析：由已知对称轴为x＝2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小．
4.[2017·北京卷]已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
答案：A解析：∵ 函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝
－＝－f(x)，∴ 函数f(x)是奇函数．∵ 函数y＝x在R上是减函数，
∴ 函数y＝－x在R上是增函数．又∵ y＝3x在R上是增函数，
∴ 函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选A.
六．典例剖析：
题型一 函数及其表示
例1 （函数概念）(1) 2022重庆诊断]如图所示，对应关系f是从A到B的映射的是(　　)
答案：D解析：A到B的映射为对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D表示A到B的映射．
(2)(2022·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝()2n－1，n∈N* D．f(x)＝·，g(x)＝
[解析]　对于A，f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f(x)＝＝x，g(x)＝()2n－1＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故选C.[答案]　C
（3）下列所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B解析：①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
例2 （定义域问题）（1）（2022年高考江苏卷）函数的定义域是 .
答：
（2）2022山东潍坊青州段测]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为(　　)
A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
答案：A解析：函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为的解集，解得1＜x＜2，所以函数f(x)的定义域为(1,2)．故选A.
（3）2022湖南邵阳模拟]设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f的定义域为(　　)
A．[1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
答案：B解析：∵函数f(x)＝log2(x－1)＋有意义，
∴解得1（4）．（提高）已知函数y＝f(x＋2)的定义域是[－2,5)，则y＝f(3x－1)的定义域为(　　)
A．[－7,14) B．(－7,14] C. D.
答案：D解析：因为函数y＝f(x＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x＜5，所以0≤x＋2＜7，所以函数f(x)的定义域为[0,7)，对于函数y＝f(3x－1)，0≤3x－1＜7，解得≤x＜，故y＝f(3x－1)的定义域是，
课堂小结：　简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
例3（分段函数）(1) 2022河南开封模拟]f(x)＝则f(f(2))的值为________．
答案：2解析：∵当x≥2时，f(x)＝log3(x2－1)，∴f(2)＝log3(22－1)＝1<2，∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2　
（2）已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f[f(－3)]＝(　　)
A．－2 B．2 C．3 D．－3
[解析]　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝()－3＋1＝9，从而f[f(－3)]＝f(9)＝log39＝2.故选B.
(3)(2022·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
[解析])当x≤0时，由题意得＋1≥－1，解之得－4≤x≤0.当x>0时，由题意得－(x－1)2≥－1，
解之得0（4）．（提高）（遂宁市高中2022届三诊考试）已知函数，
则方程的根的个数为
答：4
（5）（提高）已知，则方程的根的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
课堂小结：分段函数问题的求解策略：(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
例4（函数解析式）（1）已知f(1－cosx)＝sin2x，则f(x)的解析式为________．
[解析]　∵f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，设1－cosx＝t(0≤t≤2)，则cosx＝1－t，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t.故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．[答案]　f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)
（2）(2022·湖南模拟)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
[解]　当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
－x∈(－1,1)，以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
（3）2022南阳模拟]已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝－x－(x≠0)
解析：由题意知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋3x，即f(x)－2f＝3x，用代换上式中的x，可得
f－2f(x)＝，联立得，解得f(x)＝－x－(x≠0)．
课堂练习1: 　2022德州期末]y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2) C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
答：C
（2）2022新疆乌鲁木齐诊断]函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为(　　)
A．(1,2) B. C. D．[2，＋∞)
答案：A解析：当x<2时，不等式f(x)>1即ex－1>1，∴x－1>0，∴x>1，则1当x≥2时，不等式f(x)>1即－log3(x－1)>1，∴0综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A.
题型二 函数性质及运用
例5（函数奇偶性）（1）函数f(x)＝－2x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
答案：C解析：因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－(－2x)＝－＋2x＝－＝－f(x)，所以f(x)＝－2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称．故选C.
（2）（2022年高考全国2卷文）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
答：D
（3）（乐山市高中2022届第一次调查研究考试）已知函数满足：，且当时，，则（ ）A． B． C． D．
答：由题知函数为奇函数，且，则，得，故，那么.故选C
（4）（2022年高考全国2卷）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
答：-3
（5） （2022学年度福州市高三第一学期质量抽测）已知函数，且，则 ．
答：1.
（6）（提高）已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选D.设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．
∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，因此f(lg 2)＋f＝2.
例6（函数单调性）（1）（2022年高考全国3卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3）
答：C
（2）已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，3] B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．[1,3)
答案：D解析：由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得1≤a<3.故选D.
（3）已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)A. B. C．[－1,1] D.
答案　B解析　∵f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，
∵函数f(x)在[－2b,0]上为增函数，∴函数f(x)在[－2,0]上为增函数，
故函数f(x)在[0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，求得－1≤x≤，
又因为所以－1≤x≤.故f(x－1)≤f(2x)的解集为.
（4）（绵阳市高中2016级第二次诊断性考试）若f（x)＝，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是　　．
答：x>
例7（函数对称性）（1）2022潍坊统考]下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝2x D．y＝log2|x|
答案：B解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.
（2）．2022贵阳监测]已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
答案：A解析：因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A，B，使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.
（3）（2022年河北省石家庄市高考数学一模试卷）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足
f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝4x﹣1，则在（1，3）上，f（x）≤1的解集是（　　）
A．（1，] B．[，] C．[，3） D．[2，3）
解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），则函数的对称轴为x＝1，
又由f（x）为奇函数且当x∈[0，1]时，f（x）＝4x﹣1，则其图象如图，
在（1，3）上，f（x）≤1，则有≤x＜3，即不等式的解集为[，3），故选：C．
例8（函数周期性）（1）2022黑龙江双鸭山适应性考试]函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝(　　)A．－5 B．5 C. D．－
答案：D解析：由题意得f(x＋4)＝＝f(x)，则f(5)＝f(1)＝－5，所以f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝＝－.故选D.
（2）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则__________.
【答案】【解析】首先，是周期为2的函数，所以； 而是奇函数，所以，所以：，，即
又，时，，故，从而
（3） 2022安徽合肥月考]已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 016)＋f(－2 015)＝(　　)
A．1－e B．e－1 C．－1－e D．e＋1
答案：A解析：∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于原点对称．∵当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，∴函数f(x)的周期为2.∴f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.
（4）已知定义在R上的函数f(x)满足： x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＝f(5－x)成立．
若f(－2)＝－1，则f(2 018)＝________.
答案：1解析：由题意得f(x)＝f(6－x)＝－f(x－6)，即f(x－6)＝－f(x)，则f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为12.故f(2 018)＝f(12×168＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝1.
（5）（提高）已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，满足f(x)＝
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝(　　)
A．log25 B．－log25 C．－2 D．0
答案　B解析　由题意得f(1)＝－log25，f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝log25，f(3)＝f(0)＝0，f(4)＝f(1)，f(5)＝f(2)，f(6)＝f(3)，…，因为2020＝673×3＋1，所以f(2020)＝f(1)，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)]×673＋f(1)＝f(1)＝－log25.
（6）（提高）设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为_______
答案　，解析　由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得所以符合题意的x的取值范围为.
（7）（提高）2022沈阳监测]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，
f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在区间(－2,6)内有且只有4个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)A. B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞)
答案：D解析：∵f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数且周期为4，又当－2≤x≤0时，f(x)＝x－1，∴可画出f(x)在(－2,6)上的大致图象，如图所示．
若f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在(－2,6)内有4个不同的实根，则y＝f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在(－2,6)内有4个不同的交点，∴所以a>8，故选D.
课堂练习2：（1）（河北衡水中学2022届高三第一次摸底联考）已知是定义在上的奇函数，若时，，则时， A. B. C. D.
【解析】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.
（2）已知f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，则f(0)＋m＝________.
答案：2解析：∵f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，∴m－4＋m＝0，解得m＝2，又f(0)＝0，∴f(0)＋m＝2.
（3）2022云南民族大学附中模拟]f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________________．
答案：解析：∵对任意x1≠x2，都有<0成立，
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，∴解得0∴a的取值范围是.
（4）（惠州市2022届高三模拟考试）设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为 ．
【解析】∵偶函数满足,∴函数在上为增函数,,∴不等式等价为,即,即或,解得或.
题型三 比较函数值大小
例9 （1）（2022年高考天津卷）已知，，，则的大小关系为A． B． C． D．
答：A
（2）（2022年高考全国1卷）已知，则
A． B． C． D．
答：B
（3）（2022届河南省八市重点高中联盟“领军考试”）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，根据正切函数的性质，可得，所以。
（4）（2022年高考全国3卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
答：C
课堂练习3：（1）（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷），，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】, ， ，故 .故选B.
（2）（2022届海南省高三年级第三次联合考试）设函数，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
答：C　因为，，所以，因为为减函数，所以．
题型四 函数性质综合运用
例10．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值。(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若对任意的，不等式有解，求的取值范围.
……………3分
……………8分
课堂练习4：已知是定义在上的奇函数，且当时,.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解析:（1）当时，,，又是奇函数， ，
故 ，当时， ，故
（2）得.
∵ 是奇函数，∴.
又是减函数，所以. 恒成立.
令得 对恒成立.
解法一：令，上
∴ ∴
解法二：，
∴
七．自我评估：
1．(2022·长春模拟)下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．
其中是A到B的映射的是(　　)A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
[解析]　①中对于A中任一元素在B中有两个元素与之对应，故①不是A到B的映射；②中A＝R，A中元素0在f：x→x的倒数作用下在B中没有唯一元素对应，故②不是A到B的映射；③④符合映射的定义，故选C.[答案]　C
2．(2022·山东滨州期末)已知f(x)＝则f(－1＋log35)＝(　　)
A．15 B. C．5 D.
[解析]　∵13．(2022·山西太原一模)若函数f(x)满足f(1－lnx)＝，则f(2)等于(　　)
A. B．e C. D．－1
[解析]　解法一：令1－lnx＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝，即f(x)＝，故f(2)＝e.故选B.
解法二：由1－lnx＝2，得x＝，这时＝＝e，即f(2)＝e.故选B.[答案]　B
4．(2022·新疆乌鲁木齐一诊)函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为(　　)A．(1,2) B.
C. D．[2，＋∞)
[解析]　当x<2时，不等式f(x)>1即ex－1>1，∴x－1>0，∴x>1，则1当x≥2时，不等式f(x)>1即－log3(x－1)>1，∴0综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A.[答案]　A
5．(2022·西安调考)若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)的值为(　　)
A．1 B．－1 C．－ D.
[解析]　由f(x)＋2f()＝3x，得
消去f()，得f(2)＝－1.故选B.[答案]　B
6.（江西南昌市2022届高三二模考试题）已知，则的大小关系是 A. x答：D
7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0答案：C解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<08．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝ __________.
答案：0解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
又∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f(x)＝f(1－x)＝－f(－x)＝－f(2－x) f(x)＝f(x＋2)，在f(x)＝f(1－x)中，令x＝0，∴f(0)＝f(1)＝0，∴f(0)＝f(1)＝…＝f(5)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
9．2022福建龙岩毕业班教学质量检查]函数f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________．
答案：8解析：由函数的解析式可知f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2,2]上是单调递减函数，则函数的最大值为f(－2)＝－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.
10.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（I）若函数为奇函数，求实数的值；
（II）在1的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（III）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数为奇函数,所以,即,
即,得,而当时不合题意,故.
（2）由（1）得: ,而,
易知在区间上单调递增,所以函数在区间上单调递增,
所以函数在区间上的值域为,所以,
故函数在区间上的所有上界构成集合为.
（3）由题意知, 在上恒成立.,.
∴在上恒成立.∴,
设,,,由得 ,
设,,,
所以在上递减, 在上递增,
在上的最大值为,在上的最小值为,
所以实数的取值范围为.

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