资源简介

三角形大题六类过关
一.基本量运算
1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，，求的周长.
2．记△ABC得内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.
(1)求a；
(2)求sinA.
二..结合基本不等式
3．在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C；
(2)若，求a＋b的取值范围．
三.锐角三角形中面积范围
5．锐角中，已知．
(1)求角B；
(2)若，求的面积S的取值范围．
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
四.锐角三角形中周长类范围
7．在中为角所对的边，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的取值范围.
8．在中，内角的对边长分别为，设为的面积，满足.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围.
五.锐角三角形中比值类范围
9．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
10．已知函数 ．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若锐角中角A、，所对的边分别为、、，且，求的取值范围．
六.锐角三角形中边长类范围
11．已知锐角内角，，的对边分别为，，.若.
(1)求角的大小；
(2)若，求边上高的取值范围.
12．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，D为AC的中点，求BD的取值范围．三角形大题六类过关
1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)；
(2)；
(3)8.
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到，即可得到；
（2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到，最后代入即可；
（3）利用面积公式得到，利用余弦定理得到，两式结合可得，然后求周长即可.
【详解】（1）根据正弦定理得，
，
∵，∴，则，
∵，∴.
（2）∵,
∴，，，，
∴
.
（3）∵面积为，且，
∴，整理得①，
根据余弦定理可得，②，
联立①②，可得，所以周长为8.
2．记△ABC得内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.
(1)求a；
(2)求sinA.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合余弦定理得出；
（2）由正弦定理得出.
【详解】（1）因为sinA=3sinB，所以，由余弦定理
可得，所以
（2）由可得，
3．在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及三角形的内角和定理化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值；
（2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值．
【详解】（1）解：因为
；
（2）解：根据余弦定理可知：，
，
又，即，
，当且仅当时，，故的最大值是．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C；
(2)若，求a＋b的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，利用正、余弦定理将角转化为边得出，再利用余弦定理求得，从而得出角C；
（2）由已知结合正弦定理边化角公式得，利用三角恒等变换整理得，最后根据正弦型函数的值域的求法，即可求得a＋b的取值范围.
【详解】（1）∵，则，
又∵，即，
则，整理得，则
∵，则.
（2）由正弦定理，得，
则
，
∵，则，
∴，则，
故a＋b的取值范围为.
5．锐角中，已知．
(1)求角B；
(2)若，求的面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式化简，可得，解出B即可；
（2）由已知条件，得到A的范围，将面积公式化简变形用A的三角函数表示，求出最值.
【详解】（1）∵
∴
由锐角，可知．
（2）由（1）知，，，则
又，，则
由正弦定理知，，则，
则
∵，
∴
又，则，
∴
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求得；
（2）由锐角三角形求得的范围，利用正弦定理把用表示，利用三角函数的恒等变换及正切函数性质得的范围，从而可得三角形面积范围．
【详解】（1）∵，∴结合正弦定理有．
∵，∴，∴，即，
∴．
∵，∴，∴，∴，
∴，即．
（2）∵为锐角三角形，∴，，∴，．
．
由正弦定理，得．
∵，∴，∴，∴，
故的面积的取值范围是．
7．在中为角所对的边，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，由三角形内角和定理即，可得，又为三角形的内角，即可解得的值．
（2）由，，结合正弦定理得，且，将转化为关于角的正弦型函数，利用正弦型函数求取值范围即可.
【详解】（1）解：由正弦定理，可得：，
可得，即，
，
，又，则
，
，.
（2）解：，，正弦定理得：
∴，其中，∴，且
则∵，∴，则，
∴的取值范围是.
8．在中，内角的对边长分别为，设为的面积，满足.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理，结合三角形面积公式，整理化简即可求得结果；
（2）根据正弦定理求得，再构造关于的函数；结合三角形是锐角三角形，求得的范围，再求函数在对应区间上的值域即可.
【详解】（1）因为中，面积为，又，，
则，所以，又，所以.
（2）若为锐角三角形，由（1）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理得，可得，
由正弦定理得，所以；
因为，
所以，
又为锐角三角形，所以，且，
又，则，
所以，故；
所以，则，
所以周长的取值范围是.
9．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理的边角互化即可求解；(2)结合(1)中条件，利用正弦定理的边角互化以及三角恒等变换即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得，，
即.
因为，
所以，
即.
因为，所以，则.
因为，所以.
（2）由(1)中可知，，则，
由正弦定理可知，，
因为为锐角三角形，所以，则，
所以，
从而.
故的取值范围为.
10．已知函数 ．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若锐角中角A、，所对的边分别为、、，且，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2) ．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换对函数进行变形，再求函数的周期与单调增区间即可；
（2）由题意利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简，求得 ，再求的取值范围即可得答案．
（1）
，
所以函数的最小正周期，
又由 ，
所以函数的增区间为；
（2）
，则,由于锐角中角，，
，
三角形是锐角三角形， ， ，
得， ，故，
，即．
11．已知锐角内角，，的对边分别为，，.若.
(1)求角的大小；
(2)若，求边上高的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据条件，运用诱导公式以及倍角公式即可求出角C；
(2)运用等面积法将AB边上的高h转化为ab的乘积，在根据正弦定理转化为三角函数，运用三角函数的性质即可求出h的范围.
【详解】（1）由条件可知：，，
∵，∴，，
又，∴，∴，∴；
（2）设边上的高为，则
且，∴，∴
由正弦定理得，∴，，
又
∴
，
∵为锐角三角形，∴ ，解得： ，
∴，∴，∴边上高的取值范围是；
综上， ，边上高的取值范围是.
12．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，D为AC的中点，求BD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得，进而求得.
（2）方法一：由，利用平方的方法，结合向量数量积运算以及余弦定理求得的取值范围.方法二：利用中位线，结合余弦定理求得的取值范围.方法三：由，利用平方的方法，结合向量数量积运算、正弦定理、三角函数值域的求法求得的取值范围.
【详解】（1）因为,
由正弦定理可得．
因为，即，
所以．
所以,
所以,
因为，所以,
所以，又,
所以.
（2）法一：因为D为AC的中点，所以，
所以，
由（1）知，又，
所以．，
因为△ABC为锐角三角形，所以，
由余弦定理可得，
又，
所以，解得
，，，
，
所以，
所以BD的取值范围是.
法二：取AB的中点E，又D为AC的中点，
所以DE为△ABC的中位线
所以，
所以在△BDE的中．
因为△ABC为锐角三角形，所以，
由余弦定理可得，
又，
所以，
，，，
，
所以，
所以BD的取值范是.
法三：因为D为AC的中点，所，
所以，
由（1）知，又，
所以．
在△ABC中，由正弦定理得，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，所以，
所以，
所以，
所以，，，
，
所以，
所以BD的取值范围是.

展开更多......

收起↑