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第12讲 三角函数复习专题
1.三角函数图象与性质
一．教学目标：
1.了解正弦函数、余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象；
2.了解周期函数、周期、最小正周期定义.会求三角函数的周期；
3.掌握周期性，奇偶性．最值性，并会求简单三角函数的值域及最值；
4.掌握的单调性，并能用单调性比较大小.会求函数及的单调区间.
二、重点难点:
重点：三角函数的图象与性质；掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法
难点：①三角函数的单调区间．②五点法画图．③三角函数性质的应用．
三．教学方法：一学、二记、三应用
四．知识梳理：
1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
3．函数的周期性：
(1)定义：对于函数，如果存在一个实数T，使得当取定义域内的任意实数时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小
（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
4.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
五、课前自测
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．(　　)
(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(　　)
(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数．(　　)
2. 若＝3，则cosα－2sinα＝(　　)
A．－1 B．1 C．－ D．－1或－
3．y＝|cosx|的一个单调增区间是(　　)
A. B．[0，π] C. D.
六、典例剖析
题型一 三角函数定义及同角，诱导公式
例1（1）[2022·河北张家口月考]若角θ满足sinθ>0，tanθ<0，则是(　　)
A．第二象限角 B．第一象限角C．第一或第三象限角 D．第一或第二象限角
（2）[2022·湖北百所重点校联考]已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)且cosθ＝x，则x＝(　　) A．－1 B．－ C．－3 D．－
（3）．[2022·泉州质检]若sinθtanθ<0，且sinθ＋cosθ∈(0,1)，那么角θ的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（4）[2022·湖南株洲醴陵二中、四中模拟]已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为(　　)A．－ B．－ C. D.
（5）[2022·贵州贵阳模拟]设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号)．①cos(A＋B)＝cosC；②cos＝sin；③sin(2A＋B＋C)＝－sinA.
课堂练习1：（1）[2022·兰州模拟]已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点
M(－3,4)，则cos2θ－sin2θ＋tanθ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
（2）．[2022·江西联考]已知sin(π－α)＝－2sin，则sinαcosα＝(　　)
A. B．－ C.或－ D．－
题型二 三角函数图象与变换
例2 (1) 为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
（2） (2022·福建漳州八校联考)若函数f (x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f (x)的图象(　　)A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
（3）(2022·湖南常德检测)将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π B．g＝
C．x＝是g(x)图象的一条对称轴 D．g(x)为奇函数
(4)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图①所示，则φ＝________。
(5)已知函数f (x)＝Msin(ωx＋φ)的部分图象如图②所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B，则函数f (x)＝________。
课堂小结：利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑：
1．根据最大值或最小值求出A的值。
2．根据周期求出ω的值。
3．根据函数图象上的某一特殊点求出φ的值。
课堂练习2：已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A，
B(π，－1)，则φ值为________。
题型三 三角函数的定义域与值域
例3 （1）函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
（2）(2021·重庆巴南区质检)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
（3）函数f (x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A． B．
C． D．
（4）【2017新课标2】函数（）的最大值是__________．
（5）（提高）函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
课堂练习3：（1） 函数在区间上的最小值是( )
A．-l B． C． D．0
（2）函数y＝的定义域为(　　)
A. B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
题型四 三角函数的单调性
例4 (1) [2022·温州联考]已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A. (k∈Z) B. (k∈Z)
C. (k∈Z) D. (k∈Z)
(2022·河北省石家庄市高三二检)已知函数f(x)＝sin＋cos2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A. B. C. D.
(3). (2022·广州模拟)函数f(x)＝sin(x＋φ)在区间上单调递增，常数φ的值可能是(　　) A．0 B. C．π D.
（4）（提高）已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D．(0，2]
课堂练习4：函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 三角函数的对称性
例5、(1) 函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2）．函数的图象的对称中心是( )
A． B.
C. D.
（3）(2021·陕西宝鸡二模)同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称的一个函数是(　　)A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
（4）函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f＝f，则f的值为(　　)
A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0
（5）（提高） (2021·湖南长沙模拟)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8
课堂小结：三角函数对称轴和对称中心求法
(1)直接利用公式求解：如果求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
(2)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x轴的交点，这一性质求解或通过检验函数值进行判断．
课堂练习5：（1）下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是 （ ）
A． B． C． D．
（2）函数的图象关于点成中心对称，则最小的的值为（ ）A． B． C． D．
题型六 三角函数的奇偶性
例6（1）.函数是（ ）.
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
（2）已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为(　　) A．0 B. C. D.
（3）（提高）已知函数f (x)＝1＋2cosxcos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是(　　)
A．g(x)在区间上的最小值为－1
B．g(x)的图象可由函数f (x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到
C．g(x)的图象的一个对称中心是
D．g(x)的一个单调递减区间是
（4）（提高）【湖南省长沙市一中2022届高三高考模拟试卷（二）】若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( )
A. B. C. (1,1) D. (-1,1)
课堂小结：利用三角函数的奇偶性求参数值
若f(x)＝Asin(ωx＋φ) 为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，且x＝0时，f(x)取得最大或最小值；
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，且x＝0时，f(x)＝0.
课堂练习6: 【2017-2021山西省朔州一中8月】函数 是 （ ）A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
题型七 三角函数的周期性
例7（1）(2022·洛阳市高三第一次统一考试)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是(　　)A．y＝sinx＋cosx B．y＝sin2x－cos2x
C．y＝cos|x| D．y＝3sincos
（2）函数y＝2sin2x＋sin2x的最小正周期是(　　)A. B. C．π D．2π
（3）函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是________．
课堂小结：三角函数的周期求法：(1)利用周期定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)利用图象．
课堂练习7：:对函数，有下列说法：
①的周期为，值域为；②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称；④在上单调递增；
⑤将的图象向左平移个单位，即得到函数的图象.
其中正确的是_________.（填上所有正确说法的序号）.
七．自我测评：
1．函数f(x)＝是(　　)A．周期为的非奇非偶函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
2.．(2022·安徽合肥联考)函数f(x)＝sin－cos2x的图象的一条对称轴的方程可以是(　　)A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
3.函数图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一
个值为（ ）A. B. C. D.
4．(2022·辽宁沈阳二中月考)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D.
5．(2021·辽宁沈阳教学质量监测)函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈的单调递增区间是(　　) A. B. C. D.
6.将偶函数f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值是(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D．－
7.函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos的图象(　　)
A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到
8.函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos的图象，则只需将f (x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，若将函数图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则ω的取值不可能是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．1
10.函数f (x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5第12讲 三角函数复习专题
1.三角函数图象与性质（教师）
一．教学目标：
1.了解正弦函数、余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象；
2.了解周期函数、周期、最小正周期定义.会求三角函数的周期；
3.掌握周期性，奇偶性．最值性，并会求简单三角函数的值域及最值；
4.掌握的单调性，并能用单调性比较大小.会求函数及的单调区间.
二、重点难点:
重点：三角函数的图象与性质；掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法
难点：①三角函数的单调区间．②五点法画图．③三角函数性质的应用．
三．教学方法：一学、二记、三应用
四．知识梳理：
1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
3．函数的周期性：
(1)定义：对于函数，如果存在一个实数T，使得当取定义域内的任意实数时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小
（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
4.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
五、课前自测
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．(　　)
(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(　　)
(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2. 若＝3，则cosα－2sinα＝(　　)
A．－1 B．1 C．－ D．－1或－
答案：C解析：因为＝3，所以cosα＝3sinα－1(sinα≠0)，所以sin2α＋(3sinα－1)2＝1(sinα≠0)，即5sin2α－3sinα＝0(sinα≠0)，所以所以cosα－2sinα＝－.
3．y＝|cosx|的一个单调增区间是(　　)
A. B．[0，π]
C. D.
[解析]　将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.
六、典例剖析
题型一 三角函数定义及同角，诱导公式
例1（1）[2022·河北张家口月考]若角θ满足sinθ>0，tanθ<0，则是(　　)
A．第二象限角 B．第一象限角C．第一或第三象限角 D．第一或第二象限角
答案：C解析：∵角θ满足sinθ>0，tanθ<0，∴θ是第二象限角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z，∴是第一或第三象限角．故选C.
（2）[2022·湖北百所重点校联考]已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)且cosθ＝x，则x＝(　　) A．－1 B．－ C．－3 D．－
答案：A解析：由题意，得＝x，故x2＋9＝10，解得x＝±1.因为x<0，所以x＝－1，故选A.
（3）．[2022·泉州质检]若sinθtanθ<0，且sinθ＋cosθ∈(0,1)，那么角θ的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：B解析：∵sinθtanθ<0，∴角θ的终边落在第二或第三象限，又sinθ＋cosθ∈(0,1)，因而角θ的终边落在第二象限，故选B.
（4）[2022·湖南株洲醴陵二中、四中模拟]已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为(　　)A．－ B．－ C. D.
答案：A解析：由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝，所以sin2α－2sinαcosα＝＝＝－.故选A.
（5）[2022·贵州贵阳模拟]设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号)．①cos(A＋B)＝cosC；②cos＝sin；③sin(2A＋B＋C)＝－sinA.
答案：②③解析：因为A，B，C是△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，＝.所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，cos＝cos＝sin，sin(2A＋B＋C)＝sin(A＋π)＝－sinA.故②③恒成立．
课堂练习1：（1）[2022·兰州模拟]已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3,4)，则cos2θ－sin2θ＋tanθ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案：A解析：设O为坐标原点，则由已知得|OM|＝5，因而cosθ＝－，sinθ＝，tanθ＝－，则cos2θ－sin2θ＋tanθ＝－－＝－.
（2）．[2022·江西联考]已知sin(π－α)＝－2sin，则sinαcosα＝(　　)
A. B．－ C.或－ D．－
答案：B解析：∵sin(π－α)＝－2sin，∴sinα＝－2cosα.再由sin2α＋cos2α＝1可得sinα＝，cosα＝－或sinα＝－，cosα＝，∴sinαcosα＝－.故选B.
题型二 三角函数图象与变换
例2 (1) 为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案　A
（2） (2022·福建漳州八校联考)若函数f (x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f (x)的图象(　　)A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
解析　函数f (x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f (x)的图象向右平移个单位长度即可。故选A。答案　A
（3）(2022·湖南常德检测)将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π B．g＝
C．x＝是g(x)图象的一条对称轴 D．g(x)为奇函数
[解析]　由题意得g(x)＝sin＝sin2x，所以周期为π，g＝sin＝，直线x＝不是g(x)图象的对称轴，g(x)为奇函数，故选C.[答案]　C
　(4)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图①所示，则φ＝________。
解析　由题设图象知，A＝2，可得f (x)＝2sin(ωx＋φ)。由函数图象过点(0，－1)，可得2sinφ＝－1，即sinφ＝－，则φ＝2kπ－(k∈Z)或φ＝2kπ－(k∈Z)。因为<(5)已知函数f (x)＝Msin(ωx＋φ)的部分图象如图②所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B，则函数f (x)＝________。
解：由题意得M＝3，T＝2＋，所以T＝6＝，所以ω＝，所以f (x)＝3sin，将A(2,3)代入可得3＝3sin，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f (x)＝3sin。
课堂小结：利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑：
1．根据最大值或最小值求出A的值。
2．根据周期求出ω的值。
3．根据函数图象上的某一特殊点求出φ的值。
课堂练习2：已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A，B(π，－1)，则φ值为________。
解析　根据函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A，B(π，－1)，可得从点A到点B正好经过了半个周期，即×＝π－，所以ω＝2。再把点A，B的坐标代入函数解析式可得2sin＝－2sinφ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sinφ＝－1，所以sinφ＝－，所以φ＝2kπ－或φ＝2kπ－，k∈Z。再结合“五点作图法”，可得φ＝－。答案　－
题型三 三角函数的定义域与值域
例3 （1）函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】由 0得,∴，k∈Z..
（2）(2021·重庆巴南区质检)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域为.故选D.
（3）函数f (x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A． B．
C． D．
解析　当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即f (x)的值域为。故选B。答案　B
（4）【2017新课标2】函数（）的最大值是__________．
【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则 ，由可得，当时，函数取得最大值1．
（5）（提高）函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
课堂练习3：（1） 函数在区间上的最小值是( )
A．-l B． C． D．0
【答案】C【解析】
（2）函数y＝的定义域为(　　)
A. B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
[解析]　由2sinx－1≥0，得sinx≥，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，故函数的定义域为，k∈Z.故选C.[答案]　C
题型四 三角函数的单调性
例4 (1) [2022·温州联考]已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为(　　)A. (k∈Z) B. (k∈Z)
C. (k∈Z) D. (k∈Z)
解析：根据已知得＝π，得ω＝2.由不等式2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．答案：D
（2）(2022·河北省石家庄市高三二检)已知函数f(x)＝sin＋cos2x，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)A. B.
C. D.
[解析]　f(x)＝sin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的一个单调递减区间为，故选A.[答案]　A
(3). (2022·广州模拟)函数f(x)＝sin(x＋φ)在区间上单调递增，常数φ的值可能是(　　) A．0 B. C．π D.
[解析]　由函数f(x)＝sinx的图象可以看出，要使函数f(x)＝sin(x＋φ)在区间上单调递增，结合选项，经验证知，需将f(x)＝sinx的图象向左平移个单位长度，故选项D正确．
（4）（提高）已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D．(0，2]
解析　由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知 ，∴∴≤ω≤，故选A.
课堂练习4：函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】，只需求的增区间，由得，，所以的增区间是，故选B.
题型五 三角函数的对称性
例5、(1) 函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
（2）．函数的图象的对称中心是( )
A． B.
C. D.
【答案】D【解析】：令2x+=，k∈z，求得x=-，k∈z．
故函数y＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k∈z，故选D．
（3）(2021·陕西宝鸡二模)同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称的一个函数是(　　)A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
[解析]　(1)由于y＝cos的周期为＝4π，不满足条件，故排除A.
对于函数y＝sin，它的周期为＝π，当x＝时，函数取得最大值为1，因此图象关于直线x＝对称，故满足条件．
对于函数y＝cos，它的周期为＝π，当x＝时，函数值为0，不是最值，因此图象不关于直线x＝对称，故不满足条件．故选B.
对于函数y＝sin，它的周期为＝π，当x＝时，函数值为，不是最值，因此图象不关于直线x＝对称，故不满足条件．
（4）函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f＝f，则f的值为(　　)
A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0
[解析]　因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[答案]　B
（5）（提高） (2021·湖南长沙模拟)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8
解：由ω＋＝＋kπ，得ω＝2＋6k，k∈Z.又ω＝N*，故ω的最小值为2.故选B.
课堂小结：三角函数对称轴和对称中心求法
(1)直接利用公式求解：如果求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
(2)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x轴的交点，这一性质求解或通过检验函数值进行判断．
课堂练习5：（1）下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
（2）函数的图象关于点成中心对称，则最小的的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C【解析】：由题意得，当时，，即，时最小，此时，故选C．
题型六 三角函数的奇偶性
例6（1）.函数是（ ）.
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
【答案】C
（2）已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为(　　) A．0 B. C. D.
[解析]　据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．故选B.[答案]　B
（3）（提高）已知函数f (x)＝1＋2cosxcos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是(　　)
A．g(x)在区间上的最小值为－1
B．g(x)的图象可由函数f (x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到
C．g(x)的图象的一个对称中心是
D．g(x)的一个单调递减区间是
解析　因为函数f (x)＝1＋2cosxcos(x＋3φ)是偶函数，y＝1，y＝2cosx都是偶函数，所以y＝cos(x＋3φ)是偶函数，所以3φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以g(x)＝cos。当－≤x≤时，－≤2x－≤，cos∈[0,1]，故A项错误；f (x)＝1＋2cosxcos(x＋π)＝1－2cos2x＝－cos2x，显然B项错误；当x＝－时，g(x)＝cos＝0，故C项正确；当0≤x≤时，－≤2x－≤，g(x)＝cos有增有减，故D项错误。故选C。答案　C
（4）（提高）【湖南省长沙市一中2022届高三高考模拟试卷（二）】若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( )
A. B. C. (1,1) D. (-1,1)
【答案】D
课堂小结：利用三角函数的奇偶性求参数值
若f(x)＝Asin(ωx＋φ) 为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，且x＝0时，f(x)取得最大或最小值；
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，且x＝0时，f(x)＝0.
课堂练习6: 【2017-2021山西省朔州一中8月】函数 是 （ ）A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
【答案】B【解析】为偶函数本题选择B选项.
题型七 三角函数的周期性
例7（1）(2022·洛阳市高三第一次统一考试)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是(　　)A．y＝sinx＋cosx B．y＝sin2x－cos2x
C．y＝cos|x| D．y＝3sincos
[解析]　对于A，函数y＝sinx＋cosx＝sin的最小正周期是2π，不符合题意；对于B，函数y＝sin2x－cos2x＝(1－cos2x)－(1＋cos2x)＝－cos2x的最小正周期是π，符合题意；对于C，y＝cos|x|＝cosx的最小正周期是2π，不符合题意；对于D，函数y＝3sincos＝sinx的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.[答案]　B
（2）函数y＝2sin2x＋sin2x的最小正周期是(　　)A. B. C．π D．2π
[解析]　函数y＝2sin2x＋sin2x＝2×＋sin2x＝sin＋1，则函数的最小正周期为＝π.故选C.
（3）函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是________．
解：∵f＝＋＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)∴f(x)的最小正周期是.
课堂小结：三角函数的周期求法：(1)利用周期定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)利用图象．
课堂练习7：:对函数，有下列说法：
①的周期为，值域为；②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称；④在上单调递增；
⑤将的图象向左平移个单位，即得到函数的图象.
其中正确的是_________.（填上所有正确说法的序号）.
【答案】①②③.【解析】因为函数中，，则；，则；故①正确；函数的对称轴为，即；当时，，所以图像关于直线对称；故②正确；函数的对称中心为，即，解得；当时，，所以的图象关于点对称，故③正确；函数的单调递增区间为，解得，当时，，故④错误；将的图象向左平移个单位，即得到函数，故⑤错误.
七．自我测评：
1．函数f(x)＝是(　　)A．周期为的非奇非偶函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解：T＝＝且为偶函数．故选D.
2.．(2022·安徽合肥联考)函数f(x)＝sin－cos2x的图象的一条对称轴的方程可以是(　　)A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
[解析]　f(x)＝sin－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，可得x＝π＋π(k∈Z)．令k＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝π.故选B.
3.函数图象的一条对称轴在区间内，则满足此条件的一
个值为（ ）A. B. C. D.
答案：A解析：令,解得.由图象的一条对称轴在区间内，令，解得，四个选项中只有A符合题意.
4．(2022·辽宁沈阳二中月考)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D.
[解析]　∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，∴2·＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．由此易得|φ|min＝.故选A.[答案]　A
5．(2021·辽宁沈阳教学质量监测)函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈的单调递增区间是(　　) A. B. C. D.
[解析]　把函数的解析式变形，得y＝＋sin2x＋3×＝2＋sin2x＋cos2x＝sin＋2.若x∈，则2x＋∈，由<2x＋<，得06.将偶函数f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值是(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析　由题意可知f (x)＝2sin，因为函数f (x)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin＝2sin。因为函数f (x)＝2sin为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)，θ＝kπ＋(k∈Z)。又因为0<θ<π，所以θ＝。所以g(x)＝2sin。因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈。所以g(x)∈[－2,1]，所以函数g(x)在上的最小值为－2。故选A。
7.函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos的图象(　　)
A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到
解析　解法一：由y＝cos＝sin，y＝sin＝sin，知函数y＝sin的图象可以由y＝cos的图象向右平移个单位长度得到。
解法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B。
8.函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos的图象，则只需将f (x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析　根据函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象知，＝－＝，所以T＝π，即＝π，解得ω＝2。根据“五点画图法”可知2×＋φ＝π，解得φ＝，所以f (x)＝sin。所以g(x)＝cos＝sin＝sin。为了得到g(x)的图象，只需将f (x)的图象向左平移个单位长度即可。答案　A
9.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，若将函数图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则ω的取值不可能是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．10
解析　函数f (x)＝sin(ωx＋φ)。将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin，由于所得图象关于y轴对称，故函数y＝sin为偶函数，故ω＋φ＝kπ＋，k∈Z　①。将函数f (x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin，由于所得函数的图象关于原点对称，故函数y＝sin为奇函数，所以－ω·＋φ＝n·π，n∈Z　②。①－②化简可得ω＝4(k－n)＋2，即ω＝4m＋2，m∈Z，即ω是被4除余2的整数。故选B。答案　B
10.函数f (x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析　函数f (x)零点个数即为y＝3sinx与y＝logx两函数图象的交点个数，如图，函数y＝3sinx与y＝logx有5个交点。
答案　D

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