资源简介

一类立体几何多选压轴题—折叠问题
1．设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值
C．的面积有最大值 D．线段有最大值
【答案】BC
【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.
【详解】设，则，因为，所以．
矩形的面积，
因为，所以无最大值．故A错．
根据图形折叠可知与全等，
所以周长为．故B正确．
设，则，有，即，得，，当时，取最大值．故C正确．，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.
2．如图1，已知E为正方形ABCD的边AB的中点，将沿边DE折到，连接PC，PB，EC，设F为PC中点，连接BF，则在翻折的过程中，下列命题正确的是（ ）
A．存在某一翻折位置，使得平面PBC
B．在翻折的过程中（点P不在平面BCDE内），都有平面PDE
C．存在某一翻折位置，使得
D．若，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】BCD
【分析】平行思想判断；线面平行定理判断；线面垂直定理判断；确定的外接圆半径即可．
【详解】对于A选项，取DC的中点G，连接BG，由，，所以四边形DEBG为平行四边形，所以，而BG与平面PBC相交，所以DE与平面PBC相交，故A错误；
对于B选项，连接FG，则，由，易证平面平面EPD，而平面BFG，所以平面PDE，故B选项正确；
对于C选项，因为，要使得，则平面PCD，则，而，此时，只需要即可，故C选项正确；
对于D选项，由可知，平面PCD，，的外接圆半径，设三棱锥的外接球半径为R，则，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D选项正确，
故选：BCD.
3．如图，四边形ABCD中，，，，，将沿AC折到位置，使得平面平面ADC，则以下结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为8
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．二面角的正切值为
D．异面直线AC与所成角的余弦值为
【答案】ABC
【分析】对于A，先四边形ABCD中，利用已知条件结正弦定理求出的长，过作于，则可求出，从而可求出三棱锥的体积，对于B，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设为的外心，三棱锥外接球的半径为，球心为，设，则，从而可求出，进而可得三棱锥的外接球的表面积，对于C，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，从而可求得结果，对于D，如图建立空间直角坐标，利用空间向量求解即可
【详解】过作于，
在中，因为，所以，，
由正弦定理得,即，解得，
所以，，
因为,
所以
，
由正弦定理得，即，解得，
所以
，
因为平面平面ADC，平面平面，，
所以平面ADC，
所以三棱锥的体积为，所以A正确，
设为的外心，外接圆半径为，由余弦定理得
所以，
由正弦定理得，所以，
取的中点，连接，则，
，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，设，则
，即，解得，，
所以三棱锥外接球的表面积为，所以B正确，
过作于，连接，因为平面ADC，平面ADC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，所以C正确，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，过作于，则
，，
则
所以
设异面直线AC与所成角为，则
，所以D错误，
故选：ABC
4．如图，在矩形中，，，、分别为边、的中点，沿将折起，点折至处（在平面外），若、分别为线段、的中点，则在折起过程中（ ）
A．存在某个位置，
B．直线始终与面平行
C．点在某个圆上运动
D．直线、与平面所成角分别为、，、能够同时取得最大值
【答案】BCD
【分析】由反证法可判断A；由面面平行可判断B；取的中点为，由可判断C；由平面平面可判断D.
【详解】对于选项A：如图，取的中点为，连接，因为，所以，即. 若，又，则平面，从而，显然矛盾，故A错误；
对于选项B：如图，连接，则，，又，，所以可证平面平面，又平面，所以平面，故B正确；
对于选项C：如图，取的中点为，连接，又是的中点，则，所以点在以为圆心，为半径的圆上，故C正确；
对于选项D：如图，当平面平面时，与平面所成角取得最大值，因为平面平面，所以平面平面，此时与平面所成角也取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
5．在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足且，，将沿直线DE折到的位置，在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）
A．在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDE
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
【答案】ABC
【分析】对于 A，根据平行关系可得直线与平面相交；对于B，根据的范围不可能得出平面平面BCDE；对于C，结合余弦定理可求；对于D，表示出体积的表达式·，利用函数单调性求最大值或者利用导数求最大值.
【详解】对于 A，在边上存在点F，在A'D上取一点N，使得FN//ED，
在ED上取一点H，使得NH// EF，作HG//BE交BC于点G，如图所示，
则可得FN平行且等于BG，即四边形BGNF为平行四边形，NG//BF，
而GN始终与平面A'CD相交，,
因此在边A'E上不存在点F，使得在翻折过程中，满足BF//平面A'CD，A不正确.
对于B，作于，交于，因为，所以,
在翻折过程中，点在底面BCDE的射影不可能在直线BC上，
因此不满足平面A'BC平面BCDE，因此B不正确.
对于C，时，当二面角A'-DE-B为直二面角时，取ED的中点M，如图所示，
可得平面BCDE，
，
因此C不正确；
对于D，在翻折过程中，取平面A'ED平面BCDE，
四棱锥A'- BCDE体积,;
（法一）设，
因为，所以，即，所以为增函数；
同理可证时，为减函数；
所以函数取得最大值因此D正确.
（法二），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
可得时，函数取得最大值因此D正确.
综.上所述，不成立的为ABC.
故选：ABC.
【点睛】本题利用运动的观点理解空间线面、面面位置关系、四棱锥的体积等，在动态中找寻不变的平行关系，垂直关系是解题的关键.
6．如图，在矩形中，，，为线段上一点，且满足，现将沿折起使得折到，使得平面平面，则下列正确的是（ ）．
A．线段上存在一点（异于端点），使得直线与垂直
B．线段上存在一点（异于端点），使得直线面
C．直线与面成角正弦值为
D．面与面所成锐二面角正切值为
【答案】BCD
【分析】利用线面垂直，面面垂直的判定与性质，得到线面角，面面角，计算之后可以判定CD,利用线面平行的判定与性质不难找到满足B的例子，利用反证法，结合线面垂直面面垂直的判定与性质可以证明A错误.
【详解】如图所示，过D'作D'E⊥AB，垂足为E,∵平面平面，∴⊥平面ABC,
作EH⊥AF,垂足为H,连接D'H,∵AF⊥EH,AF⊥D'E,∴AF⊥平面D'EH,∴AF⊥D'H,
由于AD=2,DF=3,∴AF=,
∴DH=

连接EF，则∠为直线与平面ABC所成的角，
,
∵BC⊥AB, 平面平面，
∴BC⊥平面平面，∴BC⊥,
∴∠为面与面所成锐二面角，
,
当P位于靠近D'的线段D'B的四等分点时，
过P作AB的平行线交D'A与点R,则，且PR=CF,
∴四边形PRFC为平行四边形，
∴平面,
过A作AQ⊥BD'，垂足为Q,
由BC⊥平面ABD',BC 平面BCD',
可得平面BCD'⊥平面ABD',
∴AQ⊥平面BCD',∴AQ⊥CP,
假设CP⊥AD',则CP⊥平面ABD',
于是CP⊥BD',于是P与B重合，
这是题意所不允许的，
∴CP不可能与AD'垂直.
综上正确的是:BCD.
故选:BCD.
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定与性质，考查线面角，面面角，线面平行的判定与性质，属综合性难题，关键是熟练掌握使用线面，面面平行、垂直的判定定理和性质定理.
7．已知矩形满足，，点为的中点，将沿折起，点折至，得到四棱锥，若点为的中点，则（ ）
A．平面
B．存在点，使得平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内
【答案】ACD
【分析】对于A，取中点，结合已知可得为平行四边形，从而可得∥，进而由线面平行的判定定理可得结论；对于B，假设存在，使得平面，从而可得，在中，可判断，从而可得不可能垂直于，进而可得结论；对于C，当平面垂直于平面时，取得最大值，从而可求出四棱锥体积的最大值，对于D，当平面垂直于平面时，存在，使得三棱锥的外接球球心在平面内，为的中点，可得，所以为三棱锥的外接球球心，
【详解】解：对于A，取中点，因为是的中点，
所以∥，，
因为∥，，
所以∥，，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，所以平面，所以A正确；
对于B，假设存在，使得平面，则，因为，，所以平面，所以，所以，在中，，所以，所以不可能垂直于，所以B错误；
对于C，，为到平面的距离，当平面垂直于平面时，取得最大值，此时为到的距离，此时，，所以的最大值为，所以C正确；
对于D，当平面垂直于平面时，存在，使得三棱锥的外接球球心在平面内，如图2，，所以，因为，所以，在直角三角形中，，为的中点，所以，所以，所以为三棱锥的外接球球心，因为在平面内，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥体积的求法等知识，解题的关键是根据题意正确的画出空间图形，然后结合图形求解即可，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题
8．端午节是中国第一个申请成功的世界人类非物质文化的节日，农历五月初五是端午节，民间吃粽子、佩香囊的习惯，吃“粽子”是为了纪念战国时期楚国爱国主义诗人屈原，香囊暗解清防新冠并驱虫．“七彩丝线系香囊，柔情轻解入谁家”．“扈江篱与辟芷兮，纫秋兰以为佩”．粽子和香囊都是六面体．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示香囊粽子形状的六面体．下列各选项正确的是（ ）
A．六面体的体积为
B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C．折后棱所在直线异面且垂直；
D．折后棱所在直线相交．
【答案】ABD
【分析】该六面体由两个正四面体组成，求得正四面体体积即可求得六面体体积；找到该六面体的内切球球心及半径所在的三角形，根据边角关系求得半径，从而计算出体积；对平行四边形进行折叠，观察两点最后的位置来判断与的关系.
【详解】折后如图所示：
由图知三点重合，重合，故折后棱所在直线相交，
故C错误，D正确；
该六面体由两个正四面体组成，在正四面体中，取的外接圆圆心，
则，，
正四面体的体积为，
所以六面体的体积为，A正确；
在六面体内放一球，体积最大时即为六面体的内切球，延长EO交AD与M点，联结BM，
作，易知平面，即为内切球半径，又，
故，
则，
故该球的最大体积为，B正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：找到折叠后的点的位置；根据边角关系求内切球半径.
9．已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角等于60°时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
【答案】CD
【解析】假设结论成立，推出矛盾结论判断，，利用勾股定理计算判断，求出解析式，利用导数求出最大值判断．
【详解】解：对于，连接，，，显然平面平面，
若上存在点使得，则，显然与为相交直线，矛盾，故错误；
对于，设中点，中点，由等边三角形性质可知，，
若平面平面，则在底面上的射影为，于是，
，与矛盾，故错误；
对于，若，二面角等于，则，
设在底面上的射影为，则，，
，，，故正确；
对于，，，，
，
显然在翻折过程中，当平面平面时，四棱锥的体积最大，故，
，令可得，当时，，当时，，
当时，取得最大值，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查了线面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．一类立体几何多选压轴题—折叠问题
1．设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值
C．的面积有最大值 D．线段有最大值
2．如图1，已知E为正方形ABCD的边AB的中点，将沿边DE折到，连接PC，PB，EC，设F为PC中点，连接BF，则在翻折的过程中，下列命题正确的是（ ）
A．存在某一翻折位置，使得平面PBC
B．在翻折的过程中（点P不在平面BCDE内），都有平面PDE
C．存在某一翻折位置，使得
D．若，则三棱锥的外接球的表面积为
3．如图，四边形ABCD中，，，，，将沿AC折到位置，使得平面平面ADC，则以下结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为8
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．二面角的正切值为
D．异面直线AC与所成角的余弦值为
4．如图，在矩形中，，，、分别为边、的中点，沿将折起，点折至处（在平面外），若、分别为线段、的中点，则在折起过程中（ ）
A．存在某个位置，
B．直线始终与面平行
C．点在某个圆上运动
D．直线、与平面所成角分别为、，、能够同时取得最大值
5．在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足且，，将沿直线DE折到的位置，在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）
A．在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDE
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
6．如图，在矩形中，，，为线段上一点，且满足，现将沿折起使得折到，使得平面平面，则下列正确的是（ ）．
A．线段上存在一点（异于端点），使得直线与垂直
B．线段上存在一点（异于端点），使得直线面
C．直线与面成角正弦值为
D．面与面所成锐二面角正切值为
7．已知矩形满足，，点为的中点，将沿折起，点折至，得到四棱锥，若点为的中点，则（ ）
A．平面
B．存在点，使得平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内
8．端午节是中国第一个申请成功的世界人类非物质文化的节日，农历五月初五是端午节，民间吃粽子、佩香囊的习惯，吃“粽子”是为了纪念战国时期楚国爱国主义诗人屈原，香囊暗解清防新冠并驱虫．“七彩丝线系香囊，柔情轻解入谁家”．“扈江篱与辟芷兮，纫秋兰以为佩”．粽子和香囊都是六面体．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示香囊粽子形状的六面体．下列各选项正确的是（ ）
A．六面体的体积为
B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C．折后棱所在直线异面且垂直；
D．折后棱所在直线相交．
9．已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角等于60°时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为

展开更多......

收起↑