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第5讲 椭圆的性质及应用
一、教学目标
1．掌握椭圆的简单几何性质．
2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
二、教学重、难点
1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
2．难点：椭圆离心率的概念的理解．
3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题．
三、教学方法
一学、二记、三应用
四、知识梳理
1、椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
2、椭圆的几何性质分为两类
（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等.
（2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.
在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.
3、椭圆的几何性质与椭圆的位置、大小和形状的关系
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置.
（2）椭圆的范围决定椭圆的大小.
（3）椭圆的离心率决定椭圆的形状.离心率越大，椭圆越“扁”；离心率越小，椭圆越“圆”。
（4）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆的上重要的特殊点，在作图时应先确定这些点.
特别注意
（1）椭圆的长轴长为2a，长半轴长为a；椭圆的短轴长为2b，短半轴长为b.
（2）椭圆中a,b,c的关系是：a2＝b2＋c2.
问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？
提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．
因为a2＝b2＋c2，所以＝，因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆．
五、课前测试
1．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
答案：D
2．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
3．已知椭圆则 （ ）
A．与顶点相同 B．与长轴长相同
C．与短轴长相同 D．与焦距相等
答案：D
六、典例剖析
题型（一） 椭圆简单的几何性质
例1 求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
（1）； （2）．
思路点拨
[解题过程]　（1）将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，
∴c＝＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2b＝4，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.
（2）椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)可化为＋＝1.
∵m2＜4m2，∴＞，∴椭圆的焦点在x轴上，并且a＝， b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，e＝＝＝.
[题后感悟]
已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
引申 已知椭圆的离心率为，求的值．
解法剖析：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．
课堂练习：求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
（1）25x2＋y2＝25； （2）4x2＋9y2＝1.
解析：（1）将椭圆方程变形为x2＋＝1，∴a＝5，b＝1，
∴c＝＝＝2.∴椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2.
焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，顶点坐标A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0)．
（2）椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝1,2c＝，
离心率e＝＝，焦点坐标为F1，F2，
顶点坐标为A1，A2，B1，B2.
题型（二） 由几何性质求标准方程
例2 （1）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的标准方程是____________.
解：由椭圆C的右焦点为F(1，0)知c＝1，且焦点在x轴上，又e＝＝，∴a＝2，a2＝4，b2＝a2－c2＝3，椭圆C的方程为＋＝1.故填＋＝1.
（2）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
答案：＋＝1
（3）已知椭圆＋＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________.
解：当焦点在x轴上时，有m－4＝1，得m＝5，此时长轴长为2；当焦点在y轴上时，长轴长为4.故填2或4.
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
[解题过程]（1）由已知2a＝12，e＝＝，得a＝6，c＝4，从而b2＝a2－c2＝20，
又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）∵2a＝2×2b，∴a＝2b，当焦点在x轴上时，设方程为＋＝1，
∵点(－2，－4)在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝17.∴椭圆的标准方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，设方程为：＋＝1，∵点(－2，－4)在椭圆上，∴＋＝1，
∴b2＝8，∴椭圆的标准方程为：＋＝1.综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[题后感悟]
（1）利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：
① 求出a2，b2的值；
② 确定焦点所在的坐标轴；
③ 写出标准方程．
（3）解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
课堂练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
（2）以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
解析：　(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)方法一：若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意，得解得故所求的标准方程为＋y2＝1；
若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意，得解得故所求的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
方法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n>0，m≠n)，
由题意，得或解得或
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
题型（三） 求椭圆的离心率
例4 （1）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________．
解析：依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，∴＝，
即椭圆的离心率e＝.，答案：　
（2）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A. B. C. D.
解：设＝2c，则＝c，∴＝c.∴2a＝＋＝2c，故e＝＝.故选D.
（3）椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1,F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）A． B． C． D．
【答案】B 【解析】,由成等比数列得.
[题后感悟]（1）求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e＝的代换，通过方程思想求离心率．
（2）在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．
课堂练习：已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．
解析：　不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示
由AF1⊥AF2知，△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.
由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.
则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝c，
所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c，所以离心率e＝＝－1.
例5 （1）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
解析如图，在△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，且cos∠ABF＝，
设|BF|＝m， 由余弦定理，得62＝102＋m2－20m·，∴m2－16m＋64＝0，∴m＝8.
因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝|AB|＝5.设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′，
由对称性，得|BF′|＝|AF|＝6， ∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14. ∴a＝7，因此离心率e＝＝.
（2）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，
∴又∵，则上式可化简为
∵，可得，即 ∴，故选A
（3）（选讲）设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
解法一：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，P，∵PF1的中垂线过点F2，∴|F1F2|＝|F2P|，即2c＝，整理得y2＝3c2＋2a2－.
∵y2≥0，∴3c2＋2a2－≥0，即3e2－＋2≥0，解得e≥.∴e的取值范围是.
解法二：设直线x＝与x轴交于M点，则|F1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即2c≥－c，整理得≤e2<1，≤e<1.
∴椭圆离心率的取值范围是.故选D.
点拨：
（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.
（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.
（3）整个图形都随着P点的变化而变化，P点的变化使得线段的长度也在变化，进而与的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.
（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程或不等式.
课堂练习 已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值．
【解】　分两种情况进行讨论：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9得c2＝k－1，
∵e＝，∴＝，解得k＝4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8得c2＝1－k，由e＝得＝，解得k＝－.
题型（四） 焦点三角形
1、椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系；
2、对△F1PF2的处理方法即；
3、椭圆上的点P与椭圆的两个焦点构成的叫作焦点三角形，若，．
例6 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解题过程]　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2①
由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③
③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4.
课堂练习 椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．12 B．10 C．9 D．8
解析：　∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.
又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝102－64，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴△F1PF2的面积为9.
七、自我测评：
1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：　由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选D.
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2 B．5,4 C．9,1 D．5,1
解析：　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.，答案：　C
3．[2019·武汉高中调研]曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(0A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
答案：D
4．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：　由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.，答案：　B
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
解析：　2×2b＝2a＋2c，∴a＋c＝2b，∴a2＋c2＋2ac＝4(a2－c2)，
即5c2＋2ac－3a2＝0，∴5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍)，故选B.
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
解析：　依题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，∴＝，∴＝，∴b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1.，答案：＋＝1
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．
解析：e＝＝＝，∴＝，∴a2＝3b2，即a＝b.
过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1.,把a＝b代入，即x－y－b＝0，
又由点到直线的距离公式得＝，解得b＝1，∴a＝，∴所求方程为＋y2＝1.
8．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解析：　方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)．M点的坐标为，则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.,所以＝.∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
方法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则M，代入椭圆方程，得＋＝1，
所以＝，所以＝，即e＝.第5讲 椭圆的性质及应用
一、教学目标
1．掌握椭圆的简单几何性质．
2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
二、教学重、难点
1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
2．难点：椭圆离心率的概念的理解．
3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题．
三、教学方法
一学、二记、三应用
四、知识梳理
1、椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
2、椭圆的几何性质分为两类
（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等.
（2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.
在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.
3、椭圆的几何性质与椭圆的位置、大小和形状的关系
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置．
（2）椭圆的范围决定椭圆的大小．
（3）椭圆的离心率决定椭圆的形状．离心率越大，椭圆越“扁”；离心率越小，椭圆越“圆”。
（4）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆的上重要的特殊点，在作图时应先确定这些点．
特别注意
（1）椭圆的长轴长为2a，长半轴长为a；椭圆的短轴长为2b，短半轴长为b．
（2）椭圆中a,b,c的关系是：a2＝b2＋c2．
问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？
五、课前测试
1．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆则 （ ）
A．与顶点相同 B．与长轴长相同
C．与短轴长相同 D．与焦距相等
六、典例剖析
题型（一） 椭圆简单的几何性质
例1 求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
（1）； （2）．
思路点拨
[题后感悟]
已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
引申 已知椭圆的离心率为，求的值．
课堂练习：求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
（1）25x2＋y2＝25； （2）4x2＋9y2＝1.
题型（二） 由几何性质求标准方程
例2 （1）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的标准方程是____________.
（2）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
（3）已知椭圆＋＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________.
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
[题后感悟]
（1）利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：
① 求出a2，b2的值；
② 确定焦点所在的坐标轴；
③ 写出标准方程．
（3）解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
课堂练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
（2）以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
题型（三） 求椭圆的离心率
例4 （1）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________．
（2）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )A. B. C. D.
（3）椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1,F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
[题后感悟]（1）求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e＝的代换，通过方程思想求离心率．
（2）在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．
课堂练习：已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．
例5 （1）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
（2）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（选讲）设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
点拨：
（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.
（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.
（3）整个图形都随着P点的变化而变化，P点的变化使得线段的长度也在变化，进而与的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.
（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程或不等式.
课堂练习 已知椭圆＋＝1的离心率e＝.求k的值．
题型（四） 焦点三角形
1、椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系；
2、对△F1PF2的处理方法即；
3、椭圆上的点P与椭圆的两个焦点构成的叫作焦点三角形，若，．
例6 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
课堂练习 椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．12 B．10 C．9 D．8
七、自我测评：
1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2 B．5,4 C．9,1 D．5,1
3．[2019·武汉高中调研]曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(0A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
4．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．
8．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．

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