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全称量词与存在量词、充分必要条件
【知识梳理】
一、充分条件、必要条件与充要条件
（1）若p q，则p是q的充分条件。
（2）若q p，则p是q的必要条件。
（3）若既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件。
二、充分必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合为A， 使q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件 A B
p是q的必要条件 B A
p是q的充分不必要条件 A B
p是q的必要不充分条件 B A
p是q的充要条件 A＝B
三、全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 “所有的”“一切”“任意一个”“任给”“每一个”等
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有一个”“对某个”“有些”“有的”等
四、全称命题与特称命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x)
特称命题 存在M中的元素x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
五、含有一个量词的命题否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
x0∈M，p(x0) x∈M，p(x)
【考点分类剖析】
考点一 充分条件与必要条件的判断
【典例】1、已知a，b∈R，则“>”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式探究】1、已知条件p：－>0，条件q：x≤0，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3、设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二 充分条件与必要条件的含参问题
【典例】1、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围。
2、(多选)已知x∈R，条件p：x2A． B．1 C．2 D．－2
【变式探究】1、写出“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件________。
2、设m>0，p：03、（多选）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4、若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
考点三 命题的否定
【典例】1、命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得nC． x0∈R， n∈N*，使得n【变式探究】1、命题p：存在常数列不是等比数列，则命题p为(　　)
A．任意常数列不是等比数列 B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列 D．不存在常数列是等比数列
2、命题“ n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A． n∈N*，f(n) N*且f(n)>n B． n∈N*，f(n) N*或f(n)>n
C． n0∈N*，f(n0) N*且f(n0)>n0 D． n0∈N*，f(n0) N*或f(n0)>n0
3、11．命题p： x0∈(0，)，x≤x0＋2，则p是________。
考点四 根据全(特)称命题的真假求参数的取值范围
【典例】1、已知命题p： x0∈R，x＋2ax0＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2、已知命题“ x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________。
【变式探究】1、若命题“ x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________。
2、能够说明命题p： x0∈R，x＋2ax0＋a≤0是假命题的一个实数a是________。
3、关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号。
如果只有一个假命题，则该命题是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4、“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件全称量词与存在量词、充分必要条件
【知识梳理】
一、充分条件、必要条件与充要条件
（1）若p q，则p是q的充分条件。
（2）若q p，则p是q的必要条件。
（3）若既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件。
二、充分必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合为A， 使q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件 A B
p是q的必要条件 B A
p是q的充分不必要条件 A B
p是q的必要不充分条件 B A
p是q的充要条件 A＝B
三、全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 “所有的”“一切”“任意一个”“任给”“每一个”等
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有一个”“对某个”“有些”“有的”等
四、全称命题与特称命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x)
特称命题 存在M中的元素x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
五、含有一个量词的命题否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
x0∈M，p(x0) x∈M，p(x)
【考点分类剖析】
考点一 充分条件与必要条件的判断
【典例】1、已知a，b∈R，则“>”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　先考虑充分性，当>时，如a＝1，b＝－1，但是a”是“a不成立，所以“>”是“a”是“a2、设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件。故选A。
【变式探究】1、已知条件p：－>0，条件q：x≤0，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由－>0知解得－2、王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
解析　非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件。答案　D
3、设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2。因为0≤x≤2 x≤2，x≤2D0≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要条件。答案　B
4、若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　因为a>0，b>0，若a＋b≤4，所以2≤a＋b≤4。所以ab≤4，此时充分性成立。当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立。综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件。故选A。答案　A
考点二 充分条件与必要条件的含参问题
【典例】1、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围。
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}。由x∈P是x∈S的必要条件，知S P。
则所以0≤m≤3。所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]。
2、(多选)已知x∈R，条件p：x2A． B．1 C．2 D．－2
解析　因为x∈R，条件p：x20时，q对应的集合为B＝；当a<0时，q对应的集合为B＝∪(0，＋∞)；因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以当a＝0时，q对应的集合为B＝(0，＋∞)，此时满足AB，故a＝0满足题意；当a>0时，q对应的集合为B＝，此时满足AB，需≥1，解得a∈(0,1]；当a<0时，q对应的集合为B＝∪(0，＋∞)，此时满足AB，故a<0满足题意。所以实数a的取值范围是(－∞，1]。故选ABD。
【变式探究】1、写出“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件________。
解析　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0。答案　m>0(答案不唯一)
2、设m>0，p：0解析　q：<0 <0 03、（多选）的必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
BD ,即的充要条件是，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，观察选项发现是的真子集
4、若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，故答案为.
考点三 命题的否定
【典例】1、命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得nC． x0∈R， n∈N*，使得n答案　D
【变式探究】1、命题p：存在常数列不是等比数列，则命题p为(　　)
A．任意常数列不是等比数列 B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列 D．不存在常数列是等比数列
解析　因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定为命题綈p：任意常数列都是等比数列。故选C。答案　C
2、命题“ n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A． n∈N*，f(n) N*且f(n)>n B． n∈N*，f(n) N*或f(n)>n
C． n0∈N*，f(n0) N*且f(n0)>n0 D． n0∈N*，f(n0) N*或f(n0)>n0
解析　全称命题的否定为特称命题，因此命题“ n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“ n0∈N*，f(n0) N*或f(n0)>n0”。答案　D
3、11．命题p： x0∈(0，)，x≤x0＋2，则p是________。
解析　特称命题的否定方法是先将存在量词改为全称量词，再否定结论，因此綈p： x∈(0，＋∞)，x2>x＋2。答案　 x∈(0，＋∞)，x2>x＋2
考点四 根据全(特)称命题的真假求参数的取值范围
【典例】1、已知命题p： x0∈R，x＋2ax0＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析　命题p为假命题，即“ x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真命题，所以Δ＝4a2－4a<0 02、已知命题“ x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________。
解析　由“ x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立。设f (x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方。故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围为。答案　
【变式探究】1、若命题“ x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________。
解析　“ x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－42、能够说明命题p： x0∈R，x＋2ax0＋a≤0是假命题的一个实数a是________。
解析　因为p为假命题，所以綈p为真命题。又綈p： x∈R，x2＋2ax＋a>0，故Δ＝4a2－4a<0，解得03、关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号。
如果只有一个假命题，则该命题是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析　若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一个根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一个根为－1，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x＝1是方程x2＋ax＋b＝0的一个根，由于两根之和为2，则另一个根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意。综上所述，甲命题为假命题。故选A。答案　A
4、“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B 由题意，命题“，是假命题”可得命题“，是真命题”当时，即时，不等式恒成立；当时，即时，则满足，解得，综上可得，实数，即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，又由“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，

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