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第15讲 数列复习专题
2. 数列通项与求和（教师版）
一、教学目标
1、理解数列是一种特殊的函数，掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式。
2、理解并掌握等差、等比数列的递推公式的应用，并能用递推公式写出等差数列的前n项和。
3、理解并掌握等差、等比数列的前n项和的求和公式，并能灵活运用公式解决一些相关问题。
二、教学重难点
重点：1、理解并熟练的掌握等差、等比数列的通项公式，能利用等差、等比中项性质求通项公式。
2、理解并熟练的运用等差、等比数列求和公式解题，掌握裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和的基本步骤。
难点：1、通项公式、等差、等比中项、递推公式的灵活运用。
2、裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和的灵活选用。
三、教学方法：一复习、二记、三应用
四、知识梳理
（一）通项公式的求法
1、做差（商）法：特点：题目条件通常以Sn，Sn+1形式出现。
解题步骤：通过做差或做商得出an，an+1，将an，an+1分别写在等号的两边观察特点找出an的通项公式。
2、叠乘法：特点：题目条件通常以an与an+1的分数形式出现。
解题步骤：通过连续相乘，将分母消去，最后的到an与a1的关系，最后写出通项公式。
3、等差、等比型递推公式：特点：给出某an的值，和某个Sn的值，或几项间的关系求an。
解题步骤：用an+md（an*qm）或an-md（an*q-m）的形式去换掉所有项，带入关系，得到d（q），求出通项。
4、累加法：特点：给出的关系为an+1-an=某个含n的式子。
解题步骤：将an+1-an进行累加，最后的到an+1与a1的关系式，将含n的式子进行累加，得到含n的一个新式子，最后求出通项。
（二）数列求和方法
1、倒序相加：条件：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。
特点：倒序相加典型特点是首项加末项为常数。考查时属于简单题型。
解题步骤：倒序相加----求和-----除以2。
2、错位相减：条件：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求差比数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。
特点：错位相减后得到的是一个等比数列和一个末项相加（减）的形式。
解题步骤：化解出等差数列和等比数列相乘形式-----找出等比数列的公比q----错位写出qSn的项----两式相减-----等比数列求和---求Sn
3、裂项相消：条件：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
特点：列项之后成为的形式是两式相减的形式，裂项之后会出现很多中间项相消的形式，最后只剩下首末两项或四项。
解题步骤：裂项-----求和----化解。
4、分组求和法：条件：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
特点：化解后变成的是等比数列、等差数列或等比与等比、等差与等差数列相加（减）的形式。
解题步骤：拆分---分别求和---组合
五、课前自测
（1）已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若a1=2，则S15=（ C ）
（A） 215 （B）220 （C）240 （D）260
解：,代入得S15=240
（2）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，a2=3，a5=81，则S20=
解：，所以，所以因为，代入得S20=
（3）数列{}满足an=2n+n，则{}的前10项和为（ B ）
（A）211+53 （B）210+53 （C）211+55 （D）210+55
解：分组求和。
六、典例剖析
题型一 消Sn或an求数列通项公式
例1、（1）[2022·湖南三市联考]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　)
A. B. C. D.
答案：A 解析：∵Sn＝，a4＝32，∴S4－S3＝－＝32，∴a1＝，选A.
（2）（乐山市高中2022届第一次调查研究考试）数列满足：，，其前项的和满足.则的值为（ ）
A． B． C. D．
答：.由可得，即，数列是奇数项和偶数项均为公比为的等比数列，则，故选B.
（3）数列满足，求
解：∵Sn+Sn+1=an+1...①，∴Sn-1+Sn=an（n≥2）...②。①-②得：an+an+1=（an+1-an）
即4an=an+1，∴=4。当n=1时a1+a1+a2=a2，∴a2=12。所以数列（n≥2）是首项为12，公比为4的等比数列，∴an=12*4n-2（n≥2），显然a1=4不符合上式，
4，n=1
∴an= 12*4n-2 n≥2
（4）（上饶市2022届第一次高考模拟考试）正项数列的前项和为，且，若，则__________.
答：
课堂练习1：（2022年广东省汕头市高考数学二模试卷）记Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，
an+1＝Sn+1（n∈N*），则通项公式an＝　 　．
解：由an+1＝Sn+1，得Sn+1﹣Sn＝Sn+1，∴Sn+1＝2Sn+1，则Sn+1+1＝2（Sn+1），
又S2＝3，an+1＝Sn+1，得a1+a2＝3，a2＝a1+1，解得S1＝a1＝1．
∴{Sn+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，即．
当n≥2时，，a1＝1成立，∴．故答案为：2n﹣1．
题型二：叠乘法求数列通项公式
例2、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.
解：已知等式可化为：
()(n+1), 即，时，
==.
课堂练习2：数列中，，求。
解：，∴又，∴
题型三：叠加法求数列通项公式
例3、已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以，
课堂练习3：已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），则a100的值是（　　）
A．9 900 B．9 902 C．9 904 D．11 000
【分析】a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），即an+1﹣an=2n，可得a100=（a100﹣a99）+（a99﹣a98）+…+（a2﹣a1）+a1，再利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），即an+1﹣an=2n，
∴a100=（a100﹣a99）+（a99﹣a98）+…+（a2﹣a1）+a1=2×（99+98+…+1）+2
=2×+2=9902．故选：B．
题型四：等差（比）递推求数列通项公式
例4、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.求{an}的通项公式；
解：由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数列{an}的通项公式为an＝.
课堂练习4：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－2，则数列{an}的通项公式为____________.
解析：an＋1＝an－2 an＋1＋6＝(an＋6)，∴an＝7×n－1-6
题型五 公式法求和
例5、【2022北京卷】设是等差数列，且.
（1）求的通项公式；（2）求.
解：（1）设等差数列的公差为，∵，∴，
又，∴.∴.
（2）由（I）知，∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴
.∴.
课堂练习5：（福建省厦门市2022届高三第一次质量检查）已知等差数列的前项和味，，.（1）求数列的通项公式；
（2）记数列求数的前项和.
.解：（1）由条件可得：
消去得：，解得或（舍），所以，所以.
（2）由（1）得：，所以数列的前项和为：
题型六：倒序相加求数列Sn
例6、已知函数，求的值。
∵
两式相加得：
所以.
课堂练习6：Sin21°+Sin22°+Sin23°+...+Sin289°=
解：∵Sin289°=Sin2（90°-1°）=cos21°令S=Sin21°+Sin22°+Sin23°+...+Sin289°
则S=Sin289°+Sin288°+Sin287°+...+Sin21°
两式相加得：2S=（Sin21°+Sin289°）+（Sin22°+Sin288°）+（Sin23°+Sin287°）+...+（Sin289°+Sin21°）
=（Sin21°+cos21°）+（Sin22°+cos22°）+（Sin23°+cos23°）+...+（Sin289°+cos289°）
=89∴S=
题型七：错位相减求数列Sn
例7、（2022年高考天津卷文）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求.
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意，得，解得，故.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（Ⅱ）解：
.
记，
则，
②-①得，.
所以，
.
课堂练习7：求数列前n项的和。
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
∴
题型八：裂项相减求数列Sn
例8、（1）求
答案：.
（2）已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
【答案】（1）（2）
＝.
归纳：裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
课堂练习8：【2022年高考天津卷理18】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.
（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，
（i）求； （ii）证明.
（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.
因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得由，
可得 从而 故
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，故
.
（ii）证明：因为
，
所以，.
题型九：分组求和求数列Sn
例9、在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*，
（1）证明数列{an﹣n}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【分析】（1）由题意构造数列{an﹣n}，利用等比数列的定义即可证明；
（2）由{an﹣n}为等比数列；求解数列{an}的通项公式，分组求和法可得前n项和Sn．
【解答】证明：（1）由a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*，
∴an+1﹣（n+1）=4an﹣3n+1﹣（n+1）=4an﹣4n=4（an﹣n）
∴{an﹣n}为首项a1﹣1=1，公比q=4的等比数列．即数列{an﹣n}的通项公式an﹣n=4n﹣1
解（2）∵an﹣n=4n﹣1∴an=n+4n﹣1那么：Sn=1+2+…+n+（1+4+…+4n﹣1）=+
课堂练习9：已知数列{an}满足an=3n*（2n+2）-5，求数列{an}的前n项和Sn。
解：因为an=3n*（2n+2）-5=3n*2n+2*3n-5
令bn=3n*2n，其前n项和为Tn，令cn=2*3n-5，其前n项和为Cn，所以an=bn+cn，Sn=Tn+Cn
Tn=b1+b2+b3+...+bn=3*21+6*22+9*23+...+3n*2n...①2Tn=3*22+6*23+9*24+...+3n*2n+1...②
由②-①得：Tn=-3*21-3*22-3*23-...-3*2n+3n*2n+1，所以Tn=3（n-1）*2n+1+6
Cn=c1+c2+c3+...+cn=1+7+13+...+6n-5=所以Sn=Tn+Cn=3（n-1）*2n+1++6
七、自我测评：
（一）、选择题：
1、在等比数列{an}中，若公比q＝2，S4＝1，则S8的值为(　B　)
a．15 B．17 C．19 D．21
答案　B
2、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　D　)
a．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1
答案　D解析　∵∴
由①除以②可得＝2，解得q＝，代入①得a1＝2.∴an＝2×()n－1＝.
∴Sn＝＝4(1－)．∴＝＝2n－1，选D.
3、数列{an}满足，且a5=7，则a2022=（　　）
A．4045 B．4035 C．4033 D．4039
解：∵数列{an}满足，且a5=7，∴an﹣an﹣1=2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2．又a5=7，∴a1+4×2=7，解得a1=﹣1．
则a2022=﹣1+2017×2=4033．故选：C．
4、数列{}满足，则{}的前60项和为（ D ）
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
解：=1，① =3 ② =5 ③ =7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{}的前60项和为=1830.
5、（2022 太原三模）已知数列{an}的前n项和Sn，若，则a7=（　　）
A．47 B．3×45 C．3×46 D．46+1
解：数列{an}的前n项和Sn，，当n≥2时，则：，
两式相减得：，所以：an+1=4an，即：（常数），
故：，当n=1时，首项不符合通项，故：．
所以：，故选：B．
（二）、填空题
6、设是等差数列的前项和,若,则 5
【答案】5【解析】,.
7、等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项和Sn= n2+n
解：因为a4=a2+4，a8=a2+12。，，成等比数列，所以（a2+4）2=（a2+12）*a2
所以a2=4。因为a2=a1+2，所以a1=2。Sn=n2+n
8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
解析　设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案　
9、（选作）（2022春 尧都区校级期末）数列{an}满足：a1=2，an+1=（n∈N*）其前n项积为Tn，则T2014=（　　）A．﹣6 B．﹣ C． D．6
解：∵a1=2，an+1=（n∈N*），∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，
∴数列{an}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，
∴T2014=﹣6．故选：A．
（三）、解答题
10、已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．
解：（1）设数列{an}的公比为d，所以3a1+3d=0...① 5a1+10d=-5...②
由①②得：a1=1，d=-1所以数列{an}是以1为首项-1为公差的等差数列，an=2-n
（2）由（1）得：==
所以数列的前n项和Tn=[()+()+()+...+]
=*(-1-)=，所以数列的前n项和为
11.【能力提升选作】1、已知数列满足，且.
求证：数列是等比数列；判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.
由题意可得，即，
又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
由可知，即，故
12、已知各项均为正数的数列的前项和为满足.
（I）求数列的通项公式；
（II）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值.
解：（I）当时，，解得当时，
整理得
（II）由题意得对恒成立
令，则
即对恒成立,即数列为单调递减数列，最大值为
，即的最小值为第15讲 数列复习专题
2. 数列通项与求和
一、教学目标
1、理解数列是一种特殊的函数，掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式。
2、理解并掌握等差、等比数列的递推公式的应用，并能用递推公式写出等差数列的前n项和。
3、理解并掌握等差、等比数列的前n项和的求和公式，并能灵活运用公式解决一些相关问题。
二、教学重难点
重点：1、理解并熟练的掌握等差、等比数列的通项公式，能利用等差、等比中项性质求通项公式。
2、理解并熟练的运用等差、等比数列求和公式解题，掌握裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和的基本步骤。
难点：1、通项公式、等差、等比中项、递推公式的灵活运用。
2、裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和的灵活选用。
三、教学方法：一复习、二记、三应用
四、知识梳理
（一）通项公式的求法
1、做差（商）法：特点：题目条件通常以Sn，Sn+1形式出现。
解题步骤：通过做差或做商得出an，an+1，将an，an+1分别写在等号的两边观察特点找出an的通项公式。
2、叠乘法：特点：题目条件通常以an与an+1的分数形式出现。
解题步骤：通过连续相乘，将分母消去，最后的到an与a1的关系，最后写出通项公式。
3、等差、等比型递推公式：特点：给出某an的值，和某个Sn的值，或几项间的关系求an。
解题步骤：用an+md（an*qm）或an-md（an*q-m）的形式去换掉所有项，带入关系，得到d（q），求出通项。
4、累加法：特点：给出的关系为an+1-an=某个含n的式子。
解题步骤：将an+1-an进行累加，最后的到an+1与a1的关系式，将含n的式子进行累加，得到含n的一个新式子，最后求出通项。
（二）数列求和方法
1、倒序相加：条件：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。
特点：倒序相加典型特点是首项加末项为常数。考查时属于简单题型。
解题步骤：倒序相加----求和-----除以2。
2、错位相减：条件：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求差比数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。
特点：错位相减后得到的是一个等比数列和一个末项相加（减）的形式。
解题步骤：化解出等差数列和等比数列相乘形式-----找出等比数列的公比q----错位写出qSn的项----两式相减-----等比数列求和---求Sn
3、裂项相消：条件：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
特点：列项之后成为的形式是两式相减的形式，裂项之后会出现很多中间项相消的形式，最后只剩下首末两项或四项。
解题步骤：裂项-----求和----化解。
4、分组求和法：条件：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
特点：化解后变成的是等比数列、等差数列或等比与等比、等差与等差数列相加（减）的形式。
解题步骤：拆分---分别求和---组合
五、课前自测
（1）已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若a1=2，则S15=（ ）
（A） 215 （B）220 （C）240 （D）260
（2）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，a2=3，a5=81，则S20=
（3）数列{}满足an=2n+n，则{}的前10项和为（ ）
（A）211+53 （B）210+53 （C）211+55 （D）210+55
六、典例剖析
题型一 消Sn或an求数列通项公式
例1、（1）[2022·湖南三市联考]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　)
A. B. C. D.
（2）（乐山市高中2022届第一次调查研究考试）数列满足：，，其前项的和满足.则的值为（ ）
A． B． C. D．
（3）数列满足，求
（4）（上饶市2022届第一次高考模拟考试）正项数列的前项和为，且，若，则__________.
课堂练习1：（2022年广东省汕头市高考数学二模试卷）记Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，
an+1＝Sn+1（n∈N*），则通项公式an＝　 　．
题型二：叠乘法求数列通项公式
例2、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.
课堂练习2：数列中，，求。
题型三：叠加法求数列通项公式
例3、已知数列满足，，求。
课堂练习3：已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），则a100的值是（　　）
A．9 900 B．9 902 C．9 904 D．11 000
题型四：等差（比）递推求数列通项公式
例4、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.求{an}的通项公式；
课堂练习4：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－2，则数列{an}的通项公式为____________.
题型五 公式法求和
例5、【2022北京卷】设是等差数列，且.
（1）求的通项公式；（2）求.
课堂练习5：（福建省厦门市2022届高三下学期第一次质量检查）已知等差数列的前项和味，，.（1）求数列的通项公式；
（2）记数列求数的前项和.
题型六：倒序相加求数列Sn
例6、已知函数，求的值。
课堂练习6：Sin21°+Sin22°+Sin23°+...+Sin289°=
题型七：错位相减求数列Sn
例7、（2022年高考天津卷文）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求.
课堂练习7：求数列前n项的和。
题型八：裂项相减求数列Sn
例8、（1）求
（2）已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
归纳：裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
课堂练习8：【2022年高考天津卷理18】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.
（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，
（i）求； （ii）证明.
题型九：分组求和求数列Sn
例9、在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*，
（1）证明数列{an﹣n}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．
课堂练习9：已知数列{an}满足an=3n*（2n+2）-5，求数列{an}的前n项和Sn。
七、自我测评：
（一）、选择题：
1、在等比数列{an}中，若公比q＝2，S4＝1，则S8的值为(　)
a．15 B．17 C．19 D．21
2、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)
a．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1
3、数列{an}满足，且a5=7，则a2022=（　　）
A．4045 B．4035 C．4033 D．4039
4、数列{}满足，则{}的前60项和为（ ）
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
5、（2022 太原三模）已知数列{an}的前n项和Sn，若，则a7=（　　）
A．47 B．3×45 C．3×46 D．46+1
（二）、填空题
6、设是等差数列的前项和,若,则
7、等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项和Sn=
8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
9（选作）（2022春 尧都区校级期末）数列{an}满足：a1=2，an+1=（n∈N*）其前n项积为Tn，则T2014=（　　）A．﹣6 B．﹣ C． D．6
（三）、解答题
10、已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．
11.【能力提升选作】已知数列满足，且.
求证：数列是等比数列；判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由.
12、已知各项均为正数的数列的前项和为满足.
（I）求数列的通项公式；
（II）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值.

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