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千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
第 3 讲 （文科）空间几何综合运用（一）
一、知识梳理：
1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面 面平行的性质定理。 2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3） 面面平行的性质定理。
线面平行的证明思考途径：线线平行 线面平行 面面平行.
3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导 出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行。
4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质 定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理。 5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3） 面面垂直的性质定理。
6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理。
7、解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发， 寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不 到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
二、课前自测：
1、 （浙江卷文）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m ∥
α，n⊥β，则（ ）
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知 l,l ， n ,n l ．故选 C．
考点：线面位置关系.
2. （浙江卷理）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足
m∥, n⊥ 则（ ）
1
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
A ． m ∥ l B ． m ∥ n C ． n ⊥ l
D．m⊥n
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知 l,l ， n ,n l ．故选 C．
3（广东卷（文））设 l 为直线,, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）
A．若 l // , l // ,则 // B．若 l , l ,则 //
C．若 l , l // ,则 // D．若 , l // ,则 l
【答案】B
4、（高考山东卷文理））已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线 a 和
直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：
“直线 a 和直线 b 相交”“平面 和平面 相交”，但“平面 和平面 相交” “直
线 a 和直线 b 相交”，所以“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必
要条件，故选 A．
三．典例剖析：
题型一 多面体与球
例 1. 已知三棱锥 P ABC 中， PA AB AC 1， PA 面 ABC ，∠BAC＝ 2 ，则三
棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ 3
）
A． 3 B． 4 C． 5 D. 8
答：C
课堂练习 1.正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的顶点都在同一球面上，且此球体积为 4 ，则正方
3
2
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
体的体积为（ ）A． 2 2 B． 3 3 C．8 D．27
答：C
课堂小结：求解几何体体积的必备策略
常见类型 解题策略
球的体积问题 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直
角三角形确定球的半径
锥体、柱体的体积 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解
问题
以三视图为载体的 将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解
几何体体积问题
不规则几何体的体 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将
积问题 不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解
题型二 ．截面问题
例 2、如图, 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 2 , 过直线 B1D1 的平面 平面 A1BD ,
则平面 截该正方体所得截面的面积为 ．
答： 6 提示：利用几何转化法求解。
题型三 线面平行与垂直证明及计算
例 3、 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，G，F 分别为 AD，CE 的中点，现将△ADE 沿 AE 折叠，使得 DE⊥EC.
求证：BC⊥平面 CDE；(2) 求证：FG∥平面 BCD；
(3) 在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR⊥平面 DCB，并说明理由．
【解析】 (1) 由已知得 DE⊥AE，DE⊥EC，所以 DE⊥平面 ABCE，所以 DE⊥BC. 又 BC⊥CE，所以 BC⊥平面 DCE.
(2) 如图，取 AB 的中点 H，连结 GH，FH，所以 GH∥BD，FH∥BC，所以 GH∥平面 BCD，FH ∥平面 BCD，所以平面 FHG∥平面 BCD，所以 GF∥平面 BCD.
3
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(3) 分析可知，点 R 满足 3AR＝RE 时，平面 BDR⊥平面 BDC.证明：取 BD 的中点 Q，连结 DR， BR，CR，CQ，RQ.容易计算 CD＝2，BD＝22，CR＝213，DR＝221，CQ＝2.在△BDR 中，
因为 BR＝25，DR＝221，BD＝22，可知 RQ＝25，
所以在△CRQ 中，CQ2＋RQ2＝CR2，所以 CQ⊥RQ.
又在△CBD 中，CD＝CB，Q 为 BD 的中点，所以 CQ⊥BD.又因为 BD∩RQ＝Q， 所以 CQ⊥平面 BDR，所以平面 BDC⊥平面 BDR.。
课堂练习 2、一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 M，N 分别是 AF，BC 的中点）．（1）
求证：MN∥平面 CDEF；（2）求多面体 A﹣CDEF 的体积．
解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE﹣BCF，
且 AB=BC=BF=2，DE=CF=2，∴∠CBF=．
（1）证明：取 BF 的中点 G，连接 MG、NG，
由 M，N 分别为 AF，BC 的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面 MNG∥平面 CDEF，又 MN 平面 MNG，∴MN∥平面 CDEF．
（2）取 DE 的中点 H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱 ADE﹣BCF 中，平面 ADE⊥平面 CDEF， 平面 ADE∩平面 CDEF=DE．∴AH⊥平面 CDEF．∴多面体 A﹣CDEF 是以 AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH=．S 矩形 CDEF=DE EF=4，∴棱锥 A﹣CDEF 的体积为
V= S 矩形 CDEF AH= ×4×=．或用三棱柱体积减去一个三棱锥的体积。
4
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例 4、 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E 分别是 AA1 和 B1C
的中点．(1)求证：DE∥平面 ABC； (2)求三棱锥 EBCD 的体积．
[解析] (1)证明：取 BC 中点 G，连接 AG，EG，因为 E 是 B1C 的中点，所以 EG∥BB1，
且 EG＝12BB1. 由直棱柱知，AA1 綊 BB1，而 D 是 AA1 的中点，所以 EG 綊 AD，所以四边形 EGAD
是平行四边形，所以 ED∥AG，又 DE 平面 ABC，AG 平面 ABC， 所以 DE∥平面 ABC.
(2)因为 AD∥BB1，所以 AD∥平面 BCE，所以 VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC，由(1)知，DE∥平面
ABC，所以 VEABC＝VDABC＝13AD·12BC·AG＝16×3×6×4＝12.
课堂练习 3、如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面
ABCD, AB AA1 2 .
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
【答案】解: (Ⅰ) 设 B1 D1线段的中点为O1 .
BD和B1 D1是ABCD A1 B1C1 D1的对应棱 BD // B1 D1
.
同理， AO和A1O1是棱柱ABCD A1 B1C1 D1的对应线段
AO // A1O1且AO // OC A1O1 // OC且A1O1 OC 四边形A1OCO1为平行四边形
A1O // O1C.且A1O BD O, O1C B1 D1 O1 面A1 BD // 面CD1 B1 .(证毕)
(Ⅱ)A1O 面ABCD A1O是三棱柱A1 B1 D1 ABD的高 .
在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在RTA1OA中，A1O 1.
三棱柱 A B D ABD 的体积 V S A O 1 ( ) 2 1 1 .
A1 B1 D1 ABD ABD 2
1 1 1 1 2千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
第 3 讲 （文科）空间几何综合运用（一）
一、知识梳理：
1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定 理。 2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的 性质定理。
线面平行的证明思考途径：线线平行 线面平行 面面平行.
3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；② 面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两 个平面平行。
4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面 面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理。5.线面垂直的证明方法：（1） 线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理。
6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理。
7、解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发， 寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不 到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
二、课前自测：
1、 （高考浙江卷文）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m ∥
α，n⊥β，则（ ）
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
2. （高考浙江卷理）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足
m∥, n⊥ 则（ ）
A ． m ∥ l B ． m ∥ n C ． n ⊥ l
D．m⊥n
3（高考广东卷（文））设 l 为直线,, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）
A．若 l // , l // ,则 // B．若 l , l ,则 //
C．若 l , l // ,则 // D．若 , l // ,则 l
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4、（高考山东卷文理））已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线 a 和
直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
三．典例剖析：
题型一 多面体与球
例 1. 已知三棱锥 P ABC 中， PA AB AC 1， PA 面 ABC ，∠BAC＝ 23 ，则三
棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D. 8
课堂练习 1.正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的顶点都在同一球面上，且此球体积为 4 ，则正方
3
体的体积为（ ）A． 2 B． 3 C．8 D．27
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课堂小结：求解几何体体积的必备策略
常见类型 解题策略
球的体积问题 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直
角三角形确定球的半径
锥体、柱体的体积 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解
问题
以三视图为载体的 将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解
几何体体积问题
不规则几何体的体 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将
积问题 不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解
题型二 ．截面问题
例 2、如图, 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 2 , 过直线 B1D1 的平面 平面 A1BD ,
则平面 截该正方体所得截面的面积为 ．
题型三 线面平行与垂直证明及计算
例 3、 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，G，F 分别为 AD，CE 的中点，现将△ADE 沿 AE 折叠，使得 DE⊥EC.
2
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
求证：BC⊥平面 CDE；(2) 求证：FG∥平面 BCD；
(3) 在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR⊥平面 DCB，并说明理由．
课堂练习 2、一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 M，N 分别是 AF，BC 的中点）．（1）
求证：MN∥平面 CDEF；（2）求多面体 A﹣CDEF 的体积．
例 4、 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E 分别是 AA1 和 B1C
的中点．(1)求证：DE∥平面 ABC； (2)求三棱锥 EBCD 的体积．
课堂练习 3、如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面
ABCD, AB AA1 2 .
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
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千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
例 5.线面、面面平行和垂直探究问题
如图所示，正方体 ABCD－A B C D 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD 的中点，点 Q 在 CC
1 1 1 1 1 1
上．问：点 Q 在什么位置时，平面 D BQ∥平面 PAO
1
课堂练习 4 如图所示，
在三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A⊥平面 ABC，若 D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E， 使 DE∥平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由．
课堂小结：解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果 出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如 果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
例 6 、如图 , 三棱柱 ABC A1B1C1 中 , CA CB , AB AA1 , BAA1 60 .( Ⅰ ) 证
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千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
明: AB A1C ; (Ⅱ)若 AB CB 2 , A1C 6 ,求三棱柱 ABC A1B1C1 的体积.
课 堂 练 习 5 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD 中 , PD 面ABCD , AB / / DC ,
AB AD ， BC 5 , DC 3 , AD 4 , PAD 60 .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ABCD 的正视图.(要求标
出尺寸,并画出演算过程);(2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / /面PBC ;
(3)求三棱锥 D PBC 的体积.
四、家庭作业：
1、（江苏卷） 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高 为 8 的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆 锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
2( 广东卷）在梯形 ABCD 中， ABC 2 ，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD
所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

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