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第7讲 双曲线的性质及应用
一、教学目标：
1．掌握双曲线的定义及简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
3．能区别椭圆与双曲线的性质．
二、教学重点、难点：
1．双曲线的几何性质的理解和应用．(重点)。
2．与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点)
3．经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力．
三、教学方法：
一学，二记，三应用
四、知识梳理：
1．双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质
（1）范围：易知，故，即或．故双曲线在不等式与所表示的区域内．
（2）对称性：双曲线关于_____、_____和_____都对称．原点为双曲线的对称中心，也称为双曲线的中心．
（3）顶点：双曲线与x轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．两个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为2a．
注：双曲线(a＞0，b＞0)与y轴没有交点，我们将两点(0，－b)，(0，b)间的连线段称为双曲线的虚轴，长为2b．
（4）渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交，这两条直线称为双曲线的渐近线．
（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率．
注：离心率e反映双曲线开口的程度，e越大，双曲线的开口越大；e越小，双曲线的开口越小．
2．双曲线，(a＞0，b＞0)的几何性质比较
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
范围 ， ，
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0) 下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c)
顶点
轴 线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
离心率e
注：双曲线与椭圆的几何性质的异同.尤其是: 椭圆有4个顶点，双曲线只有2个顶点.椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e(0,1),双曲线的离心率e(1,+).渐近线是双曲线特有的性质.
3．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率________．
4．直线与双曲线的位置关系：
位置关系 公共点 判定方法
相交 有两个（或一个）公共点 >0
相切 有一个公共点 =0
相离 没有公共点 <0
判别式指：将直线的方程代入双曲线的方程消去一个未知数后得到的一元二次方程的根的判别式.
5．直线与双曲线相交所得的弦长公式：
设直线方程y=kx+m与双曲线+= 1(或+=1,其中a>b>0)交于P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2),则
| P1P2|===|x2- x1| 或 | P1P2|=|y2-y1|
五、课前测试：
1．已知方程和，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）
2．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是 (　　)A．8 B．9 C．10 D．12
3．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点. 若点P在双曲线上且·＝0,则|＋|=____.
六、典例剖析
题型一 双曲线的简单几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【点拨】讨论双曲线几何性质,先将双曲线方程化为标准形,再根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．
例2（1）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为________________；
（2）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的渐近线方程为________________．
【点拨】由双曲线的标准方程求渐近线方程,关键是求出a,b值．也可把标准方程中的“1”用“0”替换．
课堂练习1
（1）求双曲线25y2－4x2＋100＝0的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程．
（2）双曲线的右顶点为，右焦点为．过点平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则 ．
题型二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围
（1）求解双曲线的离心率一般有两种方法：
方法一直接求出a,c的值,或由条件寻找a,c所满足的等式(或不等式),常用的公式变形为,其中a＞0,b＞0．
方法二由条件列出含a,c的齐次方程,利用转为含e或e2的方程,解方程即可,注意e＞1对解进行取舍．
（2）求双曲线离心率的范围,关键是根据题目条件得到不等关系,并想方设法转化为关于a,b,c的不等关系,结合和得到关于e的不等式,然后求解即可．
例3（1）已知点(2,3)在双曲线C:(a＞0,b＞0)上,若双曲线C的焦距为4,则它的离心率____；
（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_______；
例4（1）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
（2）（选讲提高）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的范围．
课堂练习2
（1）过原点的直线与双曲线交于两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为_______________．
（2）已知点分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型三 直线与双曲线
直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．
（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．
（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
例5 已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：
(Ⅰ)有两个公共点；(Ⅱ)有一个公共点；(Ⅲ)没有公共点．
【点拨】研究直线与双曲线位置关系的一般思路是联立二者的方程，解方程组或转为一元二次方程，依据根的判别式和根系关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，进一步研究判别式，得直线与双曲线的交点个数．
例6 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；
（2）若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．
课堂练习3
（1）过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则___________．
（2）若直线过点(1,0)与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有( )
A．4条 B．3条 C． 2条 D．1条
题型四 与弦长有关问题
例8 直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.
【点拨】使用弦长公式时，一般可以利用韦达定理，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证Δ>0.
课堂练习4 过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求|AB|的长．
【点拨】如何求解与弦长有关的问题？(1)列直线方程与曲线方程构成的方程组；(2)化为一元二次方程后，据韦达定理求出x1＋x2，x1·x2的表达式；(3)据弦长公式|AB|＝求解．
七、自我测评：
1．双曲线的渐近线方程是( )
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
3．已知，分别为圆锥曲线和的离心率，则的值为( )
A．正数 B．负数 C．零 D．不确定
4．双曲线与椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
5．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的方程为_______________．
6．设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率_______.
7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
8．已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点, 倾斜角为的直线与双曲线相交于,两点, 为坐标原点, 求的面积．第7讲 双曲线的性质及应用（教师）
一、教学目标：
1．掌握双曲线的定义及简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
3．能区别椭圆与双曲线的性质．
二、教学重点、难点：
1．双曲线的几何性质的理解和应用．(重点)。
2．与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点)
3．经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力．
三、教学方法：
一学，二记，三应用
四、知识梳理：
1．双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质
（1）范围：易知，故，即或．故双曲线在不等式与所表示的区域内．
（2）对称性：双曲线关于_____、_____和_____都对称．原点为双曲线的对称中心，也称为双曲线的中心．
（3）顶点：双曲线与x轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．两个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为2a．
注：双曲线(a＞0，b＞0)与y轴没有交点，我们将两点(0，－b)，(0，b)间的连线段称为双曲线的虚轴，长为2b．
（4）渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交，这两条直线称为双曲线的渐近线．
（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率．
注：离心率e反映双曲线开口的程度，e越大，双曲线的开口越大；e越小，双曲线的开口越小．
2．双曲线，(a＞0，b＞0)的几何性质比较
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
范围 ， ，
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点
焦点 左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0) 下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c)
顶点
轴 线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
离心率e
注：双曲线与椭圆的几何性质的异同.尤其是: 椭圆有4个顶点，双曲线只有2个顶点.椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e(0,1),双曲线的离心率e(1,+).渐近线是双曲线特有的性质.
3．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率________．
4．直线与双曲线的位置关系：
位置关系 公共点 判定方法
相交 有两个（或一个）公共点 >0
相切 有一个公共点 =0
相离 没有公共点 <0
判别式指：将直线的方程代入双曲线的方程消去一个未知数后得到的一元二次方程的根的判别式.
5．直线与双曲线相交所得的弦长公式：
设直线方程y=kx+m与双曲线+= 1(或+=1,其中a>b>0)交于P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2),则
| P1P2|===|x2- x1| 或 | P1P2|=|y2-y1|
五、课前测试：
1．已知方程和，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）
2．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是 (　　)
A．8 B．9 C．10 D．12
【解】由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9.【答案】B
3．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点. 若点P在双曲线上且·＝0,则|＋|=____.
解: 由题知F1(－，0)，F2(，0)，2c＝2，2a＝2.∵·＝0.∴||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝40
∴(＋)2＝||2＋||2＋2·＝40，∴|＋|＝2.
六、典例剖析
题型一 双曲线的简单几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解：将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x.
【点拨】讨论双曲线几何性质,先将双曲线方程化为标准形,再根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．
例2（1）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为________________；
解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得，即，即，即，即，故渐近线方程为．
（2）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的渐近线方程为________________．
解：的焦点为(0,－3)，(0,3)，由题设双曲线的方程为，由于双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将代入椭圆方程可得双曲线与椭圆的一个交点为(，4)，因点(,4)在双曲线上，则，结合,得,，故双曲线的渐近线方程为，即．
【点拨】由双曲线的标准方程求渐近线方程,关键是求出a,b值．也可把标准方程中的“1”用“0”替换．
课堂练习1
（1）求双曲线25y2－4x2＋100＝0的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程．
解：双曲线方程可化为－＝1. ∴半实轴长a＝5，半虚轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．
由c＝＝，得焦点坐标(,0)，(－,0)．离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.
（2）双曲线的右顶点为，右焦点为．过点平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则 ．
解：双曲线右顶点为(3,0)，右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为，则过点平行双曲线渐近线的直线方程与双曲线联立得y=，则.
题型二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围
（1）求解双曲线的离心率一般有两种方法：
方法一直接求出a,c的值,或由条件寻找a,c所满足的等式(或不等式),常用的公式变形为,其中a＞0,b＞0．
方法二由条件列出含a,c的齐次方程,利用转为含e或e2的方程,解方程即可,注意e＞1对解进行取舍．
（2）求双曲线离心率的范围,关键是根据题目条件得到不等关系,并想方设法转化为关于a,b,c的不等关系,结合和得到关于e的不等式,然后求解即可．
例3（1）已知点(2,3)在双曲线C:(a＞0,b＞0)上,若双曲线C的焦距为4,则它的离心率____；
解：由点(2,3)在双曲线C：上，可得 ①．又焦距为4，所以 ②，联立①②及，解得，，所以双曲线C的离心率．
（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_______；
解：当焦点在x轴上时，由题得，即；当焦点在y轴上时，由题得，即．又，故，两边同除，得，解得(负值舍去)．
【点拨】（1）双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，应注意二者参数之间关系的转化；（2）在建立不等式求e时，经常用到如下结论：双曲线上一点到相应焦点的距离的最小值为．
例4（1）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
（2）（选讲提高）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的范围．
解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．因为在△PF1F2中，由正弦定理得＝.又由已知，得＝，即|PF1|＝|PF2|，且点P在双曲线的右支上．
由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝.，由双曲线几何性质知|PF2|>c－a，
则>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得－＋11，故e∈(1,＋1)．
课堂练习2
（1）过原点的直线与双曲线交于两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为_______________．
解：由双曲线对称性，设，则，由，得，即，即．又均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．
（2）已知点分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
解：在双曲线方程中，令，得，所以两点的纵坐标分别为, 又为锐角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得，又，所以，故选D．
题型三 直线与双曲线
直线与双曲线有三种位置关系：
（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．
（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．
（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
例5 已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：
(Ⅰ)有两个公共点；(Ⅱ)有一个公共点；(Ⅲ)没有公共点．
【解】(Ⅰ)由消去y得 ①，当，即时，方程①无解；
当时，，
当，即时，方程①有两解；当，即或时，方程①无解；
当且时，这样的k值不存在．综上：（1）当时，直线与双曲线有两个公共点；
(Ⅱ)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值；(Ⅲ)当或时，直线与双曲线没有公共点．
【点拨】研究直线与双曲线位置关系的一般思路是联立二者的方程，解方程组或转为一元二次方程，依据根的判别式和根系关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，进一步研究判别式，得直线与双曲线的交点个数．
例6 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；
（2）若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．
解(1)联立方程组消去y得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题得，此方程有两个不等的正根．
∴即解得1(2)由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0(*)，知方程无解．由得k>或k<－.
课堂练习3
（1）过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则___________．
解：由题，代入双曲线方程得．
当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当时，由得．综上，或时，直线与双曲线只有一个公共点．
（2）若直线过点(1,0)与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有( )
A．4条 B．3条 C． 2条 D．1条
解：由题双曲线的渐近线方程为，又因直线过(1,0)且与双曲线只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行或过点(1,0)与X轴垂直，所以这样的直线有3条. 【答】D
题型四 与弦长有关问题
例8 直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.
解：设l方程y＝2x＋m，由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2), 由根系关系x1＋x2＝－m, x1x2＝(m2＋2)．又y1＝2x1＋m, y2＝2x2＋m,∴y1－y2＝2(x1－x2),
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝5[m2－4×(m2＋2)]．∵|AB|＝4，
∴m2－6(m2＋2)＝16.∴3m2＝70，m＝±.由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，得Δ>0，∴m的值为±.
【点拨】使用弦长公式时，一般可以利用韦达定理，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证Δ>0.
课堂练习4 过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求|AB|的长．
解：双曲线焦点为F1(－2,0)、F2(2,0)，将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程得8x2－4x－13＝0.设A(x1,y1)、B(x2,y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·＝·＝31
【点拨】如何求解与弦长有关的问题？(1)列直线方程与曲线方程构成的方程组；(2)化为一元二次方程后，据韦达定理求出x1＋x2，x1·x2的表达式；(3)据弦长公式|AB|＝求解．
七、自我测评：
1．双曲线的渐近线方程是( )
A． B． C． D．
【解】由抛物线方程可知，，所以，，渐近线方程为．故选B
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D． 选：A
3．已知，分别为圆锥曲线和的离心率，则的值为( )
A．正数 B．负数 C．零 D．不确定
【解】由题,,.【答】B
4．双曲线与椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【解】因双曲线和椭圆的离心率互为倒数，所以，所以，即，故以为边长的三角形是直角三角形．故选C．
5．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的方程为_______________．
【解】由题设双曲线方程为，则离心率，所以，焦点到渐近线的距离为，所以，所以双曲线的方程为
6．设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率_______.
【解】由,又垂直于轴,所以.
7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解：由题知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－≤k≤.，答案：　
8．已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点, 倾斜角为的直线与双曲线相交于,两点, 为坐标原点, 求的面积．
【解】（1）依题得，解得，∴双曲线的标准方程为．
（2）由题得直线的方程为，设、，由得，由根与系数关系可得，，则．原点到直线的距离为，于是，∴的面积为．

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