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千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
第 4 讲 （文科）空间几何综合运用（二）
一、知识梳理
1、求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用 图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平 移．
2、求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任 意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平 行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
3、掌握求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些 不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
4．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可 选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
5、解决立体几何最值问题的两种思路： ①函数法，即通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解，此
法应用最为广泛． ②枚举法（几何转化法），给出几何体中三视图中的两个视图求其体积(或表面积)的最
值时，一般将符合条件的所有几何体都列出，再从中找出体积(或表面积)最大(或最小)的几 何体．
二、课前自测
1．[新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3 ，D 为 BC
中点，则三棱锥 A B1DC1 的体积为()
A．3 B.3 C．1 D. 3
2 2
答案．C [解析] 因为 D 为 BC 的中点，所以 AD⊥BC，故 AD⊥平面 BCC1B1，且 AD
＝ ，所以 V 三棱锥 A B1DC1＝1S△B1DC1×AD＝1×1B1C1×BB1×AD＝1×1×2× ×
3 3 3
3 3 2 3 2
＝1.
2、（高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为,则以 O
为球心,OA 为半径的球的表面积为________.
【答案】 24
3．[全国卷] 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的 余弦值为( )
A.16 B.36 C.13 D.33
答案．B [解析] 如图所示，取 AD 的中点 F，连接 EF，CF，则 EF∥BD，故 EF 与 CE 所成的
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角即为异面直线 CE 与 BD 所成的角．设正四面体的棱长为 2，则 CE＝CF＝3，EF＝1.在△CEF
中，cos ∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE EF＝3＋1－32×3×1＝36，所以异面直线 CE 与 BD 所成 角的余弦值为 36.
4、（高考辽宁卷（文））已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若
AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12 ,则球 O 的半径为 （）
3 17 13
A． 2 B． 2 10 C． 2 D． 3 10
【答案】C
三、典例精讲
题型一 异面直线所成角
例 1. 设三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱与底面垂直， BCA 90 ， BC CA 2 ，若该棱柱的
所有顶点都在体积为 32 的球面上，则直线 B C 与直线 AC 所成角的余弦值为（ ）
3 1 1
2 2
A． B． C． 5 D． 5
3 3 3 3
答：B。提示：拼成一个正四棱柱几何法计算，或用空间直角坐标系中向量方法计算。 课堂练习 1..如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且 BC=CD=3．将△ABC
沿 BC 的边翻折，设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M，若点 M 在△BCD 内部（含边界），则
点 M 的轨迹的最大长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 BD 上时，直线 AB 和
CD 所成的角的余弦值等于 ．
【解答】解：由题意可得点 A 的射影 M 的轨迹为 CD 的中位线，其长度为CD=；
当点 M 位于线段 BD 上时，AM⊥平面 ACD，取 BC 中点为 N，AC 中点为 P， ∴∠MNP 或其补角即为直线 AB 和 CD 所成的角，
则由中位线可得 MN=CD=，PC=AB=，
又 MP 为 RT△AMC 斜边 AC 的中线，故 MP=AC= ，
！
∴在△MNP 中，由余弦定理可得 cos∠MNP= =，
故答案为：；．
课堂小结：1.用平移法求异面直线所成的角的 3 步骤
(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角， 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
题型二 求解空间几何体问题的常用方法
例 2、补形法：
（ 1 ） . 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 , 若
AB 3，AC 4 , AB AC , AA 12 ,则球 O 的半径为( c ) A．3 17 B． C．13
1 2 2
D． 3 10
【答案】C 补形为长方体，则 （2R)2 a2 b2 c2 169 ， R 13 。
2
（2）.已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B,C 都在半径为 3 的球面上，若 PA, PB, PC 两两互
相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________.
3
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（3）. 在四面体 ABCD 中， AB CD 6, AC BD 4, AD BC 5 ，则四面体
ABCD 的外接球的表面积为 .
课堂练习 2、已知 A，B，C，D 四点在半径为的球面上，且 ，AD=BC=5， AB=CD，则三棱锥 D﹣ABC 的体积是 （答 8）
！
4
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例 3 、分割法： 若一个正四面体的表面积为 S1 ， 其内切球的表面积为 S2 ， 则
S1 ____________.
S2
例 4、等体积法：. 求体积：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E,F 分别为线段
AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为____________.
课堂练习 3.（1）如图，单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在平面 A1BC1 上， 则三棱锥 P-ACD1 的体积 为 .
（2）如图，四棱锥 P ABCD中，ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB与PAD 都
是边长为 2 的等边三角形.（I）证明： PB CD; （II）求点 A到平面PCD的距离.千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
第 4 讲 （文科）空间几何综合运用（二）
一、知识梳理
1、求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的 平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2、求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵 活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移， 作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
3、掌握求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何 体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
4．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计 算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
5、解决立体几何最值问题的两种思路： ①函数法，即通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解，此
法应用最为广泛． ②枚举法（几何转化法），给出几何体中三视图中的两个视图求其体积(或表面积)的最
值时，一般将符合条件的所有几何体都列出，再从中找出体积(或表面积)最大(或最小)的几 何体．
二、课前自测
1．[新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为3，D 为 BC
中点，则三棱锥 A B1DC1 的体积为( )
A．3 B.3 C．1 D. 3
2 2
2、（高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以 O
为球心,OA 为半径的球的表面积为________.
3．[全国卷] 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的
余弦值为( )
A.16 B.36 C.13 D.33
4、（高考辽宁卷（文））已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,
若 AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12 ,则球 O 的半径为 （）
3 17 13
A． 2 B． 2 10 C． 2 D． 3 10
1
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
三、典例精讲
题型一 异面直线所成角
例 1. 设三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱与底面垂直， BCA 90 ， BC CA 2 ，若该棱柱的
所有顶点都在体积为 32 的球面上，则直线 B C 与直线 AC 所成角的余弦值为（ ）
3 1 1
2 2
A． B． C． 5 D． 5
3 3 3 3
课堂练习 1..（选作）如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且 BC=CD=3．将 △ABC 沿 BC 的边翻折，设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M，若点 M 在△BCD 内部（含边 界），则点 M 的轨迹的最大长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 BD 上时，直线
AB 和 CD 所成的角的余弦值等于 ．
课堂小结：1.用平移法求异面直线所成的角的 3 步骤
(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角， 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
题型二 求解空间几何体问题的常用方法
例 2、补形法：
（1）. 已 知 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若
AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12 ,则球 O 的半径为( )
A． 3 13 D． 3
17
B． C． 10
2 2
（2）.已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B,C 都在半径为 3 的球面上，若 PA, PB, PC 两两互
相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为______ _.
（3）. 在四面体 ABCD 中，AB CD 6, AC BD 4, AD BC 5 ，则四面体 ABCD
的外接球的表面积为 .
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千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
课堂练习 2、已知 A，B，C，D 四点在半径为 的球面上，且 ，AD=BC=5，AB=CD，
则三棱锥 D﹣ABC 的体积是 。
例 3 、分割法： 若一个正四面体的表面积为 S1 ， 其内切球的表面积为 S2 ， 则
S1 ____________.
S2
例 4、等体积法：. 求体积：正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为____________.
课堂练习 3.（1）如图，单位正方体 ABCD-A1B1 C1D1 中，点 P 在平面 A1 BC1 上，则三棱锥 P-ACD1
的体积 为 .
（2）如图，四棱锥 P ABCD中，ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB与PAD 都是 边长为 2 的等边三角形.（I）证明： PB CD; （II）求点 A到平面PCD的距离.
3
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
例 5 求空间中的距离：（1）求点到线的距离：如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 ．
（ :2 ）求点到面的距离 ：已知直二面角 l ，点 A , AC l, C 为垂足 ，
B , BD l, D 为垂足，若 AB 2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（ )
(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 1
2 3 3
（3）求直线到面的距离：已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 ，AB=2，CC1= 2 2 E 为 CC1 的中
C
点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为（ ） A 2B 3 2 D 1
（选作）已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B,C 都在半径为 3 的球面上，若
课堂练习 4（1）
PA, PB, PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________.
（2） （广东文科）（选作）如图 3 ，三角形 DC 所在的平面与长方形 CD 所在 的平面垂直， D C 4 ， 6 ， C 3 ．
1 证明： C// 平面 D ； 2 证明： C D ； 3求点 C 到平面 D 的距离．
4
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
课堂小结：
1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用 多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何 体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计 算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
*题型三 几何体中的最值问题
例 6、四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a.
(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
思考流程 ：条件：有五条棱相等的四面体；目标：求四面体的体积的最大值及其取最大值 时四面体表面积的大小；方法：将四面体分成两个三棱锥，运用函数思想求体积的最大值， 并可以得到当体积取得最大值时对应的四面体另外一条棱的长，从而求出此时四面体的表面 积．
：
课堂总结 解决立体几何最值问题的两种思路： ①函数法，即通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解，此
法应用最为广泛． ②枚举法（几何转化法），给出几何体中三视图中的两个视图求其体积(或表面积)的最
值时，一般将符合条件的所有几何体都列出，再从中找出体积(或表面积)最大(或最小)的几 何体．
课堂练习 5：（1）(几何转化法）棱长为 a 的正方体框架，其内放置一个气球，使其充气

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