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函数的图象及其应用
一．教学目标
1.零点存在性定理应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解
二、重点难点
重点：了解二分法求近似值的原理，以及函数图像的做法和其变换法则，并掌握函数图像的应用类型。
难点：函数的图像作法，尤其是函数的变换问题，能利用函数的图像求参数的范围以及零点 相关的问题。
三．知识梳理
1．函数的零点
(1)定义：如果函数 y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过 x 轴，则称这样的零点为变号零点．
(3)几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y＝f(x)有零点．
2．零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异 号，即 f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
3．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点 c1； 第三步，计算 f(c1)：
(1)若 f(c1)＝0，则 c1 就是函数的零点；
(2)若 f(a)f(c1)<0，则令 b＝c1(此时零点 x0∈(a，c1))；
(3)若 f(b)f(c1)<0，则令 a＝c1(此时零点 x0∈(c1，b))；
第四步，判断 x0 是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．
4、画函数图象的一般方法
（1）直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直 接作出；
（2.）图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．
①平移变换：
a>0，右移 a 个单位
y＝f(x)――――――――→y＝f(x－a)；
a<0，左移|a|个单位
b>0，上移 b 个单位
y＝f(x)――――――――→y＝f(x)＋b.
b<0，下移|b|个单位
②伸缩变换：
0<ω<1，伸长为原来的 1 倍
ω
y＝f(x)――――――――――1―→y＝f(ωx)；
ω>1，缩短为原来的
ω
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A>1，伸为原来的 A 倍
y＝f(x)―――――――――→y＝Af(x)．
0③对称变换：
关于 x 轴对称
y＝f(x)――――――→y＝－f(x)；
关于 y 轴对称
y＝f(x)―――――→y＝f(－x)；
关于原点对称
y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④翻折变换：
去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图 留下 x 轴上方图
y＝f(x)―――――――――――――→y＝f(|x|)；y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
将 y 轴右边的图象翻折到左边去 将 x 轴下方图翻折上去
四、典例剖析
题型一 零点存在性定理以及二分法
例 1 1.（陕西模拟）函数 f (x) ln x ex 的零点所在的区间是（ ）
A. (0, 1e) B. (1e ,1) C. (1, e) D. (e, )
1
2.（ 绵阳南山中学高三期中）已知函数 f (x) x 11.2x , g (x) x 1 lg x , h(x) x 1 x 2 的零点
分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系为( )
A. x1 x2 x3 B. x2 x3 x1 C. x1 x3 x2 D. x3 x2 x1
答案：B，解析：
f (0) 0,x1 0; g(1) 0,x2 1; h(0) 1 0, h(1) 1 0,x3 (0,1)x2 x3 x1
3．（惠州模拟）若函数 f（x）=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数 据如下：
f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984
f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054
那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根（精确到 0.1）为（）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【解答】解：由图中参考数据可得 f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到 0.1，所
以近似根为 1.4 故选 C．
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变式练习 1．（湖南模拟）设函数 f（x）=ex+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数 a，b 分别是 f（x）， g（x）的零点，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0 【解答】解：∵函数 f（x）=ex+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，
∴f（x）与 g（x）在各自的定义域上为增函数，
∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数 a，b 分别是 f（x），g（x）的零点， ∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A
题型二 作函数图的图象
例 2、分别画出下列函数的图象：
(1) y | 2x 1|
解：如图
(2)y＝x2－2|x|－1.
解：如图：
（提升）（3） y | x2 1| x 1
解：如图：
题型三 识图辩图
例 3．1.(海淀区期中测试)函数 f(x)＝2x＋sin x 的部分图象可能是( )
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解析：选 A 因为 x∈R，f(－x)＝－2x－sin x＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称，又 f′(x)＝2 ＋cos x＞0，所以函数单调递增，因此选 A.
2．已知图①中的图象对应的函数为 y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C
3.在同一坐标系中画出函数 y＝logax，y＝ax，y＝x＋a 的图象，可能正确的是( )
[解析] (1)当 a>1 时，A 中的直线位置错误，排除 A；D 中的三个函数图象都正确；当 03.已知对数函数 f (x) loga x 是增函数,则函数 f (| x | 1) 的图象大致是（ ）
答案：B
课堂小结：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征 分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
4
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－2x，－1≤x≤0，
变式练习 2 1．已知 f(x)＝ 则下列函数的图象错误的是( )
x，0＜x≤1，
答案：D
2.函数 y ln ex ex 的图象大致为( )
ex ex
x3 的图象大致是( )
3．函数 y＝ x
答案：D,定义域 x>0,排除 A,B 且 ex ex 1, y 0 故选 C
ex ex
3 －1
答案：C
题型四 函数图象的应用
角度一：研究函数的性质
例 4 1.（曲靖校级模拟）函数 f（x）=（x2﹣1）的单调递增区间为（ ）勤奋 博学 笃志 感恩
函数的图象及其应用
一．教学目标
1.零点存在性定理应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解
二、重点难点
重点：了解二分法求近似值的原理，以及函数图像的做法和其变换法则，并掌握函数图像的应用类型。
难点：函数的图像作法，尤其是函数的变换问题，能利用函数的图像求参数的范围以及零点 相关的问题。
三．知识梳理
1．函数的零点
(1)定义：如果函数 y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过 x 轴，则称这样的零点为变号零点．
(3)几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y＝f(x)有零点．
2．零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号， 即 f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
3．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点 c1；
第三步，计算 f(c1)：
(1)若 f(c1)＝0，则 c1 就是函数的零点；
(2)若 f(a)f(c1)<0，则令 b＝c1(此时零点 x0∈(a，c1))；
(3)若 f(b)f(c1)<0，则令 a＝c1(此时零点 x0∈(c1，b))；
第四步，判断 x0 是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．
4、画函数图象的一般方法
（1）直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接 作出；
（2.）图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．
①平移变换：
a>0，右移 a 个单位
y＝f(x)――――――――→y＝f(x－a)；
a<0，左移|a|个单位
b>0，上移 b 个单位
y＝f(x)――――――――→y＝f(x)＋b.
b<0，下移|b|个单位
②伸缩变换：
0<ω<1，伸长为原来的ω1倍
y＝f(x)―――――――――1――→y＝f(ωx)；
ω>1，缩短为原来的ω
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A>1，伸为原来的 A 倍
y＝f(x)―――――――――→y＝Af(x)．
0③对称变换：
关于 x 轴对称
y＝f(x)――――――→y＝－f(x)；
关于 y 轴对称
y＝f(x)―――――→y＝f(－x)；
关于原点对称
y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④翻折变换：
去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图 留下 x 轴上方图
y＝f(x)―――――――――――――→y＝f(|x|)；y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
将 y 轴右边的图象翻折到左边去 将 x 轴下方图翻折上去
四、典例剖析
题型一 零点存在性定理以及二分法
例 1 1.（.陕西模拟）函数 f (x) ln x ex 的零点所在的区间是（ ）
A. (0, 1e) B. (1e ,1) C. (1, e) D. (e, )
1
2.（ 绵阳南山中学高三期中）已知函数 f (x) x 11.2x , g (x) x 1 lg x , h(x) x 1 x 2 的零点分
别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系为( )
A. x1 x2 x3 B. x2 x3 x1 C. x1 x3 x2 D. x3 x2 x1
3．（ 惠州模拟）若函数 f（x）=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数 据如下：
f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984
f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054
那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根（精确到 0.1）为（）
A．1.2B．1.3 C．1.4 D．1.5
变式练习 1．（湖南模拟）设函数 f（x）=ex+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数 a，b 分别是 f（x）， g（x）的零点，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0
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题型二 作函数图的图象
例 2、分别画出下列函数的图象：
(1) y | 2x 1| (2)y＝x2－2|x|－1.
（提升）（3） y | x2 1| x 1
题型三 识图辩图
例 3．1.(海淀区期中测试)函数 f(x)＝2x＋sin x 的部分图象可能是( )
2．已知图①中的图象对应的函数为 y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C
3.在同一坐标系中画出函数 y＝logax，y＝ax，y＝x＋a 的图象，可能正确的是( )
[解析] (1)当 a>1 时，A 中的直线位置错误，排除 A；D 中的三个函数图象都正确；当 03
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3.已知对数函数 f (x) loga x 是增函数,则函数 f (| x | 1) 的图象大致是（ ）
变式练习 2 1．已知 f(x)＝ －2x，－1≤x≤0， 则下列函数的图象错误的是()
x，0＜x≤1，
2.函数 y ln ex ex 的图象大致为( )
ex ex
3．函数 y＝ x3 的图象大致是()
3x－1
题型四 函数图象的应用
4
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角度一：研究函数的性质
例 4 1.（曲靖校级模拟）函数 f（x）= （x2﹣1）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
2．已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
角度二：确定方程根的个数
3、已知函数 f (x) ( 1 )x cos x ，则 f (x) 在[0, 2 ] 上的零点个数为（）
2
A.1 B.2 C.3 D.4
4．（1）已知 f(x)＝ |lg x|，x>0， 则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点个数是________．
2|x|，x≤0，
log (x 1), x [0,1)
（提升）5.定义在 R 上的奇函数 f (x) ，当 x 0 1 则关于 x 的函数
时， f (x) 2 )
1 | x 3 |, x [1,
F (x) f (x) a(0 a 1) 的所有零点之和为（ ）
A.1 2a B. 2a 1 C. 1 2a D. 2a 1
角度三：求参数的取值范围
1 x 3 , x 2,
( 2 ) 4
6．已知函数 f (x) 若函数 g (x) f (x) k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围
x, 0 x 2.
log2
是____________.
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