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千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
第 4 讲 （理科）空间角的计算
一、学习目标：
1.了解异面直线所成角、线面所成角、二面角、空间直角坐标系；
2.熟练运用向量法求解异面直线所成角、线面角、二面角.
二、重点难点：
1.向量法的熟练运用（重点）
2.熟练运用向量法求解二面角（难点）.
三、知识梳理：
1．异面直线所成角
(1)过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直 角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈ (0, 2 ] .
(2)求法：“一作二证三求”；注意到异面直线所成角的范围是 (0, 2 ] 如果求出的是钝角，要注
意转化成相应的锐角.
(3)向量法：
分别在直线 m, n 上取两个定向量 a, b, 则异面直线 m, n 所成的角 等于向量 a, b 所成
的角或其补角 ，则 cos a b 特殊情形：a b a b 0 , 即异面直线 a 垂直于 b。
a b
2．直线与平面所成角
(1)当 l⊥α时，线面角为 90°；当 l∥α或 l α时，线面角为 0°；线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
(2) 向量法：
i.特殊情形：当 a n( R且 0) ，则直线 a 与平面 垂直。 ii．如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面α的法向量为 n，直线 l 与平面α所成的角为φ，
两向量 e 与 n 的夹角为θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|
1
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3．二面角
(1)如图所示的二面角α－l－β，若①O∈l，②OA α，OB β，③OA⊥l， OB⊥l，则∠AOB
就叫作二面角α－l－β的平面角．
(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.
(3)二面角的求法：
几何法：如图 1，AB、CD 是二面角α－l－β的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈 AB ， CD 〉．
向量法：如图 2、3，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的
大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． cos n1 n2 （或 cos n1 n2 ）.
n1 n2 n1 n2
四、课前自测：
1. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所
成的角等于( )
A．30° B．45°C．60°D．90°
2. (·沧州七校联考)已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则
直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为( )
A.1 B. 3 C.3 D.4
2 2 5 5
2
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3. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP
所成的二面角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )
A. 6 B. 3 C. 2 D.1
3 3 3
3
五、典例剖析
题型一 求异面直线所成角
例 1.（1） (证明法)(2014·山东潍坊一模)已知三棱锥 ABCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 所成的角为 60°，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，则直线 AB 和 MN 所成的角为________．
（2）（向量法）(皖南十校联考)把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平
面 ABD⊥平面 CBD，则异面直线 AD，BC 所成的角为( )
A．120° B．30° C．90° D．60°
课堂小结：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图 中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面 直线所成的角通常放在三角形中进行；常用向量法。
课堂练习 1：(1) [2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分
别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()
A. 1 B.2 C. 30 D. 2
10 5 10 2
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(2)四川泸州一模，13)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC
＝BC＝1，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是________．
(3)(山东临沂二模，13)在三棱锥 S-ACB 中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2， BC＝13，SB＝29，则 SC 与 AB 所成角的余弦值为________．
题型二 求直线与平面所成角
例 2.(1) 大纲全国，11)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1
所成角的正弦值等于( )
A.2 B. D.1
3 C. 2
3
3 3 3
(2)正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ( )
（A） 2 （B） 3 （C） 2 （D） 6
3 3 3 3
课堂练习 2：
4
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
1. 四面体 ABCD 及其三视图如图所示，过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD，BC 的平面分别交 四面体的棱 BD，DC，CA 于点 F，G，H.求直线 AB 与平面 EFGH 夹角θ的正弦值．
2. 已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1，E，F 分别是棱 B1C1，C1D1 的中点．试求：
(1)AD1 与 EF 所成角的大小；
(2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值．
题型三 求二面角
例 3.(1)如图，在四棱锥 A EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB，EF∥ BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O 为 EF 的中点．
(1)求证：AO⊥BE；
(2)求二面角 FAEB 的余弦值．千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
第 4 讲 （理科）空间角的计算
一、学习目标：
1.了解异面直线所成角、线面所成角、二面角、空间直角坐标系；
2.熟练运用向量法求解异面直线所成角、线面角、二面角.
二、重点难点：
1.向量法的熟练运用（重点）
2.熟练运用向量法求解二面角（难点）.
三、知识梳理：
1．异面直线所成角
(1)过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直 角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈ (0, 2 ] .
(2)求法：“一作二证三求”；注意到异面直线所成角的范围是 (0, 2 ] 如果求出的是钝角，要注
意转化成相应的锐角.
(3)向量法：
分别在直线 m, n 上取两个定向量 a, b, 则异面直线 m, n 所成的角 等于向量 a, b 所成
的角或其补角 ，则 cos a b 特殊情形：a b a b 0 , 即异面直线 a 垂直于 b。
a b
2．直线与平面所成角
(1)当 l⊥α时，线面角为 90°；当 l∥α或 l α时，线面角为 0°；线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
(2) 向量法：
i.特殊情形：当 a n( R且 0) ，则直线 a 与平面 垂直。 ii．如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面α的法向量为 n，直线 l 与平面α所成的角为φ，
两向量 e 与 n 的夹角为θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|
1
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3．二面角
(1)如图所示的二面角α－l－β，若①O∈l，②OA α，OB β，③OA⊥l， OB⊥l，则∠AOB
就叫作二面角α－l－β的平面角．
(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.
(3)二面角的求法：
几何法：如图 1，AB、CD 是二面角α－l－β的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈 AB ， CD 〉．
向量法：如图 2、3，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的
大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． cos n1 n2 （或 cos n1 n2 ）.
n1 n2 n1 n2
四、课前自测：
1. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所
成的角等于( )
A．30° B．45°C．60°D．90°
答案 C 解析 选 C.不妨设 AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，
则 B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，
所以 BA1 ＝(0，1，1)，
AC1 ＝(－1，0，1)， 1
所以 cos〈 BA ， AC 〉＝ ＝1，
1 1 2× 2 2
2
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所以〈 BA1 ， AC1 〉＝60°，
所以异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°.
2. (沧州七校联考)已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则
直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为( )
A.1 B. C.3 D.4
3
2 2 5 5
答案 D 解析 取 AC 中点 E，令 AB＝2，
分别以 EB，EC，ED 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
B1(3，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,2)，DB1 ＝(3，0,0)
DC ＝(0,1，－2)， DA ＝(0，－1，－2)，平面 B1DC 法向量为 n＝(0,2,1)，
∴cos〈 DA ，n〉＝－4. ∴AD 与面 B1DC 所成的角正弦值为4.
5 5
3. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP
所成的二面角为( )
A．30°B．45° C．60° D．90°
答案 B 解析 以 A 点为坐标原点，AP，AB，AD 分别为 x，y，z 轴建系且设 AB＝1，
∴C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．∴设面 CDP 的法向量为 n＝(x，y，z)．
n CD 0 ∴n＝(0,1,1)．
∴
n DP 0
又∵ AD 为面 ABP 的一个法向量，
∴cos〈n， AD 〉＝ 22. ∴二面角为 45°.
4.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )
A. 6 B. 3 C. 2 D.1
3 3 3
3
答案 B 解析 以正三棱锥 O－ABC 的顶点 O 为原点，OA，OB，OC 为 x，y，z 轴
建系(图略)，设侧棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．侧面 OAB 的法向量为 OC ＝(0,0,1)，
1 1 1
底面 ABC 的法向量为 n＝( ，， )．
3 3 3
1
∴cos〈 OC ，n〉＝ 3 ＝3. 1· 132＋132＋132 3
3
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
五、典例剖析
题型一 求异面直线所成角
例 1.（1） (证明法)(山东潍坊一模)已知三棱锥 ABCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 所成的角为 60°，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，则直线 AB 和 MN 所成的角为________．
【解析】如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB，且 PM＝12AB.PN∥CD，且
PN＝12CD，所以∠MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或其补角)．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.
①若∠MPN＝60°，
因为 PM∥AB，所以∠PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或其补角)．
又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN，
则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°.
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，
即 AB 与 MN 所成的角为 30°.
综上，直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°. （2）（向量法）(2015·皖南十校联考)把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平
面 ABD⊥平面 CBD，则异面直线 AD，BC 所成的角为( )
A．120° B．30°C．90° D．60°
答案 D 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A( 2 ，0,0)，B(0， 2 ，0)，C(0,0，
2)，D(0，－2，0)，∴ AD ＝(－2，－2，0)， BC ＝(0，－2，2)
∴| AD |＝2，| BC |＝2， AD · BC ＝2.
∴cos〈 AD ， BC 〉＝2×22＝12.
∴异面直线 AD，BC 所成的角为 60°.
课堂小结：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图 中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面 直线所成的角通常放在三角形中进行；常用向量法。
课堂练习 1：(1) [2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分
别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()
A. 1 B.2 C. 30 D. 2
10
5 10 2
答案 C 解析 如图，E 为 BC 的中点．
由于 M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，
故 MN∥B1C1 且 MN＝12B1C1，故 MN / / BE，
所以四边形 MNEB 为平行四边形，
所以 EN / / BM，所以直线 AN，NE 所成的角即为直线 BM，AN 所成的
角．设 BC＝1，则 B1M＝12B1A1＝ 22，所以 MB＝1＋12＝ 26＝NE，AN＝AE＝ 25，
4
千里之行，始于足下；持之以恒，必成大器。勤奋博学笃志感恩
6＋5－5
30
在△ANE 中，根据余弦定理得 cos∠ANE＝ 4 4 4
＝ .（可用向量法）
10
2× 6 × 5
2
2
(2)·如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC
＝BC＝1，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是________．
【解析】 由于 AC∥A1C1，
所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．
在△BA1C1 中，A1B＝ 6，A1C1＝1，BC1＝ 5 ，
6＋1－5 6
cos∠BA1C1＝ 2 6×1 ＝ .（可用向量法）
6
答案 6
6
(3)(山东临沂二模，13)在三棱锥 S-ACB 中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，
BC＝13，SB＝29，则 SC 与 AB 所成角的余弦值为________．
【解析】 方法一：如图，取 BC 的中点 E，分别在平面 ABC 内作 DE∥AB，在平面 SBC 内作 EF∥SC，则异面直线 SC 与 AB 所成的角为∠FED，
过 F 作 FG⊥AB，连接 DG，则△DFG 为直角三角形． 由题知 AC＝2，BC＝13，SB＝29，
可得 DE＝217，EF＝2，DF＝52.
在△DEF 中，由余弦定理可得 cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF2＝17.
2DE·EF 17
方法二：如图，以 A 为原点，以 AB，AS 所在直线分别为 y，z 轴，以垂直于 y 轴、z 轴 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，则由 AC＝2，BC＝13，SB＝29，
得 B(0， 17，0)，S(0，0，2 3)，C 2 13， 4 ，0
17 17 ，
SC ＝ 2 13， 4 ，－2 3 ， AB ＝(0， 17，0)，
17 17
设 SC 与 AB 所成的角为θ，
∵ SC · AB ＝4，| SC || AB |＝417，∴cos θ＝ 1717.
答案 17 17
题型二 求直线与平面所成角
例 2.(1) (大纲全国，11)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1
所成角的正弦值等于( )
A.2 D.1
B. 3 C. 2
3 3
3 3
【答案】 A 如图，设 AB＝2，AA1＝4，
连接 AC，BD，AC∩BD＝O，
连接 C1O，过 C 作 CO1⊥C1O 于 O1，
易证明平面 BDC1⊥平面 ACC1A1，则 CO1⊥平面 BDC1.
∴∠CDO1 即为所求的角．
在 Rt△COC1 中，OC＝2，CC1＝4，OC1＝32，

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