资源简介

要点 考点1: 正弦定理-两角一边
例题： 在△ABC中，若AC＝3，A＝30°，B＝45°，则BC等于（　　） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：∵AC＝3，A＝30°，B＝45°， ∴由正弦定理，可得：，可得：BC． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A＝45°，B＝15°，c＝3，则a＝（　　） A． B．2 C．3 D．4
要点 考点2: 正弦定理-两边一对角（多解）
例题： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a＝2，b＝2，则角B为（　　） A．30°或150° B．45° C．45°或135° D．30° 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：∵A＝60°，a＝2，b＝2， ∴由正弦定理，可得：sinB， ∵b＜a，B为锐角， ∴B＝30°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，BC＝1，AB，C，则A＝（　　） A．或 B． C．或 D．
要点 考点3: 边角互化
例题： 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则C＝（　　） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：因为， 所以2sinCcosB2sinA＝2sin（B+C）＝2sinBcosC+2sinCcosB， 所以2sinBcosC， 因为sinB＞0， 所以cosC， 因为C为三角形的内角， 则C． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角求解中的应用，属于基础试题．
跟踪训练： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝4，，则a＝（　　） A． B． C． D．
要点 考点4: 余弦定理-两边一角
例题： 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝8，b＝7，B＝60°，则sinC＝（　　） A． B． C．或 D． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°， 由正弦定理得，sinA， 又a＞b，所以A＞B； 当A为锐角时，cosA； sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB； 当A为钝角时，cosA； sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB（）； 所以sinC的值为或． 故选：C． 【点评】本题考查了正弦定理与三角恒等变换应用问题，是基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝3，c＝2，A，则a＝（　　） A．5 B． C．29 D．
要点 考点5: 余弦定理-三边
例题： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：∵a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则b2+c2﹣a2＝bc， ∴，∵A∈（0，π）， 故，即∠A＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查余弦定理，属于基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝（　　） A． B． C． D．
要点 考点6: 判断三角形形状
例题： 若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，则△ABC（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．不能确定 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13， 由正弦定理可得：a：b：c＝5：11：13， 设a＝5t，b＝11t，c＝13t，显然C是大角； cosC0， 所以C是钝角． 故选：C． 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．
跟踪训练： △ABC中，若（a﹣acosB）sinB＝（b﹣ccosC）sinA，则这个三角形是（　　） A．底角不等于45°的等腰三角形 B．锐角不等于45°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
要点 考点7: 面积范围问题
例题： 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若sinB＝2sinAcosC且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边，若sinB＝2sinAcosC， 利用正弦定理转换为， 所以a＝c． 由于b2，2，c2成等差数列， 所以b2+c2＝4， 则y， 当时，， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式，等差中项，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
跟踪训练： 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosB＝acosC+ccosA，若b，则该三角形的最大面积为（　　） A．3 B． C． D．
要点 考点8: 周长范围问题
例题： 在①（a+b）2＝c2+3ab，②，③（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，而且______． （1）求∠C； （2）求△ABC周长的最大值． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：（1）选①，由于（a+b）2＝c2+3ab，整理可得a2+b2﹣c2＝ab， 由余弦定理可得cosC， ∵C∈（0，π），∴C． 选②，∵acsinA﹣acosC，∴sinAsinCsinA﹣sinAcosC， ∵sinA≠0，∴sinC﹣cosC＝1，即sin（C）， 又0＜C＜π，∴C，故C，即C； 选③，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC， ∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab， ∴cosC， ∵0＜C＜π，∴C． （2）由（1）可知，C， 在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+b2﹣ab＝3， ∴（a+b）2﹣3＝3ab， ∴a+b≤2，当且仅当那个a＝b时取等号， ∴a+b+c≤3，即△ABC周长的最大值为3． 【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查化简计算能力，属于中档题．
跟踪训练： 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2﹣ac＝a2+c2． （Ⅰ）若a＝1，c＝2，求△ABC的面积； （Ⅱ）若b＝3，求△ABC周长的取值范围．
要点 考点9: 组合图像问题
例题： 如图，△ABC与△ACD在同一个平面内，∠CAD，ABBC，AC2﹣BC2AC BC． （1）求∠ACB； （2）若AB＝22，且△ACD的面积为3，求CD的长． 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【解答】解：（1）因为， 所以， ， 又因为∠ACB∈（0，π）， 故． （2）因为，所以， 又因为AC2﹣BC2AC BC， 所以， 整理得， 解得AC＝2或AC＝2（舍去）． 因为，所以， 由余弦定理得CD2＝AC2+AD2﹣2AC AD cos∠CAD＝10， 所以CD． 【点评】本题考查正余弦定理在解三角形的应用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．
跟踪训练： 如图所示，在平面四边形ABCD中，AC⊥CD，∠CAB＝45°，AB＝2，BC＝3，则cos∠ACB＝　　，若DC＝2，则BD＝　5　．要点 考点1: 正弦定理-两角一边
例题： 在△ABC中，若AC＝3，A＝30°，B＝45°，则BC等于（　　） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：∵AC＝3，A＝30°，B＝45°， ∴由正弦定理，可得：，可得：BC． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A＝45°，B＝15°，c＝3，则a＝（　　） A． B．2 C．3 D．4 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：∵A＝45°，B＝15°，∴C＝120°， 又∵A＝45°，c＝3，由正弦定理，得， 解得：a＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形内角和的应用，以及正弦定理，是基础题
要点 考点2: 正弦定理-两边一对角（多解）
例题： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a＝2，b＝2，则角B为（　　） A．30°或150° B．45° C．45°或135° D．30° 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：∵A＝60°，a＝2，b＝2， ∴由正弦定理，可得：sinB， ∵b＜a，B为锐角， ∴B＝30°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，BC＝1，AB，C，则A＝（　　） A．或 B． C．或 D． 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：∵BC＝1，AB，C， 由正弦定理可得，，∴sinA， ∵A∈（0，π）且AB＞BC， ∴C＞A， 则A 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
要点 考点3: 边角互化
例题： 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则C＝（　　） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：因为， 所以2sinCcosB2sinA＝2sin（B+C）＝2sinBcosC+2sinCcosB， 所以2sinBcosC， 因为sinB＞0， 所以cosC， 因为C为三角形的内角， 则C． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角求解中的应用，属于基础试题．
跟踪训练： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝4，，则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理． 【解答】解：因为， 由正弦定理可得，2sinAcosB﹣sinCcosB＝sinBcosC， 即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA， 因为sinA＞0，所以cosB，由B为三角形的内角可得B，因为，所以A 由正弦定理可得，，所以， 所以a．故选：A． 【点评】本题主要考查了利用正弦定理，和差角公式在三角形求解中的应用，属于中档试题．
要点 考点4: 余弦定理-两边一角
例题： 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝8，b＝7，B＝60°，则sinC＝（　　） A． B． C．或 D． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°， 由正弦定理得，sinA， 又a＞b，所以A＞B； 当A为锐角时，cosA； sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB； 当A为钝角时，cosA； sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB（）； 所以sinC的值为或． 故选：C． 【点评】本题考查了正弦定理与三角恒等变换应用问题，是基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝3，c＝2，A，则a＝（　　） A．5 B． C．29 D． 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：已知b＝3，c＝2，A， 利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝9+8，解得a．故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型
要点 考点5: 余弦定理-三边
例题： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：∵a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则b2+c2﹣a2＝bc， ∴，∵A∈（0，π）， 故，即∠A＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查余弦定理，属于基础题．
跟踪训练： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝（　　） A． B． C． D． 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7， 根据余弦定理，得cosC ． 故选：B． 【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
要点 考点6: 判断三角形形状
例题： 若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，则△ABC（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．不能确定 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13， 由正弦定理可得：a：b：c＝5：11：13， 设a＝5t，b＝11t，c＝13t，显然C是大角； cosC0， 所以C是钝角． 故选：C． 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．
跟踪训练： △ABC中，若（a﹣acosB）sinB＝（b﹣ccosC）sinA，则这个三角形是（　　） A．底角不等于45°的等腰三角形 B．锐角不等于45°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：（sinA﹣sinAcosB）sinB＝（sinB﹣sinCcosC）sinA， 整理得：sinAsinB﹣sinAsinBcosB＝sinAsinB﹣sinAcosCsinC，即﹣sinAsinBcosB＝﹣sinAsinCcosC， ∵sinA≠0，∴sinBcosB＝sinCcosC，即sin2Bsin2C， ∴2B＝2C或2B+2C＝180°，即B＝C或B+C＝90°， 则这个三角形为等腰三角形或直角三角形．故选：D． 【点评】此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
要点 考点7: 面积范围问题
例题： 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若sinB＝2sinAcosC且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边，若sinB＝2sinAcosC， 利用正弦定理转换为， 所以a＝c． 由于b2，2，c2成等差数列， 所以b2+c2＝4， 则y， 当时，， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式，等差中项，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
跟踪训练： 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosB＝acosC+ccosA，若b，则该三角形的最大面积为（　　） A．3 B． C． D． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：由2bcos B＝acos C+ccos A，结合正弦定理，得2sin Bcos B＝sin Acos C+sin Ccos A， 所以2sin Bcos B＝sin（A+C）＝sin B，所以cos B，而B∈（0，π）， 故B． 又有cos B，将式子化简得a2+c2＝3+ac， 于是3+ac＝a2+c2≥2ac，即ac≤3，故Sacsin B， 故选：C．
要点 考点8: 周长范围问题
例题： 在①（a+b）2＝c2+3ab，②，③（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，而且______． （1）求∠C； （2）求△ABC周长的最大值． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【解答】解：（1）选①，由于（a+b）2＝c2+3ab，整理可得a2+b2﹣c2＝ab， 由余弦定理可得cosC， ∵C∈（0，π），∴C． 选②，∵acsinA﹣acosC，∴sinAsinCsinA﹣sinAcosC， ∵sinA≠0，∴sinC﹣cosC＝1，即sin（C）， 又0＜C＜π，∴C，故C，即C； 选③，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC， ∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab， ∴cosC， ∵0＜C＜π，∴C． （2）由（1）可知，C， 在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+b2﹣ab＝3， ∴（a+b）2﹣3＝3ab， ∴a+b≤2，当且仅当那个a＝b时取等号， ∴a+b+c≤3，即△ABC周长的最大值为3． 【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查化简计算能力，属于中档题．
跟踪训练： 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2﹣ac＝a2+c2． （Ⅰ）若a＝1，c＝2，求△ABC的面积； （Ⅱ）若b＝3，求△ABC周长的取值范围． 【考点】HR：余弦定理． 【解答】解：（Ⅰ）由b2﹣ac＝a2+c2，得b2＝a2+c2+ac， 由余弦定理可知． 若a＝1，c＝2，△ABC的面积为． （Ⅱ）若b＝3，由正弦定理可得． 由于， ＝2（sinAcosAsinA）＝2（sinAcosA）， ． 由于， 可得， 可得． 可得△ABC周长的取值范围． 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
要点 考点9: 组合图像问题
例题： 如图，△ABC与△ACD在同一个平面内，∠CAD，ABBC，AC2﹣BC2AC BC． （1）求∠ACB； （2）若AB＝22，且△ACD的面积为3，求CD的长． 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【解答】解：（1）因为， 所以， ， 又因为∠ACB∈（0，π）， 故． （2）因为，所以， 又因为AC2﹣BC2AC BC， 所以， 整理得， 解得AC＝2或AC＝2（舍去）． 因为，所以， 由余弦定理得CD2＝AC2+AD2﹣2AC AD cos∠CAD＝10， 所以CD． 【点评】本题考查正余弦定理在解三角形的应用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．
跟踪训练： 如图所示，在平面四边形ABCD中，AC⊥CD，∠CAB＝45°，AB＝2，BC＝3，则cos∠ACB＝　　，若DC＝2，则BD＝　5　． 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【解答】解：∵∠CAB＝45°，BC＝3，AB＝2， 在△ABC中，由正弦定理得： ， ， ∴， ， ， 在△BCD中，由余弦定理得： ， ∴BD＝5， 故答案为 ． 【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查数学运算的核心素养，属于中档题．

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