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椭圆导学案（第一课时 一轮复习）
高考命题热点：(1)椭圆的定义
(2)标准方程
(3)几何性质
（4）直线与椭圆的位置关系
命题特色：(1)以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等(2)以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积、弦长等；
(3)研究直线与椭圆的位置关系．
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作.
集合语言：
注意：(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当时，点的轨迹是线段；
(3)当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
范围 x∈， y∈ x∈， y∈
顶点 A1，A2， B1，B2 A1，A2， B1，B2
轴长 长轴长=，短轴长= 长轴长=，短轴长=
对称性 对称轴:坐标轴，中心对称:原点
焦点 F1，F2 F1，F2
焦距 F1F2=
离心率
椭圆焦点三角形 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径最大值，最小值 通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： 通径长=（最短的过焦点的弦） =|| =|| ，（为短轴的端点） =
题型一：椭圆的定义与标准方程
例1．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
【答案】D
【解析】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，
故
例2．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
【答案】
【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.
例3.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在轴上，且.
设它的标准方程为，
因为，且，故①，
又点在所求椭圆上，
所以②
由①②得，，
所以所求椭圆的标准方程为.
例4．如图， 分别为椭圆的左右焦点，点Р在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是面积为的正三角形，
所以且，
则，代入椭圆方程得，解得.
题型二：椭圆方程的充要条件
例1．“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.
例2．（2022·江西·模拟预测（理））“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是,
显然“，”是“”既不充分也不必要条件，
故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当时，满足“，”，此时题中方程可化为：,表示的曲线是圆而不是椭圆，当时，不满足“，”，只是题中方程可化为：,表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，故：“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，故选：
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积问题
例1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
例2．椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
例3．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则 D．的取值范围为
【答案】CD
【解析】根据题意:可得，的最小值为1，所以，
则，所以椭圆方程，当为该椭圆顶点时，此时,所以存在点，使得，故A错误；当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形，又因为，，所以满足的点有两个，同理，满足的点有两个，故B错误.若，则，所以C正确.因为,分析可得，，所以D正确.椭圆导学案（第一课时 一轮复习）
高考命题热点：(1)椭圆的定义
(2)标准方程
(3)几何性质
（4）直线与椭圆的位置关系
命题特色：(1)以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等(2)以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积、弦长等；
(3)研究直线与椭圆的位置关系．
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和 （）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作.
集合语言：
注意：(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是 ；
(2)当时，点的轨迹是 ；
(3)当时，点的轨迹 ．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
范围 x∈_________， y∈_________ x∈_________， y∈_________
顶点 A1________，A2_______， B1________，B2_______ A1________，A2_______， B1________，B2_______
轴长 长轴长= ，短轴长= 长轴长= ，短轴长=
对称性 对称轴: ，中心对称:
焦点 F1________，F2_______ F1________，F2_______
焦距 F1F2=
离心率 =
椭圆焦点三角形 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径最大值，最小值 通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： 通径长=（最短的过焦点的弦） =|| =|| ，（为短轴的端点） =
题型一：椭圆的定义与标准方程
例1．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
例2．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
例3.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程________.
例4．如图， 分别为椭圆的左右焦点，点Р在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型二：椭圆方程的充要条件
例1．“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2．“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积问题
例1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
例2．椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
例3．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则 D．的取值范围为

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