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等差数列及其前n项和
一、学习目标
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
二、知识讲解
知识点一 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．
知识点二 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝
通项公式的推广：an＝
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝
知识点三 等差数列及前n项和的性质
(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
知识点四 等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识点五 等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
三、例题辨析
考点一 等差数列基本量的运算
【典例1】记为等差数列的前n项和．已知，则( )
A． B．
C． D．
【解析】由题知，，解得，∴，，故选A。
2.已知等差数列前项的和为，，则（ ）
A． B． C． D．
3记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)
A．－12 B．－10 C．10 D．12
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10，故选B。
【方法技巧】等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．
(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式1】1.等差数列中，，，则数列的公差为_______
2 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由得
即解得d＝4。
3． 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A. B. C． 10 D．12
4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
考点二 等差数列的判定与证明
【典例2】数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1.
于是所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.
【方法技巧】等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
【变式2】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，
∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝。
【变式3】在数列{an}中，a1＝4，
（1）证明数列{bn}为等差数列 。（2）求数列的通项公式
【变式4】在数列{an}中，,=, 求证数列{}为等差数列。
考点三 等差数列的性质与应用
【典例3】1记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因，所以，即，所以。
在等差数列中，已知，则______，_______.
在等差数列中，若，则_______，_____.
设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7C．9 D．11
【变式3】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝(　　)
A．58 B．54
C．56 D．52
(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　)
A．100 B．120
C．390 D．540
【答案】　(1)D　(2)A　
【解析】(1)∵a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，
∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，∴S13＝＝＝52.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，
则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
考点四 等差数列前n项和的最值问题
【典例4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2= 3，S5= 10，则a5=__________，Sn的最小值为__________。
【答案】 0，-10
【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为-10。
【方法技巧】求数列前n项和的最值的方法
(1)通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定；
(2)二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值；
【变式4】1.记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S9＝﹣a5，则S99a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，
若a3＝4，则d2，则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，
（2）若Sn≥an，则na1d≥a1+（n﹣1）d，
当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣a1，
又由S9＝﹣a5，即S99a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）a1，
又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
四、课后练习
1．等差数列{}的前n项和为，若,，则( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】因为等差数列{}的前n项和为，且，所以，解得；
又，所以，故选A。
2．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（ ）
A．24 B．20 C．16 D．10
【解析】由得解得
所以，故选B。
3．记等差数列的前项和为.若，，则的公差为（ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
【解析】由等差数列性质可知，，解得，故，故选A。
4．记为等差数列的前项和，公差，，，成等比数列，则（ ）
A．-20 B．-18 C．-10 D．-8
【解析】等差数列的公差，，，成等比数列，
可得，即为，解得，
则，故选D。
5．在等差数列中，，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为， 所以，即，设等差数列的公差为，又，所以，故，所以，故选B。
6．若等差数列中，，则的前5项和等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【解析】因为等差数列中，，则的前5项和，故选B。
7．已知是等差数列，且，，则（ ）
A．-9 B．-8 C．-7 D．-4
【解析】是等差数列，且，
8．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，
数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D。
练真题
1．已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____。
【解析】由题意可得：，
解得：，则.
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
因，所以，即，所以．
3．（2019·全国高考）记为等差数列的前项和，若，则___________.
得
4.设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【解析】
5．已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，故选C。
6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　 　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】解法一：等差数列{an}中，S6＝＝48，
则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C。
7. 等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求{an}的通项公式；
an＝.
8．[2013·新课标全国卷Ⅰ节选] 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
an＝2－n.等差数列及其前n项和
一、学习目标
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
二、知识讲解
知识点一 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．
知识点二 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝
通项公式的推广：an＝
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝
知识点三 等差数列及前n项和的性质
(1)
(2)
(3)
(4)
知识点四 等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
知识点五 等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
三、例题辨析
考点一 等差数列基本量的运算
【典例1】记为等差数列的前n项和．已知，则( )
A． B．
C． D．
2.设为等差数列的前项和，若，，则
3.已知等差数列前项的和为，，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．
(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式一】1.等差数列中，，，则数列的公差为_______
2 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
3． 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A. B. C． 10 D．12
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
考点二 等差数列的判定与证明
【典例2】数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
【方法技巧】等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
【变式2】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
【变式3】在数列{an}中，a1＝4，
（1）证明数列{bn}为等差数列 。（2）求数列的通项公式
【变式4】在数列{an}中，,=, 求证数列{}为等差数列。
考点三 等差数列的性质与应用
【典例3】1记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
在等差数列中，已知，则______，_______.
在等差数列中，若，则_______，_____.
．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7C．9 D．11
【变式5】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝(　　)
A．58 B．54
C．56 D．52
(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　)
A．100 B．120
C．390 D．540
考点四 等差数列前n项和的最值问题
【典例4】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2= 3，S5= 10，则a5=__________，Sn的最小值为__________。
【方法技巧】求数列前n项和的最值的方法
(1)通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定；
(2)二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值；
【变式6】记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【变式7】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
四、课后练习
1．等差数列{}的前n项和为，若,，则( )
A．16 B．14 C．12 D．10
2．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（ ）
A．24 B．20 C．16 D．10
3．记等差数列的前项和为.若，，则的公差为（ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
4．记为等差数列的前项和，公差，，，成等比数列，则（ ）
A．-20 B．-18 C．-10 D．-8
5．在等差数列中，，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若等差数列中，，则的前5项和等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
7．已知是等差数列，且，，则（ ）
A．-9 B．-8 C．-7 D．-4
8．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
练真题
1．已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____。
2．记为等差数列的前项和，若，则___________.
3.设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
4．已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　 　)
A．1 B．2 C．4 D．8
6. 等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求{an}的通项公式；
7．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；

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