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数列通项公式的求法
题组一:公式法（已知为等差数列与等比数列）
例1.已知是一个等差数列，且，求的通项公式=_________.
【解析】设数列的公差为，则解得
例2.记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
【解析】设等差数列的公差为，由，
得，解得，所以，故选A．
例3．已知是递增的等差数列，，是方程的根．则=_________.
【解析】方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则故从而
所以的通项公式为．
练习1.已知等差数列的前项和满足，．
则=_________.
【解析】设的公差为，则=．
由已知可得
练习2.等比数列的各项均为正数，且
则=_________.
【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得
，所以
2．前n项和法（知求）
例1、已知数列的前n项和，求数列的前n项和
变式：已知数列的前n项和，求数列的前n项和
答案： ；变式：
例2. 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且当时，是 与的等比中项，求数列的通项公式．
【解析】 当时，是 与的等比中项
，
由，解得或，
∵，∴.∵，
∴，或，∵，∴，
∴是以为首项，公差为的等差数列，∴的通项为．
练习：若数列的前项和为,求数列的通项公式．
【解析】当时，，∴，解得，
当时，，，
∴，∴，∴，
∵，∴，．
练习：
1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：
若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：
3.（2020新课标Ⅱ）设是数列的前n项和，且，，则________．
【解析】当时，，所以，
因为，所以，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以．
4.为数列的前项和，若，
则=________.
【解析】当时，，因为，所以=3，
当时，，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；
5.已知数列的前项和，求通项.
【解析】当时，==
而不适合上式，
6.数列的前项和为，则_________________.
【解析】当时，
而不适合上式，∴
7.数列满足，则 __________.
【解析】∵①
②
①-②得，
2.形如型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛an｝满足,证明
证明：由已知得：
= .
例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.
答案：
例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
3.形如型（累乘法）
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例1、在数列中 ，求数列的通项公式。答案：
练习：
1、在数列中 ，求。答案：
2、求数列的通项公式。
解答：由已知当，
N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以
3（2022新高考）. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
4.形如型（取倒数法）
例1. 已知数列中，，，求通项公式
解：取倒数：
例2.已知数列满足，，求
【解析】∵，∴， 即
∴数列是等差数列，，它的首项，公差
∴，即．
3、数列中，a1=1,an+1=,nN*，求数列通项公式.
练习：1、若数列中，,,求通项公式.答案：
2、若数列中，，，求通项公式.答案：
5．形如,其中)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设,利用待定系数法求出A
例1．已知数列中，求通项.
分析：待定系数法构造构造新的等比数列。
解：由设,解出A=-1,
则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列
所以,即 .
练习：1、已知 求通项 。答案： 故
2、若数列中，,,求通项公式。答案：
3、已知数列满足，，求数列通项公式的求法
题组一:公式法
已知或根据题目的条件能够推出数列为等差或等比数列，根据通项公式或进行求解.
例1.已知是一个等差数列，且，的通项公式=_________.
例2.记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
例3．已知是递增的等差数列，，是方程的根．则=_________.
练习1.已知等差数列的前项和满足，，则=_______.
练习2.等比数列的各项均为正数，且
则=_________.
练习3.已知公比大于的等比数列满足．求的通项公式；
题组二:Sn与an的关系式法
2．前n项和法（知求）
例1、已知数列的前n项和，求数列的通项公式．
例2. 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且当时，是 与的等比中项，求数列的通项公式．
例3.若数列的前项和为,求数列的通项公式．
练习：1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。
若数列的前n项和，求该数列的通项公式。
3.Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，an2＋2an＝4Sn＋3.求{an}的通项公式
4. Sn为数列{an}的前n项和，且a1=-1,an+1=SnSn+1,求Sn与
5(2021·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
6.已知数列的前项和，通项公式=_________.
7.数列的前项和为，则_________________.
8.数列满足，则 __________.
题组三:累加法
3.形如型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛an｝满足,证明
例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.
例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
题组四:累乘法
4.形如型（累乘法）
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例1、在数列中 ，求数列的通项公式。
练习：1、在数列中 ，求。
求数列的通项公式。
4、记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
5.形如型（取倒数法）
例1. 已知数列中，，，求通项公式
例2、数列中，a1=1,an+1=,nN*，求数列通项公式.
练习：1、若数列中，,,求通项公式.
2、若数列中，，，求通项公式.
6．形如,其中)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设,利用待定系数法求出A
例1．已知数列中，求通项.
练习：1、.已知 求通项
2.若数列中，,,求通项公式。
3.已知数列满足，，求

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