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立体几何点到平面距离4类过关学案
一.侧棱垂直底面几何体的距离
例题．如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于E，F为的中点．
求点A到平面的距离．
练习．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆
上一点，且，.
求点到平面的距离.
总结(对比两种解法的优劣):
二.面面垂直条件下求距离
例题．如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．
若，，当为的中点时，求点到平面的距离．
练习．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，.
求点到平面的距离.
总结(对比两种解法的优劣):
三.折叠类求距离
例题．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．
若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．
练习．已知四边形为等腰梯形，，、分别是、的中点，连接，，如图①所示，将梯形沿直线折起，连接、，是的中点，如图②所示．
若平面平面，求点到平面的距离．
总结(对比两种解法的优劣):
四.中点类求距离
例题．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，，，平面BCF⊥平面ABCD，，点G是BC的中点.
若，，求点G到平面ADE的距离.
练习．如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
求点P到平面MCN的距离.
总结:传统方法适用1.
2.
坐标法适用:
小测1．如图，在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为的中点，点在上，满足.
求点到平面的距离;
小测2．如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.点到平面距离4类过关学案参考答案：
1．
由向量法可知，点A到平面的距离，即点A到平面的距离为.
2．
过作,垂足为，
由(1)得平面平面
所以平面平面，
又因为平面平面,
平面,,
所以平面，
根据等面积法,
即到平面的距离等于.
3． (2)4
当为的中点时，取的中点，连接．
因为，所以．
因为侧面底面，且平面平面，平面，
所以底面．
因为，，所以，．
在中，，，所以．
由（1）知平面，又平面，所以．
所以．
因为，
所以．
设点到平面的距离为，
则由，
得，解得．
所以点到平面的距离为4．
4． .
由（1）知，平面平面，而平面平面，平面，且，
于是得平面，又平面，则，即是直角三角形，
而，则面积，又面积，
又平面，设点到平面的距离为，由，
得，即，解得，
所以点到平面的距离为.
5． .
由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得，，，，
∴，，
设平面ACD的法向量，则，，
∴，即，
令，可得平面ACD的一个法向量为），又，
∴点M到平面ACD的距离为．
6．
解：设、的延长线交于点，则平面，平面.
平面平面，则、、三点共线，
在图①中，分别过点、作、，垂足分别为点、，如下图所示：
由等腰梯形的几何性质可知，，且，
所以，，，
因为，，，故四边形为平行矩形，
所以，且，
又因为为的中点，为的中点，则，
即，所以，且，
所以，四边形为矩形，故，，
由翻折不变性可知，，，
，、平面，平面，
平面，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
翻折前，，翻折后，仍有，，
，，，，
过点在平面内作，垂足为，则为的中点，
则，所以，，
所以，，
，
因为，设点到平面的距离为，则，解得，
因此，点到平面的距离为.
7
因为，平面，
平面，所以平面，
即点到平面ADE的距离等于点G到平面ADE的距离，
设所求距离为，则；
由（1）得,
，
则，
因为，，且，
所以，
因为，，且，
所以，
又，所以为等腰三角形，
且边的高为，
则,
所以，
解得，
即点G到平面ADE的距离为.
8． .
由（1）知是平面MCN的一个法向量，
又，
所以点P到平面MCN的距离.
9．(1)；
【详解】（1）连接，因为，故；由面，面，故，
故两两垂直，则以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：
则，
，设，，，
因为，故可得，解得，故，
设平面的法向量，因为
故，令，则，故；
故点到平面的距离=.
10． (2)
连结PO、OC，又 菱形 ，
又平面平面，平面平面，平面
平面， 为正三角形， 且
如图建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），A（1，0，0），B（2，，0），M（0，，）
设平面PAB的法向量为，
则，取且
M到平面的距离
即点M到平面PAB的距离为

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