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2023年高考突破圆锥曲线离心率求法
【一、定义法】
已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
B． C． D．
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ．
【二、利用题中条件构建a,b,c齐次式】
设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点，
（Ⅰ）若的周长为16，求；
（Ⅱ）若，求椭圆的离心率．
．
【三、求离心率的取值范围。方法一利用曲线上点的坐标的范围；方法二利用二次函数，方法三利用均值不等式】
设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．2023年高考突破圆锥曲线离心率求法
【一、定义法】
已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
解析：因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即．
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．
已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
B． C． D．
．D【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，如图所示，
设，所以为等腰三角形，且，
∴，∵，∴点坐标为，即点．∵点在过点，且斜率为的直线上，
∴，解得．∴，故选D．
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
A【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，
即，即 ，，故选A．
过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ．
【解析】设，，分别代入椭圆方程相减得
，根据题意有，
且，所以，得，整理，
所以．
【二、利用题中条件构建a,b,c齐次式】
设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得
由
整理可得即
即即，所以，所以，故选C．
法二：由双曲线的性质易知，，所以
在中，
在中，由余弦定理可得
所以，整理可得，即
所以，所以，故选C．
已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点，
（Ⅰ）若的周长为16，求；
（Ⅱ）若，求椭圆的离心率．
【解析】：（Ⅰ）由得．
因为的周长为16，所以由椭圆定义可得
故．
（Ⅱ）设，则且，由椭圆定义可得
在中，由余弦定理可得
即
化简可得，而，故
于是有，
因此，可得
故为等腰直角三角形．从而，所以椭圆的离心率．
【三、求离心率的取值范围。方法一利用曲线上点的坐标的范围；方法二利用二次函数，方法三利用均值不等式】
设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

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