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等比数列及其前n项和
一、学习目标
1.理解等比数列的概念．　
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．　
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　
4.了解等比数列与指数函数的关系．
二、知识讲解
知识点一 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)．
知识点二 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
知识点三 等比数列及前n项和的性质
(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．
【必会结论】等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．
三、例题精析
考点一 等比数列基本量的运算
【典例1】1.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________。
【解析】设等比数列的公比为q，由已知，所以又，
所以q=3，所以。
2.已知在等比数列{an}中，求数列的通项公式。
3．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B 解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.
所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以＝＝2－21－n.
4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝_____.
答案　2
解析　由已知得，2S9＝S3＋S6，∴q≠1，则有2×＝＋，
解得q3＝－，又a2＋a5＝a2(1＋q3)＝4，∴a2＝8，∴a8＝a2·q6＝8×＝2.
【方法技巧】
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝。
【变式1】已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则a3 =（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则，
解得，，故选C。
2．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C 解析　a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
考点二 等比数列的判定与证明
【典例2】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【解析】（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．
【方法技巧】等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
【变式2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，
求证：{bn}是等比数列。
【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝＝＝＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列。
【变式3】已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
(1)证明　an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an>0，所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)解　由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝×3n－1.
考点三 等比数列的性质及应用
【典例3】(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．10 C．8 D．2＋log35
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【答案】(1)B　(2)A　(3)2
【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.
(3)由题意，得解得所以q＝＝＝2.
(4)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
答案　B 解析　数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列， ∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
(2)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
答案　D解析　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
【变式3】在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)
A．135 B．100 C．95 D．80
【解析】由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×3＝135.
考点四 等比数列的前n项和
【典例4】 等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
【变式4】已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)证明：记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以－1＝·n－1，即an＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，－1＝·n－1，即＝·n－1＋1.所以数列的前n项和
Tn＝＋n＝＋n.
四、课后练习
1．已知{an}是正项等比数列，且a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，则a5=（　　）
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，
∴a12q7=4a1q4，a4+2a6=36即a1（q3+2q5）=36，解得a1=，q=2，则a5= a1q4=8．故选C。
2．已知等差数列的公差不为零，为其前项和，，且，， 构成等比数列，则（　　）
A．15 B．-15 C．30 D．25
，解得．∴ ．故选D。
3．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　）
A．1 B．1或 C． D．
【解析】因为，所以，
故，因为正项等比数列，故，所以，故选C。
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，
又，所以，故选A。
5．等比数列的各项和均为正数， ，,则（ ）
A.14 B.21 C.28 D.63
【解析】设等比数列的公比为q，∵，，
∴，即，解得或，
又，∴，∴．故选C。
6．等比数列中，若，，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．4
由题可得：，解得：故选B。
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
8.等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .（2）.
9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.
（1）∵，结合得，∴.
（2）∵，解得或3，
当时，，此时；当时，，此时.
10.设等比数列满足， ，则 ___________．
【答案】-8
11.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
【答案】32
12. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏
【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3。
13．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
解　(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以Sn＝＝<.因为 n∈N*，Sn≤m恒成立，
所以m≥，即实数m的最小值为.等比数列及其前n项和
一、学习目标
1.理解等比数列的概念．　
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．　
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　
4.了解等比数列与指数函数的关系．
二、知识讲解
知识点一 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)．
知识点二 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
知识点三 等比数列及前n项和的性质
(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．
【必会结论】等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．
三、例题精析
考点一 等比数列基本量的运算
【典例1】1.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________。
2.已知在等比数列{an}中，求数列的通项公式.
3．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝_____.
【方法技巧】
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝。
【变式1】已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则a3 =（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
考点二 等比数列的判定与证明
【典例2】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【方法技巧】等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
【变式2】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列。
【变式3】已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
考点三 等比数列的性质及应用
【典例3】(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．10 C．8 D．2＋log35
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
(4)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
(5)(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　)
A．12 B．24 C．30 D．32
【变式3】在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)
A．135 B．100 C．95 D．80
考点四 等比数列的前n项和
【典例4】等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
【变式4】已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
四、课后练习
1．已知{an}是正项等比数列，且a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，则a5=（　　）
A.2 B.4 C.8 D.16
2．已知等差数列的公差不为零，为其前项和，，且，， 构成等比数列，则（　　）
A．15 B．-15 C．30 D．25
3．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　）
A．1 B．1或 C． D．
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．等比数列的各项和均为正数， ，,则（ ）
A.14 B.21 C.28 D.63
6．等比数列中，若，，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．4
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
8.等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
10.设等比数列满足， ，则 ___________．
11.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
12 .我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏
13．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．

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