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引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第5讲 数列通项的求法（精讲）
考点一 累加法
例1（2022·四川成都）已知数列满足，则
例2（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
例3（2022·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
例4（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列中，且，则_________.
例5（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且,求数列的通项公式；
例6（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式
1．(2022.广东）数列满足，，则= 。
2．(2022.广东）在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n 2n，则an＝ 。
3．已知数列中，，，则数列的一个通项公式为 。
4．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
5.（2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中）在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.
考点二 累乘法
例1（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
例2（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
例3（2022·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 .
例4（2022·浙江·宁波市北仑中学高二开学考试）已知数列{}满足：=，，)且其前项和为.求与；
1．（2022·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3.已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．
3.在数列中，，求数列的通项公式．
考点三 公式法(做差法)
(一)Sn与an型：消Sn型
例1（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．
例2.（2021·江西赣州·一模（理））记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______．
例3.（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.
1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
2．（2022·广西·模拟预测（理））正项数列的前项和为，且有，则___________．
3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列的前项和为，则的通项公式为______
(二)利用替换
例1.（2021·江苏·高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________．
例2.（2020·辽宁·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为______．
1.（2021·全国·高三课时练习）已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.
2．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列的前项和为，且满足()，.(1)求；(2)求数列的通项公式．
(三)作差法求通项
例1．（2022·广东·高二阶段练习）设数列满足.求的通项公式；
例2．（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有．
1.（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知数列中，对任意，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
3.（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知数列满足求的通项公式；
4.（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列满足，则___________.
考点四 构造等差数列
(一) 型如
例1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，求数列{an}的通项公式．
例2.（2022·海南·模拟预测）设数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
1.（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式；
2.（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列的前项和．求的通项公式；
3.已知数列满足an＝an－1＋2，a1＝1，求数列的通项公式．
(二) 形如
例1．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
例2.已知数列满足，.求数列的通项公式.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
2．（2022·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
考点五 倒数法:用“倒数变换法”构造等差数列
(一) 形如
例1.（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则an=
1．（2022·全国·课时练习）已知数列满足，且，则数列__________.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
(二) 形如
例1．（2022·福建省）已知数列满足，，则的前n项和为___.
例2.已知数列中，，,求数列数列的通项公式
1．（2022·黑龙江·龙江县第一中学）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求出数列的通项公式；
考点六 用“同除法”构造等差数列
例1.（2022·广东肇庆·二模）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．
例2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式；
例3.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
1.已知在数列中，a1＝，且当n≥2时，有an－1－an－4anan－1＝0，则an＝____________.
2.若数列{an}的首项a1＝，且an＝(an＋1)an＋1，则＝________.
考点七 周期型
例1.（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
例2.（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
例3.（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
例4.已知数列中，，则___________.
1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
3.（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
考点八 前项积求通项
例1．（2022 徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为　　．
例2．（2022 重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则　　．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
2．（2022·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
4.（2021·河南·一模（理））设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是______．
5.数列中，，()，表示数列的前项之积，________.
一、单选题
1．已知数列满足首项是1，，则（ ）
A．202 B．200 C．205 D．211.
2．在数列中，，（，），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在数列中，，且，则数列的前10项和等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
6．若数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．数列满足且，则此数列第5项是（ ）
A．15 B．255 C．16 D．63
9．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．在数列中，， ()，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设数列满足，且，则数列前10项的和为__________
14．已知，，则数列的通项公式＝________.
15．已知数列的前项和为，满足，，则的最小值为______.
16．已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
三、解答题
17．已知数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和
18．已知正项数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．已知在数列中，，求数列的通项公式.
20．已知在数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和.引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第5讲 数列通项的求法（精讲）
考点一 累加法
例1.（2022·四川成都）已知数列满足，则
【答案】
【解析】由题设，，，，…， 且，
所以，又，则，故，显然也满足.
例2.（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，则有，
于是得，当时，
，
因此，，显然，满足上式，
所以.故选：C
例3.（2022·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
则，
，
，
，
累加得，
所以.
当n=1时也成立故选：A.
例4.（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列中，且，则_______.
【答案】100
【解析】∵ ，
∴
∵=9，即=9，解得n=100
故答案为：100
例5.（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且,求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以，
，…，所以．
又，所以，所以．又，也符合上式，所以．
例6.（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】因为，所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式
1．(2022.广东）数列满足，，则= 。
【答案】
【解析】，，则当时，，
。
2．(2022.广东）在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n 2n，则an＝ 。
【答案】（n﹣2） 2n
【解析】∵an+1＝an+n 2n，∴an+1﹣an＝n 2n，且a1＝﹣2
∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1） 2n﹣1+…+2 22+1 21，①
∴2（an﹣a1）＝（n﹣1） 2n+（n﹣2） 2n﹣1+…+2 23+1 22，②
①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1） 2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1） 2n+﹣（n﹣1） 2n﹣2+2n，
∴an﹣a1＝（n﹣1） 2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2） 2n
3．已知数列中，，，则数列的一个通项公式为 。
【答案】
【解析】因为则
由递推公式可得:
将等式两边分别相加可得:
所以由对数运算可得:
3．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
【答案】
【解析】因为数列满足，，
所以当时，.
所以，，因为，也满足上式，
所以数列的通项公式为，故答案为：
2.（2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中）在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.
【答案】
【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.
【详解】，故.
.故答案为：.
考点二 累乘法
例1.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数列满足，，整理得，，，，
所有的项相乘得：，整理得：，故选：．
例2.（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】因为，
所以， ，，，
累乘得：， ，
所以，．
由于，所以，．
显然当时，满足，
所以，．故答案为：
例3.（2022·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式 .
【答案】或
【解析】依题意，
所以，
当时，，所以.
当时，，
所以，也符合上式.
所以.综上所述，或.
例4．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二开学考试）已知数列{}满足：=，，)且其前项和为.求与；
【答案】（1）；；
解：（1）由得，
当n2时，，
又也满足上式，故(n).
∴
相减得，∴，
1．（2022·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
【答案】
【解析】由，则
又数列为正项数列，即，
所以，即
所以.故答案为：
2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.故选：D．
3．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．
【答案】
【解析】(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理，得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝.
当n＝1时，a1＝1也符合上式，综上，{an}的通项公式an＝，n∈N*.
4．在数列中，，求数列的通项公式．
【答案】
依题意得，，
所以也满足).
考点三 公式法(做差法)
(一)Sn与an型：消Sn型
例1.（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，；
当时，，所以，又，所以两式作差得，
所以，即，所以数列是从第二项起公比为的等比数列，
所以.故答案为：.
1.（2021·江西赣州·一模（理））记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】将已知关系式化为，然后再写出第项的关系式，两式作差何解可得，进而可以求解．
【详解】解：因为，则①
所以②
②①可得，所以，
即，所以，
所以，故答案为：．
2.（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】项和转换可得，可得数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解
【详解】由题意，故 两式相减可得：，
在中，令，可得，即
因此数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列
有故答案为：
3．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】，整理得到，
故答案为：.
4．（2022·广西·模拟预测（理））正项数列的前项和为，且有，则___________．
【答案】
【解析】依题意，，
当时，，
当时，，
，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.故答案为：
5．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列的前项和为，则的通项公式为______
【答案】
解：当时，，
当时，，
另时，，此式不满足，
所以的通项公式为.
故答案为：.
(二)利用替换
例1.（2021·江苏·高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________．
【答案】
【分析】由，可得，即可得到是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求出，再根据计算可得；
【详解】解：数列的前n项和为，且满足，整理得：，
故（常数），所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列；
所以，整理得，当时，
故，显然不符合，
所以．故答案为：．
例2.（2020·辽宁·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】由代入化简得，故可求，代入即可求解．
【详解】因为，
因为，所以，所以，因为，
所以，．
所以当时，，
又由，符合，故．故答案为：
1.（2021·全国·高三课时练习）已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【分析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列的通项公式.
【详解】解：，，当时，由，可得，
即.是以为首项，公差为的等差数列..
.当时，.当时，上式成立.
故数列的通项公式为.故答案为：.
2.（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前项和满足求数列的通项公式；
【答案】(1)；
解：∵,∴,∴，
∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，∴，即，
当时，，当时，也成立，∴.
3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列的前项和为，
且满足()，.(1)求；(2)求数列的通项公式．
【答案】(1), (2)
解：(1)当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，所以是首项为2，公差为2的等差数列．可得＝2n，所以Sn＝.
(2)由(1)可得,当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－；
当n＝1时，a1＝，不符合an＝－. 故
(三) 作差法求通项
例1．（2022·广东·高二阶段练习）设数列满足.求的通项公式；
【答案】
解：数列满足，
当时，得，
时，，
两式相减得：，∴，
当时，，上式也成立.∴；
例2．（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有．
(1)求数列的通项公式；
【答案】
解：设数列的公比为，∵，，则，
∴，，，
所以数列的通项公式，，
当时，，
两式相减得：，
即，又∵，即满足上式，所以；
1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知数列中，对任意，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：∵①，∴②，
②-①得，∴．
当时，，符合上式，
∴．∴，∴，，
∴是以4为首项，9为公比的等比数列，
∴．故选：D．
2.（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】当时，.
当时，，①
.②
①②，得.
因为不满足上式，所以.故答案为：
3.（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知数列满足求的通项公式；
【答案】
解：对任意的，，
当时，则，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，，
满足，因此，对任意的，.
4．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列满足，则___________.
【答案】
【解析】记数列的前n项和为，则由题知，当时，；当时，，所以.故答案为：
考点四 构造等差数列
(一) 型如
例1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，求数列{an}的通项公式．
【答案】an＝2n＋1－2(n∈N*)．
【解析】∵an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)，
又a1＋2＝4，∴{an＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2(n∈N*)．
例2．（2022·海南·模拟预测）设数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
【答案】
解：因为数列的前n项和为，，，
当时，，
两式相减可得，
即，可得，即，
当时，，所以，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，所以数列的通项公式.
1．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)，，，，,(2)
解：(1)，，，，.
(2)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，.
2．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列的前项和．求的通项公式；
【答案】(1)，；
解：．①
当时，，可得．
当时，．②
①－②得，则，而a1-1=1不为零，
故是首项为1，公比为2的等比数列，则．∴数列的通项公式为，．
3.已知数列满足an＝an－1＋2，a1＝1，求数列的通项公式．
【答案】an＝3－(n∈N*)
【解析】　设an＋λ＝(an－1＋λ)，解得λ＝－3，则an－3＝(an－1－3)，令bn＝an－3，
则数列是以b1＝a1－3＝－2为首项，为公比的等比数列，所以bn＝－，所以an＝3－(n∈N*)．
(二) 形如
例1．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
【解析】　（1）由题设知：，且，
∴是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证.
（2）由（1）知：.
例2．已知数列满足，.求数列的通项公式.
【答案】
【解析】　因为，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以， 所以.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【解析】∵，∴，即．
又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．故答案为：.
2．（2022·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
【答案】．
【解析】由，得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，得．
考点五 倒数法:用“倒数变换法”构造等差数列
(一) 形如
例1.（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则an=
【答案】
【解析】因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以.
1．（2022·全国·课时练习）已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】由可得，
所以数列是等差数列，且首项为2，公差为3，则，
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，
以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.故选：B.
(二) 形如
例1．（2022·福建省）已知数列满足，，则的前n项和为___.
【答案】
【解析】数列满足，整理得：，所以，
又，故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，
所以，所以的前项和.故答案为：
例2．已知数列中，，,求数列数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析 ；
（1）证明：由，知
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列
1．（2022·黑龙江·龙江县第一中学）已知数列的通项公式为，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】因为，所以，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，所以
2.（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为，可得数列是等比数列，求其通项公式后可得数列的通项公式.
【详解】由题意，，取倒数得，
即，
又，所以，数列是公比为的等比数列，
故，
所以.故答案为：.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求出数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以等式两边同除以得
所以数列是以为首项，2 为公差的等差数列，
所以所以.
考点六 用“同除法”构造等差数列
例1.（2022·广东肇庆·二模）已知是数列的前n项和，，，恒成立，
则k最小为______．
【答案】2
【解析】由，得，
当时，得，，…，，
则，
即，则，
当n=1时符合上式，则，
所以k最小为2．故答案为：.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以；
例3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
【答案】　－
【解析】　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，
∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
1.已知在数列中，a1＝，且当n≥2时，有an－1－an－4anan－1＝0，则an＝____________.
【答案】(n∈N*)
【解析】由已知可知an≠0，∴＝＋，即－＝，
又＝1，∴是以1为首项，为公差的等差数列，＝＋(n－1)×＝，
∴an＝，n∈N*.
(2)由题意知an≠0，将等式an－1－an－4anan－1＝0
两边同除以anan－1得－＝4，n≥2，
则数列为等差数列，且首项为＝5，公差d＝4，
故＝＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1，∴an＝(n∈N*)．
2.若数列{an}的首项a1＝，且an＝(an＋1)an＋1，则＝________.
【答案】　
【解析】　an＝(an＋1)an＋1，得an－an＋1＝anan＋1且an≠0，
所以－＝1，即是以2为首项，1为公差的等差数列，＝n＋1，
从而＝
考点七 周期型
例1．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
【解析】因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，则.故选：D.
例2．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
【答案】 2024
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
可知数列为周期数列，周期为4，
故.故答案为：；2024.
例3．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
【答案】【解析】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.故答案为：.
例4.已知数列中，，则___________.
【答案】【详解】已知数列中，， ()，
所以，
，所以数列是周期为的数列，
.故答案为：
1.（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
【答案】1011
【解析】解：由，
得，
所以数列是以3为周期的周期数列，
又，，
所以．故答案为：1011
2.（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
【答案】
【解析】由题意得：，，，，
数列是周期为的周期数列，.故答案为：.
3.（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
【答案】
【解析】由，，可得，．
∴可得．所以数列的周期为3.
．
故答案为：.
4.（2021·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
【答案】4
【解析】由题意，，，，，，…，
数列从第二项起是周期数列，周期为3，
所以．故答案为：4．
考点八 前n项的积型
例1．（2022 徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为　　．
【解析】解：数列的前项积为，若对，，都有成立，
且，，
则：，，
进一步求出：，，
，
所以：，，，，
故：．故答案为：1023
例2．（2022 重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则　　．
【解析】解：数列满足其前项的积为，故前项的积为，，
，当时，，显然，它对于第一项也是成立的，
故，．故答案为：，．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
【解析】(1)因为，
所以，
即，
同理得
所以，
因为，所以，所以得，
则，
因为当时，，得，
所以不恒等于0，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
则，即.
(2)由（1）可得，
所以，
所以，
所以当时，，
当时，，
所以的最小值为.
1.（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
【解析】(1)当时，，则，由可得，则，
则，即，即，
故数列是首项为，公差为的等差数列；
2.（2022·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
【解析】(1)因为，
所以
两式相除得，
又当时，满足上式，所以
从而，
所以，
，，
累加可得时，则，
又当时，亦符合该通项，
所以的通项公式为，．
3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
【解析】(1)因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
4.（2021·河南·一模（理））设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】由递推关系可得，求出前几项，可猜想出，再加以验证，
利用即可求出.
【详解】当时，，即，则，当时，，，
则，整理可得，则可得，，，，
则猜想，代入检验得，满足猜想，，
，当时，，
.故答案为：.
5.数列中，，()，表示数列的前项之积，________.
【答案】-3
【详解】∵，()，∴，
∴
是以3为周期的周期数列，且由2020=3×673+1，∴.故答案为：-3
一、单选题
1．已知数列满足首项是1，，则（ ）
A．202 B．200 C．205 D．211.
【答案】D
因为数列满足首项是1，，
所以，故选：D
2．在数列中，，（，），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可得，
当时，满足上式，则.
因为，所以，所以，
则，
故，当且仅当时，等号成立.故选：C
3．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
方法一：，
当时，
.
∵，∴.
方法二：∵，，∴数列是常数列，
即，则.故选：A.
4．在数列中，，且，则数列的前10项和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，所以，
则，
所以，
所以数列的前10项和为，
故选：C.
5．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，故选：．
6．若数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由①得，当时②
由①②得
当时也满足上式.故选：D
7．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：∵，∴当时，有，两式相减得：，即，又当时，有，解得；
∴，．
∵对于任意的，，不等式恒成立，
∴，即，∴．故选：A．
8．数列满足且，则此数列第5项是（ ）
A．15 B．255 C．16 D．63
【答案】B
解：∵，∴，
∴是以1为首项，4为公比的等比数列，
则．∴，∴．故选：B．
9．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由题意，，因为，
所以.故选：C.
10．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：在中，，
由可得，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
所以，所以，故选：A.
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：依题意，所求和式的通项是，
因，，
于是得，
当时，，
所以.
故选：A
12．在数列中，， ()，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，则，故是首项为，公差为的等差数列.
，，.故选：.
二、填空题
13．设数列满足，且，则数列前10项的和为__________
【答案】
解：由题意可得，
所以，，
因此，数列前项的和为.故答案为：.
14．已知，，则数列的通项公式＝________.
【答案】
解：∵an＋1＝2nan，∴，
当时，an＝＝．
又a1＝1也符合上式，∴an＝.故答案为：．
15．已知数列的前项和为，满足，，则的最小值为______.
【答案】
解：当且时，，可得，
且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，.
当时，，
此时，数列从第二项开始单调递增，当时，.
又，所以当时，的最小值为.故答案为：
16．已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
解：∵，∴，
即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．故答案为：.
三、解答题
17．已知数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和
【答案】（1）；（2）.
解：（1）由得：，
∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，故.
（2）由（1）得：，
∴①，②，
①②得：
∴ .
18．已知正项数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
解：（1）证明：，
当时，，
两式相减并整理得：，
即，
，，得，
当时，由，解得或（舍去），
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，
（2）由（1）知，，
.
19．已知在数列中，，求数列的通项公式.
【答案】
解：，即，
，所以.
20．已知在数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和.
【答案】（1）；（2）
解：，，
，
，
左右两边同时相加得，=，
，
当时也符合上式，所以
（2）由得
所以，
= =学生版
第 5 讲 数列通项的求法（精讲）
引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
思维导图-----知识梳理
1
学生版 赵 海
2
学生版 赵 海
3
学生版 赵 海
脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶
4
学生版 赵 海
思维导图-----典型题型讲练
考点一 累加法
思维导图-----方法梳理
an an 1 = f (n 1)

an 1 an 2 = f (n 2)
形如 an+1 = an + f (n) 型的递推数列（其中 f (n) 是关于n 的函数）可构造：
...

a2 a1 = f (1)
将上述 n 1个式子两边分别相加，可得： an = f (n 1)+ f (n 2) + ... f (2) + f (1) + a1, (n 2)
①若 f (n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若 f (n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若 f (n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;
④若 f (n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和.
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1（2022·四川成都）已知数列{an}满足 an+1 a = 2
n
n (n N
),a2 = 3，则 =
an+1 an 1例 2（2022·全国·高三专题练习）在数列 a 中， a1 = 2n ， = + ln(1+ ) ，则an 等于（ ）
n +1 n n
A． 2+ n ln n B．2n + (n 1) ln n
C． 2n+ n ln n D．1+ n + n lnn
例 3（2022·全国·高三专题练习）数列 a 满足 a1 =1，且 an+1 an = n+1(n N )n ，则数列 an 的通项公式为
（ ）
2
n(n +1) n +1
A． an = B．a
2 n
=
2
n(n-1) 2
C． an = D．an = n + n
2
5
学生版 赵 海
1
例 4（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列 an 中， a1 = 0，an+1 an = 且a n =n = 9，则
n + n +1
_________.
an+1 an 1 *
例 5（2022·河南·灵宝市）已知数列 a 满足 = (n N )，且 a1 =1n ,求数列 an 的通项公式； n +1 n n (n +1)
1
例 6（2022·江苏江苏·一模）已知数列 an ， a1 =1，且 an+1 = an ，n N* ，求数列 a 的通项公式 n (n +1) n
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
a
1．(2022.广东）数列 n
a = 2
满足 1 ，an+1 = an + 2n + 2，则an = 。
n
2．(2022.广东）在数列{an}中，若 a1＝﹣2，an+1＝an+n 2，则 an＝ 。
6
学生版 赵 海
2
3．已知数列 an 中，a1 = 0， an+1 = an + log2 1+ ，则数列 an 的一个通项公式为 。
2n 1
a a = 2,a a = 3 22n 14．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 an 1 n+1 n ，则 n =_______.
3
5.（2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中）在数列{an}中,a1=3, an+1 = an + ,则通项公式 an = ______.
n(n +1)
7
学生版 赵 海
考点二 累乘法
思维导图-----方法梳理
an
= f (n 1)a
n 1
an 1
a = f (n 2)n+1
形如 a = f (n) f (n) n an+1 = an f (n) 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： n 2
an ...

a2
= f (1)
a1
将上述 n 1个式子两边分别相乘，可得： an = f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1)a1, (n 2)
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
1 2n 3
例 1（2022·全国·高三专题练习）已知数列 an 满足 a *1 = ，an = an 1 ( n 2，n N )，则数列 an 的通项
3 2n+1
an =（ ）
1 1
A． 2 B． 2 4n 1 2n +1
1 1
C． D．
(2n 1)(2n + 3) (n +1)(n + 3)
n
例 2（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列 an 中，a1 =1，当n 2时， an = 2 an 1，则数列 an
的通项公式为______．
2 2 *
例 3（2022·全国·专题练习）设 a 是首项为 1 的正项数列且nan+1 + (n+1)an (2n+1)an nan+1 = 0(n N )，求数列
an 的通项公式 .
8
学生版 赵 海
1 n+1
例 4（2022·浙江·宁波市北仑中学高二开学考试）已知数列{an }满足： a1= ，an+1 = an， n N
* )且其前 n 项
4 4n
和为 Sn .求 an 与 Sn；
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
2 2
1．（2022·全国·高三专题练习）设数列 a 是首项为 1的正项数列，且 (n+1)an+1 nan + an+1 an = 0n ，则它的通
项公式an = ______.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列 a 满足a1 =1，an = n (an n+1 an )，则数列 a a =n 的通项公式为 n
（ ）
n 1
n +1
A．2n 1 B． C．n
2 D．n
n
n＋2
3.已知在数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝ an.
3
(1)求 a2，a3；(2)求{an}的通项公式．
2(n +1 )3.在数列 an 中，a = 2,a = a ，求数列 an 的通项公式． 1 n+1 n
n
9
学生版 赵 海
考点三 公式法(做差法)
思维导图-----方法梳理
S1 , (n =1)
若已知数列的前 n 项和 Sn 与 a 的关系，求数列 an 的通项 a 可用公式 an = 构造两式作差求n n
Sn Sn 1, (n 2)
解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 和1 a 合为一个表达，n
（要先分 n =1和 n 2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
(一)Sn 与 an 型：消 Sn 型
思维导图-----方法梳理
Sn 与 an 的递推关系求 an ，常用思路是：利用 an = Sn Sn 1,n 2 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；
S1,n =1
an = 时，一定要注意分 n =1,n 2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
Sn Sn 1,n 2
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1（2022·上海市）数列 an 满足 a1 =1，an+1 = Sn ，则数列 an 的通项公式为______．
2S
例 2.（2021·江西赣州·一模（理））记 S 为数列 an n 的前 n 项和．若a1 =1，an =
n ，则数列 an 的通项公式
n +1
为______．
例 3.（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，若a1 = 2，且 Sn+1 = 2Sn +1，则数列 an
的通项公式为an = ___________.
10
学生版 赵 海
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
a S = 2n1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列 的前 n 项和 n 2n ，则数列 an 的通项公式为
______．
1 1
2．（2022·广西·模拟预测（理））正项数列 a n Sn 的前 项和为 n，且有 Sn = an + ，则 Sn = ___________．
2 an
2
3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列 an 的前n 项和为 Sn = n + 4n 3，则 an 的通项公
式为______
11
学生版 赵 海
(二)利用 Sn Sn 1 替换 an
思维导图-----方法梳理
S1,n =1
Sn 与 an 的递推关系求 an ，也可以结合式子结构与数据，利用 an = 转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与n 之
Sn Sn 1,n 2
间的关系，再求 an . 应用关系式
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1（2021·江苏·高三课时练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn (Sn 0)，且满足an + 4Sn 1Sn = 0(n 2)，
1
a1 = ，则 an 的通项公式为_________．
4
例 2（2020·辽宁·高三阶段练习）已知数列 an 的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，若 a1 =1，且
Sn+1 + Sn = an+1 (n N* )，则数列 an 的通项公式为______．
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
2
1.（2021·全国·高三课时练习）已知各项为正数的数列 an 的前n 项和为 Sn，且a1 =1， Sn = ( Sn 1 + a1 )
(n 2,n N )，则数列 an 的通项公式为_________.
2．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列{an}的前n 项和为 Sn ，且满足an + 2SnSn 1 = 0
1
( n 2 )，a1 = .(1)求 Sn ；(2)求数列{a2 n}的通项公式．
12
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(三)作差法求通项
思维导图-----方法梳理
n
已知等式中左侧含有： aibi ，作差法（类似 Sn Sn 1 ）（注意记忆该模型）
i=1
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1．（2022·广东·高二阶段练习）设数列 an 满足a1 + 4a2 + + (3n 2)an = 3n .求 an 的通项公式；
例 2．（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））已知数列 an 是等比数列，且 a2 = 4 ，a5 = 32，数列 bn
满足：对于任意n N * ，有 a1b1 + a2b2 + + anbn = (n 1) 2
n+1 + 2．
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
n
1.（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知数列 an 中，对任意n N* ，a1 + a2 + a3 + + an = 3 1，则
a2 + a2 2 21 2 + a3 + + an =（ ）
2 1
A． (3n 1) (3n B． 1)
4
1 n
C．9n 1 D． (9 1)
2
a 3n 1a +3n 2 n2.（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 满足 a + +3a + a = 2 ，n N *n 1 2 n 1 n ，则数列 an 的
通项公式为___________.
3.（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知数列 a 满足a1 + 2an 2 + 3a3 + + nan = 5n 求 an 的通项公式；
n
4.（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列 an 满足a1 + a2 + + an = 2 (n N )，则an = ___________.
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考点四 构造等差数列
(一) 型如 an+1 = pan + q
思维导图-----方法梳理
使用条件：型如 an+1 = pan + q （其中 p, q 为常数，且 pq( p 1) 0, ）
解题模板：第一步 假设将递推公式改写为 an＋1＋t＝p(an＋ t)；
q
第二步 由待定系数法，解得 t = ；
p 1
q
第三步 写出数列{an + }的通项公式；
p 1
第 四步 写出数列 a n 通项公式.
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1.已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝2an＋2，求数列{an}的通项公式．
例 2.（2022·海南·模拟预测）设数列 a nn 的前 项和为 Sn ， a1 = 4，2Sn = an+1 + 2n 4 ．
求数列 an 的通项公式；
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫

1.（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列 an 满足a1 =1，an+1 = 2an +1(n N ) .
(1)写出该数列的前5项；
(2)求数列 an 的通项公式；
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2.（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列 a 的前n 项和 Sn = 2an n + n 3．求 an 的通项
公式；
1
3.已知数列{an}满足 an＝ an－1＋2，a1＝1，求数列{an}的通项公式．
3
n+1 *
(二) 形如 an+1 = qan + p q (n N )
思维导图-----方法梳理
a a
（ ）形如 a = qa + p qn+1(n N *) ，可通过两边同除 qn+1
n+1 a
1 ，将它转化为 =
n + p n
n+1 n n+1 n ，从而构造数列 为q q q
n
a n
等差数列，先求出 的通项，便可求得 a 的通项公式。 n n q
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1．已知列 an 满足 a1 = 2，且 an+1 = 2an + 2
n+1
，n N ．
a
（1）设 bn =
n
n ，证明：数列 bn 为等差数列； 2
（2）求数列 bn 的通项公式；
例 2.已知数列 an 满足 an+1 = 3a + 4
n
， a1 = 5n .求数列 an 的通项公式.
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套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
n
1 1
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 a a =1n 满足 1 ，且 a an = an 1 + (n 2)，则数列 n 的通项公式
3 3
an = ______．
n+1 *
2．（2022·全国·课时练习）已知数列{an}中，a = 3,a = 3a + 2 3 ,n N ，求数列{an}1 n+1 n 的通项公式；
考点五 倒数法:用“倒数变换法”构造等差数列
qan
(一) 形如 an+1 = pan + q
思维导图-----方法梳理
qan 1 1 p
类型 1：形如 a p,qn+1 = （ 为常数， pq 0 ）的数列，通过两边取“倒”，变形为 = + ，即：
pan + q an+1 an q
1 1 p 1 1
= ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 an .
an+1 an q an an
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
an
例 1（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列 a 满足a =1n 1 ， a
*
n+1 = ， (n N ) ，则 an=
4an +1
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
1 an
1．（2022·全国·课时练习）已知数列 an 满足a a1 = ，且 n+1 = ，则数列an = __________.
2 3an +1
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2an
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 an 的首项a1 =1，且各项满足公式an+1 = (n N )，则数列 an an + 2
的通项公式为（ ）
2 1
A．an = n B．an = C．an = n
2
D．an =
n +1 n
kan
(二) 形如an+1 = pan + q
思维导图-----方法梳理
kan
形如a p,qn+1 = （ 为常数， p 0 ， q 0 ， k 0）的数列，通过两边取“倒”，变形为
pan + q
1 q 1 p 1 q p
= + ，可通过换元：bn = ，化简为：b = b + （此类型符合专题四类型 1： 用“待定系数
an+1 k an k a
n+1 n
n k k
法”构造等比数列：形如 an+1 = kan + p（ k, p 为常数， kp 0 ）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
p
an+1 +m = k(an +m) （其中： m = ），由此构造出新的等比数列 an +m ，先求出 an +m 的通项，从而求出数列
k 1
a 的通项公式。）
n
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
a 1
例 1．（2022·福建省）已知数列 a 满足a =1， a = nn+1 (n N*n 1 )，则 的前 n 项和为___. 2+3an an
a
例 2.已知数列 an a =1 a =
n
中， ， n+1 (n N *1 ) ,求数列数列 a 的通项公式
a +3 nn
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套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
3 3a
1．（2022·黑龙江·龙江县第一中学）已知数列 a nn 的通项公式为a1 = ，an+1 = 求数列 an 的通项公式.
5 2an +1
a
a n
a n+1
=
（ 全国 高三专题练习）已知在数列 n 中，a1 =1， 3+ 2a
a
2. 2022· · n ，则数列 n 的通项公式为an = ______.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知数列 an 满足a1 =1,an an+1 = 2anan+1，求出数列 an 的通项公式；
考点六 用“同除法”构造等差数列
思维导图-----方法梳理
用“同除法”构造等差数列
1 1
形如 an an+1 = kan+1an (k 0)，的数列，可通过两边同除以 an+1an ，变形为 = k 的形式，从而构造出新的等
an+1 an
1 1
差数列 ，先求出 的通项，便可求得 a 的通项公式
a a n n n
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1.（2022·广东肇庆·二模）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 =1，a a S kn n+1 = (n +1)an an+1， n 恒成立，
则 k最小为______．
1
例 2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列 an 中，a2 = ，an = an+1 + 2anan+1 ．求数列 an 的通项公式；
3
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例 3.设 Sn是数列{an}的前 n项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________.
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
1
1.已知在数列{an}中，a1＝ ，且当 n≥2时，有 an－1－an－4anan－1＝0，则 an＝____________.
5
1 a200
2.若数列{an}的首项 a1＝ ，且 an＝(an＋1)an＋1，则 ＝________.
2 a300
考点七 周期型
思维导图-----方法梳理
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
依次求出第 1 项,第 2 项,第 3 项……,找周期
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1.（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列 a 中， a = 2，a = 4 ， a + an 1 2 n n+1 + an+2 = 2 ，则a2022 =
（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
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n
例 2.（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列 an 中， a1 =1，an+1 + ( 1) an = 2，n N
，则a3 =
______； an 的前 2022项和为______．
1 1
例 3.（2022·上海静安·二模）数列{a a = n an}满足 a1 = 2， 2 ，若对于大于 2的正整数 ， n = ，则1 a1 1 an 1
a102 = __________.
1 *
例 4.已知数列 a a = n N ,n 中， a1 = 2， n+1 ( ) 则 S = ___________. an +1 2020
套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
1 an 1
1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列 a 的前 n 项和为 S ，且a = ，an+1 = Sn n 1 ，则 2022 =
2 an
______.
1+ an
2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列 a 满足：a = 2，an+1 = ，则a2022 =n 1 ______． 1 an
an
,a 为偶数
3.（2022·全国·模拟预测）在数列 an 中，a1 =1
n
，an+1 = 2 ，则a1 + a2 + a3 + + a2021 = ___．

3an +1,an为奇数
3an +1,an为奇数

4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列 an 满足an+1 = a ,则当a1 = 8时，a2021 =n
,an为偶数
2
___________.
20
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考点八 前 n项积求通项
思维导图-----方法梳理
类比前 n项和求通项过程：
（1） n =1，得 a1
T
（2） n 2 n时， a n =
Tn 1
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例 1．（2022 徐州模拟）已知数列{a }的前 n项积为T ，若对 n…2 ，n N*n ，都有Tn+1 T = 2T
2
n n 1 n 成立，且 a1 =1，
a2 = 2，则数列{an}的前 10项和为 ．
1
例 2．（2022 重庆模拟）若数列{an}满足其前 n项的积为 ，则 an = ．
n +1
Tn
例 3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 an 的前项积为Tn ，且满足an = (n N ). 3Tn 1
1
(1)求证：数列 Tn 为等比数列；
2
(2)若 a1 + a2 + ...+ an 10，求 n的最小值.
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套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 an 中， Sn = a1 + a2 + + an ,Tn = S1 S2 Sn，且 Sn +Tn =1.
1
(1)求证：数列 是等差数列；
Sn 1
a a a1 2 n
2．（2022·全国·模拟预测）数列 an 满足a =1， = n+11 ． a2 1 a3 1 an+1 1
(1)求数列{an}的通项公式；
a n T a +T =1(n *3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 n 前 项积为 n ，且 n n N ) ．
1
(1)求证：数列 为等差数列；
1 an
4.（2021·河南·一模（理））设正数数列 an 的前n项和为 Sn ，数列 S 的前nn 项之积为Tn ，且 Sn + 2Tn =1，则
数列 an 的通项公式是______．
5.数列 an 中，a1 = 3，an anan+1 =1( n N )， An 表示数列 a 的前nn 项之积， A2020 = ________.
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操作(课后作业)：行同陌路，抑或一见如故
一、单选题
1．已知数列 an 满足首项是 1， an+1 an = n，则a21 =（ ）
A．202 B．200 C．205 D．211.
a +1
2．在数列 an 中，a1 =1，an an 1 = n（ n N+，n 2），则 n 的最小值是（ ）
n +1
1 3 3
A． B． C．1 D．
2 4 2
1
3．在数列 an 中，a1 = 2，a a =n+1 = an + lg 1+ ，则 n （ ）
n
A．2+ lg n B．2+ (n 1) lg n C．2+ n lg n D．1+ n lg n
4．在数列 an 中，a1 =1，且 (2n 1)an = (2n +1)an+1 ，则数列 an an+1 的前 10项和等于（ ）
9 18 10 20
A． B． C． D．
19 19 21 21
1 2n 3
5．已知数列 an 满足a1 = ， an = an 1 (n 2，n N* )，则数列 a 的通项an =n （ ）
3 2n+1
1 1
A． 2 B． 4n 1 2n2 +1
1 1
C． D．
(2n 1)(2n + 3) (n +1)(n + 3)
b n6．若数列 n 满足：b1 +3b2 +7b3+ +(2 －1)bn＝2n，则数列 bn 的通项公式为（ ）
b = 2n 1 b = 2nA． n B． n 1
1 2
C．bn = D．bn =
2n 1 2n 1
7．已知数列 an
2
的前n 项和为 Sn ，且满足3a1 +3 a2 + +3
n a * *n = n(n N )，若对于任意的 x R ，n N ，不等式
S 2n x + ax +1恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A． 2, 2 B． ( 2, 2 )
C． ( , 2 2,+ ) D． ( , 2 ) ( 2,+ )
8．数列 an 满足a a = 0n = 4an 1 +3(n 2)且 1 ，则此数列第 5 项是（ ）
A．15 B．255 C．16 D．63
n
9．已知数列 an 满足a1 =1， a
*
n+1 = an (n N )，则an =（ ）
n + 2
2 1
A．n +1 B．n C． D．
n (n +1) n
23
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2an
10．在数列{an}中，a1 =1，an+1 = ，n N ，则a+ n =（ ） 2+ an
2 2n n +1 n+ 2
A．an = B．an = C．an = D．an =
n +1 n +1 2n 2n+1
n a a
11．已知a = ，则a + 2 + 3
a
+ + 2019
a
+ 2020n 1 =（ ）
n +1 22 32 20192 20202
2020 1 2019 1
A． B． C． D．
2021 2021 2020 2020
a
12．在数列{a }
n
n 中，a = 2， an+1 =1 (n N
)，则a20 =（ ）
an +1
1 2 2 1
A． B． C． D．
21 39 23 23
二、填空题
1 *
13．设数列 an 满足a1 =1，且an+1 an = n+1(n N )，则数列 前 10项的和为__________
an
n
14．已知a1 = 2 ，a = 2 a ，则数列{an}n+1 n 的通项公式an ＝________.
15．已知数列 a 的前 nn 项和为 Sn ，满足an +3Sn Sn 1 = 0(
1
n 2,n N* )，a1 = ，则nan 的最小值为______.
3
n
16．已知数列 a
1 1
满足a =1

n 1 ，且a a a =n = an 1 + (n 2)，则数列 n 的通项公式 n ______．
3 3
三、解答题
17．已知数列{an}中，a1 = 3， an+1 = 3an + 2 3
n+1
，n N .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前 n项和 Sn
2
18．已知正项数列{a nn}的前 项和为 Sn ， 4Sn = an + 2an .
（1）证明：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
1
（2）设bn = ，求数列{bn}的前n 项和Tn .
(an +1)(an+1 +1)
24
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n
19．已知在数列{an}中，a a1 = 2,an+1 = an ，求数列 n 的通项公式.
n +1
20．已知在数列 an a
n 1
中， 1 = 3，an = an 1 + 2 (n 2).
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）设bn = log2 (a n Tn+1 1)，求 的前 项和 n .
bnbn+1
25

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